समीकरण

समीकरण बनाना

किसी भी प्रकार के समीकरण के वास्तविक समाधान की ओर बढ़ने से पहले, इसे हल के लिए तैयार करने के लिए कुछ प्रारंभिक संक्रियाओं को करना आवश्यक है।

अभी भी अधिक प्रारंभिक कार्य प्रस्तावित समस्या की स्थितियों से समीकरण (समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया; समा, बराबर और कर् से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने का है। इस तरह के प्रारंभिक कार्य के लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या एक से अधिक मौलिक संचालन के आवेदन की आवश्यकता हो सकती है।

भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यावत्-तावत् " को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।

बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण

बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण से समझा जा सकता है।

राम कहता है कि उसके पास 10 सिक्के श्याम से ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के कंचों की संख्या + 10

हम 'श्याम के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।

x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,

राम के सिक्कों की संख्या = x+10

अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।

प्रतीकों के प्रयोग में बीजगणित प्रचुर मात्रा में है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।

क्रमांक	बीजीय व्यंजक का संघटक	संस्कृत शब्द	प्रतीक/चिह्न	उदाहरण
1	अज्ञात	यावत्तावत् कालकः नीलकः , ......	या का नी , ........	या ३ का ४ नी ८	3x 4y 8z
2	योगफल	योगः	-	या का या ३ का ४	x + y 3x + 4y
3	गुणनफल	भावितम्	भा	याकाभा याकाभा ३	xy 3xy
4	वर्ग	वर्गः	व	याव	x2
5	घनक्षेत्र	घनः	घ	याघ	x3
6	चौथी शक्ति	वर्ग​-वर्गः	वव	यावव	x4
7	स्थायी अवधि	रूपम्	रू	रू ३	3
8	ऋणात्मक	ऋणम्	मात्रा के ऊपर बिंदु (.)	. रू ४	-4

अक्षर या (यावत्-तावत् का संक्षिप्त रूप) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को यव कहा जाता था, जो यावत्-तावत्-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। समीकरण लिखते समय, अचर पद को रू अक्षर से निरूपित किया जाता था, जो रूपा  का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में देखा गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न या , का, और नी   हैं। ये यावत्-तावत्, कालका और नीलका  के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को याकाभा के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ या और का दो अज्ञात हैं और भा  उनके उत्पाद के लिए है।

निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।

क्रमांक	आधुनिक संकेतन	प्राचीन भारतीय संकेतन
1	x + 1	या १ रू १
2	3x - 7	या ३ रू ७.
3	2x – 8	या २ रू ८.
4	15x2 + 7x - 2	याव १५ या ७ रू २.
5	1x4 + 6x3 + 25x2 + 48x + 64	यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४
6	18x2 + 12xy - 6xz -6x	याव १८ याकाभा १२ यानीभा ६. या ६.

हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।

समीकरण 10x - 8 = x² +1 पर विचार करें

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

0x² + 10x - 8 = 1x² + 0x + 1

x², x¹, x⁰ (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करें। क्या आप कोई प्रतिरूप नोटिस कर सकते हैं? समीकरण लिखने का मानक तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।

ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा जाता है। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।

हम देखेंगे कि यह समीकरण चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपने भाष्य में कैसे लिखा था। वह समीकरण लिखते हैं।

10x - 8 = x² + 1 इस प्रकार है:

देवनागरी	लिप्यंतरण		आधुनिक संकेतन
याव ०  या १०  रू ८. याव १  या ०    रू १	याव 0 या  10 rū 8. याव 1 या 0 rū 1	⇒	0x2 + 10 x - 8 = 1x2 + 0x + 1

भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण है:

x⁴ - 2x² - 400x = 9999

इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,

यावव १ याव २^.   या  ४^.०० रू ०

यावव ० याव ०   या  ०       रू ९९९९

बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया

भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :

स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥

वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।

भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥

"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात के मामले में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) अंकगणित में वर्णित समान हैं।"

बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव

भास्कर द्वितीय अज्ञात राशियों के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:

योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।

"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"

व्याख्या:

यह सर्वविदित है कि जोड़ और घटाव केवल समान पदों में ही किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान शब्द वे शब्द हैं जिनमें समान अक्षर चर होते हैं जो समान शक्तियों के लिए उठाए जाते हैं। उदा., या ३, या ४, या ५ समान पद हैं। याव २, याव ५, याव ७ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं।आजकल हम कहते हैं कि 3x, 4x, 5x समान पद हैं। इसी प्रकार 2x², 5x², 7x² समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं। जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 3x + 5x को 8x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 10x² - 4x² को 6x² के रूप में सरल बनाया जा सकता है।

विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x², 4x³, 5y, y², xy के रूप में दर्शाया जाता है।

बीजीय व्यंजकों का गुणन

बीजगणित गुणन का नियम देता है -

गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।

अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥

"गुणक को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और सर्ड के वर्गों के मामले में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के मामले में बताई गई आंशिक उत्पादों की विधि यहां भी लागू होती है।"

व्याख्या

प्राचीन भारतीय संकेतन	आधुनिक संकेतन
यदि या ३ रू ५ और या ४ रू ७ क्रमशः गुणक और गुणक हैं, उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:	यदि 3x + 5 और 4x + 7 क्रमशः गुणक और गुणक हैं, उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ४ and रू ७	गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 4x और 7
गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (या ३ रू ५) X या ४ = याव १२ या २० (या ३ रू ५) X रू ७ = या २१ रू ३५	गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (3x + 5) X 4x = 12x2 + 20x (3x + 5) X 7 = 21x + 35
परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है:: याव् १२ या ४१ रू ३५	परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है: 12x2 + 41x + 35

यदि $ax+b$ और $cx+d$ क्रमशः गुणक और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।

$(ax+b)cx=acx^{2}+bcx$

$(ax+b)d=adx+bd$

परिणाम जोड़ें।

गुणन परिणाम है: $acx^{2}+(bc+ad)x+bd$

बीजीय संकेतन

• अज्ञात संख्याओं के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों में यावत-तावत (जितना जितना हो) का या के प्रारंभिक शब्दांश, कालका (काला) का का , नीलका (नीला) का नी , पीत (पीला) का पी शामिल है, आदि ।
• दो अज्ञातों के गुणनफल को उनके बाद रखे भाविता (उत्पाद) के प्रारंभिक शब्दांश भा द्वारा दर्शाया जाता है। शक्तियों को वर्ग (वर्ग) के व , घन (घन) के घ, के प्रारंभिक अक्षरों वा द्वारा दर्शाया गया है; वावा का मतलब वर्गवर्ग, चौथी शक्ति है। कभी-कभी घट (उत्पाद) का प्रारंभिक शब्दांश घा शक्तियों के योग के लिए होता है।
• प्रतीक के बगल में एक गुणांक रखा गया है। अचर पद को रूप (रूप) के प्रारंभिक प्रतीक रु द्वारा निरूपित किया जाता है।
• ऋणात्मक पूर्णांक के ऊपर एक बिंदु रखा गया है
• एक समीकरण के दो पक्षों को एक दूसरे के नीचे रखा जाता है। इस प्रकार समीकरण X⁴ - 2X² - 400x = 9999; के रूप में लिखा गया है

यावव 1 याव 2^● या 400^● रू ०

यावव ० याव ० या ० रू ९९९९

जिसका अर्थ है या के लिए x लिखना

x⁴ -2x² -400x+0 = 0x⁴ +0x²+0x+9999

यदि कई अज्ञात हैं, तो एक ही तरह के लोगों को एक ही कॉलम में शून्य गुणांक के साथ लिखा जाता है, यदि आवश्यक हो। इस प्रकार समीकरण

197x - 1644y - z = 6302 द्वारा दर्शाया गया है

या 197 का 1644^● नी 1^● रु 0

या 0 का 0 नी 0 रु 6302

जिसका अर्थ है, का के लिए y और नी के लिए z डालना

197x - 1644y - z + 0 = 0x + 0y + 0z + 6302

भास्कर द्वितीय कहते हैं:

"फिर इसके एक तरफ अज्ञात (समीकरण) को दूसरी तरफ अज्ञात से घटाया जाना चाहिए, इसी तरह अज्ञात के वर्ग और अन्य शक्तियां भी;

दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं को दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं से घटाया जाना चाहिए।"

निम्नलिखित दृष्टांत भास्कर II के बीजगणित से है:

"इस प्रकार दोनों पक्ष हैं

या वा 4 या 34^● रु 72

या वा 0 या 0 रु 90

पूर्ण समाशोधन (समाशोधन) पर, दोनों पक्षों के अवशेष हैं

या वा 4 या 34^● रु 0

या वा 0 या 0 रु 18

यानी, 4x² -34x= 18

समीकरणों का वर्गीकरण

ऐसा लगता है कि समीकरणों का सबसे पहला हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से यावत्-तावत् (जितना या उतना ही, अर्थात् एक मनमानी मात्रा) कहा जाता है), द्विघात (वर्ग), घन और द्विघात (वर्ग-वर्ग)। इसका संदर्भ लगभग 300 ईसा पूर्व के एक विहित कार्य में मिलता है। लेकिन आगे की प्रमाण के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (एक-वर्ण-समीकरण), (2) कई अज्ञात में समीकरण (अनेक-वर्ण-समीकरण), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (भैविता) )

प्रथम वर्ग को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया गया है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण पद्धति थोड़ी भिन्न है। उनके चार वर्ग हैं: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण . चूँकि तृतीय वर्ग के समीकरण को हल करने की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को मध्यमाहारण (मध्यम से-"मध्य", अहारण से -"उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन मध्य अवधि का" कहा जाता है। )। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।

भास्कर द्वितीय तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, अर्थात (i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (2) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। वर्ग (1) में फिर से दो उपवर्ग होते हैं: (i) सरल समीकरण और ( ii) द्विघात और उच्च समीकरण। वर्ग (2) में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि इन पांच वर्गों को कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को मध्यमाहारन के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।

एक अज्ञात में रैखिक समीकरण

एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली शक्ति होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 2x + 4 = 5 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x2 , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।

प्रारंभिक समाधान:

जैसा कि पहले ही कहा गया है, एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान शुल्बसूत्र; śulba में पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ईसा पूर्व के बाद का नहीं है। स्थानांग-सूत्र (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (यावत्-तावत्) से एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो समाधान की विधि का सूचक है! उस समय अनुसरण किया गया । हालांकि, हमारे पास इसके बारे में और कोई प्रमाण नहीं है। सरल बीजगणितीय समीकरणों और उनके समाधान के लिए एक विधि से संबंधित समस्याओं के निस्संदेह मूल्य का सबसे पहला हिंदू रिकॉर्ड बख्शाली ग्रंथ में मिलता है, जो संभवतया ईसाई युग की शुरुआत के बारे में लिखा गया था।

एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"

यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,

x + 2X + 6x + 24X = 132

असत्य स्थिति का नियम:

इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:

"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।

1	2	2 3	6 4
1	1	1 1	1 1

'गुणा किया हुआ'

1

2

6

24

जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'

132 33

(जो) कमी करने पर बन जाता है

4 1

(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"

बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि

ag+ b =p' कहा जाए ।

तब सही मान होगा

${\displaystyle x={\frac {(p-p')}{a}}+g}$

रैखिक समीकरणों का हल

आर्यभट्ट (499) कहते हैं:

"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"

यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।

नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?

यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से

ax + c = bx+ d

इसलिए ${\displaystyle x={\frac {(d-c)}{(a-b)}}}$

जिस वजह से नियम।

bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम जहाँ b, c, d और e दिए गए हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।

अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।

कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II

"अज्ञात के अंतर से उल्टे और विभाजित निरपेक्ष संख्याओं का अंतर, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"

व्याख्या: समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e

यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।

निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e

उल्टे पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c

अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d

x के रूप में पाया जाता है