संख्या: Difference between revisions

== इतिहास ==

=== अंक ===

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों।मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया।<ref>{{Cite journal |last=Chrisomalis |first=Stephen |date=2003-09-01 |title=The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals |journal=Antiquity |volume=77 |issue=297 |pages=485–96 |doi=10.1017/S0003598X00092541 |s2cid=160523072 |issn=0003-598X }}</ref> रोमन अंकों, एक प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे आम प्रणाली बनी हुई हैआज दुनिया में संख्या।<ref name="Cengage Learning2">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |title=The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1 |last2=Crossley |first2=Pamela |last3=Headrick |first3=Daniel |last4=Hirsch |first4=Steven |last5=Johnson |first5=Lyman |publisher=Cengage Learning |year=2010 |isbn=978-1-4390-8474-8 |page=192 |quote=Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today |first1=Richard |last1=Bulliet |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170128072424/https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |archive-date=2017-01-28 |url-status=live }}</ref>{{better source needed|date=January 2017}} सिस्टम की प्रभावशीलता की कुंजी [[शून्य]] के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन [[भारतीय गणित]] द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।<ref name="Cengage Learning2" />

=== संख्याओं का पहला उपयोग ===

हड्डियों और अन्य कलाकृतियों की खोज उनमें कटौती के साथ की गई है कि कई लोगों का मानना है कि टैली के निशान हैं।<ref>{{Cite book |last=Marshack |first=Alexander |url=https://books.google.com/books?id=vbQ9AAAAIAAJ |title=The roots of civilization; the cognitive beginnings of man's first art, symbol, and notation. |date=1971 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-040535-2 |edition=[1st ed.] |location=New York |oclc=257105}}</ref> इन टैली के निशान का उपयोग बीते समय की गिनती के लिए किया जा सकता है, जैसे कि दिन की संख्या, चंद्र चक्र या मात्रा के रिकॉर्ड रखने, जैसे कि जानवरों की।

=== नकारात्मक संख्या ===

नकारात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की शुरुआत में मान्यता दी गई थी।[[गणितीय कला पर नौ अध्याय]]ों में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने के तरीके हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को निरूपित करने के लिए किया गया था, नकारात्मक के लिए काला।<ref>{{Cite book |last=Staszkow |first=Ronald |author2=Robert Bradshaw |title=The Mathematical Palette (3rd ed.) |publisher=Brooks Cole |year=2004 |page=41 |isbn=0-534-40365-4}}</ref> एक पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ ग्रीस में 3 & nbsp; सेंचुरी ईस्वी में था।[[डायोफेंटस]] ने समीकरण के समकक्ष संदर्भित किया {{nowrap|4''x'' + 20 {{=}} 0}} (समाधान नकारात्मक है) [[अंकगणित]] में, यह कहते हुए कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

=== तर्कहीन संख्या ===

800 और 500 & nbsp; ईसा पूर्व के बीच रचित भारतीय गणित [[सुलबा सूत्र]]ों में तर्कहीन संख्याओं का सबसे पहले ज्ञात उपयोग था।<ref>{{Cite book |editor-last=Selin |editor-first=Helaine |editor-link=Helaine Selin |title=Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics |publisher=Kluwer Academic Publishers |year=2000 |page=451 |isbn=0-7923-6481-3}}</ref>{{Better source needed|reason=Source may be unreliable it garbles both the history and the mathematics. Source only says the mathematics in the Shulba Sutras ″leads to the concept of irrational numbers″. Since good approximations of irrational numbers appeared in earlier times, it's not clear what special role is being claimed for the Shulba Sutras in the history of irrational numbers. Also, should page reference be to p. 412 rather than p. 451?|date=September 2020}} तर्कहीन संख्याओं के पहले अस्तित्व के प्रमाण आमतौर पर [[पाइथागोरस]] के लिए जिम्मेदार होते हैं, विशेष रूप से [[पाइथागोरसिज़्म]] [[हिपपासस]] के लिए, जिन्होंने वर्गमूल की अतार्किकता का एक (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण का उत्पादन किया। कहानी यह है कि हिप्पासस ने हिप्पासस की खोज की, जब कोशिश की जा रही है जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब तक हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, तो कोशिश की जा रहीएक अंश के रूप में 2 के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करें।हालांकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और तर्कहीन संख्या के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे।वह तर्क के माध्यम से अपने अस्तित्व को नापसंद नहीं कर सकता था, लेकिन वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अक्सर रिपोर्ट किया गया, उसने हिप्पासस को डूबने की सजा सुनाई, इस विस्मयादिबोधक समाचार को फैलाने के लिए।<ref>{{cite book |title=Harvard Studies in Classical Philology |chapter=Horace and the Monuments: A New Interpretation of the Archytas ''Ode'' |author=Bernard Frischer |editor=D.R. Shackleton Bailey |editor-link=D. R. Shackleton Bailey |page=83 |publisher=Harvard University Press |year=1984 |isbn=0-674-37935-7}}</ref>{{Better source needed|reason=Hippasus is mentioned only briefly in passing in this work. Entire books have been written on Pythagoras and Pythagoreanism; surely a reference could be provide to one of those? But any serious work will say that everything in this paragraph is unreliable myth, and some is outright modern fabrication, e.g. Pythagoras sentencing Hippasus to death.|date=September 2020}}

16 वीं शताब्दी ने नकारात्मक संख्या अभिन्न और [[अंश (गणित)]] संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई।17 वीं & nbsp द्वारा;सेंचुरी, गणितज्ञों ने आमतौर पर आधुनिक संकेतन के साथ दशमलव अंशों का इस्तेमाल किया।हालांकि, यह 19 वीं शताब्दी तक नहीं था कि गणितज्ञों ने तर्कहीनों को बीजगणितीय और पारलौकिक भागों में अलग कर दिया, और एक बार फिर अतार्किक के वैज्ञानिक अध्ययन को शुरू किया।यह [[यूक्लिड]] के बाद से लगभग निष्क्रिय रहा था।1872 में, [[ कार्ल वीमर स्ट्रैस ]] के सिद्धांतों का प्रकाशन (उनके शिष्य ई। कोसाक द्वारा), [[एडुआर्ड हाइन]],<ref>Eduard Heine, [[doi:10.1515/crll.1872.74.172|"Die Elemente der Functionenlehre"]], ''[Crelle’s] Journal für die reine und angewandte Mathematik'', № 74 (1872): 172–188.</ref> [[जॉर्ज कैंटर]],<ref>Georg Cantor, [[doi:10.1007/BF01446819|"Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten", pt. 5]], ''Mathematische Annalen'', 21, 4 (1883‑12): 545–591.</ref> और [[रिचर्ड डेडेकिंड]]<ref>Richard Dedekind, ''[https://books.google.ca/books?id=n-43AAAAMAAJ Stetigkeit & irrationale Zahlen] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210709184745/https://books.google.ca/books?id=n-43AAAAMAAJ |date=2021-07-09 }}'' (Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1872). Subsequently published in: ''———, Gesammelte mathematische Werke'', ed. Robert Fricke, Emmy Noether & Öystein Ore (Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1932), vol. 3, pp. 315–334.</ref> के बारे में लाया गया था।1869 में, चार्ल्स मेरे ने हेइन के रूप में प्रस्थान के एक ही बिंदु को लिया था, लेकिन सिद्धांत को आम तौर पर वर्ष 1872 में संदर्भित किया जाता है। वेयरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से [[साल्वटोर पिंचरेल]] (1880) द्वारा निर्धारित की गई थी, और [[डेडेकिंड कट]] लेखक के बाद के काम के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है।(1888) और [[पॉल टैनरी]] (1894) द्वारा समर्थन।Weierstrass, Cantor, और Heine ने अनंत श्रृंखला पर अपने सिद्धांतों को आधार बनाया, जबकि Dedekind ने वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में एक Dedecind कट के विचार पर पाया।इस विषय को बाद में वेयरस्ट्रास, [[लियोपोल्ड क्रोनकर]] के हाथों में योगदान मिला है,<ref>L. Kronecker, [[doi:10.1515/crll.1887.101.337|"Ueber den Zahlbegriff"]], ''[Crelle’s] Journal für die reine und angewandte Mathematik'', № 101 (1887): 337–355.</ref> और méray।

=== ट्रांसेंडेंटल नंबर और रियल ===

पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व<ref>{{cite web |last=Bogomolny |first=A. |author-link=Cut-the-Knot |title=What's a number? |work=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml |access-date=11 July 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100923231547/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml |archive-date=23 September 2010 |url-status=live }}</ref> पहली बार [[जोसेफ लिउविले]] (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था।1873 में [[चार्ल्स हरमाइट]] ने साबित किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है और [[फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन]] ने 1882 में साबित किया कि and ट्रान्सेंडैंटल है।अंत में, कैंटर के पहले बधाई देने वाले सबूत से पता चला कि सभी वास्तविक संख्याओं का सेट [[बेशुमार]] है, लेकिन सभी बीजीय संख्याओं का सेट गिनने योग्य है, इसलिए ट्रांसेंडेंटल नंबरों की एक बेशुमार अनंत संख्या है।

=== अनंत और infinitesimals ===

गणितीय अनंत का सबसे पहले ज्ञात अवधारणा [[यजुर विदाई]], एक प्राचीन भारतीय स्क्रिप्ट में दिखाई देती है, जो एक बिंदु पर बताती है, यदि आप अनंत से एक हिस्सा निकालते हैं या अनंत में एक हिस्सा जोड़ते हैं, तो भी क्या रहता [[अनंतता]] [[जैन]] गणितज्ञों के बीच दार्शनिक अध्ययन का एक लोकप्रिय विषय था।400 & nbsp; bc।वे पांच प्रकार के अनंत के बीच प्रतिष्ठित होते हैं: एक और दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, अनंत हर जगह, और अनंत सदा।प्रतीक <math>\text{∞}</math> अक्सर एक अनंत मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।

=== जटिल संख्या ===

नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के लिए जल्द से जल्द क्षणभंगुर संदर्भ गणितज्ञ और अलेक्जेंड्रिया के आविष्कारक बगुले के काम में हुआ {{nowrap|1st century AD}}, जब उन्होंने एक [[पिरामिड]] के एक असंभव [[ टुकड़ा ]] की मात्रा पर विचार किया।जब 16 वीं & nbsp; सेंचुरी ने तीसरे और चौथे डिग्री के बहुपदों की जड़ों के लिए फार्मूले को बंद कर दिया, तो निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया और [[गेरोलमो कार्डानो]] जैसे इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए।यह जल्द ही महसूस किया गया कि ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता था, कभी -कभी नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के हेरफेर की आवश्यकता होती है।

1850 में [[विक्टर अलेक्जेंड्रे पुइज़क्स]] ने डंडे और शाखा बिंदुओं के बीच अंतर करने का प्रमुख कदम उठाया, और [[गणितीय विलक्षणता]] की अवधारणा को पेश किया।{{clarify|reason=Why is this a key step in the history of complex numbers?|date=September 2020}} यह अंततः [[विस्तारित जटिल विमान]] की अवधारणा का कारण बना।

पूरे रिकॉर्ड किए गए इतिहास में [[ अभाज्य संख्या ]]ों का अध्ययन किया गया है।{{Citation needed|reason=Wikipedia's prime number article says the Greeks were the first to explicitly study prime numbers and mentions only the Rhind Papyrus as implicitly recognizing a distinction between prime and composite numbers.|date=September 2020}} यूक्लिड ने तत्वों की एक पुस्तक को प्राइम्स के सिद्धांत के लिए समर्पित किया;इसमें उन्होंने अंकगणित के प्राइम्स और मौलिक प्रमेय की अनंतता को साबित किया, और दो नंबरों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक को खोजने के लिए [[यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] प्रस्तुत किया।

== मुख्य वर्गीकरण==

{{See also|List of types of numbers}}

संख्याओं को [[सेट (गणित)]] में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसे नंबर सेट या नंबर सिस्टम कहा जाता है, जैसे कि [[प्राकृतिक संख्या]] और [[वास्तविक संख्या]]।मुख्य संख्या प्रणालियाँ इस प्रकार हैं:

=== प्राकृतिक संख्या ===

[[File:Nat num.svg|thumb|प्राकृतिक संख्या, 1 से शुरू होती है]]सबसे परिचित संख्याएं प्राकृतिक संख्याएं हैं (कभी -कभी पूरी संख्या या गिनती संख्याएं कहली जाती हैं): 1, 2, 3, और इसी तरह।परंपरागत रूप से, प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम & nbsp; 1 (0 को प्राचीन यूनानियों के लिए एक संख्या भी नहीं माना गया था।) हालांकि, 19 वीं & nbsp; सदी में, सेट थ्योरी और अन्य गणितज्ञों में & nbsp; 0 ([[खाली सेट]] की [[ प्रमुखता ]], अर्थात्, अर्थात्, अर्थात्, यानी, यानी, यानी, यानी।0 & nbsp; तत्व, जहां & nbsp; 0 इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के सेट में सबसे छोटा [[ बुनियादी संख्या ]] है)।<ref>

{{MathWorld|title=Natural Number|id=NaturalNumber}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number |title=natural number |work=Merriam-Webster.com |publisher=[[Merriam-Webster]] |access-date=4 October 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191213133201/https://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number |archive-date=13 December 2019 |url-status=live }}</ref> आज, विभिन्न गणितज्ञ दोनों सेटों का वर्णन करने के लिए शब्द का उपयोग करते हैं, जिसमें & nbsp; 0 या नहीं।सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए [[गणितीय प्रतीक]] n है, यह भी लिखा गया है <math>\mathbb{N}</math>, और कभी - कभी <math>\mathbb{N}_0</math> या <math>\mathbb{N}_1</math> जब यह इंगित करना आवश्यक है कि सेट क्रमशः 0 या 1 से शुरू होना चाहिए या नहीं।

=== पूर्णांक ===

एक सकारात्मक पूर्णांक की नकारात्मक संख्या को एक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो & nbsp; 0 का उत्पादन करता है जब इसे संबंधित सकारात्मक पूर्णांक में जोड़ा जाता है।नकारात्मक संख्या आमतौर पर एक नकारात्मक संकेत (एक [[ घटाव का चिन्ह ]]) के साथ लिखी जाती है।एक उदाहरण के रूप में, & nbsp; 7 का नकारात्मक लिखा गया है & nbsp; −7, और {{nowrap|7 + (−7) {{=}} 0}}।जब नकारात्मक संख्याओं के सेट (गणित) को प्राकृतिक संख्याओं के सेट (nbsp; 0 सहित) के सेट के साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम को [[पूर्णांक]] के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, z भी ब्लैकबोर्ड बोल्ड लिखा गया है।<math>\mathbb{Z}</math>।यहाँ पत्र z आता है {{ety|de|Zahl|number}}।पूर्णांक का सेट संचालन और गुणा के साथ एक अंगूठी (गणित) बनाता है।<ref>{{Mathworld|Integer|Integer}}</ref>

प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांक का एक सबसेट बनाती हैं।चूंकि प्राकृतिक संख्याओं में शून्य को शामिल करने या नहीं करने के लिए कोई सामान्य मानक नहीं है, इसलिए शून्य के बिना प्राकृतिक संख्याओं को आमतौर पर सकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, और शून्य के साथ प्राकृतिक संख्याओं को गैर-नकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित किया जाता है।

=== तर्कसंगत संख्या ===

एक तर्कसंगत संख्या एक संख्या है जिसे एक पूर्णांक अंश और एक सकारात्मक पूर्णांक भाजक के साथ एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।नकारात्मक भाजक की अनुमति है, लेकिन आमतौर पर बचा जाता है, क्योंकि प्रत्येक तर्कसंगत संख्या सकारात्मक भाजक के साथ एक अंश के बराबर होती है।अंशों को दो पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है, अंश और भाजक, उनके बीच एक विभाजन बार के साथ।अंश {{sfrac|''m''|''n''}} एन समान भागों में विभाजित एक पूरे के एम भागों का प्रतिनिधित्व करता है।दो अलग -अलग अंश एक ही तर्कसंगत संख्या के अनुरूप हो सकते हैं;उदाहरण के लिए {{sfrac|1|2}} और {{sfrac|2|4}} समान हैं, अर्थात:

:<math>{1 \over 2} = {2 \over 4}.</math>

=== वास्तविक संख्या ===

वास्तविक संख्याओं के लिए प्रतीक r है, यह भी लिखा गया है <math>\mathbb{R}.</math> वे सभी मापने की संख्या शामिल करते हैं।प्रत्येक वास्तविक संख्या [[संख्या रेखा]] पर एक बिंदु से मेल खाती है।निम्नलिखित पैराग्राफ मुख्य रूप से सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर ध्यान केंद्रित करेगा।नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का उपचार अंकगणित के सामान्य नियमों के अनुसार है और उनका निरूपण केवल एक माइनस साइन द्वारा संबंधित सकारात्मक अंक को उपसर्ग कर रहा है, उदा।−123.456।

=== जटिल संख्या ===

अमूर्तता के एक बड़े स्तर पर चलते हुए, वास्तविक संख्याओं को जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है।संख्याओं का यह सेट ऐतिहासिक रूप से [[क्यूबिक फ़ंक्शन]] और द्विघात फ़ंक्शन बहुपद की जड़ों के लिए बंद सूत्र खोजने की कोशिश से उत्पन्न हुआ।इसने नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों को शामिल किया, और अंततः एक नई संख्या की परिभाषा को शामिल किया: & nbsp का एक [[वर्गमूल]]; −1, काल्पनिक इकाई द्वारा निरूपित, लियोनहार्ड यूलर द्वारा सौंपा गया एक प्रतीक, और काल्पनिक इकाई कहा जाता है।जटिल संख्याओं में फॉर्म की सभी संख्याएँ होती हैं

:<math>\,a + b i</math>

=== सम और विषम संख्या ===

एक भी संख्या एक पूर्णांक है जो दो से समान रूप से विभाज्य है, जो कि [[ यूक्लिडियन प्रभाग ]] है;एक विषम संख्या एक पूर्णांक है जो भी नहीं है।(पुराने जमाने का शब्द समान रूप से विभाज्य है, अब लगभग हमेशा विभाजन के लिए छोटा हो जाता है।) किसी भी विषम संख्या '' n '' का निर्माण सूत्र द्वारा किया जा सकता है {{nowrap|''n'' {{=}} 2''k'' + 1,}} एक उपयुक्त पूर्णांक k के लिए।प्रारंभ स्थल {{nowrap|''k'' {{=}} 0,}} पहले गैर-नकारात्मक विषम संख्या {1, 3, 5, 7, ...} हैं।किसी भी नंबर एम का रूप है {{nowrap|''m'' {{=}} 2''k''}} जहां k फिर से एक पूर्णांक है।इसी तरह, पहले गैर-नकारात्मक समग्र संख्याएँ {0, 2, 4, 6, ...} हैं।

एक प्राइम नंबर, जिसे अक्सर सिर्फ प्राइम के लिए छोटा किया जाता है, 1 से अधिक एक पूर्णांक है जो दो छोटे सकारात्मक पूर्णांक का उत्पाद नहीं है।पहले कुछ प्राइम नंबर 2, 3, 5, 7, और 11. हैं। प्राइम नंबरों को उत्पन्न करने के लिए विषम और यहां तक कि संख्याओं के लिए ऐसा कोई सरल सूत्र नहीं है।प्राइम्स का व्यापक रूप से 2000 से अधिक वर्षों के लिए अध्ययन किया गया है और कई सवालों का नेतृत्व किया है, जिनमें से केवल कुछ का जवाब दिया गया है।इन सवालों का अध्ययन संख्या सिद्धांत से संबंधित है।गोल्डबैक का अनुमान अभी भी अनुत्तरित प्रश्न का एक उदाहरण है: क्या हर भी संख्या दो प्राइम्स का योग है?

स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की शास्त्रीय समस्याओं से प्रेरित, निर्माण योग्य संख्याएं वे जटिल संख्याएँ हैं जिनके वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्माण स्ट्रेटेज और कम्पास का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि यूनिट लंबाई के दिए गए खंड से शुरू होकर, एक परिमित संख्या में।

एक कम्प्यूटेबल नंबर, जिसे '' पुनरावर्ती संख्या '' के रूप में भी जाना जाता है, एक वास्तविक संख्या है, जैसे कि एक [[ कलन विधि ]] मौजूद है, जो इनपुट के रूप में एक सकारात्मक नंबर '' एन '' दिया गया है, कम्प्यूटेबल के पहले '' एन '' अंकों का उत्पादन करता हैसंख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व।समतुल्य परिभाषाएँ μ- पुनरावर्ती कार्यों, [[ट्यूरिंग मशीन]]ों या λ-Calculus का उपयोग करके दी जा सकती हैं।कम्प्यूटेबल नंबर सभी सामान्य अंकगणितीय संचालन के लिए स्थिर हैं, जिसमें एक बहुपद की जड़ों की गणना शामिल है, और इस प्रकार एक [[वास्तविक बंद क्षेत्र]] बनाता है जिसमें वास्तविक बीजगणितीय संख्याएं होती हैं।

=== पी-एडिक नंबर ===

पी-एडिक नंबरों में दशमलव बिंदु के बाईं ओर असीम रूप से लंबे समय तक विस्तार हो सकता है, उसी तरह से कि वास्तविक संख्याओं में दाईं ओर असीम रूप से लंबे समय तक विस्तार हो सकता है।परिणाम जो परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि अंकों के लिए रेडिक्स का उपयोग क्या किया जाता है: कोई भी आधार संभव है, लेकिन एक प्राइम नंबर बेस सबसे अच्छा गणितीय गुण प्रदान करता है।पी-एडिक नंबरों के सेट में तर्कसंगत संख्याएं होती हैं, लेकिन जटिल संख्याओं में निहित नहीं है।