प्रतिबंध (गणित): Difference between revisions
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* किसी समारोह को प्रतिबंधित करना <math>f:X\rightarrow Y</math> इसके पूरे कार्यक्षेत्र के लिए <math>X</math> मूल कार्य को वापस देता है, अर्थात <math>f|_X = f.</math> | * किसी समारोह को प्रतिबंधित करना <math>f:X\rightarrow Y</math> इसके पूरे कार्यक्षेत्र के लिए <math>X</math> मूल कार्य को वापस देता है, अर्थात <math>f|_X = f.</math> | ||
* किसी समारोह को दो बार प्रतिबंधित करना उसे बार प्रतिबंधित करने के समान है, अर्थात यदि <math>A \subseteq B \subseteq \operatorname{dom} f,</math> तब <math>\left(f|_B\right)|_A = f|_A.</math> | * किसी समारोह को दो बार प्रतिबंधित करना उसे बार प्रतिबंधित करने के समान है, अर्थात यदि <math>A \subseteq B \subseteq \operatorname{dom} f,</math> तब <math>\left(f|_B\right)|_A = f|_A.</math> | ||
* समुच्चय पर [[पहचान समारोह]] का प्रतिबंध <math>X</math> उपसमुच्चय के लिए <math>A</math> का <math>X</math> से केवल समावेशन मानचित्र है <math>A</math> में <math>X.</math><ref>{{cite book|author-link=Paul Halmos|last=Halmos|first=Paul|title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]|location=Princeton, NJ|publisher=D. Van Nostrand|year=1960}} Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. {{isbn|0-387-90092-6}} (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. {{isbn|978-1-61427-131-4}} (Paperback edition).</ref> | * समुच्चय पर [[पहचान समारोह|परिचय समारोह]] का प्रतिबंध <math>X</math> उपसमुच्चय के लिए <math>A</math> का <math>X</math> से केवल समावेशन मानचित्र है <math>A</math> में <math>X.</math><ref>{{cite book|author-link=Paul Halmos|last=Halmos|first=Paul|title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]|location=Princeton, NJ|publisher=D. Van Nostrand|year=1960}} Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. {{isbn|0-387-90092-6}} (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. {{isbn|978-1-61427-131-4}} (Paperback edition).</ref> | ||
* सतत कार्य का प्रतिबंध निरंतर है।<ref>{{cite book|last=Munkres|first=James R.|title=टोपोलॉजी|edition=2nd|location=Upper Saddle River|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}</ref><ref>{{cite book|last=Adams|first=Colin Conrad|first2=Robert David|last2=Franzosa|title=Introduction to Topology: Pure and Applied|publisher=Pearson Prentice Hall|year=2008|isbn=978-0-13-184869-6}}</ref> | * सतत कार्य का प्रतिबंध निरंतर है।<ref>{{cite book|last=Munkres|first=James R.|title=टोपोलॉजी|edition=2nd|location=Upper Saddle River|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}</ref><ref>{{cite book|last=Adams|first=Colin Conrad|first2=Robert David|last2=Franzosa|title=Introduction to Topology: Pure and Applied|publisher=Pearson Prentice Hall|year=2008|isbn=978-0-13-184869-6}}</ref> | ||
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=== पेस्टिंग लेम्मा === | === पेस्टिंग लेम्मा === | ||
{{main|पेस्टिंग लेम्मा}} | {{main|पेस्टिंग लेम्मा}} | ||
पेस्टिंग लेम्मा | पेस्टिंग लेम्मा सांस्थिति में परिणाम है जो किसी समारोह की निरंतरता को उप-समूचय के प्रतिबंधों की निरंतरता से संबंधित करता है। | ||
<math>X,Y</math> सांस्थिति स्थान के दो बंद उपसमुच्चय या दो खुले उपसमुच्चय हों <math>A</math> ऐसा है कि <math>A = X \cup Y,</math> और <math>B</math> सांस्थिति स्थान भी हो। यदि <math>f: A \to B</math> दोनों के लिए प्रतिबंधित होने पर निरंतर है <math>X</math> और <math>Y,</math> तब <math>f</math> निरंतर है। | |||
यह परिणाम टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद (या खुले) उप-समूचय पर परिभाषित दो निरंतर कार्यों को लेने और नया बनाने की अनुमति देता है। | यह परिणाम टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद (या खुले) उप-समूचय पर परिभाषित दो निरंतर कार्यों को लेने और नया बनाने की अनुमति देता है। | ||
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[[शीफ सिद्धांत]] कार्यों के अलावा वस्तुओं पर प्रतिबंधों को सामान्यीकृत करने का तरीका प्रदान करता है। | [[शीफ सिद्धांत]] कार्यों के अलावा वस्तुओं पर प्रतिबंधों को सामान्यीकृत करने का तरीका प्रदान करता है। | ||
शीफ थ्योरी में, कोई | शीफ थ्योरी में, कोई विषय असाइन करता है <math>F(U)</math> प्रत्येक खुले समुच्चय के लिए [[श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत)]] में <math>U</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति स्थान]] और यह आवश्यक है कि विषय कुछ अवस्था को पूरा करें। सबसे महत्वपूर्ण अवस्था यह है कि स्थिर खुले समुच्चय से जुड़ी वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच प्रतिबंध आकारिकी है , यदि <math>V\subseteq U,</math> फिर रूपवाद है <math>\operatorname{res}_{V,U} : F(U) \to F(V)</math> निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना, जो किसी समारोह के प्रतिबंध की नकल करने के लिए संयोजन किए गए हैं | ||
* | * प्रत्येक खुले समुच्चय के लिए <math>U</math> का <math>X,</math> प्रतिबंध रूपवाद <math>\operatorname{res}_{U,U} : F(U) \to F(U)</math> परिचय रूपवाद चालू है <math>F(U).</math> | ||
* यदि हमारे पास तीन खुले समुच्चय हैं <math>W \subseteq V \subseteq U,</math> फिर | * यदि हमारे पास तीन खुले समुच्चय हैं <math>W \subseteq V \subseteq U,</math> फिर रचना <math>\operatorname{res}_{W,V} \circ \operatorname{res}_{V,U} = \operatorname{res}_{W,U}.</math> | ||
* | * यदि <math>\left(U_i\right)</math> खुले समुच्चय का खुला [[आवरण (टोपोलॉजी)|आवरण (सांस्थिति)]] है <math>U,</math> और यदि <math>s, t \in F(U)</math> ऐसे हैं <math>s\big\vert_{U_i} = t\big\vert_{U_i}</math><अवधि वर्ग = टेक्सएचटीएमएल> एस |<sub>''U''<sub>''i''</sub></ उप> = टी | उप> यू<sub>''i''</sub></sub> प्रत्येक</span> समुच्चय के लिए <math>U_i</math> आवरण का, तब <math>s = t</math> और | ||
* | * यदि <math>\left(U_i\right)</math> खुले समुच्चय का खुला आवरण है <math>U,</math> और यदि प्रत्येक के लिए <math>i</math> अनुभाग <math>x_i \in F\left(U_i\right)</math> ऐसा दिया जाता है कि प्रत्येक जोड़ी के लिए <math>U_i, U_j</math> आवरण के प्रतिबंध समुच्चय करता है <math>s_i</math> और <math>s_j</math> अधिव्यापन पर सहमत <math>s_i\big\vert_{U_i \cap U_j} = s_j\big\vert_{U_i \cap U_j},</math> फिर खंड है <math>s \in F(U)</math> ऐसा है कि <math>s\big\vert_{U_i} = s_i</math> प्रत्येक के लिए <math>i.</math> | ||
ऐसी सभी वस्तुओं के संग्रह को पुलिया कहते हैं। यदि केवल पहले दो गुण संतुष्ट होते हैं, तो यह प्री-शेफ है। | ऐसी सभी वस्तुओं के संग्रह को पुलिया कहते हैं। यदि केवल पहले दो गुण संतुष्ट होते हैं, तो यह प्री-शेफ है। | ||
== वाम- और दाएँ-प्रतिबंध == | == वाम- और दाएँ-प्रतिबंध == | ||
अधिक सामान्यतः, प्रतिबंध (या कार्यक्षेत्र प्रतिबंध या वाम-प्रतिबंध) <math>A \triangleleft R</math> [[द्विआधारी संबंध]] का <math>R</math> बीच में <math>E</math> और <math>F</math> कार्यक्षेत्र वाले संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>A,</math> | अधिक सामान्यतः, प्रतिबंध (या कार्यक्षेत्र प्रतिबंध या वाम-प्रतिबंध) <math>A \triangleleft R</math> [[द्विआधारी संबंध]] का <math>R</math> बीच में <math>E</math> और <math>F</math> कार्यक्षेत्र वाले संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>A,</math> को कार्यक्षेत्र <math>F</math> और ग्राफ <math>G(A \triangleleft R) = \{(x, y) \in F(R) : x \in A\}.</math> इसी तरह, कोई सही-प्रतिबंध या सीमा प्रतिबंध को परिभाषित कर सकता है <math>R \triangleright B.</math> उपरोक्त, कोई भी प्रतिबंध को परिभाषित कर सकता है<math>n</math>-आर्य संबंध, साथ ही उपसमुच्चय को संबंधों के रूप में समझा जाता है, जैसे कि कार्तीय उत्पाद के संबंध <math>E \times F</math> द्विआधारी संबंधों के लिए।ये मामले शेफ (गणित) की योजना में उपयुक्त नहीं होते हैं। | ||
== विरोधी प्रतिबंध == | == विरोधी प्रतिबंध == | ||
किसी समारोह या बाइनरी संबंध का कार्यक्षेत्र विरोधी प्रतिबंध | किसी समारोह या बाइनरी संबंध का कार्यक्षेत्र विरोधी प्रतिबंध या कार्यक्षेत्र घटाव <math>R</math> (कार्यक्षेत्र के साथ <math>E</math> और कोकार्यक्षेत्र <math>F</math>) समुच्चय द्वारा <math>A</math> रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(E \setminus A) \triangleleft R</math> के सभी तत्वों को हटा देता है <math>A</math> कार्यक्षेत्र से <math>E.</math> इसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>A</math> ⩤ <math>R.</math><ref>Dunne, S. and Stoddart, Bill ''Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues)''. Springer (2006)</ref> इसी तरह, किसी समारोह या बाइनरी संबंध की श्रेणी विरोधी प्रतिबंध या श्रेणी घटाव। <math>R</math> समुच्चय द्वारा <math>B</math> परिभाषित किया जाता है <math>R \triangleright (F \setminus B)</math> के सभी तत्वों को हटा देता है <math>B</math> कोकार्यक्षेत्र से <math>F.</math> इसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>R</math> ⩥ <math>B.</math> | ||
Revision as of 15:57, 7 February 2023
कार्यक्रम कार्यक्षेत्र के साथ कोई उलटा कार्य नहीं है। यदि हम प्रतिबंधित करते हैं अ-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, तो इसका व्युत्क्रम फलन होता है, जिसे का वर्गमूल कहा जाता है
गणित में, समारोह का प्रतिबंध (गणित) नया कार्य है, निरूपित या किसी समारोह का छोटा कार्यक्षेत्र चुनकर प्राप्त किया गया मूल समारोह के लिए कार्यक्रम फिर विस्तार कहा जाता है
औपचारिक परिभाषा
समुच्चय (गणित) से कार्य बनें समुच्चय के लिए यदि समुच्चय का उपसमुच्चय है फिर का प्रतिबंध को कार्य है[1]
द्वारा दिए गए के लिए अनौपचारिक रूप से, का प्रतिबंध को के समान कार्य है किन्तु केवल परिभाषित किया गया है .
यदि समारोह संबंध (गणित) के रूप में माना जाता है कार्तीय उत्पाद पर प्रतिबंध को किसी समारोह के ग्राफ़ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जहां जोड़े ग्राफ में आदेशित जोड़े का प्रतिनिधित्व करें