बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 00:28, 21 August 2022

गणित में, बहुपद एक ऐसा व्यंजक है जिसमें अनिश्चित और गुणांक होते हैं, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा, और चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित $x$ के बहुपद का एक उदाहरण: $x 2 - 4 x + 7$ है। तीन चरों में एक उदाहरण: $x 3 + 2 xyz 2 - yz + 1$ है।

गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। उदाहरण: उनका उपयोग बहुपद समीकरण बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य कार्यों को अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं।उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के छल्ले और बीजगणितीय किस्मों के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।

व्युत्पत्ति

बहुपद शब्द दो विविध आधार को जोड़ता है: ग्रीक पॉली, जिसका अर्थ है "कई", और लैटिन नाम, या "नाम"। यह लैटिन मूल द्वि- को ग्रीक पॉली- के साथ बदलकर द्विपद शब्द से लिया गया था। अर्थात् इसका अर्थ अनेक पदों (एकपदी) का योग है। बहुपद शब्द का प्रयोग पहली बार 17वीं शताब्दी में किया गया था।^[1]

संकेतन और शब्दावली

File:Polynomialdeg3.svg

ग्राफ 3 के बहुपद फलन का आलेख

बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन पर विचार करता है, तो x फ़ंक्शन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।

अनिश्चित (इंडेटरमिनते) x में एक बहुपद P को आमतौर पर या तो P या P (x) के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम P है, न कि P (x), लेकिन कार्यात्मक संकेतन P (x) का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फ़ंक्शन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए P अनिश्चित x में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।

गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।

$a\mapsto P(a),$

जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है।

अधिक विशेष रूप से, जब a अनिश्चित x है, तो इस फ़ंक्शन द्वारा x की छवि बहुपद P ही है (x के लिए x को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।

दूसरे शब्दों में,

$P(x)=P,$

जो औपचारिक रूप से एक ही बहुपद के लिए दो संकेतन के अस्तित्व को सही ठहराता है।

परिभाषा

बहुपद व्यंजक एक ऐसा व्यंजक है जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के योग, गुणन और घातांक के माध्यम से स्थिरांक और प्रतीकों से बनाया जा सकता है जिन्हें चर या अनिश्चित कहा जाता है। स्थिरांक आम तौर पर संख्या होते हैं, लेकिन कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है जिसमें अनिश्चित शामिल नहीं होते हैं, और गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। दो बहुपद व्यंजकों को एक ही बहुपद को परिभाषित करने के रूप में माना जाता है, यदि वे रूपांतरित हो सकते हैं, एक से दूसरे में, जोड़ और गुणा के सामान्य गुणों को लागू करके कम्यूटेटिविटी, सहयोगीता और वितरण । उदाहरण के लिए $(x-1)(x-2)$ तथा $x^{2}-3x+2$ दो बहुपद व्यंजक हैं जो एक ही बहुपद को निरूपित करते हैं; तो, लिखा जाता है $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2.$

एकल अनिश्चित $x$ में एक बहुपद को हमेशा फॉर्म में लिखा (या फिर से लिखा) जा सकता है:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

जहाँ पे $a 0 comma ellipsis comma a Subscript n Baseline$

[1]

@@ Line 69: / Line 69: @@
 जोड़ के क्रमविनिमेयता [[:hi:क्रमविनिमेयता|कम्यूटेटिव कानून]] का प्रयोग  किसी भी पसंदीदा क्रम में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है। एक अनिश्चित के साथ बहुपदों में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो " {{Math|''x''}} की अवरोही शक्तियों" में, पहले सबसे बड़ी डिग्री की अवधि के साथ, या " {{Math|''x''}} की आरोही शक्तियों" में। बहुपद {{Math|3''x''<sup>2</sup> - 5''x'' + 4}} को {{Math|''x''}} के अवरोही घातों में लिखा जाता है। पहले पद का गुणांक {{Math|3}}, अनिश्चित {{Math|''x''}}, और घातांक {{Math|2}} है। दूसरे पद में, गुणांक {{Nowrap|is {{math|−5}}}} । तीसरा पद एक स्थिरांक है। चूँकि गैर-शून्य ''बहुपद'' की घात किसी एक पद की सबसे बड़ी घात होती है, इसलिए इस बहुपद की घात दो होती है।<ref>{{harvnb|Edwards|1995|p=[https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78 78]}}</ref> समान अनिश्चितता वाले दो शब्दों को समान शक्तियों के लिए उठाया जाता है, उन्हें "समान चर " या "सदृश चर" कहा जाता है, और उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके एक एकल पद में संयोजित किया जा सकता है जिसका गुणांक पदों के गुणांकों का योग है। ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।<ref name="Edwards-1995-p47" />बहुपदों को अशून्य गुणांक वाले पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है ताकि एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जा सके,,{{efn|Some authors use "monomial" to mean "[[monic polynomial|monic]] monomial". See {{cite book |first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}}} दो-पद वाले बहुपद को द्विपद कहा जाता है, और तीन-पद वाले बहुपद को त्रिपद कहा जाता है। शब्द "चतुर्भुज" का प्रयोग कभी-कभी चार-पद के बहुपद के लिए किया जाता है।
-एक '''वास्तविक बहुपद''' [[:hi:वास्तविक संख्या|वास्तविक]] गुणांक वाला बहुपद है। जब किसी [[:hi:फलन|फ़ंक्शन]] को परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, तो [[:hi:फलन का प्रभावक्षेत्र|डोमेन]] इतना प्रतिबंधित नहीं होता है। हालाँकि, एक '''वास्तविक बहुपद फलन वास्तविक''' से वास्तविक तक का एक फलन है जिसे वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसी तरह, एक '''पूर्णांक बहुपद''' [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] गुणांक वाला बहुपद है, और एक '''जटिल बहुपद''' [[:hi:समिश्र संख्या|जटिल]] गुणांक वाला बहुपद है।
+एक '''वास्तविक बहुपद''' [[:hi:वास्तविक संख्या|वास्तविक]] गुणांक वाला बहुपद है। जब किसी [[:hi:फलन|फ़ंक्शन]] को परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, तो [[:hi:फलन का प्रभावक्षेत्र|डोमेन]] इतना प्रतिबंधित नहीं होता है। हालाँकि, एक '''वास्तविक बहुपद फलन वास्तविक''' से वास्तविक तक का एक फलन है जिसे वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसी तरह, एक '''पूर्णांक बहुपद''' [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] गुणांक वाला बहुपद है, और एक '''जटिल बहुपद''' [[:hi:समिश्र संख्या|जटिल]] गुणांक वाला '''बहुपद''' है।
-{{anchor|univariate|bivariate|Number of variables|Multivariate polynomial}}एक अनिश्चित में एक बहुपद को एक अनिच्छुक बहुपद कहा जाता है, एक से अधिक अनिश्चितता में एक बहुपद को 'बहुभिन्नरूपी बहुपद' कहा जाता है।दो अनिश्चितताओं के साथ एक बहुपद को 'bivariate बहुपद' कहा जाता है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>ये धारणाएं उस तरह के बहुपद के बारे में अधिक बताती हैं जो आमतौर पर व्यक्तिगत बहुपदों की तुलना में काम कर रही है;उदाहरण के लिए, जब Univariate Polynomials के साथ काम करते हैं, तो कोई भी निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपद के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि सख्ती से बोलने के लिए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चितता नहीं होती है।बहुभिन्नरूपी बहुपद को आगे बढ़ाना संभव है, जो कि अधिकतम संख्या में अनिश्चितता की अधिकतम संख्या के अनुसार bivariate, trivariate, और इसी तरह के रूप में वर्गीकृत है।फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं का सेट घटाव के तहत बंद हो जाए, ट्रिविअरेट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर बीवरिएट बहुपद की अनुमति देता है, और इसी तरह।यह केवल बहुपद में कहना भी आम है {{math|''x'', ''y''}}, तथा {{math|''z''}}, अनुमत अनिश्चितता को सूचीबद्ध करना।
+एक अनिश्चित बहुपद को एक अविभाज्य बहुपद कहा जाता है, और एक से अधिक अनिश्चित बहुपद को "बहुभिन्नरूपी बहुपद" कहा जाता है। दो अनिश्चितों वाले बहुपद को द्विपद बहुपद कहते हैं।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ये धारणाएं आम तौर पर उन बहुपदों के प्रकारों को संदर्भित करती हैं जो अलग-अलग बहुपदों की तुलना में उन पर काम करती हैं; उदाहरण के लिए, जब अविभाज्य बहुपदों (univariate polynomials) के साथ काम करते हैं, तो कोई निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपदों के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि कड़ाई से बोलते हुए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चित नहीं होता है। अनुमत अनिश्चितताओं की अधिकतम संख्या के अनुसार, बहुभिन्नरूपी बहुपदों को ''द्विपद'', ''त्रिपद'', आदि के रूप में वर्गीकृत करना संभव है। फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं के सेट को घटाव के तहत बंद किया जा सके, ट्रिवेरिएट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर द्विचर बहुपदों की अनुमति देता है, और इसी तरह। यह कहना भी आम है कि " {{Math|''x'', ''y''}}, और {{Math|''z''}} में बहुपद ", अनुमत अनिश्चितों को सूचीबद्ध करते हैं।
-{{anchor|evaluation}}एक बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चितता के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन को बाहर ले जाना शामिल है।एक अनिश्चित में बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल (प्रदर्शन करने के लिए अंकगणित संचालन की कम संख्या) है:
+बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चित के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन करना शामिल है। अनिश्चित बहुपद के लिए, हॉर्नर की विधि (पनिष्पादन करने के लिए अंकगणितीय संक्रियाओं की कम संख्या) का उपयोग करके मूल्यांकन आमतौर पर अधिक कुशल होता है।
-:<math>(((((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.</math>
+एक अनिश्चित बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल होता है
+:
+<math>(((((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.</math>
 == अंकगणित ==
 === जोड़ और घटाव ===
-Polynomials को जोड़ के साहचर्य कानून (एक ही राशि में एक साथ सभी शर्तों को समूहित करना) का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, संभवतः इसके बाद (कम्यूटेटिव कानून का उपयोग करके) और जैसे शब्दों का संयोजन किया जाता है।<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि
+जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करके (उनके सभी पदों को एक साथ योग में समूहित करना) बहुपदों को जोड़ा जा सकता है,संभवतः इसके बाद समान पदों (कम्यूटिव कानून का उपयोग करते हुए) का पुनर्क्रमण और संयोजन किया जाता है।
+<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref>
+उदाहरण के लिए, यदि
 :<math> P = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 </math> तथा <math> Q = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8</math>
 फिर योग
 :<math>P + Q = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 - 3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 </math>
-के रूप में फिर से संगठित और फिर से संगठित किया जा सकता है
+के रूप में पुन: व्यवस्थित और पुन: समूहित किया जा सकता है
 :<math>P + Q = (3x^2 - 3x^2) +  (- 2x + 3x) + 5xy    + 4y^2 + (8 - 2) </math>
-और फिर सरल हो गया
+और फिर सरलीकृत करने के लिए
 :<math>P + Q = x + 5xy + 4y^2 + 6.</math>
-जब बहुपद को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक और बहुपद होता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PagNAQAAIAAJ&q=the+addition+of+polynomials+is+an+operation+that+takes+any+two+polynomials+and+produce+always+another+polynomial,|title=Introduction to Algebra|date=1965|publisher=Yale University Press|pages=621|language=en|quote=Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial}}</ref>
+जब बहुपदों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक और बहुपद होता है।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PagNAQAAIAAJ&q=the+addition+of+polynomials+is+an+operation+that+takes+any+two+polynomials+and+produce+always+another+polynomial,|title=Introduction to Algebra|date=1965|publisher=Yale University Press|pages=621|language=en|quote=Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial}}</ref>
-बहुपद का घटाव समान है।
+बहुपदों का घटाव समान होता है।
 === गुणन ===
-बहुपद भी गुणा किया जा सकता है।दो बहुपदों के उत्पाद का विस्तार करने के लिए, शर्तों के योग में, वितरण कानून को बार -बार लागू किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक शब्द के प्रत्येक शब्द को दूसरे के प्रत्येक शब्द से गुणा किया जाता है।<ref name="Edwards-1995-p47"/>उदाहरण के लिए, यदि
+बहुपदों को भी गुणा किया जा सकता है। दो बहुपदों के गुणनफल को पदों के योग में विस्तारित करने के लिए, वितरण नियम को बार-बार लागू किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।<ref name="Edwards-1995-p47"/>उदाहरण के लिए, यदि
 :<math>\begin{align}
   \color{Red} P &\color{Red}{= 2x + 3y + 5} \\
@@ Line 107: / Line 114: @@
 ({\color{Red}{5}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{1}})
 \end{array}</math>
-प्रत्येक शब्द में गुणन को आगे बढ़ाना पैदा करता है
+प्रत्येक पद में गुणा करने पर उत्पन्न होता है
 :<math>\begin{array}{rccrcrcrcr}
 PQ & = && 4x^2 &+& 10xy &+& 2x^2y &+& 2x \\
@@ Line 113: / Line 120: @@
 &&+& 10x &+& 25y &+& 5xy &+& 5.
 \end{array}</math>
-समान शर्तों की पैदावार का संयोजन
+समान पदों को मिलाने से उपज
 :<math>\begin{array}{rcccrcrcrcr}
 PQ & = && 4x^2 &+&( 10xy + 6xy + 5xy ) &+& 2x^2y &+& ( 2x + 10x ) \\
 && + & 15y^2 &+& 3xy^2 &+&( 3y + 25y )&+&5
 \end{array}</math>
-जिसे सरल किया जा सकता है
+जिसे सरल बनाया जा सकता है
 :<math>PQ = 4x^2 + 21xy + 2x^2y + 12x + 15y^2 + 3xy^2 + 28y + 5.</math>
-उदाहरण के रूप में, बहुपद का उत्पाद हमेशा एक बहुपद होता है।<ref name=":0" /><ref name=Barbeau-2003-pp1-2/>
+उदाहरण के रूप में, बहुपद का उत्पाद हमेशा एक बहुपद '''होता''' है।<ref name=":0" /><ref name=Barbeau-2003-pp1-2/>
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