प्रतिबंध (गणित)

फलन $x^{2}$ कार्यक्षेत्र के साथ $\mathbb {R}$ कोई उलटा कार्य नहीं है। यदि हम प्रतिबंधित करते हैं $x^{2}$ अ-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, तो इसका व्युत्क्रम फलन होता है, जिसे का वर्गमूल कहा जाता है $x.$

गणित में फलन का प्रतिबंध (गणित) $f$ नया कार्य है, निरूपित $f\vert _{A}$ या $f{\upharpoonright _{A}},$ किसी फलन का छोटा कार्यक्षेत्र चुनकर प्राप्त किया गया $A$ मूल फलन के लिए $f.$ फलन $f$ विस्तार कहा जाता है $f\vert _{A}.$

औपचारिक परिभाषा

$f:E\to F$ समुच्चय (गणित) से कार्य बनें $E$ समुच्चय के लिए $F.$ यदि समुच्चय $A$ का उपसमुच्चय है $E,$ फिर का प्रतिबंध$f$ को$A$ कार्य है

$${f|}_{A}:A\to F$$

द्वारा दिए गए ${f|}_{A}(x)=f(x)$ के लिए $x\in A.$ अनौपचारिक रूप से, प्रतिबंध $f$ को $A$ के समान कार्य है $f,$ किन्तु केवल परिभाषित किया गया है $A$.

यदि फलन $f$ संबंध (गणित) के रूप में माना जाता है $(x,f(x))$ कार्तीय उत्पाद पर $E\times F,$ प्रतिबंध $f$ को $A$ किसी फलन के ग्राफ़ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है $G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),$ जहां जोड़े $(x,f(x))$ ग्राफ में आदेशित जोड़े का प्रतिनिधित्व करें $G.$

विस्तार

फलन $F$ विस्तार कहा जाता है। दूसरे फलन का $f$ यदि जब भी $x$ के अधिकार क्षेत्र में है $f$ तब $x$ के क्षेत्र में भी है $F$ और $f(x)=F(x).$ अर्थात यदि $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ और $F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.$ फलन का रेखीय विस्तार | क्रमशः, सतत विस्तार, आदि फलन के $f$ का विस्तार है $f$ वह भी रेखीय मानचित्र है।

उदाहरण

1. अन्तःक्षेपण फलन का प्रतिबंध | अ-अन्तःक्षेपण फलन $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ कार्यक्षेत्र के लिए $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ अन्तःक्षेपण है$f:$