बीजगणित: Difference between revisions

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| name              = बीजगणित
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[[File:Quadratic formula.svg|thumb| [[ द्विघात सूत्र ]] समीकरण के हल को व्यक्त करता है {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0}}, कहाँ पे {{mvar|a}} शून्य नहीं है, इसके गुणांकों के संदर्भ में {{math|''a'', ''b''}} और {{mvar|c}}. ]]


'''बीजगणित :''' बीजगणित <ref>[[Algebra]]</ref> गणित के व्यापक क्षेत्रों में से एक है। बीजगणित के विज्ञान का हिंदू नाम बीजगणित है। बीज का अर्थ है "तत्व" या "विश्लेषण" और गणित का अर्थ है "गणना का विज्ञान"। बीजगणित का शाब्दिक अर्थ है "तत्वों के साथ गणना का विज्ञान या विश्लेषणात्मक गणना का विज्ञान।
'''बीजगणित'''{{etymology|ar|''{{wikt-lang|ar|جبر|الجبر}}''{{transl|ar|al-jabr}}) |  टूटे हुए हिस्सों का पुनर्मिलन<ref name=oed>{{cite Lexico|algebra|access-date=2013-11-20}} {{Cite web |url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra |title=Archived copy |access-date=2013-11-20 |archive-date=2013-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131231173558/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra |url-status=bot: unknown }}</ref> [[ बोनेसेटर |  बोनसेटिंग ]] }}<ref name="CRC Press">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&q=bonesetting+algebra&pg=PA722 |title=Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment |last1=Menini|first1=Claudia |last2=Oystaeyen|first2=Freddy Van |date=2017-11-22 |publisher=[[CRC Press]] |isbn=978-1-4822-5817-2 |language=en |access-date=2020-10-15 |archive-date=2021-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&q=bonesetting+algebra&pg=PA722 |url-status=live}}</ref> गणित के [[ क्षेत्रों में से एक है |  व्यापक क्षेत्र ]]  [[ गणित ]]। मोटे तौर पर, बीजगणित [[ गणितीय प्रतीक ]] एस का अध्ययन है और  [[ सूत्र ]] एस में इन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों का अध्ययन है।<ref>देखो {{harvnb|Herstein|1964}}, पृष्ठ 1: एक बीजीय प्रणाली को वस्तुओं के एक समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, साथ ही उन्हें संयोजित करने के लिए कुछ संक्रियाओं के साथ</ref> यह लगभग सभी गणित का एक एकीकृत सूत्र है<ref>देखो {{harvnb|Herstein|1964}}, पृष्ठ 1: ...यह एकीकृत सूत्र के रूप में भी कार्य करता है जो लगभग सभी गणित को जोड़ता है</ref>


[[ब्रह्मगुप्त]] (628) बीजगणित को ''कुट्टुका-गणित'' या ''कुट्टुका'' कहते हैं। ''कुट्टुका'' का अर्थ है चूर्ण करने वाला। बीजगणित को ''अव्यक्त-गणिता''  या अज्ञात के साथ गणना का विज्ञान भी कहा जाता है (''अव्यक्त'' का अर्थ अज्ञात है) नाम के विपरीत ''व्यक्त-गणिता'' ज्यामिति और क्षेत्रमिति सहित अंकगणित के लिए ज्ञात (''व्यक्त'' का अर्थ ज्ञात) के साथ गणना का विज्ञान है।
[[ प्रारंभिक बीजगणित ]] [[ चर (गणित) | चर ]] के हेरफेर से संबंधित है जैसे कि वे संख्याएँ थीं (चित्र देखें), और इसलिए गणित के सभी अनुप्रयोगों में आवश्यक है।  [[ सार बीजगणित ]],  [[ शिक्षा ]] में [[ बीजीय संरचना ]] के अध्ययन के लिए दिया गया नाम है जैसे  [[ समूह (गणित) |  समूह ]],  [[ वलय (गणित) |  छल्ले ]], और  [[ क्षेत्र (गणित) |  क्षेत्र ]] .  [[ रेखीय बीजगणित ]], जो  [[ रैखिक समीकरण ]] एस और  [[ रैखिक मानचित्रण ]] एस से संबंधित है, का उपयोग  [[ ज्यामिति ]] की आधुनिक प्रस्तुतियों के लिए किया जाता है,<!-- बर्जर की 'ज्यामिति' को यहां उद्धृत किया जाना चाहिए --> और इसमें कई हैं व्यावहारिक अनुप्रयोग (उदाहरण के लिए  [[ मौसम पूर्वानुमान ]] में)। गणित के ऐसे कई क्षेत्र हैं जो बीजगणित से संबंधित हैं, कुछ में उनके नाम पर बीजगणित है, जैसे  [[ कम्यूटेटिव बीजगणित ]] और कुछ नहीं, जैसे  [[ गैलोइस सिद्धांत ]]।
==परिभाषा==
[[भास्कर द्वितीय]] (1150) ने बीजगणित को "विश्लेषण (बीज) के रूप में परिभाषित किया है, निश्चित रूप से विभिन्न प्रतीकों (वर्ण) द्वारा समर्थित जन्मजात बुद्धि है, जो,मंद बुद्धि के निर्देश के लिए, प्राचीन ऋषियों द्वारा समझाया गया है जो गणितज्ञों को प्रबुद्ध करते हैं जैसे सूर्य कमल को विकिरण करता है;जिसने अब बीजगणित (bījagaṇita) नाम ले लिया है"।


उस बीजगणितीय विश्लेषण के लिए गहरी बुद्धि की आवश्यकता होती है और एक से अधिक अवसरों पर उनके द्वारा विचक्षणता देखी गई है।
'बीजगणित' शब्द का प्रयोग केवल गणित के एक क्षेत्र और कुछ उपक्षेत्रों के नामकरण के लिए नहीं किया जाता है; इसका उपयोग कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं के नामकरण के लिए भी किया जाता है, जैसे कि ]] क्षेत्र पर [[ बीजगणित, जिसे आमतौर पर ''बीजगणित'' कहा जाता है। कभी-कभी, उपक्षेत्र और इसकी मुख्य बीजीय संरचनाओं के लिए एक ही वाक्यांश का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए, [[ बूलियन बीजगणित ]] और  [[ बूलियन बीजगणित (संरचना) |  बूलियन बीजगणित ]]। बीजगणित में विशेषज्ञता रखने वाले गणितज्ञ को बीजगणित विज्ञानी कहा जाता है।
[[File:Algebraic equation notation.svg|thumb|बीजीय समीकरण]]
"न तो विश्लेषण में प्रतीकों का समावेश होता है, न ही विभिन्न प्रकार के विश्लेषण होते हैं; केवल विचक्षणता ही विश्लेषण है, क्योंकि व्यापक कल्पना है। "विश्लेषण निश्चित रूप से स्पष्ट बुद्धि है।" "या केवल बुद्धि ही विश्लेषण है"। इस प्रश्न के उत्तर में, "यदि (अज्ञात मात्राओं) की खोज केवल बुद्धि द्वारा ही की जानी है, तो विश्लेषण की क्या आवश्यकता है?"वे कहते हैं, "क्योंकि बुद्धि निश्चित रूप से वास्तविक विश्लेषण है; प्रतीक इसके सहायक हैं। जिस सहज बुद्धि को प्राचीन ऋषियों ने मंदबुद्धि के लिए व्यक्त किया है, जो गणितज्ञों को सूर्य के रूप में विभिन्न प्रतीकों की सहायता से कमल को प्रकाशित करते हैं, उन्हें अब बीजगणित का नाम मिला है।


इस प्रकार, भास्कर द्वितीय के अनुसार, बीजगणित को विज्ञान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त की गई संख्याओं सा व्यवहार करता है, और जिसमें बुद्धिमान कलाकृतियों और सरल उपकरणों की परिधि/व्यापकता और प्राथमिक आवश्यकता होती है।
== व्युत्पत्ति ==
[[ फाइल: मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी.पीएनजी |  अंगूठा |  सीधा=0.8<ref>एस्पोसिटो, जॉन एल। (2000-04-06)। ''द ऑक्सफोर्ड हिस्ट्री ऑफ इस्लाम''। ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस। पी। 188. {{ISBN|978-0-19-988041-6}}</ref>]]


बीजगणित का अर्थ है '''बीज''<nowiki/>'। अज्ञात राशियाँ एक बीज की तरह होती हैं और समीकरणों को हल करने पर उनके मूल्य स्पष्ट हो जाते हैं। चूँकि बीजगणित अज्ञात मात्राओं से संबंधित है, इसलिए इसे संस्कृत में ''बीजगणित'' कहा जाता है। 16वीं शताब्दी के प्रसिद्ध गणितज्ञ ''कृष्ण दैवज्ञ'' ने भास्कर द्वितीय के बीजगणित (1150 सीई) पर एक भाष्य ''बीजपल्लव'' लिखा था। कृष्ण दैवज्ञ, नीचे के रूप में बीजगणित नाम की व्याख्या करते हैं:
'बीजगणित' शब्द से आया है {{lang-ar|الجبر|lit=reunion of broken parts,<ref name="oed" /> [[bonesetting]]<ref name="CRC Press" />|translit=al-jabr}} 9वीं शताब्दी की शुरुआत की किताब '' [[ द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग |  <sup>c</sup>इल्म अल-जबर वा एल-मुकाबाला ]] '' द साइंस ऑफ रिस्टोरिंग एंड बैलेंसिंग बाय द  [[ के शीर्षक से फारसी लोग |  फारसी ]] गणितज्ञ और खगोलशास्त्री  [[ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी |  अल-ख्वारिज्मी ]]। अपने काम में, 'अल-जबर' शब्द एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करने के संचालन को संदर्भित करता है, المقابلة ''अल-मुकाबाला'' संतुलन को दोनों पक्षों में समान शब्दों को जोड़ने के लिए संदर्भित किया जाता है। लैटिन में केवल ''बीजगणित'' या ''बीजगणित'' तक संक्षिप्त किया गया, यह शब्द अंततः 15वीं शताब्दी के दौरान स्पेनिश, इतालवी या  [[ मध्यकालीन लैटिन ]] से अंग्रेजी भाषा में प्रवेश कर गया। यह मूल रूप से  [[ टूटी हुई हड्डी |  टूटी हुई ]] या  [[ विस्थापित |  अव्यवस्थित हड्डियों ]] को स्थापित करने की शल्य प्रक्रिया को संदर्भित करता है। गणितीय अर्थ पहली बार (अंग्रेज़ी में) 16वीं सदी में दर्ज किया गया था<ref>{{cite encyclopedia|title=Algebra|editor=T. F. Hoad|encyclopedia=The Concise Oxford Dictionary of English Etymology|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|year=2003|url=https://archive.org/details/conciseoxforddic00tfho|url-access=subscription|doi=10.1093/acref/9780192830982.001.0001|isbn=978-0-19-283098-2}}</ref>


''अव्यक्तत्वादिदं बीजमित्युक्तं शास्त्रकर्तृभिः''
== बीजगणित के विभिन्न अर्थ ==
बीजगणित शब्द के गणित में एक शब्द के रूप में या क्वालीफायर के साथ कई संबंधित अर्थ हैं।
* एक लेख के बिना एक शब्द के रूप में, बीजगणित गणित के एक व्यापक हिस्से का नाम देता है।
* एक लेख के साथ या बहुवचन में एक शब्द के रूप में, एक बीजगणित या बीजगणित एक विशिष्ट गणितीय संरचना को दर्शाता है, जिसकी सटीक परिभाषा संदर्भ पर निर्भर करती है। आमतौर पर, संरचना में एक जोड़, गुणा और अदिश गुणन होता है (देखें  [[ बीजगणित एक क्षेत्र ]] पर)। जब कुछ लेखक बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं, तो वे निम्नलिखित अतिरिक्त मान्यताओं का एक सबसेट बनाते हैं:  [[ सहयोगी संपत्ति |  सहयोगी ]],  [[ कम्यूटेटिव संपत्ति |  कम्यूटेटिव ]],  [[ यूनिटल बीजगणित |  यूनिटल ]], और/या परिमित-आयामी।  [[ सार्वभौमिक बीजगणित ]] में, बीजगणित शब्द उपरोक्त अवधारणा के सामान्यीकरण को संदर्भित करता है, जो  [[ ऑपरेशन (गणित) |  एन-आर्य संचालन ]] की अनुमति देता है।
* एक क्वालीफायर के साथ, एक ही भेद है:
** एक लेख के बिना, इसका मतलब बीजगणित का एक हिस्सा है, जैसे  [[ रैखिक बीजगणित ]],  [[ प्रारंभिक बीजगणित ]] ( [[ प्राथमिक शिक्षा |  प्राथमिक ]] और  [[ माध्यमिक शिक्षा ]] के भाग के रूप में गणित के प्राथमिक पाठ्यक्रमों में पढ़ाए जाने वाले प्रतीक-हेरफेर नियम) ), या  [[ अमूर्त बीजगणित ]] (स्वयं के लिए बीजीय संरचनाओं का अध्ययन)।
** एक लेख के साथ, इसका अर्थ कुछ बीजीय संरचना का एक उदाहरण है, जैसे  [[ झूठ बीजगणित ]],  [[ सहयोगी बीजगणित ]], या  [[ वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित ]]।
** कभी-कभी दोनों अर्थ एक ही क्वालीफायर के लिए मौजूद होते हैं, जैसा कि वाक्य में है: '' [[ कम्यूटेटिव बीजगणित ]]  [[ कम्यूटेटिव रिंग ]] एस का अध्ययन है, जो  [[ बीजगणित (रिंग थ्योरी) |  कम्यूटेटिव बीजगणित ]] पूर्णांकों पर है''।


"चूंकि यह (मात्रा) अज्ञात है, इसे विज्ञान के निर्माताओं द्वारा बीज कहा जाता था,"
== बीजगणित गणित की एक शाखा के रूप में ==
==उत्पत्ति==
[[File:Hindu astronomer, 19th-century illustration.jpg|thumb|ब्रह्मगुप्त]]
हिंदू बीजगणित की उत्पत्ति निश्चित रूप से ''शुल्बा'' (800-500 ईसा पूर्व) और ब्राह्मण (सी 2000) की अवधि में देखी जा सकती है।


"अज्ञात को निरूपित करने के लिए वर्णमाला के अक्षरों का व्यवस्थित उपयोग करने वाले पहले हिंदू थे। वे समीकरणों का वर्गीकरण और विस्तृत अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति भी थे। इस प्रकार कहा जा सकता है कि उन्होंने बीजगणित के आधुनिक विज्ञान को जन्म दिया।"<ref>Datta, 1938, Vol.2, Preface</ref>
बीजगणित की शुरुआत  [[ अंकगणित ]] के समान गणनाओं के साथ हुई, जिसमें संख्याओं के लिए अक्षर खड़े थे<ref name=citeboyer /> इसने उन संपत्तियों के प्रमाणों की अनुमति दी जो सत्य हैं चाहे कोई भी संख्या शामिल हो। उदाहरण के लिए,  [[ द्विघात समीकरण ]] . में<math>ax^2+bx+c=0,</math>
<math>a, b, c</math> can be any numbers whatsoever (except that <math>a</math> cannot be <math>0</math>), and the [[quadratic formula]] can be used to quickly and easily find the values of the unknown quantity <math>x</math> जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं। अर्थात् समीकरण के सभी हल ज्ञात करना।


''शुलबसूत्र''  में चर मात्रा का उल्लेख है। [[आर्यभट्ट|आर्यभट]] के ''आर्यभटीय'' ने रैखिक और द्विघात समीकरणों के समाधान का उल्लेख किया है। ब्रह्मगुप्त ने अपने ''ब्रह्म-स्फुण-सिद्धांत'' में प्रतीकों का उपयोग करके अज्ञात पर किए गए कार्यों का उल्लेख किया है। ''कुट्टकाध्याय:'' (अध्याय 18) अव्यक्त (या बीजगणितीय प्रतीकों) के साथ ''परिक्रमा'' (गणना) की व्याख्या करता है। इसलिए ब्रह्मगुप्त को बीजगणित का जनक माना जाता है। बीजगणित पर अन्य ग्रंथों में आर्यभट द्वितीय के ''महासिद्धांत'', श्रीपति के ''सिद्धांतशेखर'', भास्कर द्वितीय के ''बीजगणित,'' [[गणित का विकास|नारायण पंडित]] के ''बीजगणितवत्स''  शामिल हैं।
ऐतिहासिक रूप से, और वर्तमान शिक्षण में, बीजगणित का अध्ययन समीकरणों को हल करने से शुरू होता है, जैसे कि ऊपर द्विघात समीकरण। फिर अधिक सामान्य प्रश्न, जैसे कि क्या किसी समीकरण का कोई हल है? एक समीकरण के कितने हल होते हैं? , समाधान की प्रकृति के बारे में क्या कहा जा सकता है? माना जाता है। इन सवालों ने बीजगणित को गैर-संख्यात्मक वस्तुओं तक बढ़ाया, जैसे कि  [[ क्रमचय ]] एस,  [[ वेक्टर (गणित) | वैक्टर ]],  [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स ]], और [[ बहुपद ]] एस। इन गैर-संख्यात्मक वस्तुओं के संरचनात्मक गुणों को तब [[ बीजगणितीय संरचना ]] में औपचारिक रूप दिया गया था जैसे कि  [[ समूह (गणित) |  समूह ]],  [[ रिंग (गणित) |  रिंग ]], और  [[ फ़ील्ड (गणित) | फ़ील्ड ]]।


ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत के ''कुट्टकाध्याय:''  में धनात्मक संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम दिए हैं। इसके अलावा ''एक अज्ञात के साथ समीकरण, कई अज्ञात के साथ समीकरण, अज्ञात के गुणनफल के साथ समीकरण और पहले और दूसरे क्रम/अनुक्रम के अनिश्चित समीकरण (कुट्टक और वर्ग-प्रकृति) ब्रह्मगुप्त द्वारा वर्णन किया जाता है ।''
16वीं शताब्दी से पहले, गणित को केवल दो उपक्षेत्रों में विभाजित किया गया था,  [[ अंकगणित ]] और  [[ ज्यामिति ]]। भले ही कुछ तरीके, जो बहुत पहले विकसित किए गए थे, उन्हें आजकल बीजगणित, बीजगणित के उद्भव और इसके तुरंत बाद, गणित के उपक्षेत्रों के रूप में  [[ इनफिनिट्सिमल कैलकुलस ]] के रूप में माना जा सकता है, जो केवल 16वीं या 17वीं शताब्दी के हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, गणित के कई नए क्षेत्र सामने आए, जिनमें से अधिकांश ने अंकगणित और ज्यामिति दोनों का उपयोग किया, और लगभग सभी ने बीजगणित का उपयोग किया।
==तकनीकी शब्द==
===अज्ञात मात्रा===
अज्ञात मात्रा को ''स्थानंग-सूत्र'' (300 ईसा पूर्व से पहले) ''यावत -तावत'' (जितना या इतना, अर्थ एक  यादृच्छिक/मनमाना मात्रा) में बुलाया गया था। तथाकथित ''बख्शाली'' ग्रंथ में, इसे ''यदृच्छा'' , ''वाञ्च'' या ''कामिका'' (कोई भी वांछित मात्रा) कहा जाता था। आर्यभट प्रथम (499) अज्ञात मात्रा को ''गुलिक'' (''शॉट)'' कहते हैं। यह शब्द दृढ़ता से किसी को संदेह की ओर ले जाता है कि ''शॉट'' का इस्तेमाल शायद अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया गया था। सातवीं शताब्दी की शुरुआत से हिंदू बीजगणितविदों ने ''अव्यक्त'' (अज्ञात) शब्द को अधिक सामान्यतः प्रयुक्त किया है।
===समीकरण===
समीकरण को ब्रह्मगुप्त (628) ''समा-करण''  या ''सम-करण'' (समान बनाना) या अधिक सरलता से ''समा'' (समीकरण) कहते हैं। पृथिदाकस्वामी (860) ने ''साम्य'' (समानता या समीकरण) शब्द का भी प्रयोग किया है; और श्रीपति (1039) ''सद्रुष्य-करण'' (समान बनाना)। नारायण (1350) ''समी -करण'', ''साम्य'' और ''समत्व'' (समानता) शब्दों का प्रयोग करते हैं। एक समीकरण में हमेशा दो ''पक्ष'' (पक्ष) होते हैं।
===सुनिश्चित पद===
''बख्शाली''  ग्रंथ में सुनिश्चित शब्द को ''दृश्य'' (दृश्यमान) कहा गया है।बाद के हिंदू बीजगणित में, इसे लगभग संबद्ध शब्द ''रूप'' (उपस्थिति) से बदल दिया गया है, हालांकि इसे अंकगणित पर ग्रंथों में नियोजित करना जारी रखा गया है। इस प्रकार एक बीजीय समीकरण में सुनिश्चित पद के लिए हिंदू नाम का सही महत्व स्पष्ट है। यह समीकरण के दृश्य या ज्ञात भाग का प्रतिनिधित्व करता है जबकि इसका दूसरा भाग व्यावहारिक रूप से अदृश्य या अज्ञात है।
===घात===
ज्ञात या अज्ञात मात्रा की घात के लिए सबसे पुराना हिंदू शब्द ''उत्तराध्यायन-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व या उससे पहले) में पाए जाते हैं। इसमें, दूसरी घात को (''वर्ग''), तीसरी घात (''घन''), चौथी घात (''वर्ग-वर्ग''), छठी घात (''घन-वर्ग'') , और बारहवीं घात (घन-वर्ग-वर्ग), योगात्मक सिद्धांत के बजाय गुणक का उपयोग करते हुए कहा जाता है। इस कार्य में हमें तीसरे से अधिक विषम घातों को इंगित करने की कोई विधि नहीं मिलती है। बाद के समय में, पांचवीं घात को ''वर्ग-घन-घात'' (घन और वर्ग का गुणन, घात = उत्पाद), सातवीं घात ''वर्ग-वर्ग-घन-घात'' (वर्ग-वर्ग और घन का गुणन) आदि कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त की चौथे से अधिक घातों को व्यक्त करने की प्रणाली वैज्ञानिक रूप से बेहतर है। वह पाँचवीं घात को ''पंच-घात'' (शाब्दिक रूप से पाँचवें तक बढ़ा हुआ), छठी घात  को ''षड-घात'' (छठे तक बढ़ा हुआ) कहते हैं; इसी प्रकार किसी भी घात  के लिए शब्द उस घात  को इंगित करने वाली संख्या के नाम में प्रत्यय घात जोड़कर अनुयोजित किया  जाता है। भास्कर द्वितीय ने कभी-कभी एक और ऊपर की घातों के लिए लगातार इसका अनुगमन किया है। ''अनुयोगद्वार-सूत्र''  में, ईसाई युग की शुरुआत से पहले लिखी गई एक रचना, हमें उच्च घातों, अभिन्न और साथ ही आंशिक, विशेष रूप से क्रमिक वर्ग (''वर्ग'') और वर्ग-मूल (''वर्ग-मूल'') के लिए कुछ दिलचस्प शब्द मिलते हैं।


इसके अनुसार एक मात्रा का ''प्रथम-वर्ग'' (प्रथम वर्ग), मान लीजिए a<sup>2</sup> का अर्थ है a; ''द्वितीय -वर्ग'' (दूसरा वर्ग) = (a<sup>2</sup>)<sup>2</sup> = a<sup>4</sup>; ''तृतीया-वर्ग'' (तीसरा वर्ग) = ((a<sup>2</sup>)<sup>2</sup> )<sup>2</sup> = a<sup>8</sup> और इसी तरह सामान्य तौर पर, a का nवां वर्ग = a<sup>2x2x2x ……. n</sup> <sup>पदों के लिए</sup> =a<sup>2ⁿ</sup> । इसी तरह, ''प्रथम-वर्ग-मूल'' (प्रथम वर्गमूल) का अर्थ है √a; ''द्वितीय'' -''वर्ग-मूल'' (दूसरा वर्गमूल) =√ (√a) = a<sup>1/4</sup>; और सामान्य तौर पर nth ''वर्ग-मूल'' के लिए a = a<sup>1/2ⁿ</sup> फिर से हम (a<sup>1/23</sup>)3 = a<sup>3/8</sup> के लिए ''तृतीया-वर्ग'' -''मूल'' -''घना'' (तीसरे वर्गमूल का घन) पद पाते हैं।
आज, बीजगणित काफी बढ़ गया है और इसमें गणित की कई शाखाएँ शामिल हैं, जैसा कि  [[ गणित विषय वर्गीकरण में देखा जा सकता है]<ref>{{cite web|url=https://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html|title=2010 Mathematics Subject Classification|access-date=2014-10-05|archive-date=2014-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20140606010248/http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html|url-status=live}}</ref>
जहां प्रथम स्तर के किसी भी क्षेत्र (दो अंकों की प्रविष्टियां) को ''बीजगणित'' नहीं कहा जाता है। आज बीजगणित में खंड 08-सामान्य बीजगणितीय प्रणाली, 12- [[ क्षेत्र सिद्धांत (गणित) |  क्षेत्र सिद्धांत ]] और  [[ बहुपद ]] एस, 13- [[ कम्यूटेटिव बीजगणित ]], 15- [[ रैखिक बीजगणित |  रैखिक ]] और  [[ बहुरेखीय बीजगणित ]] शामिल हैं; [[ मैट्रिक्स सिद्धांत ]], 16- [[ सहयोगी बीजगणित |  सहयोगी छल्ले और बीजगणित ]], 17- [[ गैर-सहयोगी अंगूठी ]] एस और  [[ गैर-सहयोगी बीजगणित |  बीजगणित ]], 18- [[ श्रेणी सिद्धांत ]]; [[ समरूप बीजगणित ]], 19- [[ के-सिद्धांत ]] और 20- [[ समूह सिद्धांत ]]। 11- [[ संख्या सिद्धांत ]] और 14- [[ बीजगणितीय ज्यामिति ]] में भी बीजगणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।


"''वर्ग''" के लिए वर्गा शब्द का एक विशुद्ध रूप से ठोस अवधारणा में एक दिलचस्प मूल है। संस्कृत शब्द ''वर्ग''  का शाब्दिक अर्थ है "पंक्तियाँ," या "सैनिक" (इसी तरह की चीजों की)। एक गणितीय शब्द के रूप में इसका अनुप्रयोग एक वर्ग के चित्रमय निरूपण में उत्पन्न हुआ, जिसे कई वर्ग या छोटे वर्गों के सैनिकों में विभाजित किया गया था, क्योंकि पक्ष में कुछ माप की इकाइयाँ थीं।
== इतिहास ==
===गुणांक / गुणक===
{{Main|History of algebra|Timeline of algebra}}
हिंदू बीजगणित में गुणांक के लिए किसी विशेष शब्द का व्यवस्थित उपयोग नहीं है। साधारणतया अज्ञात की घात का उल्लेख उस घात के गुणांक के संदर्भ में किया जाता है। अपने भाष्यकार ब्रह्मगुप्त द्वारा इसी तरह के प्रयोग की व्याख्या करते हुए, पृथिदकस्वामी लिखते हैं, "अज्ञात के वर्ग का गुणांक जो संख्या (''अंक'') है, उसे 'वर्ग' कहा जाता है और वह संख्या जो (सरल) अज्ञात का गुणांक बनाती है,अज्ञात मात्रा कहलाती है । हालाँकि, कभी-कभी तकनीकी शब्द का उपयोग भी किया जाता है। ब्रह्मगुप्त एक बार गुणांक को ''सांख्य'' (संख्या) और कई अन्य अवसरों पर गुणांक, या गुणाकार (गुणक) कहते हैं। चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) इसे ''अंक'' (संख्या) या ''प्रकृति'' (गुणक) कहते हैं । ये शब्द श्रीपति (1039)5 और भास्कर द्वितीय (1150) के कार्यों में फिर से प्रकट होते हैं। पूर्व में भी इसी उद्देश्य के लिए ''रूप''  का प्रयोग किया जाता था।
==प्रतीक==
'''संक्रिया के प्रतीक:'''  ''बख्शाली''  के काम में मौलिक कार्यों के लिए कोई विशेष प्रतीक नहीं हैं। किसी भी विशेष संक्रिया का उद्देश्य  सामान्य रूप से आशुलिपि (शॉर्टहैंड) संक्षिप्त नाम, उस आयात के संस्कृत शब्द के प्रारंभिक शब्दांश,(बाद में, कभी-कभी पहले), प्रभावित मात्रा को रखकर इंगित किया जाता है। इस प्रकार जोड़ के संचालन को ''यू'' (''यूता''  से एक संक्षिप्त नाम, अर्थ जोड़ा गया), घटाव द्वारा इंगित किया जाता है, जो संभवतः ''क्ष''  से होता है (''क्षय''  से संक्षिप्त, छोटा/कम), ''गु''  द्वारा गुणा (''गुणा''  या ''गुणिता''  से, गुणा) और भाग द्वारा ''भा'' (''भाग''  या ''भजिता''  से, विभाजित)।


भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं, "वे (ज्ञात और अज्ञात संख्याएं) जो ऋणात्मक हैं, उनके ऊपर एक बिंदु (''बिंदु'') के साथ लिखा जाना चाहिए।"


'''घातों और मूल के लिए प्रतीक:''' घातों और मूल के प्रतीक संस्कृत शब्दों के संक्षिप्त रूप हैं जिन्हें प्रभावित संख्या के बाद रखा गया है। इसलिए, वर्ग का प्रतिनिधित्व ''व'' (''वर्ग'' से), घन द्वारा ''घ'' (''घन''  से), चौथी घात ''व-व'' (''वर्ग-वर्ग'' से), पांचवीं घात ''वा-घा-घा'' (''वर्ग-घना-घात'' से) द्वारा किया जाता है। छठी घात ''घ-व'' (''घन-वर्ग''  से), सातवीं घात ''व-व-घ-घा'' (''वर्ग-वर्ग-घन-घात''  से) इत्यादि।
=== बीजगणित का प्रारंभिक इतिहास ===


दो या दो से अधिक अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को अज्ञात के बाद ''भा'' (''भाविता'', गुणनफल से) लिखकर या बिना अंतःस्थापित बिंदुओं के द्वारा दर्शाया जाता है; जैसे, ''यव-काघा-भा''  या ''यवकागभा'' का अर्थ है ''(या'') <sup>2</sup> (''का'') <sup>3</sup>। बख्शाली ग्रंथ में किसी मात्रा के वर्गमूल को उसके बाद ''मू''  लिखकर दर्शाया जाता है जो ''मूल''  का संक्षिप्त रूप है।
[[ फ़ाइल: इमेज-अल-किताब अल-मुताशर फी इसाब अल-सब्र व-एल-मुकbala.jpg|thumb|upright=0.8| [[ से एक पृष्ठ :en:मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी |  अल-ख्वारिज्मी ]] की ' [[ पूर्णता और संतुलन द्वारा गणना पर संकलित पुस्तक |  अल-किताब अल-मुश्तर फी इसाब अल-मुकबला 22- '' ]]


उदाहरण के लिए
बीजगणित की जड़ों का पता प्राचीन  [[ बेबीलोनियाई गणित |  बेबीलोनियाई ]] . से लगाया जा सकता है<ref>{{cite book |last=Struik |first=Dirk J. |year=1987 |title=A Concise History of Mathematics |location=New York |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-60255-4 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1 }}</ref> जिन्होंने एक उन्नत अंकगणितीय प्रणाली विकसित की जिसके साथ वे  [[ एल्गोरिथम ]] आईसी फैशन में गणना करने में सक्षम थे। बेबीलोनियों ने  [[ रैखिक समीकरण ]] एस,  [[ द्विघात समीकरण ]] एस और  [[ अनिश्चित समीकरण |  अनिश्चित रैखिक समीकरण ]] का उपयोग करके आज आमतौर पर हल की गई समस्याओं के समाधान की गणना करने के लिए सूत्र विकसित किए। इसके विपरीत, इस युग के अधिकांश  [[ प्राचीन मिस्र के गणित |  मिस्रवासी ]], साथ ही  [[ यूनानी गणित |  यूनानी ]] और  [[ चीनी गणित ]] पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में, आमतौर पर ज्यामितीय तरीकों से ऐसे समीकरणों को हल करते थे, जैसे कि 'में वर्णित'। ' [[ रेंड मैथमैटिकल पेपिरस ]]',  [[ यूक्लिड के तत्व |  यूक्लिड के ''तत्व'' ]] , और '' [[ द नाइन चैप्टर ऑन द मैथमैटिकल आर्ट ]]''। यूनानियों के ज्यामितीय कार्य, 'तत्वों' में टाइप किए गए, विशेष समस्याओं के समाधान से परे सूत्रों को समीकरणों को बताने और हल करने की अधिक सामान्य प्रणालियों में सामान्यीकरण के लिए रूपरेखा प्रदान करते हैं, हालांकि यह  [[ तक महसूस नहीं किया जाएगा मध्ययुगीन इस्लाम में गणित |  गणित मध्यकालीन इस्लाम में विकसित हुआ ]]<ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}</ref>


21 ''या'' 4  ''मू''   5
[[ प्लेटो ]] के समय तक, ग्रीक गणित में भारी बदलाव आया था। यूनानियों ने एक  [[ ग्रीक ज्यामितीय बीजगणित |  ज्यामितीय बीजगणित ]] बनाया जहां शब्दों को ज्यामितीय वस्तुओं के पक्षों द्वारा दर्शाया गया था, आमतौर पर रेखाएं, जिनमें उनके साथ जुड़े अक्षर थे<ref name=citeboyer>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, ''यूरोप इन द मिडिल एज'', पृ. 258: यूक्लिड के ''एलिमेंट्स'' VII-IX में अंकगणितीय प्रमेयों में, संख्याओं को उन रेखा खंडों द्वारा दर्शाया गया था जिनसे अक्षर जुड़े हुए थे, और अल-ख्वारिज्मी के ''बीजगणित'' में ज्यामितीय प्रमाणों में अक्षर आरेखों का उपयोग किया गया था; लेकिन 'बीजगणित' में प्रयुक्त समीकरणों के सभी गुणांक विशिष्ट संख्याएँ हैं, चाहे अंकों द्वारा प्रदर्शित हों या शब्दों में लिखे गए हों। सामान्यता का विचार अल-ख्वारिज्मी की व्याख्या में निहित है, लेकिन उनके पास बीजगणितीय रूप से सामान्य प्रस्तावों को व्यक्त करने की कोई योजना नहीं थी जो कि ज्यामिति में इतनी आसानी से उपलब्ध हैं।</ref>  [[ डायोफैंटस ]] (तीसरी शताब्दी ई.)  [[ अलेक्जेंड्रिया ]] एन ग्रीक गणितज्ञ और ' [[ अंकगणित ]]' नामक पुस्तकों की एक श्रृंखला के लेखक थे। ये ग्रंथ  [[ बीजगणितीय समीकरण ]] s . को हल करने से संबंधित हैं<ref>{{cite book |author-link=Florian Cajori |first=Florian |last=Cajori |year=2010 |url=https://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34 |title=A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching |page=34 |isbn=978-1-4460-2221-4 |access-date=2020-10-15 |archive-date=2021-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34 |url-status=live }}</ref> और  [[ संख्या सिद्धांत ]] में,  [[ डायोफैंटाइन समीकरण ]] की आधुनिक धारणा का नेतृत्व किया है।


1        1       1
ऊपर चर्चा की गई पूर्व परंपराओं का ईरान के  [[ इतिहास |  फारसी ]] गणितज्ञ  [[ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी |  मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ]] (सी। 780-850) पर सीधा प्रभाव था। बाद में उन्होंने '' [[ द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग ]]'' लिखा, जिसने बीजगणित को एक गणितीय अनुशासन के रूप में स्थापित किया जो  [[ ज्यामिति ]] और  [[ अंकगणित ]] से स्वतंत्र है।<ref>{িতে चीता पुस्तक |  शीर्षक = अल खबरिजमी: टी बीजगणित की शुरुआत |  लेखक = रुश्दी रशेड |  प्रकाशक = साकी पुस्तकें |  दिनांक = नवंबर से 09 |  ईश्वर =978-0-86356-430-7}</ref>


से अभिप्रेत है
[[ हेलेनिस्टिक काल |  हेलेनिस्टिक ]] गणितज्ञ  [[ अलेक्जेंड्रिया के हीरो ]] और डायोफैंटु<ref>{{cite web|url=http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |title=Diophantus, Father of Algebra |access-date=2014-10-05 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20130727040815/http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |archive-date=2013-07-27}}</ref> साथ ही  [[ भारतीय गणित |  भारतीय गणितज्ञ ]] जैसे  [[ ब्रह्मगुप्त ]], ने मिस्र और बेबीलोन की परंपराओं को जारी रखा, हालांकि डायोफैंटस ''अरिथमेटिका'' और ब्रह्मगुप्त की '' [[ ब्रह्मस्फूससिद्धांत ]]'' उच्च स्तर पर हैं।<ref>{{cite web|url=http://www.algebra.com/algebra/about/history/|title=History of Algebra|access-date=2014-10-05|archive-date=2014-11-11|archive-url=https://web.archive.org/web/2014 [[040653/http://www.algebra.com/algebra/about/history/|url-status=live}}</ref>{{Better source needed|date=October 2017}} उदाहरण के लिए, प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा गया पहला पूर्ण अंकगणितीय हल<ref>मैकेंज़ी, दाना। ''द यूनिवर्स इन जीरो वर्ड्स: द स्टोरी ऑफ मैथमेटिक्स ऐज टॉल्ड थ्रू इक्वेशन'', पृ. 61 (प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2012)</ref> ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में प्रकाशित अपनी पुस्तक ''ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त'' में द्विघात समीकरणों के शून्य और ऋणात्मक हलों का वर्णन किया है।<ref name="Bradley">ब्रैडली, माइकल। ''गणित का जन्म: प्राचीन काल से 1300 तक'', पृ. 86 (इन्फोबेस प्रकाशन 2006)</ref> बाद में, फारसी और  [[ अरब |  अरब ]] गणितज्ञों ने बीजगणितीय विधियों को बहुत अधिक परिष्कार के लिए विकसित किया। हालांकि डायोफैंटस और बेबीलोनियों ने समीकरणों को हल करने के लिए ज्यादातर विशेष ''तदर्थ'' तरीकों का इस्तेमाल किया, अल-ख्वारिज्मी का योगदान मौलिक था। उन्होंने बीजगणितीय प्रतीकवाद के बिना रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल किया,  [[ ऋणात्मक संख्या ]] या  [[ शून्य ]], इस प्रकार उन्हें कई प्रकार के समीकरणों में अंतर करना पड़ा<ref name="Meri2004">{{cite book|first=Josef W.|last=Meri|title=Medieval Islamic Civilization|url=https://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|access-date=2012-11-25|year=2004|publisher=Psychology Press|isbn=978-0-415-96690-0|page=31|archive-date=2013-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20130602195207/http://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|url-status=live}}</ref>


<math>\sqrt{21 + 4} = 5</math>
उस संदर्भ में जहां बीजगणित की पहचान  [[ समीकरणों के सिद्धांत ]] के साथ की जाती है, ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस को पारंपरिक रूप से बीजगणित के पिता के रूप में जाना जाता है और संदर्भ में जहां इसे समीकरणों में हेरफेर और हल करने के नियमों के साथ पहचाना जाता है, फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी है बीजगणित का जनक माना जाता है<ref>{{Cite book|last=Corona|first=Brezina|title=Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra|publisher=Rosen Pub Group|date=February 8, 2006|isbn=978-1404205130|location=New York, United States}}</ref><ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, पृष्ठ 181: यदि हम मुख्य रूप से अंकन के मामले में सोचते हैं, तो डायोफैंटस का 'बीजगणित के पिता' के रूप में जाना जाने का अच्छा दावा है, लेकिन प्रेरणा और अवधारणा के संदर्भ में, दावा कम उपयुक्त है। अंकगणित बीजगणितीय संक्रियाओं, या बीजीय फलनों या बीजीय समीकरणों के हल का व्यवस्थित विवरण नहीं है</ref><ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, पृष्ठ 230: ऊपर दिए गए समीकरणों के छह मामले रैखिक और द्विघात समीकरणों के लिए सभी संभावनाओं को समाप्त कर देते हैं ... इस अर्थ में, अल-ख्वारिज्मी को 'बीजगणित के पिता' के रूप में जाना जाता है।</ref><ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, पृष्ठ 228: डायोफैंटस को कभी-कभी बीजगणित का जनक कहा जाता है, लेकिन यह शीर्षक अधिक उपयुक्त रूप से अल-खोवारिज्मी से संबंधित है</ref><ref name="Gandz">देखो {{harvnb|Gandz|1936}}, पृष्ठ 263-277: एक अर्थ में, अल-ख्वारिज्मी डायोफैंटस की तुलना में बीजगणित के पिता कहलाने के अधिक हकदार हैं क्योंकि अल-ख्वारिज्मी प्राथमिक रूप में बीजगणित को पढ़ाने वाले पहले व्यक्ति हैं और अपने स्वयं के लिए, डायोफैंटस मुख्य रूप से संबंधित है सिद्धांत ओएफ संख्या</ref><ref>{{Cite journal |last=Christianidis |first=Jean |date=August 2007 |title=The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=34|issue=3|pages=289–305|quote=It is true that if one starts from a conception of algebra that emphasizes the solution of equations, as was generally the case with the Arab mathematicians from al-Khwārizmī onward as well as with the Italian algebraists of the Renaissance, then the work of Diophantus appears indeed very different from the works of those algebraists|doi=10.1016/j.hm.2006.10.003|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal |first=G. C. |last= Cifoletti |title= La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droi