गुणा: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
Line 25: Line 25:
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए,  4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए,  4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।


गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या | जटिल संख्याएँ]] , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स गणित]] हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।{{Verify source|date=December 2021|reason=please check whether this is sourced in the body}}
गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या | सम्मिश्र संख्याएँ]] , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स गणित]] हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।{{Verify source|date=December 2021|reason=please check whether this is sourced in the body}}




Line 57: Line 57:


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
दो संख्याओं के उत्पाद या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,जटिल संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।
दो संख्याओं के उत्पाद या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।


===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
Line 74: Line 74:
     +  & - & + \\ \hline
     +  & - & + \\ \hline
\end{array}</math>
\end{array}</math>
(यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।)
यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।


शब्दों में, हमारे पास है:
शब्दों में, हमारे पास है:
Line 105: Line 105:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]जटिल गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है ध्रुवीय निर्देशांक में जटिल संख्याओं को फिर से लिखना:
[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को फिर से लिखना:


:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>
Line 112: Line 112:
जिससे प्राप्त होता है
जिससे प्राप्त होता है
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
ज्यामितीय अर्थ यह है कि परिमाण गुणा किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं।
ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं।


=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
दो [[ quaternion ]]s के उत्पाद [[ quaternions ]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि <matH> \cdot b</math> और  गणित>बी \cdot a</matH> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।
दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के उत्पाद [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि <math> a\cdot\quad b </math> और <math> b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।


== संगणना ==
== संगणना ==
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}}
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}}
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। <छोटा>उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।</छोटा>]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीकों के लिए छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या)के याद किए गए या परामर्शित उत्पादों की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, एक विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम , ग्रेड-स्कूल गुणन  दिखाता है:
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। <छोटा>उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।</छोटा>]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीकों के लिए छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित उत्पादों की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, एक विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम , ग्रेड-स्कूल गुणन  दिखाता है:


       23958233
       23958233

Revision as of 00:32, 20 February 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)
3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:

इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के