गुणा: Difference between revisions
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== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
दो संख्याओं के उत्पाद या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष | दो संख्याओं के उत्पाद या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,जटिल संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि। | ||
===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल=== | ===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल=== | ||
[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार | [[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को रखकर <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> कॉलम देता है | ||
:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | :<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | ||
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=== दो पूर्णांकों का गुणनफल === | === दो पूर्णांकों का गुणनफल === | ||
पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति | पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त संकेत के साथ संयुक्त होता है: | ||
:<math>\begin{array}{|c|c c|} | :<math>\begin{array}{|c|c c|} | ||
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+ & - & + \\ \hline | + & - & + \\ \hline | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
(यह नियम जोड़ पर गुणन की | (यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।) | ||
शब्दों में, हमारे पास है: | शब्दों में, हमारे पास है: | ||
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* ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | * ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
* ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, | * ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
* ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर | * ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
* धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। | * धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। | ||
===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ||
दो भिन्नों को उनके अंश और हर को गुणा करके गुणा किया जा सकता है: | दो भिन्नों को उनके अंश और उनके हर को गुणा करके फिर गुणा किया जा सकता है: | ||
:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | :<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | ||
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=== दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | === दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | ||
दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की कठोर परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का उपोत्पाद है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट | दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की कठोर परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का उपोत्पाद है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|A}} है : | ||
:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | :<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | ||
यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जो की सबसे कम ऊपरी सीमा | यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जो की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है | ||
की तरह परिभाषित किया | |||
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | :<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | ||
यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदला है। | यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदला है। | ||
Revision as of 16:18, 19 February 2023
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<डिव क्लास = राइट>
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गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।
प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:
यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।
गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:
इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।
गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के क्षेत्रफल को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई लंबाई है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।
दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणनआयामी विश्लेषण का विषय है।
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।
गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि जटिल संख्याएँ , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए मैट्रिक्स गणित हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।[verification needed]