अंशांकन

गणित में, विशेष रूप से समरूपता सिद्धांत में, सतत मानचित्रण है-

$i:A\to X$,

जहाँ $A$ और $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, यदि कोफिब्रेशन मानचित्रण की होमोटॉपी कक्षाऐ प्रदान करता है तब $[A,S]$ मानचित्रण की होमोटॉपी कक्षाओं तक विस्तारित किया जा सकता है। जब $[X,S]$ कोई मानचित्रण $f\in {\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(A,S)$ द्वारा विस्तारित किया जा सकता है। यदि $f'\in {\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(X,S)$ जहाँ $f'\circ i=f$, इसलिए उनके संबद्ध होमोटोपी वर्ग $[f]=[f'\circ i]$ समान हैं।

इस प्रकार की संरचना को सभी स्थानों के संबंध में होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति होने की तकनीकी स्थिति के साथ $S$ को एन्कोड किया जा सकता है। यह परिभाषा कंपन की दोहरी है, जो सभी रिक्त स्थान के संबंध में होमोटॉपी की संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक है। इस द्वैत को अनौपचारिक रूप से एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है। सामान्यता के कारण यह तकनीकी स्थिति है, इसका उपयोग मॉडल श्रेणी में किया जा सकता है।

परिभाषा

होमोटॉपी सिद्धांत

निम्नलिखित में, $I=[0,1]$ को इकाई अंतराल में निरूपित किया गया है।

मानचित्रण के टोपोलॉजिकल स्पेस $i\colon A\to X$ को कोफिब्रेशन कहा जाता हैपृष्ठ 51 यदि किसी मानचित्र के लिए $f:A\to S$ जैसे कि विस्तार $X$ है, मानचित्रण $f':X\to S$ है। मानचित्रण $f'\circ i=f$, द्वारा समरूपता का विस्तार कर सकते हैं। $H:A\times I\to S$ मानचित्रों की समरूपता के लिए $H':X\times I\to S$, जहां

${\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}$

हम निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख में इस स्थिति को सांकेतिक शब्दों में परिवर्तित कर सकते है।

जहाँ $S^{I}={\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(I,S)$ का पाथ स्पेस कंपन $S$ है।

कोफ़िब्रेंट ऑब्जेक्ट

मॉडल श्रेणी के लिए ${\mathcal {M}}$, जैसे पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, ऑब्जेक्ट $X$ को कोफाइब्रेंट कहा जाता है। यदि मानचित्रण $*\to X$ कोफिब्रेशन है। ध्यान दें कि पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में, कोफिब्रेशन की धारणा पूर्व परिभाषा के साथ युग्मित होती है, यह मानते हुए कि मानचित्र टोपोलॉजिकल स्पेस हैं।

उदाहरण

टोपोलॉजी में

कम्प्यूटेशनल परिप्रेक्ष्य से कोफिब्रेशन नक्शे का एक अजीब वर्ग है क्योंकि उन्हें एक औपचारिक तकनीकी उपकरण के रूप में अधिक आसानी से देखा जाता है जो किसी को टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के साथ होमोटोपी सैद्धांतिक निर्माण करने में सक्षम बनाता है। सौभाग्य से, किसी भी नक्शे के लिए

$f:X\to Y$

टोपोलॉजिकल स्पेस में, स्पेस से जुड़ा एक कॉफिब्रेशन होता है $Mf$ मैपिंग सिलेंडर कहा जाता है (जहाँ $Y$ एक विरूपण वापसी है, इसलिए होमोटोपी इसके समतुल्य है) जिसमें एक प्रेरित कोफिब्रेशन होता है जिसे कोफिब्रेशन के साथ मैप को बदलना कहा जाता है

$i:X\to Mf$

और एक मानचित्रण$Mf\to Y$ जिसके माध्यम से $f$ कारकों के माध्यम से, जिसका अर्थ है कि एक क्रमविनिमेय आरेख है

कहाँ $r$ एक होमोटॉपी तुल्यता है।

उदाहरणों के इस वर्ग के अतिरिक्त, और भी हैं

• प्रायः उपयोग किया जाने वाला तथ्य यह है कि एक सेलुलर समावेशन एक कोफिब्रेशन है (इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि $(X,A)$ एक सीडब्ल्यू-जोड़ी है, तो $A\to X$ एक कोफिब्रेशन है)। यह पिछले तथ्य से इस प्रकार है $S^{n-1}\to D^{n}$ प्रत्येक के लिए एक कोफिब्रेशन है $n$, और पुशआउट्स ग्लूइंग मैप्स हैं $n$