बल (गणित): Difference between revisions

[[समुच्चय सिद्धान्त]] के गणितीय अनुशासन में, शक्तिशालीी स्थिरता और स्वतंत्रता ([[गणितीय तर्क]]) के परिणाम को सिद्ध करने के लिए निहित विधि है। यह पहली बार 1963 में [[पॉल कोहेन (गणितज्ञ)]] द्वारा पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सिद्धांत से सातत्य परिकल्पना को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया गया था।

इसके बाद के वर्षों में बल पर अधिकतम सीमा तक फिर से कार्य किया गया और इसे सरल बनाया गया, और तब से सिद्धांत और '''गणितीय तर्क''' जैसे रिकर्सन सिद्धांत दोनों में शक्तिशाली विधि के रूप में कार्य किया है। वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत [[पुनरावर्तन सिद्धांत]] और समुच्चय सिद्धांत दोनों से बल प्रयोग की धारणाओं का उपयोग करता है। [[मॉडल सिद्धांत|प्रारूप सिद्धांत]] में भी बल का उपयोग किया गया है, किन्तु प्रारूप सिद्धांत में यह सामान्य है कि बिना बल का उल्लेख किए सीधे [[सामान्य फ़िल्टर]] को परिभाषित किया जाए।

पहचान करना <math> x \in V </math> साथ <math> (x,0) </math>, और फिर विस्तारित सदस्यता संबंध प्रस्तुत करें जिसमें प्रपत्र के नए सिद्धांत सम्मलित हों <math> (x,1) </math>. विवशता पूर्ण इस विचार का अधिक विस्तृत संस्करण है, नए सिद्धांत के अस्तित्व के विस्तार को कम करता है, और इस प्रकार विस्तारित ब्रह्मांड के गुणों पर ठीक नियंत्रण की अनुमति देता है।

कोहेन की मूल विधि, जिसे अब [[शाखा मजबूर]] कहा जाता है, यहां बताए गए असम्बद्ध बल से थोड़ा अलग है। बल भी [[बूलियन-मूल्यवान मॉडल|बूलियन-मूल्यवान प्रारूप]] की विधि के बराबर है, जो कुछ लोगों को वैचारिक रूप से अधिक स्वाभाविक और सहज लगता है, किन्तु इस प्रकार सामान्यतः इसे लागू करना अधिक कठिन होता है।

उपयोग में विभिन्न सम्मेलन हैं। कुछ लेखकों की आवश्यकता होती है <math> \leq </math> प्रतिसममित संबंध भी होना चाहिए, जिससे कि संबंध आंशिक क्रम में होता हैं। कुछ वैसे भी [[आंशिक आदेश]] शब्द का उपयोग करते हैं, जो इस प्रकार मानक शब्दावली के साथ परस्पर विरोधी हैं, जबकि कुछ शब्द प्रीऑर्डर का उपयोग करते हैं। सबसे बड़े तत्व के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है। रिवर्स ऑर्डरिंग का भी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[सहारों शेलाह]] और उनके सह-लेखकों द्वारा होता हैं।

इस प्रकार मजबूर पोसेट के साथ संबद्ध <math> \mathbb{P} </math> वर्ग है (सिद्धांत सिद्धांत) <math> V^{(\mathbb{P})} </math> का <math> \mathbb{P} </math>-नाम  A <math> \mathbb{P} </math>-नाम सिद्धांत है <math> A </math> फार्म का

इस प्रकार कोई उपसमुच्चय <math> G </math> के लिए  <math> \mathbb{P} </math> दिया गया है , अगला व्याख्या या मूल्यांकन मानचित्र को परिभाषित करता है <math> \mathbb{P} </math>-नाम द्वारा

बल पोसेट का अच्छा उदाहरण है <math> (\operatorname{Bor}(I),\subseteq,I) </math>, जहाँ<math> I = [0,1] </math> और <math> \operatorname{Bor}(I) </math> के बोरेल उपसमूहों का संग्रह है <math> I </math> गैर-शून्य Lebesgue माप प्रकट करता हैं। इस स्थिति में, परिस्थितियों के बारे में संभावनाओं के रूप में बात की जा सकती है, और a <math> \operatorname{Bor}(I) </math>-नाम संभाव्य अर्थ में सदस्यता प्रदान करता है। तैयार अंतर्ज्ञान के कारण यह उदाहरण प्रदान कर सकता है, इस प्रकार संभाव्य भाषा का प्रयोग कभी-कभी अन्य अलग-अलग मजबूर पॉसिद्धांत्स के साथ किया जाता है।

बाध्य करने में मुख्य चरण दिया गया है a <math> \mathsf{ZFC} </math> ब्रह्मांड <math> V </math>, उपयुक्त वस्तु खोजने के लिए <math> G </math> अंदर नही <math> V </math>. की सभी व्याख्याओं का परिणामी वर्ग <math> \mathbb{P} </math>-नाम का प्रारूप होगा <math> \mathsf{ZFC} </math> जो मूल रूप से मूल का विस्तार करता है, इस प्रकार <math> V </math> (तब से <math> G \notin V </math>) के साथ कार्य करने के अतिरिक्त <math> V </math>, गणनीय सकर्मक प्रारूप पर विचार करना उपयोगी है <math> M </math> साथ <math> (\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}) \in M </math>. प्रारूप सिद्धांत सिद्धांत के प्रारूप को संदर्भित करता है, या तो सभी में से <math> \mathsf{ZFC} </math>, या बड़े किन्तु परिमित उपसमुच्चय का प्रारूप <math> \mathsf{ZFC} </math>, या उसका कोई संस्करण हैं। सकर्मकता का अर्थ है कि यदि <math> x \in y \in M </math>, तब <math> x \in M </math>. [[मोस्टोव्स्की पतन लेमो]] में कहा गया है कि सदस्यता संबंध अच्छी प्रकार से स्थापित होने पर यह माना जाता है। सकर्मकता का प्रभाव यह है कि सदस्यता और अन्य प्राथमिक धारणाओं को सहजता से नियंत्रित किया जाता है। इस प्रकार प्रारूप की गणना लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय पर निर्भर करती है।

इस प्रकार सामान्य फ़िल्टर का अस्तित्व <math> G </math> रसिओवा-सिकोर्स्की लेम्मा से आता है। वास्तव में, थोड़ा और सत्य है: शर्त दी गई है <math> p \in \mathbb{P} </math>, कोई सामान्य फ़िल्टर पा सकता है <math> G </math> ऐसा है कि <math> p \in G </math>. बंटवारे की स्थिति के कारण <math>\mathbb{P}</math> (ऊपर 'परमाणुलेस' कहा जा रहा है), यदि <math> G </math> फिल्टर है, फिर <math> \mathbb{P} \setminus G </math> सघन है। यदि <math> G \in M </math>, तब <math> \mathbb{P} \setminus G \in M </math> क्योंकि <math> M </math> का प्रारूप है <math> \mathsf{ZFC} </math>. इस कारण से, सामान्य फ़िल्टर कभी नहीं होता है <math> M </math>.

इस प्रकार सामान्य फ़िल्टर दिया गया <math> G \subseteq \mathbb{P}</math>, निम्नानुसार आगे बढ़ता है। जिसका उपवर्ग <math> \mathbb{P} </math> में <math> M </math> द्वारा निरूपित किया जाता है, इसलिए इसे हम <math> M^{(\mathbb{P})} </math> प्रकार लिखते हैं।

इस प्रकार महत्वपूर्ण बात यह है कि यह विवशता पूर्ण संबंध की बाहरी परिभाषा <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math> है, जिसके भीतर आंतरिक परिभाषा के बराबर <math> M </math> उपलब्ध है , पार परिमित प्रेरण द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ <math> \mathbb{P} </math>-नाम के उदाहरणों पर <math> u \in v </math> और <math> u = v </math>, और फिर सूत्रों की जटिलता पर साधारण प्रेरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैं। इसका प्रभाव यह है कि के सभी गुण <math> M[G] </math> के गुण <math> M </math> हैं, और इसका सत्यापन <math> \mathsf{ZFC} </math> में <math> M[G] </math> सीधा हो जाता है। इसे सामान्यतः निम्नलिखित तीन प्रमुख गुणों के रूप में संक्षेपित किया जाता है:

इस प्रकार हम विवशता पूर्ण संबंध को परिभाषित करते हैं, <math> \Vdash_{M,\mathbb{P}} </math> में <math> M </math> सूत्रों की जटिलता पर प्रेरण द्वारा, जिसमें हम पहले परमाणु सूत्रों के संबंध को परिभाषित करते हैं जिसे <math> \in </math>-इंडक्शन और फिर इसे मनमाने फॉर्मूलों के लिए उनकी जटिलता पर इंडक्शन द्वारा परिभाषित करें।

इस प्रकार यहाँ <math>p</math> शर्त है और <math>a</math> और <math>b</math> हैं <math>\mathbb{P}</math>-नाम। होने देना <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> द्वारा परिभाषित सूत्र को <math>\in</math>-के रूप में उपयोग किया जाता हैं

इस प्रकार हम नामों के जोड़े पर निम्नलिखित सुपरिभाषित क्रम <math>T((a,b),(c,d))</math> को परिभाषित करते हैं:  यदि निम्न में से कोई धारण करता है:

इस प्रकार रिलेशन <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> जोड़े पर रिकर्सन <math>(a,b)</math> नामों के फंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है । किसी भी जोड़ी के लिए यह सरल जोड़े पर समान संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त, पुनरावर्तन प्रमेय द्वारा सूत्र है <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> जैसे कि R1, R2 और R3 प्रमेय हैं क्योंकि किसी बिंदु पर इसका सत्य मान इसके सत्य मानों द्वारा छोटे बिंदुओं में परिभाषित किया जाता है, जो कि कुछ अच्छी प्रकार से स्थापित संबंधों के सापेक्ष होता है, जो आदेश के रूप में उपयोग किया जाता है। अब, हम बल संबंध को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं:

इसके अतिरिक्त, यह स्वयं के फार्मूले का रूपांतरण <math>f(x_1,\dots,x_n)</math> रूप में करता हैं  जिसमें सूत्र के लिए <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}f(x_1,\dots,x_n)</math> का उपयोग करते हैं, जहाँ<math>p</math> और <math>\mathbb{P}</math> अतिरिक्त चर हैं। यह ब्रह्मांड में विवशता पूर्ण संबंध की परिभाषा है <math>V</math> किसी भी गणनीय सकर्मक प्रारूप की परवाह किए बिना सभी समुच्चयों की। चूंकि, बल के इस वाक्यात्मक सूत्रीकरण और कुछ गणनीय सकर्मक प्रारूप पर बल के शब्दार्थ सूत्रीकरण <math>M</math> के बीच संबंध है

ऊपर की चर्चा को मौलिक स्थिरता परिणाम द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है, जो कि जबरदस्त पोसेट दिया गया है <math> \mathbb{P} </math>, इस प्रकार हम सामान्य फ़िल्टर के अस्तित्व को मान सकते हैं <math> G </math>, ब्रह्मांड से संबंधित नहीं <math> V </math>, ऐसा है कि <math> V[G] </math> फिर से सिद्धांत-सैद्धांतिक ब्रह्मांड है जो <math> \mathsf{ZFC} </math> प्रारूप करता है, इस प्रकार इसके अतिरिक्त सभी सत्य <math> V[G] </math> में सत्य को कम किया जा सकता है <math> V </math> विवशता पूर्ण संबंध सम्मलित है।

दोनों शैलियों, आसन्न <math> G </math> या तो गणनीय सकर्मक प्रारूप के लिए <math> M </math> या पूरा ब्रह्मांड <math> V </math>, सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं। बल की आंतरिक परिभाषा का उपयोग करने वाला दृष्टिकोण सामान्यतः कम देखा जाता है, जिसमें सिद्धांत या क्लास प्रारूप का कोई उल्लेख नहीं किया जाता है। यह कोहेन की मूल पद्धति थी, और विस्तार में, यह बूलियन-मूल्यवान विश्लेषण की पद्धति बन जाती है।

रिवर्स समावेशन के अनुसार <math> (\operatorname{Fin}(\omega,2),\supseteq,0) </math>, परिमित आंशिक कार्य से <math> \omega </math> को <math> 2 ~ \stackrel{\text{df}}{=} ~ \{ 0,1 \} </math> को सबसे सरल गैर-तुच्छ बल पोसेट है। अर्ताथ शर्त <math> p </math> अनिवार्य रूप से दो असंयुक्त परिमित उपसमुच्चय हैं <math> {p^{-1}}[1] </math> और <math> {p^{-1}}[0] </math> का <math> \omega </math>, हां और नहीं के हिस्से के रूप में सोचा जाना चाहिए {{nowrap|<math> p </math>,}} के डोमेन के बाहर मूल्यों पर कोई जानकारी प्रदान नहीं की गई है, इस प्रकार  <math> p </math>.<math> q </math> से ज्यादा शक्तिशाली है तथा  <math> p </math> का अर्थ है कि <math> q \supseteq p </math>, दूसरे शब्दों में, हां और ना के भाग <math> q </math> हां और नहीं के हिस्से के सुपरसिद्धांत <math> p </math> हैं , और इस प्रकार उस अर्थ में अधिक जानकारी प्रदान करता हैं।

<math> G </math> इस पॉसिद्धांत के लिए सामान्य फ़िल्टर बनाता है। यदि <math> p </math> और <math> q </math> दोनों में हैं <math> G </math>, तब <math> p \cup q </math> शर्त है क्योंकि <math> G </math> फिल्टर है। इस का अर्थ है कि <math> g = \bigcup G </math> से अच्छी प्रकार से परिभाषित आंशिक कार्य है <math> \omega </math> को <math> 2 </math> क्योंकि किन्हीं दो स्थितियों में <math> G </math> उनके सामान्य डोमेन पर सहमत हैं।

वास्तव में, <math> g </math> कुल कार्य है। दिया गया <math> n \in \omega </math>, होने देना <math> D_{n} = \{ p \mid p(n) ~ \text{is defined} \} </math>. तब <math> D_{n} </math> सघन है। (कोई दिया गया <math> p </math>, यदि <math> n </math> इसमें नहीं है <math> p </math>का डोमेन, के लिए मान संलग्न करें <math> n </math>-परिणाम आ गया है <math> D_{n} </math>।) शर्त <math> p \in G \cap D_{n} </math> है <math> n </math> इसके डोमेन में, और उसके बाद से <math> p \subseteq g </math>, हम <math> g(n) </math> पाते हैं  जिसे परिभाषित किया गया हैं।

<math> X = {g^{-1}}[1] </math>, सामान्य स्थितियों के सभी हाँ सदस्यों का सिद्धांत के लिए <math> X </math> नाम देना संभव है-

तब <math>\operatorname{val}(\underline{X},G) = X.</math> अब मान लीजिए <math> A \subseteq \omega </math> में <math> V </math> के लिए .<math> X \neq A </math> हम यह दावा करते हैं .

तब <math>D_A</math> सघन है। (कोई दिया गया <math> p </math>, पाना <math> n </math> जो इसके डोमेन में नहीं है, और इसके लिए मान संलग्न करें <math> n </math> की स्थिति के विपरीत<math> n \in A </math>।) फिर कोई <math> p \in G \cap D_A</math> गवाहों <math> X \neq A </math>. संक्षेप में, <math> X </math> का नया उपसमुच्चय <math> \omega </math>, अनिवार्य रूप से अनंत है ।

:<math> D_{\alpha,\beta} = \{ p \mid (\exists n)(p(n,\alpha) \neq p(n,\beta)) \},</math> फिर प्रत्येक <math> D_{\alpha,\beta} </math> सघन है, और इसमें सामान्य स्थिति यह सिद्ध करती है कि αth नया सिद्धांत कहीं से असहमत है <math> \beta </math>वें नया सिद्धांत प्रस्तावित करता हैं।