फलन आरेख

File:Polynomial of degree three.svg

फलन का आरेख $f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.$

गणित में, फलन का आरेख, क्रमित युग्म $f$$(x,y)$ का समुच्चय है , जहाँ $f(x)=y.$ सामान्यतः जहां $x$ और $f(x)$ वास्तविक संख्याएं हैं, ये युग्म दो-आयामी स्थान में बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक हैं और इस प्रकार इस समतल का एक उपसमुच्चय बनाते हैं।

दो चर के फलनों के संबंध में $(x,y),$ वह युग्म है जिसके फलन का आरेख सामान्यतः क्रमिक त्रयी $(x,y,z)$ के समुच्चय को संदर्भित करता है जहाँ $f(x,y)=z,$ जैसे कि ऊपर की परिभाषा में संदर्भित है। यह समुच्चय त्रि-आयामी स्थान का एक उप समुच्चय है और दो वास्तविक चर के निरंतर वास्तविक मूल्यवान फलन के लिए, यह एक समतल है।

विज्ञान, अभियांत्रिकी, प्रौद्योगिकी, वित्त और अन्य क्षेत्रों में, रेखांकन कई उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं। सबसे सरल प्रयोजन में एक चर को, सामान्यतः आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके एक दूसरे के फलन के रूप में दर्शाया जाता है।

फलन का आरेख, संबंध की एक विशेष विभक्ति है। गणित की आधुनिक ढ़ाचों और, सामान्यतः समुच्चय सिद्धांत में, एक फलन वास्तव में इसके आरेख के समान है। यद्यपि, यह सामान्यतः मानचित्र के रूप में फलनों को देखने के लिए उपयोगी होता है, जिसमें न केवल निविष्ट और निर्गत के मध्य संबंध सम्मिलित है, किन्तु यह भी कि कौन सा समुच्चय अनुक्षेत्र है, और कौन सा समुच्चय संहितात्मक है। उदाहरण के लिए, यह कहने के लिए कि एक फलन अधिसूचित कार्य पर है, उपअनुक्षेत्र को ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए। एक फलन का आरेख अपने बल उपअनुक्षेत्र को निर्धारित नहीं करता है। एक ही वस्तु पर विचार करने के बाद भी किसी फलन और आरेख दोनों का उपयोग करने के लिए, वे इसे एक अलग दृष्टिकोण से देखने का संकेत देते हैं।

परिभाषा

प्रतिचित्रण $f:X\to Y,$ दिया गया है। दूसरे शब्दों में कहे तो फलन $f$ में अनुक्षेत्र के साथ $X$ और उपअनुक्षेत्र $Y,$ प्रतिचित्रण के आरेख है

समुच्चय

$$G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},$$

जो $X\times Y$ उप समुच्चय है एक फलन की अमूर्त परिभाषा में, $G(f)$ वास्तव में $f.$ के बराबर है

यह देखा जा सकता है कि अगर, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ तो आरेख $G(f)$ , $\mathbb {R} ^{n+m}$ का उप समुच्चय है।

उदाहरण

एक चर वाले फलन

File:Three-dimensional graph.png

फलन का आरेख (गणित) $f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).$

$f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ फलन का आरेख जो

$$f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}$$

द्वारा परिभाषित होता है,$\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}$ समुच्चय का उप समुच्चय है जिसमे

$$G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.$$

अनुक्षेत्र $\{1,2,3\}$ के आरेख में प्रत्येक युग्म के पहले घटक के समुच्चय के रूप में प्राप्त किया जाता है $\{1,2,3\}$