आधार (टोपोलॉजी): Difference between revisions

Revision as of 17:17, 19 February 2023

गणित में, टोपोलॉजी (संरचना) के लिए आधार (या आधार) $τ$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $(X, τ)$ समुच्चयों का परिवार है ${\mathcal {B}}$ के खुले समुच्चयों का $X$ ऐसा है कि टोपोलॉजी का हर खुला समुच्चय कुछ उप समुच्चय के संघ स्थापित करें के बराबर है | उप-परिवार ${\mathcal {B}}$ . उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या रेखा में सभी खुले अंतरालों का समुच्चय $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी का आधार है $\mathbb {R}$ क्योंकि प्रत्येक विवृत्त अंतराल एक विवृत्त समुच्चय होता है, और प्रत्येक विवृत्त उपसमुच्चय भी $\mathbb {R}$ खुले अंतराल के कुछ परिवार के संघ के रूप में लिखा जा सकता है।

आधार पूरे टोपोलॉजी में सर्वव्यापी हैं। एक टोपोलॉजी के लिए बेस में समुच्चय, जो कहलाते हैं मूलभूत खुले समुच्चय, मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों की तुलना में प्रायः वर्णन करना और उपयोग करना आसान होता है।^[1] निरंतर कार्य और अभिसरण (टोपोलॉजी) जैसी कई महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जांच मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों के बजाय केवल मूल खुले समुच्चयों का उपयोग करके की जा सकती है। कुछ टोपोलॉजी में विशिष्ट उपयोगी गुणों के साथ खुले समुच्चय का आधार होता है जो ऐसी टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जाँच को आसान बना सकता है।

समुच्चय के उप समुच्चय के सभी परिवार नहीं $X$ एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार तैयार करें $X$ . नीचे दी गई कुछ शर्तों के तहत, उप समुच्चय का परिवार एक (अद्वितीय) टोपोलॉजी के लिए आधार बनाएगा $X$ , सबफैमिली के सभी संभावित यूनियनों को लेकर प्राप्त किया गया। टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए समुच्चय के ऐसे परिवारों का प्रायः उपयोग किया जाता है। आधारों से संबंधित एक कमजोर धारणा एक टोपोलॉजी के लिए उप-आधार की है। टोपोलॉजी के आधार भी पड़ोस के ठिकानों से निकटता से संबंधित हैं।

परिभाषा और मूलभूत गुण

टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $(X,\tau )$ , आधार^[2]^[3]^[4]^[5] (या आधार^[6]) टोपोलॉजी (संरचना) के लिए $\tau$ (के लिए एक आधार भी कहा जाता है $X$ यदि टोपोलॉजी को समझा जाए) समुच्चयों का परिवार है ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ खुले समुच्चयों का ऐसा कि टोपोलॉजी के हर खुले समुच्चय को कुछ उपपरिवारों के मिलन के रूप में दर्शाया जा सकता है ${\mathcal {B}}$ .^{[note 1]} के तत्व ${\mathcal {B}}$ बेसिक ओपन समुच्चय कहलाते हैं। समान रूप से, एक परिवार ${\mathcal {B}}$ के उप समुच्चय का $X$ टोपोलॉजी का आधार है $\tau$ यदि और केवल यदि ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ और हर खुले समुच्चय के लिए $U$ में $X$ और बिंदु $x\in U$ कुछ मूलभूत खुला समुच्चय है $B\in {\mathcal {B}}$ ऐसा है कि $x\in B\subseteq U$ .

उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा में सभी खुले अंतरालों का संग्रह वास्तविक संख्याओं पर मानक टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है। अधिक सामान्यतः, एक मीट्रिक स्थान में $M$ के अंक के बारे में सभी खुली गेंदों का संग्रह $M$ टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है।

सामान्य तौर पर, एक सामयिक स्थान $(X,\tau )$ अनेक आधार हो सकते हैं। संपूर्ण टोपोलॉजी $\tau$ हमेशा अपने लिए एक आधार होता है (अर्थात, $\tau$ का आधार है $\tau$ ). वास्तविक रेखा के लिए, सभी खुले अंतरालों का संग्रह टोपोलॉजी का आधार है। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत अंतराल के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह, या तर्कहीन अंत बिंदुओं के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह। ध्यान दें कि दो अलग-अलग आधारों के लिए सामान्य रूप से मूलभूत खुला समुच्चय होना आवश्यक नहीं है। अंतरिक्ष के सामयिक गुणों में से एक $X$ इसकी टोपोलॉजी के लिए आधार की न्यूनतम प्रमुखता है, जिसे वजन कहा जाता है $X$ और निरूपित $w(X)$ . उपरोक्त उदाहरणों से, वास्तविक रेखा में गणनीय भार होता है।

यदि ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी का आधार है $\tau$ एक स्थान का $X$ , यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:^[7]^[3]:(बी1) के तत्व ${\mathcal {B}}$ आवरण (टोपोलॉजी) $X$ , यानी, हर बिंदु $x\in X$ के किसी तत्व से संबंधित है ${\mathcal {B}}$ .

(B2) प्रत्येक के लिए

B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}

और हर बिंदु

x\in B_{1}\cap B_{2}

, कुछ मौजूद है

B_{3}\in {\mathcal {B}}

ऐसा है कि

x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}

.

संपत्ति (B1) इस तथ्य से मेल खाती है कि $X$ एक खुला समुच्चय है; संपत्ति (B2) इस तथ्य से मेल खाती है कि $B_{1}\cap B_{2}$ एक खुला समुच्चय है।

इसके विपरीत मान लीजिए $X$ बिना किसी टोपोलॉजी के सिर्फ एक समुच्चय है और ${\mathcal {B}}$ के उपसमुच्चय का परिवार है $X$ संतोषजनक गुण (B1) और (B2) है। तब ${\mathcal {B}}$ यह उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी के लिए एक आधार है। अधिक सटीक, चलो $\tau$ के सभी उपसमूहों का परिवार हो $X$ जो कि उप-परिवारों के संघ हैं ${\mathcal {B}}.$ तब $\tau$ पर एक टोपोलॉजी है $X$ और ${\mathcal {B}}$ का आधार है $\tau$ .^[7]^[8] (स्केच:

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 समुच्चय {{math|Γ}} सभी खुले अंतरालों में <math>\mathbb{R}</math> यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>.
-समुच्चय के उप समुच्चय का एक गैर-खाली परिवार {{mvar|X}} जो दो या दो से अधिक समुच्चयों के परिमित चौराहों के अंतर्गत बंद है, जिसे पाई-सिस्टम कहा जाता है{{pi}}-सिस्टम चालू {{mvar|X}}, अनिवार्य रूप से एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है {{mvar|X}} यदि और केवल यदि यह कवर करता है {{mvar|X}}. परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित, प्रत्येक [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] (और इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक [[पड़ोस व्यवस्था]]), और प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस#टोपोलॉजी एक आवरण है {{pi}}-प्रणाली और इसलिए एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार भी। वास्तव में, यदि {{math|Γ}} एक फिल्टर चालू है {{mvar|X}} तब {{math|{ ∅ } ∪ Γ}} पर एक टोपोलॉजी है {{mvar|X}} और {{math|Γ}} इसका एक आधार है। एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार को परिमित चौराहों के तहत बंद नहीं करना पड़ता है और कई नहीं होते हैं। लेकिन फिर भी, कई टोपोलॉजी उन आधारों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो परिमित चौराहों के तहत भी बंद हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित परिवारों में से प्रत्येक के उपसमुच्चय {{mvar|<math>\mathbb{R}</math>}} परिमित चौराहों के नीचे बंद है और इसलिए प्रत्येक कुछ टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>:
 समुच्चय के उप समुच्चय का एक गैर-खाली परिवार {{mvar|X}} जो दो या दो से अधिक समुच्चयों के परिमित चौराहों के अंतर्गत बंद है, जिसे पाई-सिस्टम कहा जाता है{{pi}}-सिस्टम चालू {{mvar|X}}, अनिवार्य रूप से एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है {{mvar|X}} यदि और केवल यदि यह कवर करता है {{mvar|X}}. परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित, प्रत्येक [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] (और इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक [[पड़ोस व्यवस्था]]), और प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस#टोपोलॉजी एक आवरण है {{pi}}-प्रणाली और इसलिए एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार भी। वास्तव में, यदि {{math|Γ}} एक फिल्टर चालू है {{mvar|X}} तब {{math|{ ∅ } ∪ Γ}} पर एक टोपोलॉजी है {{mvar|X}} और {{math|Γ}} इसका एक आधार है। एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार को परिमित चौराहों के तहत बंद नहीं करना पड़ता है और कई नहीं होते हैं। लेकिन फिर भी, कई टोपोलॉजी उन आधारों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो परिमित चौराहों के तहत भी बंद हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित परिवारों में से प्रत्येक के उपसमुच्चय {{mvar|<math>\mathbb{R}</math>}} परिमित चौराहों के नीचे बंद है और इसलिए प्रत्येक कुछ टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>:
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 * जारिस्की की टोपोलॉजी <math>\C^n</math> वह टोपोलॉजी है जिसमें [[बीजगणितीय सेट|बीजगणितीय समुच्चय]] बंद समुच्चय के रूप में होते हैं। इसका एक आधार है जो एफाइन बीजगणितीय हाइपरसर्फेस के [[सेट पूरक|समुच्चय पूरक]] द्वारा बनाया गया है।
 * रिंग के स्पेक्ट्रम ([[प्रमुख आदर्श]] का समुच्चय) के ज़ारिस्की टोपोलॉजी का एक आधार ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व में सभी प्राइम आइडियल्स होते हैं जिनमें रिंग का कोई तत्व नहीं होता है।
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