आयतन: Difference between revisions
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|conserved=yes for [[solid]]s and [[liquid]]s, no for [[gas]]es, and [[Plasma (physics)|plasma]]{{efn|At constant temperature and pressure, ignoring other states of matter for brevity}} | |conserved=yes for [[solid]]s and [[liquid]]s, no for [[gas]]es, and [[Plasma (physics)|plasma]]{{efn|At constant temperature and pressure, ignoring other states of matter for brevity}} | ||
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आयतन [[त्रि-आयामी स्थान]] का माप (गणित) है।<ref name=":0">{{Cite journal |date=April 13, 2022 |title=SI Units - Volume |url=https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |journal=[[National Institute of Standards and Technology]] |access-date=August 7, 2022 |archive-date=August 7, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220807105244/https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |url-status=live }}</ref> सामान्यतः इसे एसआई व्युत्पन्न इकाइयों (जैसे [[घन मीटर]] और [[लीटर]]) या विभिन्न इम्पीरियल इकाइयों या संयुक्त राज्य की प्रथागत इकाइयों (जैसे [[गैलन]], [[चौथाई गेलन]], [[घन इंच]]) का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है। [[लंबाई]] (क्यूब्ड) की परिभाषा मात्रा के साथ परस्पर संबंधित है। कंटेनर में पदार्थ मात्रा को सामान्य रूप से कंटेनर की क्षमता समझा जाता है अर्थात [[तरल]] पदार्थ (गैस या तरल) जिसे कंटेनर धारण कर सकता है बल्कि इसके कि कंटेनर स्वयं कितनी जगह विस्थापित करता है। | आयतन [[त्रि-आयामी स्थान]] का माप (गणित) है।<ref name=":0">{{Cite journal |date=April 13, 2022 |title=SI Units - Volume |url=https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |journal=[[National Institute of Standards and Technology]] |access-date=August 7, 2022 |archive-date=August 7, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220807105244/https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |url-status=live }}</ref> सामान्यतः इसे एसआई व्युत्पन्न इकाइयों (जैसे [[घन मीटर]] और [[लीटर]]) या विभिन्न इम्पीरियल इकाइयों या संयुक्त राज्य की प्रथागत इकाइयों (जैसे [[गैलन]], [[चौथाई गेलन]], [[घन इंच]]) का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है। [[लंबाई]] (क्यूब्ड) की परिभाषा मात्रा के साथ परस्पर संबंधित है। कंटेनर (धारक) में पदार्थ मात्रा को सामान्य रूप से कंटेनर की क्षमता समझा जाता है अर्थात [[तरल]] पदार्थ (गैस या तरल) जिसे कंटेनर धारण कर सकता है बल्कि इसके कि कंटेनर स्वयं कितनी जगह विस्थापित करता है। | ||
प्राचीन समय में समान आकार के प्राकृतिक कंटेनरों और बाद में मानकीकृत कंटेनरों का उपयोग करके मात्रा को मापा जाता है। कुछ सरल त्रि-आयामी आकार [[अंकगणित|अंकगणितीय]] त्रों का उपयोग करके सरलता से उनकी मात्रा की गणना कर सकते हैं। यदि आकार की सीमा के लिए कोई सूत्र उपस्थित है तब अधिक जटिल आकृतियों के आयतन की गणना अभिन्न कलन से की जा सकती है। शून्य, एक और द्वि-आयामी वस्तुओं का कोई आयतन नहीं होता है, चौथे और उससे उच्च आयामों में सामान्य आयतन के अनुरूप एक अवधारणा हाइपरवॉल्यूम है। | प्राचीन समय में समान आकार के प्राकृतिक कंटेनरों और बाद में मानकीकृत कंटेनरों का उपयोग करके मात्रा को मापा जाता है। कुछ सरल त्रि-आयामी आकार [[अंकगणित|अंकगणितीय]] त्रों का उपयोग करके सरलता से उनकी मात्रा की गणना कर सकते हैं। यदि आकार की सीमा के लिए कोई सूत्र उपस्थित है तब अधिक जटिल आकृतियों के आयतन की गणना अभिन्न कलन से की जा सकती है। शून्य, एक और द्वि-आयामी वस्तुओं का कोई आयतन नहीं होता है, चौथे और उससे उच्च आयामों में सामान्य आयतन के अनुरूप एक अवधारणा हाइपरवॉल्यूम है। | ||
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=== प्राचीन इतिहास === | === प्राचीन इतिहास === | ||
[[File:Pompeji_6_Hohlmaße_aus_Glas.jpg|thumb| | [[File:Pompeji_6_Hohlmaße_aus_Glas.jpg|thumb|भार और माप के नियंत्रण के लिए एक प्राचीन नगरपालिका संस्थान [[पॉम्पी]] में पुरुषों के पोंडरिया से 6 माप पात्र।]]प्राचीन काल में आयतन मापन की सटीकता सामान्य रूप से {{Cvt|10–50|mL|USoz impoz|sigfig=1}} के बीच होती है।<ref name=":3" />{{Rp|page=8}} आयतन गणना का सबसे पहला प्रमाण [[प्राचीन मिस्र]] और [[मेसोपोटामिया]] से गणितीय समस्याओं के रूप में आया घनाकार, बेलन, छिन्नक और शंकु जैसे साधारण आकार के आयतन का अनुमान लगाया गया था। गणित की इन समस्याओं को [[मास्को गणितीय पेपिरस]] (सी. 1820 ई.पू.) में लिखा गया है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} [[रीस्नर पपीरस|रीसनर पपीरस]] में प्राचीन मिस्रवासियों ने अनाज और तरल पदार्थों के लिए आयतन की ठोस इकाइयाँ लिखी हैं, साथ ही सामग्री के ब्लॉकों के लिए लंबाई, चौड़ाई, गहराई और आयतन की तालिका भी लिखी है।<ref name=":3">{{Cite book |last=Imhausen |first=Annette |url= |title=Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History |date=2016 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7430-9 |location= |oclc=934433864}}</ref>{{Rp|page=116}} मिस्र के लोग लंबाई की अपनी इकाइयों ([[हाथ]], [[हथेली (इकाई)]], [[अंक (इकाई)]]) का उपयोग मात्रा की अपनी इकाइयों को तैयार करने के लिए करते हैं, जैसे कि आयतन हाथ<ref name=":3" />{{Rp|page=117}} या डिने<ref name=":2" />{{Rp|page=396}} (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हाथ), आयतन हथेली (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हथेली), और आयतन अंक (1 हाथ × 1 हाथ × 1 अंक)।<ref name=":3" />{{Rp|page=117}} | ||
लगभग 300 ईसा पूर्व में लिखी गई यूक्लिड के तत्वों की अंतिम तीन पुस्तकों में समानांतर चतुर्भुज, शंकु, [[पिरामिड]], बेलन और गोले के आयतन की गणना के लिए सटीक सूत्रों का विवरण देते हैं। सूत्रों को छोटे और सरल टुकड़ों में आकृतियों को विभाजित कर [[अभिन्न|एकीकरण]] के एक आदिम रूप का उपयोग करके पूर्व गणितज्ञों द्वारा निर्धारित किया गया था।<ref name=":2">{{Cite book |last=Treese |first=Steven A. |title=History and Measurement of the Base and Derived Units |date=2018 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-3-319-77577-7 |location=Cham, Switzerland |lccn=2018940415 |oclc=1036766223}}</ref>{{Rp|page=403}} एक शताब्दी बाद [[आर्किमिडीज]] ({{Circa|287 – 212 ईसा पूर्व}}) कई आकृतियों के अनुमानित आयतन सूत्र का निर्माण किया जिसमें समाप्ति दृष्टिकोण की विधि का उपयोग किया गया जिसका अर्थ समान आकृतियों के पिछले ज्ञात सूत्रों से समाधान निकालना है। आकृतियों के | लगभग 300 ईसा पूर्व में लिखी गई यूक्लिड के तत्वों की अंतिम तीन पुस्तकों में समानांतर चतुर्भुज, शंकु, [[पिरामिड]], बेलन और गोले के आयतन की गणना के लिए सटीक सूत्रों का विवरण देते हैं। सूत्रों को छोटे और सरल टुकड़ों में आकृतियों को विभाजित कर [[अभिन्न|एकीकरण]] के एक आदिम रूप का उपयोग करके पूर्व गणितज्ञों द्वारा निर्धारित किया गया था।<ref name=":2">{{Cite book |last=Treese |first=Steven A. |title=History and Measurement of the Base and Derived Units |date=2018 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-3-319-77577-7 |location=Cham, Switzerland |lccn=2018940415 |oclc=1036766223}}</ref>{{Rp|page=403}} एक शताब्दी बाद [[आर्किमिडीज]] ({{Circa|287 – 212 ईसा पूर्व}}) कई आकृतियों के अनुमानित आयतन सूत्र का निर्माण किया जिसमें समाप्ति दृष्टिकोण की विधि का उपयोग किया गया जिसका अर्थ समान आकृतियों के पिछले ज्ञात सूत्रों से समाधान निकालना है। आकृतियों के साधारण एकीकरण की खोज स्वतंत्र रूप से तीसरी शताब्दी (3<sup>rd</sup> Century CE) में [[एल आईयू हुई|लिउ हुई]](Liu Hui), 5वीं शताब्दी (5th Century CE) सीई में [[जेड यूसी होंग्ज़ी]], [[मध्य पूर्व]] और [[भारत]] में की गई थी।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}} | ||
आर्किमिडीज़ ने अनियमित वस्तु के आयतन की गणना करने का एक तरीका भी तैयार किया इसे पानी के नीचे डुबो कर और प्रारंभिक और अंतिम पानी की मात्रा के बीच के अंतर को माप कर। जल आयतन अंतर वस्तु का आयतन है।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}} अत्यधिक लोकप्रिय होने के बाद भी आर्किमिडीज ने अत्यधिक सटीकता के कारण इसकी मात्रा और इस प्रकार इसकी घनत्व और शुद्धता को खोजने के लिए सोने के मुकुट को नहीं डुबोया।<ref name="inaccuracy">{{cite web |last=Rorres |first=Chris |title=The Golden Crown |url=http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20090311051318/http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |archive-date=11 March 2009 |access-date=24 March 2009 |publisher=[[Drexel University]]}}</ref> इसके स्थान पर उन्होंने [[हीड्रास्टाटिक संतुलन]] का एक | आर्किमिडीज़ ने अनियमित वस्तु के आयतन की गणना करने का एक तरीका भी तैयार किया इसे पानी के नीचे डुबो कर और प्रारंभिक और अंतिम पानी की मात्रा के बीच के अंतर को माप कर। जल आयतन अंतर वस्तु का आयतन है।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}} अत्यधिक लोकप्रिय होने के बाद भी आर्किमिडीज ने अत्यधिक सटीकता के कारण इसकी मात्रा और इस प्रकार इसकी घनत्व और शुद्धता को खोजने के लिए सोने के मुकुट को नहीं डुबोया।<ref name="inaccuracy">{{cite web |last=Rorres |first=Chris |title=The Golden Crown |url=http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20090311051318/http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |archive-date=11 March 2009 |access-date=24 March 2009 |publisher=[[Drexel University]]}}</ref> इसके स्थान पर उन्होंने [[हीड्रास्टाटिक संतुलन]] का एक साधारण रूप तैयार किया। जिसमें मुकुट और एक समान वजन वाले शुद्ध सोने का एक टुकड़ा पानी के नीचे डूबे हुए तराजू के दोनों सिरों पर रखा जाता है जो आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार झुक जाएगा।<ref name=":7">{{Cite journal |last=Graf |first=E. H. |date=2004 |title=Just what did Archimedes say about buoyancy? |url=https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |journal=The Physics Teacher |volume=42 |issue=5 |pages=296–299 |bibcode=2004PhTea..42..296G |doi=10.1119/1.1737965 |access-date=2022-08-07 |archive-date=2021-04-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210414102422/https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |url-status=live }}</ref> | ||
=== इकाइयों की गणना और मानकीकरण === | === इकाइयों की गणना और मानकीकरण === | ||
{{Further| | {{Further|कैलकुलस का इतिहास|एपोथेकरीज़ प्रणाली}} | ||
[[File:"How to Measure" diagram, with graduated cylinder measuring fluid drams, 1926.jpg|alt=Pouring liquid to a marked flask|left|thumb|[[द्रव नाटक]] मार्किंग | [[File:"How to Measure" diagram, with graduated cylinder measuring fluid drams, 1926.jpg|alt=Pouring liquid to a marked flask|left|thumb|सन 1926 में, [[द्रव नाटक|द्रव ड्राम]] मार्किंग के साथ अंशांकित सिलिंडर का उपयोग करके मात्रा को मापने का आरेख।|link=index.php?title=File:%22How_to_Measure%22_diagram,_with_graduated_cylinder_measuring_fluid_drams,_1926.jpg]][[मध्य युग]] में मात्रा मापने के लिए कई इकाइयाँ बनाई गईं जैसे कि [[बहन की|सेस्टर]], एम्बर (यूनिट), [[कुम्ब (इकाई)]] और [[सीवन (इकाई)]]। ऐसी इकाइयों की विशाल मात्रा ने ब्रिटिश राजाओं को उन्हें मानकीकृत करने के लिए प्रेरित किया जिसकी परिणति इंग्लैंड के हेनरी III (तृतीय) द्वारा सन 1258 में ब्रेड और एले कानून के आकलन में हुई। क़ानून ने वजन, लंबाई और मात्रा को मानकीकृत किया और साथ ही पेनी, औंस, पाउंड, गैलन और बुशल को पेश किया।<ref name=":3" />{{Rp|page=|pages=73–74}} सन 1618 में [[लंदन फार्माकोपिया]] (मेडिसिन कंपाउंड कैटलॉग) ने रोमन गैलन <ref name=":5">{{Cite web |date=4 Feb 2020 |title=Balances, Weights and Measures |url=https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |access-date=13 August 2022 |website=[[Royal Pharmaceutical Society]] |page=1 |archive-date=20 May 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220520094140/https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |url-status=live }}</ref> या कोंगियस<ref>{{Cite book |last=Cardarelli |first=François |title=Scientific Unit Conversion: A Practical Guide to Metrication |date=6 Dec 2012 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-1-4471-0805-4 |edition=2nd |location=London |pages=151 |oclc=828776235}}</ref>को अपनाया। मात्रा की एक मूल इकाई के रूप में और एपोथेकरीज़ के भार की इकाइयों की रूपांतरण तालिका दी।<ref name=":5" /> इस समय के आसपास मात्रा माप अधिक सटीक होते जा रहे हैं और {{Cvt|1–5|mL|USoz impoz|sigfig=1}} के बीच में अनिश्चितता कम होती जा रही है <ref name=":3" />{{Rp|page=8}} | ||
17वीं शताब्दी की के प्रारंभ में [[बोनवेंट्योर कैवलियरी]] ने किसी भी वस्तु के आयतन की गणना करने के लिए आधुनिक समाकलन कैलकुलस (समाकलन गणित) के दर्शन को प्रस्तुत किया। उन्होंने कैवलियरी के सिद्धांत को तैयार किया | 17वीं शताब्दी की के प्रारंभ में [[बोनवेंट्योर कैवलियरी]] ने किसी भी वस्तु के आयतन की गणना करने के लिए आधुनिक समाकलन कैलकुलस (समाकलन गणित) के दर्शन को प्रस्तुत किया। उन्होंने कैवलियरी के सिद्धांत को तैयार किया जिसमें कहा गया था कि आकृति के पतले और पतले स्लाइस का उपयोग करने से परिणामी मात्रा अधिक से अधिक सटीक होगी। इस विचार को बाद में 17 वीं और 18 वीं शताब्दी में [[पियरे डी फर्मेट]], [[जॉन वालिस]], आइज़ैक बैरो, [[जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ)]], [[आइजैक न्यूटन]], [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] और [[मारिया गेटाना अगनेसी]] द्वारा विस्तारित किया जिससे आधुनिक समाकलन गणित का निर्माण किया जो 21 वीं सदी में भी उपयोगी है।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}} | ||
=== मीट्रिक और पुनर्परिभाषा === | === मीट्रिक और पुनर्परिभाषा === | ||
{{Further| | {{Further|मीट्रिक प्रणाली का इतिहास}} | ||
सन 1960 में अंतरराष्ट्रीय | 7 अप्रैल 1795 में फ्रांसीसी कानून में छह इकाइयों का उपयोग करके मीट्रिक प्रणाली को औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया था। इनमें से तीन आयतन से संबंधित हैं: जलाऊ लकड़ी के आयतन के लिए स्टीयर (1m<sup>3</sup>) ; लीटर (1 dm<sup>3</sup>) द्रव की मात्रा के लिए; और [[ग्राम]], द्रव्यमान के लिए - अधिकतम घनत्व पर एक घन सेंटीमीटर पानी के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है {{Cvt|4|C|F}}.{{Citation needed|date=August 2022}} तीस साल बाद सन 1824 में [[शाही गैलन|इम्पीरियल गैलन]] को 17 डिग्री सेल्सियस (62 डिग्री फारेनहाइट) पर दस पाउंड पानी अधिकृत मात्रा वाले के रूप में परिभाषित किया गया था।<ref name=":2" />{{Rp|page=394}} यूनाइटेड किंगडम के [[बाट और माप अधिनियम 1985]] तक इस परिभाषा को और अधिक परिष्कृत किया गया था जो पानी के उपयोग के बिना 1 इम्पीरियल गैलन को ठीक 4.54609 लीटर के बराबर बनाता है।<ref>{{Cite book |last=Cook |first=James L. |url= |title=Conversion Factors |date=1991 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=0-19-856349-3 |location=Oxford [England] |pages=xvi |oclc=22861139}}</ref> | ||
सन 1960 में अंतरराष्ट्रीय मीटर नमूना से [[क्रिप्टन -86]] परमाणुओं की नारंगी-लाल [[वर्णक्रमीय रेखा]] तक मीटर की पुनर्परिभाषा ने भौतिक वस्तुओं से मीटर, क्यूबिक मीटर और लीटर को सीमाओं से बाहर किया। यह [[अंतर्राष्ट्रीय प्रोटोटाइप मीटर|अंतर्राष्ट्रीय प्रोटोटाइप (नमूना) मीटर]] में परिवर्तन के लिए मीटर और मीटर-व्युत्पन्न इकाइयों की मात्रा को लचीला बनाता है।<ref name="Marion">{{cite book |last=Marion |first=Jerry B. |title=Physics For Science and Engineering |publisher=CBS College Publishing |year=1982 |isbn=978-4-8337-0098-6 |page=3}}</ref> मीटर की परिभाषा को 1983 में [[प्रकाश की गति]] और [[दूसरा|सेकंड]] (जो कि सीज़ियम मानक से लिया गया है) का उपयोग करने के लिए परिभाषित किया गया और सन 2019 में स्पष्टता के लिए पुनर्परिभाषित किया गया था ।<ref>{{Cite web |date=20 May 2019 |title=''Mise en pratique'' for the definition of the metre in the SI |url=https://www.bipm.org/documents/20126/41489670/SI-App2-metre.pdf |website=[[International Bureau of Weights and Measures]] |publisher=Consultative Committee for Length |pages=1 |access-date=13 August 2022 |archive-date=13 August 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220813164032/https://www.bipm.org/documents/20126/41489670/SI-App2-metre.pdf |url-status=live }}</ref> | |||
== माप == | == माप == | ||
[[File:Graduated Measuring Cylinder with Stopper .jpg|alt=Glass cylinder with even markings|thumb|प्लास्टिक [[डाट (प्लग)]] के साथ | [[File:Graduated Measuring Cylinder with Stopper .jpg|alt=Glass cylinder with even markings|thumb|प्लास्टिक [[डाट (प्लग)]] के साथ अंशांकित सिलेंडर।]]किसी वस्तु के आयतन को सामान्य रूप से मापने का सबसे पुराना तरीका मानव शरीर का उपयोग करना है जैसे हाथ के आकार और चुटकी का उपयोग करना। जबकि मानव शरीर की विविधताएं इसे अविश्वसनीय बनाती हैं। मात्रा को मापने का एक अच्छा तरीका प्रकृति में पाए जाने वाले सुसंगत और लम्बी अवधि तक चलने वाले [[CONTAINER|कंटेनरों]] का उपयोग करना है, जैसे कि [[लौकी]], भेड़ या सुअर के [[पेट]] और [[मूत्राशय]]। इसके पश्चात जैसा कि धातु विज्ञान और कांच के उत्पादन में सुधार हुआ, आजकल कम मात्रा को सामान्य रूप से मानकीकृत मानव निर्मित कंटेनरों का उपयोग करके मापा जाता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=393}} कंटेनर के एक या एक से अधिक (गणित) अंश का उपयोग करके तरल पदार्थ या [[दानेदार सामग्री]] की छोटी मात्रा को मापने के लिए यह विधि सामान्य है। दानेदार सामग्री के लिए सपाट सतह बनाने हेतु कंटेनर को हिलाया या समतल किया जाता है। यह विधि मात्रा को मापने का सबसे सटीक तरीका नहीं है लेकिन इसका उपयोग [[खाना पकाने की सामग्री]] को मापने के लिए किया जाता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=399}} | ||
सूक्ष्म पैमाने पर तरल पदार्थ की मात्रा को मापने के लिए जीव विज्ञान और जैव रसायन में [[वायु विस्थापन पिपेट]] का उपयोग किया जाता है।<ref name=":02">{{cite web |title=Use of Micropipettes |url=http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20160804033455/http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |archive-date=4 August 2016 |accessdate=19 June 2016 |website=[[Buffalo State College]]}}</ref> मापने वाले कैलिब्रेटेड कप और मापने वाले चम्मच खाना पकाने और दैनिक जीवन के अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त हैं, जबकि वे [[प्रयोगशाला]] के लिए पर्याप्त सटीक नहीं हैं। जहाँ तरल पदार्थ की मात्रा को अंशांकित सिलेंडरों, [[विंदुक|पिपेट]] और [[बड़ा फ्लास्क|बड़ा (वॉल्यूमेट्रिक) फ्लास्क]] का उपयोग करके मापा जाता है। इस तरह के कैलिब्रेटेड कंटेनरों में सबसे बड़े पेट्रोलियम [[भंडारण टैंक]] होते हैं जिनमें से कुछ में {{Cvt|1000000|oilbbl|L|lk=in|abbr=off}} तरल पदार्थ को रखा जा सकता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=399}} इस पैमाने पर भी पेट्रोलियम के घनत्व और तापमान को जानकर इन टैंकों में अभी भी बहुत सटीक आयतन मापन किया जा सकता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} | सूक्ष्म पैमाने पर तरल पदार्थ की मात्रा को मापने के लिए जीव विज्ञान और जैव रसायन में [[वायु विस्थापन पिपेट]] का उपयोग किया जाता है।<ref name=":02">{{cite web |title=Use of Micropipettes |url=http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20160804033455/http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |archive-date=4 August 2016 |accessdate=19 June 2016 |website=[[Buffalo State College]]}}</ref> मापने वाले कैलिब्रेटेड कप और मापने वाले चम्मच खाना पकाने और दैनिक जीवन के अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त हैं, जबकि वे [[प्रयोगशाला]] के लिए पर्याप्त सटीक नहीं हैं। जहाँ तरल पदार्थ की मात्रा को अंशांकित सिलेंडरों, [[विंदुक|पिपेट]] और [[बड़ा फ्लास्क|बड़ा (वॉल्यूमेट्रिक) फ्लास्क]] का उपयोग करके मापा जाता है। इस तरह के कैलिब्रेटेड कंटेनरों में सबसे बड़े पेट्रोलियम [[भंडारण टैंक]] होते हैं जिनमें से कुछ में {{Cvt|1000000|oilbbl|L|lk=in|abbr=off}} तरल पदार्थ को रखा जा सकता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=399}} इस पैमाने पर भी पेट्रोलियम के घनत्व और तापमान को जानकर इन टैंकों में अभी भी बहुत सटीक आयतन मापन किया जा सकता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} | ||
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=== इकाइयां === | === इकाइयां === | ||
{{main| | {{main|मात्रा की इकाई|परिमाण के क्रम (आयतन)}} | ||
[[File:Visualisation litre gram.svg|thumb|आयतन की कुछ SI इकाइयाँ मापनी और पानी के संगत द्रव्यमान का अनुमान|बायाँ]]आयतन की इकाई का सामान्य रूप [[घन (बीजगणित)]] (x<sup>3</sup>) लंबाई की एक | [[File:Visualisation litre gram.svg|thumb|आयतन की कुछ SI इकाइयाँ मापनी और पानी के संगत द्रव्यमान का अनुमान|बायाँ]]आयतन की इकाई का सामान्य रूप [[घन (बीजगणित)]] (x<sup>3</sup>) लंबाई की एक इकाई है। उदाहरण के लिए यदि [[मीटर]] (m) को लंबाई की इकाई के रूप में चुना जाता है तो आयतन की संगत इकाई घन मीटर (m)<sup>3</sup> होती है।<ref>{{Cite journal |date=February 25, 2022 |title=Area and Volume |url=https://www.nist.gov/pml/owm/area-and-volume |journal=[[National Institute of Standards and Technology]] |access-date=August 7, 2022 |archive-date=August 7, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220807105300/https://www.nist.gov/pml/owm/area-and-volume |url-status=live }}</ref> इस प्रकार आयतन एक SI व्युत्पन्न इकाई है और इसका विमीय विश्लेषण L<sup>3</sup>।<sup><ref>{{Cite book |last=Lemons |first=Don S. |title=A Student's Guide to Dimensional Analysis |date=16 March 2017 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-1-107-16115-3 |location=New York |page=38 |oclc=959922612}}</ref> आयतन की मीट्रिक इकाइयाँ [[मीट्रिक उपसर्ग|मीट्रिक उपसर्गों]] का उपयोग [[10 की शक्ति]] कड़ाई से करती हैं। आयतन की इकाइयों के लिए उपसर्गों को लागू करते समय जो कि घन लंबाई की इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं, घन संचालकों को उपसर्ग सहित लंबाई की इकाई पर लागू किया जाता है। घन सेंटीमीटर को घन मीटर में बदलने का एक उदाहरण है: 2.3 सेंटीमीटर<sup><sup>3</sup> = 2.3 (सेमी)<sup><sup>3</sup> = 2.3 (0.01 मीटर)<sup><sup>3</sup> = 0.0000023 मी<sup><sup>3</sup> (पांच शून्य)।<sup><ref name=":1">{{SIbrochure9th}}</ref>{{Rp|page=143}} | ||
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घन लंबाई इकाइयों के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग घन मिलीमीटर (मिमी<sup>3</sup>), घन सेंटीमीटर (सेमी<sup>3</sup>), क्यूबिक डेसीमीटर (dm<sup>3</sup>), घन मीटर (एम<sup>3</sup>) और घन किलोमीटर (km<sup>3</sup>). उपसर्ग इकाइयों के बीच रूपांतरण इस प्रकार है: 1000 मिमी<sup>3</sup> = 1 सेमी<sup>3</sup>, 1000 सेमी<sup>3</sup> = 1 दिन<sup>3</sup>, और 1000 डीएम<sup>3</sup> = 1 मि<sup>3</उप>।<ref name=":0" />[[मीट्रिक प्रणाली]] में वॉल्यूम की इकाई के रूप में लीटर (L) भी शामिल है, जहां 1 L = 1 dm है<sup>3</sup> = 1000 सेमी<sup>3</sup> = 0.001 मी<sup>3</उप>।<ref name=":1" />{{Rp|page=145}} लीटर इकाई के लिए, आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग मिलीलीटर (mL), सेंटीलीटर (cL) और लीटर (L) होते हैं, जिनमें 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL, और 10 dL होते हैं = 1 एल।<ref name=":0" /> | घन लंबाई इकाइयों के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग घन मिलीमीटर (मिमी<sup>3</sup>), घन सेंटीमीटर (सेमी<sup>3</sup>), क्यूबिक डेसीमीटर (dm<sup>3</sup>), घन मीटर (एम<sup>3</sup>) और घन किलोमीटर (km<sup>3</sup>). उपसर्ग इकाइयों के बीच रूपांतरण इस प्रकार है: 1000 मिमी<sup>3</sup> = 1 सेमी<sup>3</sup>, 1000 सेमी<sup>3</sup> = 1 दिन<sup>3</sup>, और 1000 डीएम<sup>3</sup> = 1 मि<sup>3</उप>।<ref name=":0" />[[मीट्रिक प्रणाली]] में वॉल्यूम की इकाई के रूप में लीटर (L) भी शामिल है, जहां 1 L = 1 dm है<sup>3</sup> = 1000 सेमी<sup>3</sup> = 0.001 मी<sup>3</उप>।<ref name=":1" />{{Rp|page=145}} लीटर इकाई के लिए, आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग मिलीलीटर (mL), सेंटीलीटर (cL) और लीटर (L) होते हैं, जिनमें 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL, और 10 dL होते हैं = 1 एल।<ref name=":0" /> | ||
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== गणना == | == गणना == | ||
{{See also| | {{See also|प्रारंभिक ज्यामिति में सूत्रों की सूची}} | ||
=== इंटीग्रल कैलकुलस === | === इंटीग्रल कैलकुलस === | ||
[[File:Integral_apl_rot_objem3.svg|alt=f(x) और g(x) को x-अक्ष|अंगूठा|परिक्रमा के एक ठोस का चित्रण, जिसे घुमाए गए g(x) का आयतन घुमाए गए f(x) के आयतन को घटाता है।]]आयतन की गणना समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है। जिनमें से एक एक ही तल पर | [[File:Integral_apl_rot_objem3.svg|alt=f(x) और g(x) को x-अक्ष|अंगूठा|परिक्रमा के एक ठोस का चित्रण, जिसे घुमाए गए g(x) का आयतन घुमाए गए f(x) के आयतन को घटाता है।]]आयतन की गणना समाकलन कलन (गणना) का एक महत्वपूर्ण भाग है। जिनमें से एक, एक ही तल पर [[रेखा (ज्यामिति)]] के चारों ओर एक [[समतल वक्र]] को घुमाकर परिक्रमण के ठोस के आयतन की गणना कर रहा है। वॉशर या [[डिस्क एकीकरण]] विधि का उपयोग घुमाव के अक्ष के समानांतर अक्ष द्वारा एकीकृत करते समय किया जाता है। सामान्य समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<sup><math display="block">V = \pi \int_a^b \left| f(x)^2 - g(x)^2\right|\,dx</math>जहाँ <math display="inline">f(x)</math> और <math display="inline">g(x)</math> समतल वक्र सीमाएँ हैं।<sup><ref name=":4">{{Cite web |date=22 September 2014 |title=Volumes by Integration |url=https://www.rit.edu/academicsuccesscenter/sites/rit.edu.academicsuccesscenter/files/documents/math-handouts/C8_VolumesbyIntegration_BP_9_22_14.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220202194113/https://www.rit.edu/academicsuccesscenter/sites/rit.edu.academicsuccesscenter/files/documents/math-handouts/C8_VolumesbyIntegration_BP_9_22_14.pdf |archive-date=2 February 2022 |access-date=12 August 2022 |website=[[Rochester Institute of Technology]] }}</ref>{{Rp|pages=1,3}} शेल एकीकरण विधि का उपयोग तब किया जाता है जब रोटेशन की धुरी के लंबवत धुरी द्वारा एकीकृत किया जाता है। समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<sup><ref name=":4" />{{Rp|pages=6}}<math display="block">V = 2\pi \int_a^b x |f(x) - g(x)|\, dx</math> त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक [[क्षेत्र (गणित)]] डी का आयतन निरंतर कार्य (गणित) के ट्रिपल या आयतन अभिन्न द्वारा दिया जाता है। <math>f(x,y,z) = 1</math> क्षेत्र के ऊपर। यह सामान्य रूप से इस प्रकार लिखा जाता है:<sup><ref name="Stewart">{{cite book |last=Stewart |first=James |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 |title=Calculus: Early Transcendentals |date=2008 |publisher=Brooks Cole Cengage Learning |isbn=978-0-495-01166-8 |edition=6th |author-link=James Stewart (mathematician) |url-access=registration}}</ref>{{rp|at=Section 14.4}} | ||
<math display="block">\iiint_D 1 \,dx\,dy\,dz.</math> | <math display="block">\iiint_D 1 \,dx\,dy\,dz.</math> | ||
[[बेलनाकार समन्वय प्रणाली]] में आयतन समाकल है | [[बेलनाकार समन्वय प्रणाली]] में आयतन समाकल है | ||
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=== ज्यामितीय मॉडलिंग === | === ज्यामितीय मॉडलिंग === | ||
[[File:Dolphin_triangle_mesh.png|alt=Tiled triangles to form a dolphin shape|thumb|डॉल्फ़िन का 250x250px त्रिभुज जाल]]एक [[[[बहुभुज]] जाल]] | [[File:Dolphin_triangle_mesh.png|alt=Tiled triangles to form a dolphin shape|thumb|डॉल्फ़िन का 250x250px त्रिभुज जाल]]एक [[[[बहुभुज]] जाल]] बहुभुज का उपयोग करके वस्तु की सतह का प्रतिनिधित्व करता है। वॉल्यूम जाल स्पष्ट रूप से इसकी मात्रा और सतह के गुणों को परिभाषित करता है। | ||
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=== विभेदक ज्यामिति === | === विभेदक ज्यामिति === | ||
{{Further| | {{Further|मात्रा तत्व|आयतन प्रारूप}}{{Too technical|date=August 2022|section}} | ||
[[अंतर ज्यामिति]] में, गणित की एक शाखा, [[अलग करने योग्य कई गुना]] पर वॉल्यूम फॉर्म टॉप डिग्री का [[विभेदक रूप]] है (यानी, जिसकी डिग्री [[कई गुना]] के आयाम के बराबर है) जो कहीं भी शून्य के बराबर नहीं है। एक मैनिफोल्ड का वॉल्यूम फॉर्म होता है अगर और केवल अगर यह [[एडजस्टेबल]] हो। एक [[कुंडा कई गुना]] में असीम रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को गैर-लुप्त होने वाले फ़ंक्शन से गुणा करने से एक और वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-उन्मुख कई गुना पर, इसके बजाय [[कई गुना पर घनत्व]] की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म को इंटीग्रेट करने से उस फॉर्म के अनुसार कई गुना वॉल्यूम मिलता है। | [[अंतर ज्यामिति]] में, गणित की एक शाखा, [[अलग करने योग्य कई गुना]] पर वॉल्यूम फॉर्म टॉप डिग्री का [[विभेदक रूप]] है (यानी, जिसकी डिग्री [[कई गुना]] के आयाम के बराबर है) जो कहीं भी शून्य के बराबर नहीं है। एक मैनिफोल्ड का वॉल्यूम फॉर्म होता है अगर और केवल अगर यह [[एडजस्टेबल]] हो। एक [[कुंडा कई गुना]] में असीम रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को गैर-लुप्त होने वाले फ़ंक्शन से गुणा करने से एक और वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-उन्मुख कई गुना पर, इसके बजाय [[कई गुना पर घनत्व]] की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म को इंटीग्रेट करने से उस फॉर्म के अनुसार कई गुना वॉल्यूम मिलता है। | ||
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== व्युत्पन्न मात्रा == | == व्युत्पन्न मात्रा == | ||
{{See also| | {{See also|भौतिक मात्राओं की सूची}} | ||
* [[घनत्व]] पदार्थ का [[द्रव्यमान]] प्रति इकाई आयतन है, या कुल द्रव्यमान को कुल आयतन से विभाजित किया जाता है।<ref>{{Cite web |last=Benson |first=Tom |date=7 May 2021 |title=Gas Density |url=https://www.grc.nasa.gov/WWW/BGH/fluden.html |access-date=2022-08-13 |website=[[Glenn Research Center]] |archive-date=2022-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220809085244/https://www.grc.nasa.gov/WWW/BGH/fluden.html |url-status=live }}</ref> | * [[घनत्व]] पदार्थ का [[द्रव्यमान]] प्रति इकाई आयतन है, या कुल द्रव्यमान को कुल आयतन से विभाजित किया जाता है।<ref>{{Cite web |last=Benson |first=Tom |date=7 May 2021 |title=Gas Density |url=https://www.grc.nasa.gov/WWW/BGH/fluden.html |access-date=2022-08-13 |website=[[Glenn Research Center]] |archive-date=2022-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220809085244/https://www.grc.nasa.gov/WWW/BGH/fluden.html |url-status=live }}</ref> | ||
* [[विशिष्ट आयतन]] द्रव्यमान, या घनत्व के व्युत्क्रम द्वारा विभाजित कुल आयतन है।<ref>{{Cite book |last1=Cengel |first1=Yunus A. |url=https://archive.org/details/thermodynamicsen00ceng_0/page/11 |title=Thermodynamics: an engineering approach |last2=Boles |first2=Michael A. |publisher=[[McGraw-Hill]] |year=2002 |isbn=0-07-238332-1 |location=Boston |pages=11 |url-access=registration}}</ref> | * [[विशिष्ट आयतन]] द्रव्यमान, या घनत्व के व्युत्क्रम द्वारा विभाजित कुल आयतन है।<ref>{{Cite book |last1=Cengel |first1=Yunus A. |url=https://archive.org/details/thermodynamicsen00ceng_0/page/11 |title=Thermodynamics: an engineering approach |last2=Boles |first2=Michael A. |publisher=[[McGraw-Hill]] |year=2002 |isbn=0-07-238332-1 |location=Boston |pages=11 |url-access=registration}}</ref> | ||
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* {{wikibooks-inline|Calculus|Volume}} | * {{wikibooks-inline|Calculus|Volume}} | ||
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<sup>[[index.php?title=Category:आयतन| आयतन]] | |||
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[[Category:Created On 06/02/2023]] | [[Category:Created On 06/02/2023]] | ||
Revision as of 15:24, 12 February 2023
| Volume | |
|---|---|
| File:Simple Measuring Cup.jpg A measuring cup can be used to measure volumes of liquids. This cup measures volume in units of cups, fluid ounces, and millilitres. | |
सामान्य प्रतीक | V |
| Si इकाई | cubic metre |
अन्य इकाइयां | |
