स्वतुल्य संबंध: Difference between revisions

Revision as of 22:43, 13 February 2023

	Symmetric	Antisymmetric	Connected	Well-founded	Has joins	Has meets	Reflexive	Irreflexive	Asymmetric
			Total, Semiconnex					Anti- reflexive
Equivalence relation	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Preorder (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Partial order	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total preorder	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total order	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Well-quasi-ordering	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Well-ordering	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Lattice	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
Join-semilattice	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
Meet-semilattice	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
Strict partial order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Strict weak order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Strict total order	✗	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	Symmetric	Antisymmetric	Connected	Well-founded	Has joins	Has meets	Reflexive	Irreflexive	Asymmetric
Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation

R

be transitive: for all

a,b,c,

if

aRb

and

bRc

then

aRc,

and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक समुच्चय(गणित) x पर एक द्विआधारी संबंध r 'प्रतिवर्त' होता है यदि यह x के प्रत्येक तत्व को स्वयं से संबंधित करता है।^[1]^[2] वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर स्वतुल्य संबंध का एक उदाहरण "के बराबर है" क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है। कहा जाता है कि एक प्रतिवर्ती सम्बन्ध में प्रतिवर्ती गुण या रिफ्लेक्सिविटी होती है।

[1]

[2]

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 माना कि <math>R</math>  एक समूह <math>X,</math> पर एक द्विआधारी संबंध है, जो परिभाषा के अनुसार <math>X \times X.</math> का एक उपसमुच्चय है। किसी के लिए <math>x, y \in X,</math> अंकन <math>x R y</math> मतलब कि <math>(x, y) \in R</math> जबकि नहीं <math>x R y</math>मतलब कि <math>(x, y) \not\in R.</math> सम्बन्ध <math>R</math> कहा जाता है {{em|reflexive}} अगर <math>x R x</math> हरएक के लिए <math>x \in X</math> या समतुल्य रूप से, अगर <math>\operatorname{I}_X \subseteq R</math> कहाँ पे <math>\operatorname{I}_X := \{ (x, x) ~:~ x \in X \}</math> पर पहचान के संबंध को दर्शाता है <math>X.</math>
-  {{em|[[reflexive closure]]}} }} का <math>R</math> संघ है <math>R \cup \operatorname{I}_X,</math> जिसे समतुल्य रूप से सबसे छोटे के रूप में परिभाषित किया जा सकता है) <math>\subseteq</math>) पर रिफ्लेक्टिव रिलेशनशिप <math>X</math> यह एक [[बगुला]] है <math>R.</math> एक संबंध <math>R</math> यदि और केवल अगर यह अपने रिफ्लेक्टिव क्लोजर के बराबर है तो रिफ्लेक्टिव है। {{em|reflexive reduction}} }} या {{em|irreflexive kernel}} का <math>R</math> सबसे छोटा है (संबंध के साथ <math>\subseteq</math>) पर संबंध <math>X</math> के रूप में एक ही प्रतिवर्ती समापन है <math>R.</math> यह बराबर है <math>R \setminus \operatorname{I}_X = \{ (x, y) \in R ~:~ x \neq y \}.</math> की अकाट्य कर्नेल एक अर्थ में <math>R</math>, का अप्रासंगिक कर्नेल, एक निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो <math>R.</math> के प्रतिवर्ती समापन होने के "विपरीत" है। उदाहरण के लिए, वास्तविक <math>\mathbb{R}</math> पर विहित सख्त असमानता <math> < </math> का प्रतिवर्ती समापन  है <math>\leq</math> जबकि रिफ्लेक्टिव कमी <math>\leq</math> है <math><.</math>
+  {{em|[[प्रतिवर्ती समापन]]}} का <math>R</math> संघ है <math>R \cup \operatorname{I}_X,</math> जिसे समतुल्य रूप से सबसे छोटे <math>\subseteq</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एक संबंध <math>R</math> पर रिफ्लेक्टिव रिलेशनशिप <math>X</math> यह एक [[बगुला|अधिसमुच्चय]]  है  यदि और केवल अगर यह अपने रिफ्लेक्टिव क्लोजर <math>R.</math> के बराबर है तो रिफ्लेक्टिव है। {{em|reflexive reduction}}<nowiki> }} या </nowiki>{{em|irreflexive kernel}} का <math>R</math> सबसे छोटा है (संबंध के साथ <math>\subseteq</math>) पर संबंध <math>X</math> के रूप में एक ही प्रतिवर्ती समापन है <math>R.</math> यह बराबर है <math>R \setminus \operatorname{I}_X = \{ (x, y) \in R ~:~ x \neq y \}.</math> की अकाट्य कर्नेल एक अर्थ में <math>R</math>, का अप्रासंगिक कर्नेल, एक निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो <math>R.</math> के प्रतिवर्ती समापन होने के "विपरीत" है। उदाहरण के लिए, वास्तविक <math>\mathbb{R}</math> पर विहित सख्त असमानता <math> < </math> का प्रतिवर्ती समापन  है <math>\leq</math> जबकि रिफ्लेक्टिव कमी <math>\leq</math> है <math><.</math>
 === संबंधित परिभाषाएँ ===
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-{{visible anchor|सहप्रतिवर्ती|Coreflexivity|Coreflexive relation}}: यदि जब भी  <math>x, y \in X</math> ऐसा हो कि <math>x R y,</math> तो अनिवार्य रूप से <math>x = y.</math><ref>Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).</ref>होगा। एक संबंध <math>R</math> सहप्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर इसकी सममित बंद विरोधी-सममित है।
+'''{{visible anchor|सहप्रतिवर्ती|Coreflexivity|Coreflexive relation}}:''' यदि जब भी  <math>x, y \in X</math> ऐसा हो कि <math>x R y,</math> तो अनिवार्य रूप से <math>x = y.</math><ref>Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).</ref>होगा। एक संबंध <math>R</math> सहप्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर इसकी सममित बंद विरोधी-सममित है।
-एक अरिक्त समूह <math>X</math> पर एक रिफ्लेक्सिव संबंध न तो अपरिवर्तनीय हो सकता है, और न ही असममित (<math>R</math> को असममित कहा जाता है यदि  <math>x R y</math> का तात्पर्य <math>y R x</math> नहीं है ), और न ही प्रतिसंक्रमणीय (<math>R</math>  प्रतिसंक्रमणीय है यदि  <math>x R y \text{ and } y R z</math> का अर्थ <math>x R z</math> नहीं है )।
+एक अरिक्त समूह <math>X</math> पर एक प्रतिवर्ती संबंध न तो अपरिवर्तनीय हो सकता है, और न ही असममित (<math>R</math> को असममित कहा जाता है यदि  <math>x R y</math> का तात्पर्य <math>y R x</math> नहीं है ), और न ही प्रतिसंक्रमणीय (<math>R</math>  प्रतिसंक्रमणीय है यदि  <math>x R y \text{ and } y R z</math> का अर्थ <math>x R z</math> नहीं है )।
 == उदाहरण ==
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 अर्ध-प्रतिवर्त संबंध <math>R</math> का एक उदाहरण वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट पर "समान सीमा है": प्रत्येक अनुक्रम की सीमा नहीं होती है और इस प्रकार संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता है, लेकिन यदि किसी अनुक्रम की सीमा कुछ के समान होती है, तो इसकी वही सीमा है जो स्वयं अनुक्रम की सीमा है। एक बाएं अर्ध-पुनर्विचार संबंध का एक उदाहरण एक बाएं [[यूक्लिडियन संबंध]] है, जो हमेशा अर्ध-प्रतिवर्त होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि सही अर्ध-प्रतिवर्त हो और इस प्रकार जरूरी नहीं कि अर्ध-प्रतिवर्त हो।
-एक सहप्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण [[पूर्णांक]] पर संबंध है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित होती है और कोई अन्य संबंध नहीं होता है। समानता संबंध एक प्रतिवर्ती और सहप्रतिवर्ती संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी सहप्रतिवर्ती सम्बंधित पहचान का एक समूह है।एक सकर्मक संबंध और एक ही समूह पर एक सकर्मक संबंध का मिलन हमेशा सकर्मक होता है।
+एक सहप्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण [[पूर्णांक]] पर संबंध है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित होती है और कोई अन्य संबंध नहीं होता है। समानता संबंध एक प्रतिवर्ती और सहप्रतिवर्ती संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी सहप्रतिवर्ती सम्बंधित पहचान का एक समूह है। एक सकर्मक संबंध और एक ही समूह पर एक सकर्मक संबंध का मिलन हमेशा सकर्मक होता है।
 == रिफ्लेक्टिव संबंधों की संख्या ==

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