संख्या: Difference between revisions

[[File:NumberSetinC.svg|thumb|[[जटिल संख्या]]ओं के [[सबसेट]]]]एक संख्या एक [[गणितीय वस्तु]] है जिसका उपयोग [[गिनती]], [[माप]] और [[नाममात्र संख्या]] के लिए किया जाता है।मूल उदाहरण [[प्राकृतिक संख्या]] [[1]], [[2]], [[3]], [[4]], और आगे हैं।<ref>{{Cite journal |title=number, n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129082 |journal=OED Online |language=en-GB |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181004081907/http://www.oed.com/view/Entry/129082 |archive-date=2018-10-04 |url-status=live }}</ref> [[संख्या शब्द]]ों के साथ भाषा में संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।अधिक सार्वभौमिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याओं को [[प्रतीक]]ों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है;उदाहरण के लिए, [[5]] एक अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, बुनियादी अंक आमतौर पर एक [[अंक प्रणाली]] में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक संगठित तरीका है।सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देती है, जिसे [[संख्यात्मक अंक]] कहा जाता है।<ref>{{Cite journal |title=numeral, adj. and n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129111 |journal=OED Online |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-date=2022-07-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220730095156/https://www.oed.com/start;jsessionid=B9929F0647C8EE5D4FDB3A3C1B2CA3C3?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F129111 |url-status=live }}</ref>{{efn|In [[linguistics]], a [[numeral (linguistics)|numeral]] can refer to a symbol like 5, but also to a word or a phrase that names a number, like "five hundred"; numerals include also other words representing numbers, like "dozen".}} गिनती और मापने में उनके उपयोग के अलावा, अंकों का उपयोग अक्सर लेबल के लिए ([[टेलीफोन नंबर]] के साथ) के लिए किया जाता है, ऑर्डर करने के लिए ([[ क्रमिक संख्या ]] के साथ), और कोड के लिए (जैसा कि [[आईएसबीएन]] के साथ)।सामान्य उपयोग में, एक अंक स्पष्ट रूप से उस संख्या से अलग नहीं है जो यह प्रतिनिधित्व करता है।

[[गणित]] में, [[0]] (0) को शामिल करने के लिए सदियों से एक संख्या की धारणा को बढ़ाया गया है,<ref>{{Cite news |url=https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |title=The Origin of Zero |last=Matson |first=John |work=Scientific American |access-date=2017-05-16 |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20170826235655/https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |archive-date=2017-08-26 |url-status=live }}</ref> नकारात्मक संख्या,<ref name=":0">{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88 |title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity |last=Hodgkin |first=Luke |date=2005-06-02 |publisher=OUP Oxford |isbn=978-0-19-152383-0 |pages=85–88 |language=en |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190204012433/https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false |archive-date=2019-02-04 |url-status=live }}</ref> [[तर्कसंगत संख्या]] जैसे कि [[एक आधा]] <math>\left(\tfrac{1}{2}\right)</math>, [[वास्तविक संख्या]] जैसे कि [[2 का वर्गमूल]] <math>\left(\sqrt{2}\right)</math> और पीआई |{{pi}},<ref>{{cite book |title=Mathematics across cultures : the history of non-western mathematics |date=2000 |publisher=Kluwer Academic |location=Dordrecht |isbn=1-4020-0260-2 |pages=410–411}}</ref> और जटिल संख्या<ref>{{Cite book |last=Descartes |first=René |title=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |year=1954 |author-link=René Descartes |orig-year=1637 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=0-486-60068-8 |access-date=20 April 2011 }}</ref> जो एक काल्पनिक इकाई के साथ वास्तविक संख्याओं का विस्तार करते हैं | वर्गमूल का रूट {{math|−1}}(और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाने से वास्तविक संख्या के साथ इसके संयोजन)।<ref name=":0" />संख्याओं के साथ गणना [[[[अंकगणित]]ीय संचालन]] के साथ की जाती है, सबसे परिचित होने के अलावा, [[घटाव]], गुणन, [[विभाजन (गणित)]], और [[घातांक]]।उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, एक शब्द जो [[संख्या सिद्धांत]], संख्याओं के गुणों के अध्ययन का भी उल्लेख कर सकता है।

उनके व्यावहारिक उपयोगों के अलावा, संख्याओं का दुनिया भर में सांस्कृतिक महत्व है।<ref name="Gilsdorf">{{Cite book |last=Gilsdorf |first=Thomas E. |url=https://books.google.com/books?id=IN8El-TTlSQC |title=Introduction to cultural mathematics : with case studies in the Otomies and the Incas |date=2012 |publisher=Wiley |isbn=978-1-118-19416-4 |location=Hoboken, N.J. |oclc=793103475}}</ref><ref name="Restivo">{{Cite book |last=Restivo |first=Sal P. |url=https://books.google.com/books?id=V0RuCQAAQBAJ&q=Mathematics+in+Society+and+History |title=Mathematics in society and history : sociological inquiries |date=1992 |isbn=978-94-011-2944-2 |location=Dordrecht |oclc=883391697}}</ref> उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, [[13 (संख्या)]] को अक्सर अशुभ माना जाता है, और एक मिलियन एक सटीक मात्रा के बजाय बहुत अधिक संकेत दे सकता है।<ref name="Gilsdorf" />यद्यपि इसे अब [[छद्म]] विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्या के एक रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंक विज्ञान के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्ययुगीन विचार को अनुमति दी जाती है।<ref name="Ore">{{Cite book |last=Ore |first=Øystein |url=https://books.google.com/books?id=Sl_6BPp7S0AC |title=Number theory and its history |date=1988 |publisher=Dover |isbn=0-486-65620-9 |location=New York |oclc=17413345}}</ref> न्यूमेरोलॉजी ने [[ग्रीक गणित]] के विकास को बहुत प्रभावित किया, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को उत्तेजित किया जो आज भी रुचि के हैं।<ref name="Ore" />

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों।मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया।<ref>{{Cite journal |last=Chrisomalis |first=Stephen |date=2003-09-01 |title=The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals |journal=Antiquity |volume=77 |issue=297 |pages=485–96 |doi=10.1017/S0003598X00092541 |s2cid=160523072 |issn=0003-598X }}</ref> रोमन अंकों, एक प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे आम प्रणाली बनी हुई हैआज दुनिया में संख्या।<ref name="Cengage Learning2">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |title=The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1 |last2=Crossley |first2=Pamela |last3=Headrick |first3=Daniel |last4=Hirsch |first4=Steven |last5=Johnson |first5=Lyman |publisher=Cengage Learning |year=2010 |isbn=978-1-4390-8474-8 |page=192 |quote=Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today |first1=Richard |last1=Bulliet |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170128072424/https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |archive-date=2017-01-28 |url-status=live }}</ref>{{better source needed|date=January 2017}} सिस्टम की प्रभावशीलता की कुंजी [[शून्य]] के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन [[भारतीय गणित]] द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।<ref name="Cengage Learning2" />

एक टैली सिस्टम में जगह मूल्य (आधुनिक [[दशमलव]] संकेतन में) की कोई अवधारणा नहीं है, जो बड़ी संख्या के अपने प्रतिनिधित्व को सीमित करता है।बहरहाल, टैली सिस्टम को पहले प्रकार का अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

628 ईस्वी के लिए शून्य तिथियों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग, और [[भारतीय गणितज्ञ]] [[ब्रह्मगुप्त]] के मुख्य कार्य ब्रोहमस्फुसिद्धान्टा में दिखाई दिया।उन्होंने एक संख्या के रूप में & nbsp; 0 का इलाज किया और इसे शामिल करने वाले संचालन पर चर्चा की, जिसमें शून्य द्वारा विभाजन भी शामिल है।इस समय तक (7 वीं & nbsp; सेंचुरी) अवधारणा स्पष्ट रूप से कंबोडिया तक खमेर अंकों के रूप में पहुंच गई थी, और प्रलेखन ने बाद में चीन और इस्लामी दुनिया में फैलने के विचार को दिखाया।

[[File:Khmer Numerals - 605 from the Sambor inscriptions.jpg|thumb|[[खमेर अंक]]ों में 605 नंबर, 683 ईस्वी से एक शिलालेख से।दशमलव आकृति के रूप में शून्य का प्रारंभिक उपयोग।]]ब्रह्मगुप्त की ब्रहमस्फुसिधान्ता पहली पुस्तक है जो शून्य का उल्लेख एक संख्या के रूप में करती है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को आमतौर पर शून्य की अवधारणा को बनाने के लिए पहला माना जाता है।उन्होंने नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे कि शून्य प्लस एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है, और एक नकारात्मक संख्या प्लस शून्य नकारात्मक संख्या है।Brāhmasphuṭasiddhantta शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में इलाज करने के लिए जल्द से जल्द ज्ञात पाठ है, बजाय एक दूसरे नंबर का प्रतिनिधित्व करने में केवल एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में, जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के लिए एक प्रतीक के रूप में, जैसा कि टॉलेमी द्वारा किया गया था औररोम वासी।

एक संख्या के रूप में 0 के उपयोग को जगह-मूल्य प्रणालियों में एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए।कई प्राचीन ग्रंथों का उपयोग & nbsp; 0।बेबीलोन और मिस्र के ग्रंथों ने इसका इस्तेमाल किया।मिस्रियों ने शून्य & nbsp; [[ डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली ]] में संतुलन को निरूपित करने के लिए एनएफआर शब्द का उपयोग किया।भारतीय ग्रंथों ने एक [[संस्कृत]] शब्द का इस्तेमाल किया {{lang|sa-Latn|Shunye}} या {{lang|sa|shunya}} शून्य की अवधारणा का उल्लेख करने के लिए।गणित के ग्रंथों में यह शब्द अक्सर संख्या शून्य को संदर्भित करता है।<ref>{{cite web |url=http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |title=Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM&#93; The Zero Story: a question |publisher=Sunsite.utk.edu |date=1999-04-26 |access-date=2012-01-30 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120112073735/http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |archive-date=2012-01-12 }}</ref> इसी तरह की नस में, Pānini (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने [[अष्टाध्यायी]] में NULL (शून्य) ऑपरेटर का उपयोग किया, जो संस्कृत भाषा के लिए एक [[औपचारिक व्याकरण]] का एक प्रारंभिक उदाहरण ([[पिंगला]] भी देखें)।

रिकॉर्ड बताते हैं कि [[प्राचीन ग्रीस]] & nbsp की स्थिति के बारे में अनिश्चित लग रहा था; 0 एक संख्या के रूप में: उन्होंने खुद से पूछा कि 'कुछ भी नहीं' कुछ कैसे हो सकता है?दिलचस्प [[दार्शनिक]] के लिए अग्रणी और, मध्ययुगीन काल तक, & nbsp; 0 और [[ खालीपन ]] की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क।एले के ज़ेनो के ज़ेनो के विरोधाभास & nbsp; 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं।(प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया कि क्या & nbsp;{{num|1}} एक संख्या थी।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय [[ ऑल्मेक ]] लोगों ने नई दुनिया में शून्य, एक शेल [[ ग्लाइफ ]]़ के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना शुरू कर दिया, संभवतः द्वारा {{nowrap|4th century BC}} लेकिन निश्चित रूप से 40 & nbsp; bc द्वारा, जो [[माया अंक]]ों और [[माया कैलेंडर]] का एक अभिन्न अंग बन गया।माया अंकगणित का उपयोग किया गया आधार & nbsp; 4 और आधार & nbsp; 5 आधार के रूप में लिखा गया था & nbsp; 20।1961 में जॉर्ज आई। सैंचेज़ ने एक आधार & nbsp; 4, बेस & nbsp; 5 फिंगर एबाकस की सूचना दी।<ref>{{Cite book |last=Sánchez |first=George I. |author-link=George I. Sánchez |title=Arithmetic in Maya |publisher=self published |year=1961 |place=Austin, Texas}}</ref>{{Better source needed|reason=The only source is a self-published book, albeit one by a respected educator. According to the (favorable) review by David H. Kelley in 'American Anthropologist', Sánchez was neither a Mayanist nor a mathematician. The review does not mention the abacus.|date=September 2020}}

130 ईस्वी तक, [[टॉलेमी]], [[हिप्पार्चस]] और बेबीलोनियों से प्रभावित, & nbsp के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था; 0 (एक लंबे ओवरबार के साथ एक छोटा सा सर्कल) एक [[साठवाँ]] अंक प्रणाली के भीतर अन्यथा अल्फाबेटिक [[ग्रीक अंक]]ों का उपयोग कर रहा था।क्योंकि यह अकेले इस्तेमाल किया गया था, न कि केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में, यह ग्रीक अंक#हेलेनिस्टिक ज़ीरो पुरानी दुनिया में एक सच्चे शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था।बाद के बीजान्टिन साम्राज्य में उनके सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) की पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य ने [[ग्रीक वर्णमाला]] [[ऑमिक्रॉन]] (अन्यथा अर्थ और nbsp; 70) में रूपांतरित किया था।

एक और सच्चे शून्य का उपयोग रोमन अंकों के साथ टेबल में किया गया था। {{lang|la|nulla}} मतलब कुछ भी नहीं, एक प्रतीक के रूप में नहीं।जब विभाजन का उत्पादन किया गया & nbsp; 0 एक शेष के रूप में, {{lang|la|nihil}}, यह भी कुछ भी नहीं, इस्तेमाल किया गया था।इन मध्ययुगीन शून्य का उपयोग भविष्य के सभी मध्ययुगीन कम्प्यूटस ([[ईस्टर]] के [[कैलकुलेटर]]) द्वारा किया गया था।उनके प्रारंभिक, एन का एक अलग उपयोग, बेडे या एक सहयोगी द्वारा रोमन अंकों की एक तालिका में 725, एक सच्चे शून्य प्रतीक के बारे में उपयोग किया गया था।

नकारात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की शुरुआत में मान्यता दी गई थी।[[गणितीय कला पर नौ अध्याय]]ों में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने के तरीके हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को निरूपित करने के लिए किया गया था, नकारात्मक के लिए काला।<ref>{{Cite book |last=Staszkow |first=Ronald |author2=Robert Bradshaw |title=The Mathematical Palette (3rd ed.) |publisher=Brooks Cole |year=2004 |page=41 |isbn=0-534-40365-4}}</ref> एक पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ ग्रीस में 3 & nbsp; सेंचुरी ईस्वी में था।[[डायोफेंटस]] ने समीकरण के समकक्ष संदर्भित किया {{nowrap|4''x'' + 20 {{=}} 0}} (समाधान नकारात्मक है) [[अंकगणित]] में, यह कहते हुए कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

अधिकांश भाग के लिए, यूरोपीय गणितज्ञों ने 17 वीं & nbsp; सेंचुरी तक नकारात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, हालांकि फाइबोनैचि ने वित्तीय समस्याओं में नकारात्मक समाधान की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती है (अध्याय & nbsp; 13 [[द बुक ऑफ द एबाकस]], 1202) और बाद में नुकसान के रूप में (में {{lang|la|Flos}})।रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी जड़ें कही क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में फसली थीं, फिर भी उन्हें सच्ची जड़ों और झूठी जड़ों को भी स्वैप करने का एक तरीका मिला।इसी समय, चीनी इसी सकारात्मक संख्या के अंक के दाहिने-सबसे गैर-शून्य अंक के माध्यम से एक विकर्ण स्ट्रोक को खींचकर नकारात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे।<ref>{{Cite book |last=Smith |first=David Eugene |author-link=David_Eugene_Smith |title=History of Modern Mathematics |publisher=Dover Publications |year=1958 |page=259 |isbn=0-486-20429-4}}</ref> एक यूरोपीय काम में नकारात्मक संख्याओं का पहला उपयोग [[निकोलस चौक्वेट]] द्वारा 15 वीं & nbsp; सेंचुरी के दौरान था।उन्होंने उन्हें घातांक के रूप में इस्तेमाल किया, लेकिन उन्हें बेतुका संख्या के रूप में संदर्भित किया।

यह संभावना है कि भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा प्रागैतिहासिक समय की तारीख है।प्राचीन मिस्रियों ने अपने मिस्र के अंश संकेतन का इस्तेमाल गणितीय ग्रंथों में तर्कसंगत संख्याओं के लिए किया, जैसे कि Rhind गणितीय पेपिरस और काहुन पपीरस।शास्त्रीय ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत के सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में तर्कसंगत संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया।<ref>{{Cite web |title=Classical Greek culture (article) |url=https://www.khanacademy.org/humanities/world-history/ancient-medieval/classical-greece/a/greek-culture |access-date=2022-05-04 |website=Khan Academy |language=en |archive-date=2022-05-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220504133917/https://www.khanacademy.org/humanities/world-history/ancient-medieval/classical-greece/a/greek-culture |url-status=live }}</ref> इनमें से सबसे प्रसिद्ध यूक्लिड के तत्व हैं। Euclid के तत्व, लगभग 300 & nbsp; bc के लिए डेटिंग।भारतीय ग्रंथों में से, सबसे प्रासंगिक स्टैनंगा [[सूत्र]] है, जो गणित के एक सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में संख्या सिद्धांत को भी शामिल करता है।

800 और 500 & nbsp; ईसा पूर्व के बीच रचित भारतीय गणित [[सुलबा सूत्र]]ों में तर्कहीन संख्याओं का सबसे पहले ज्ञात उपयोग था।<ref>{{Cite book |editor-last=Selin |editor-first=Helaine |editor-link=Helaine Selin |title=Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics |publisher=Kluwer Academic Publishers |year=2000 |page=451 |isbn=0-7923-6481-3}}</ref>{{Better source needed|reason=Source may be unreliable it garbles both the history and the mathematics. Source only says the mathematics in the Shulba Sutras ″leads to the concept of irrational numbers″. Since good approximations of irrational numbers appeared in earlier times, it's not clear what special role is being claimed for the Shulba Sutras in the history of irrational numbers. Also, should page reference be to p. 412 rather than p. 451?|date=September 2020}} तर्कहीन संख्याओं के पहले अस्तित्व के प्रमाण आमतौर पर [[पाइथागोरस]] के लिए जिम्मेदार होते हैं, विशेष रूप से [[पाइथागोरसिज़्म]] [[हिपपासस]] के लिए, जिन्होंने वर्गमूल की अतार्किकता का एक (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण का उत्पादन किया। कहानी यह है कि हिप्पासस ने हिप्पासस की खोज की, जब कोशिश की जा रही है जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब तक हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, तो कोशिश की जा रहीएक अंश के रूप में 2 के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करें।हालांकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और तर्कहीन संख्या के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे।वह तर्क के माध्यम से अपने अस्तित्व को नापसंद नहीं कर सकता था, लेकिन वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अक्सर रिपोर्ट किया गया, उसने हिप्पासस को डूबने की सजा सुनाई, इस विस्मयादिबोधक समाचार को फैलाने के लिए।<ref>{{cite book |title=Harvard Studies in Classical Philology |chapter=Horace and the Monuments: A New Interpretation of the Archytas ''Ode'' |author=Bernard Frischer |editor=D.R. Shackleton Bailey |editor-link=D. R. Shackleton Bailey |page=83 |publisher=Harvard University Press |year=1984 |isbn=0-674-37935-7}}</ref>{{Better source needed|reason=Hippasus is mentioned only briefly in passing in this work. Entire books have been written on Pythagoras and Pythagoreanism; surely a reference could be provide to one of those? But any serious work will say that everything in this paragraph is unreliable myth, and some is outright modern fabrication, e.g. Pythagoras sentencing Hippasus to death.|date=September 2020}}

16 वीं शताब्दी ने नकारात्मक संख्या अभिन्न और [[अंश (गणित)]] संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई।17 वीं & nbsp द्वारा;सेंचुरी, गणितज्ञों ने आमतौर पर आधुनि