बम्प फलन (फंक्शन)

गणित में, एक बम्प फलन (जिसे परीक्षण फलन भी कहा जाता है)। एक फलन (गणित) $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर $\mathbb {R} ^{n}$है, जो दोनों सुचारू कार्य (सभी आदेशों के सतत कार्य यौगिक होने के अर्थ में) और समर्थन (गणित) सघन समर्थन। किसी फलन के प्रभाव क्षेत्र के साथ सभी बम्प फलन का $\mathbb {R} ^{n}$ निरूपित एक सदिश स्थान बनाता है। $\mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ या $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ एक उपयुक्त स्थानिक स्थान के साथ संपन्न इस स्थान का दोहरा स्थान परिभाषाएँ वितरण (गणित) का स्थान है।

उदाहरण

File:Mollifier Illustration.svg

1d बम्प फलन Ψ(x)।

कार्यक्रम $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ के द्वारा दिया गया

$$\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

आयाम में बम्प फलन का एक उदाहरण है। निर्माण से यह स्पष्ट है कि इस फलन का सघन समर्थन है, क्योंकि रील्स रेखा के एक फलन में सघन समर्थन होता है, केवल यह बंद समर्थन को बाध्य करता है। सम का प्रमाण गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य लेख में चर्चा किए गए संबंधित फलन के समान ही होता है। इस फलन की व्याख्या गाऊसी फलन के रूप में की जा सकती है $\exp \left(-y^{2}\right)$ इकाई चक्र में उपयुक्त होने के लिए बढ़ाया गया: प्रतिस्थापन $y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}$ भेजने से मेल खाता है $x=\pm 1$ प्रति $y=\infty .$ (वर्ग) बम्प फलन का एक सरल उदाहरण $n$ चर का उत्पाद लेकर प्राप्त किया जाता है $n$ उपरोक्त बम्प फलन की प्रतियां एक चर में हैं, इसलिए

$$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).$$

फलन बम्प का अस्तित्व

निर्माण में समूह का एक उदाहरण.

विशिष्टताओं के लिए बम्प कार्यों का निर्माण करना संभव है। औपचारिक रूप से कहा गया है, अगर $K$ में एक मनमाना कॉम्पैक्ट समुच्चय है $n$ आयाम और $U$ युक्त एक खुला समुच्चय है $K,$ एक बम्प फलन उपस्थित है $\phi$ जो है $1$ पर $K$ तथा $0$ के बाहर $U.$ तब से $U$ का एक बहुत छोटा समीपवर्ती स्थान माना जा सकता है $K,$ यह एक फलन बनाने में सक्षम होने के बराबर है $1$ पर $K$ और तेजी से गिर जाता है $0$ के बाहर $K,$ जबकि अभी भी सम है।

निर्माण निम्नानुसार आगे बढ़ता है। एक सघन समीपवर्ती स्थान पर विचार करता है $V$ का $K$ इसमें रखा $U,$ इसलिए $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.$ सूचक फलन $\chi _{V}$ का $V$ के बराबर होगा $1$ पर $V$ तथा $0$ के बाहर $V,$ तो विशेष रूप से, यह होगा $1$ पर $K$ तथा $0$ के बाहर $U.$ हालांकि यह फलन सम नहीं है। मुख्य विचार सम करना है $\chi _{V}$ थोड़ा सा, का घुमाव लेकर $\chi _{V}$ एक शमन करनेवाला के साथ है। उत्तरार्द्ध बहुत छोटे समर्थन के साथ एक बम्प कार्य है और जिसका अभिन्न अंग है $1.$ इस तरह के एक मोलिफायर को प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, बम्प फलन लेकर $\Phi$ पिछले अनुभाग से और उचित सपरिवर्तन करना।

वैकल्पिक निर्माण जिसमें आक्षेप शामिल नहीं है,अब विस्तृत है। किसी भी सुचारू कार्य से प्रारंभ करें $c:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ जो ऋणात्मक रील्स पर लुप्त हो जाता है और धनात्मक रील्स पर धनात्मक होता है (अर्थात, $c=0$ पर $(-\infty ,0)$ तथा $c>0$ पर $(0,\infty ),$ जहां बाएं से निरंतरता जरूरी है $c(0)=0$); ऐसे फलन का एक उदाहरण है $c(x):=e^{-1/x}$ के लिये $x>0$ तथा $c(x):=0$ अन्यथा। एक खुले उपसमुच्चय को ठीक करें $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$ और सामान्य यूक्लिडियन मानदंड को निरूपित करें $\|\cdot \|$ (इसलिए $\mathbb {R} ^{n}$ सामान्य यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ संपन्न है)। निम्नलिखित निर्माण एक सुचारू कार्य को परिभाषित करता है $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ वह धनात्मक है $U$ और बाहर लुप्त हो जाता है $U.$ तो विशेष रूप से अगर $U$ अपेक्षाकृत सघन है तो यह फलन $f$ बम्प फलन होगा।

यदि $U=\mathbb {R} ^{n}$और $f:=1$ जबकि अगर $U=\varnothing$ और $f:=0$; तो मान लो $U$ इनमें से कोई भी नहीं है। $\left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ का खुला आवरण है $U$ ओपन बॉलों से जहां ओपन बॉल $U_{k}$ त्रिज्या है $r_{k}>0$ और केंद्र $a_{k}\in U.$ फिर नक्शा $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $f_{k}(x):=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)$ एक सुचारू कार्य है जो धनात्मक है $U_{k}$ और लुप्त हो जाता है $U_{k}.$ हर एक के लिए $k\in \mathbb {N} ,$ होने देना

$$M_{k}:=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n},p\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},$$

जो कि एक रील्स संख्या है क्योंकि किसी भी समय श्रेष्ठता लुप्त हो जाती है $x$ के बाहर $U_{k}$ जबकि सघन समूह पर ${\overline {U_{k}}},$ आंशिक यौगिक के मान परिबद्ध हैं। श्रृंखला

$$f:=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}$$

समान रूप से अभिसरित हो जाता है $\mathbb {R} ^{n}$ सुचारू कार्य करने के लिए $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ धनात्मक है $U$ और लुप्त हो जाता है $U.$ इसके अलावा, किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,$

$${\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}$$

जहाँ यह श्रृंखला भी समान रूप से अभिसरित होती है $\mathbb {R} ^{n}$ (क्योंकि जब भी $k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}$ फिर $k$^th शर्तों का निरपेक्ष मान है ^{$\leq {\frac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\frac {1}{2^{k}}}$).}

एक उपप्रमेय के रूप में, दो असंयुक्त बंद उपसमुच्चय दिए गए हैं $A,B$ का $\mathbb {R} ^{n}$ और सुचारू गैर-ऋणात्मक कार्य $f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$ ऐसा किसी के लिए अगर $x\in \mathbb {R} ^{n},$ $f_{A}(x)=0$ और अगर $x\in A,$ और इसी तरहअगर, $f_{B}(x)=0$ और अगर $x\in B,$ फिर फलन $f:={\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ सम है और किसी के लिए अगर $x\in \mathbb {R} ^{n},$ $f(x)=0$ और अगर $x\in A,$ $f(x)=1$ और अगर $x\in B,$ तथा $0<f(x)<1$ और अगर $x\not \in A\cup B.$ विशेष रूप से, $f(x)\neq 0$ और अगर $x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,$ तो अगर इसके अलावा $U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A$ में अपेक्षाकृत सघन है $\mathbb {R} ^{n}$ (कहाँ पे $A\cap B=\varnothing$ तात्पर्य $B\subseteq U$) फिर $f$ में सहयोग के साथ एक सम बम्प फलन होगा ${\overline {U}}.$

गुण और उपयोग

जबकि बम्प फलन सुचारू हैं, वे विश्लेषणात्मक फलन नहीं हो सकते हैं जब तक कि वे किसी फलन के समान रूप से शून्य न हों, यह पहचान प्रमेय का एक सरल परिणाम है। बम्प फलन का उपयोग अक्सर मोलिफ़ायर के रूप में, सम कटऑफ फलन के रूप में और एकता के सम विभाजन बनाने के लिए किया जाता है। वे विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले परीक्षण कार्यों का सबसे सामान्य वर्ग हैं। कई संचालन के तहत बम्प फलन का स्थान बंद है। उदाहरण के लिए, दो बम्प कार्यों का योग, उत्पाद, या दृढ़ संकल्प फिर से एक बम्प कार्य होता है, और सम गुणांक वाले किसी भी अंतर ऑपरेटर, जब बम्प फलन पर लागू होता है, तो एक और बम्प कार्य उत्पन्न करेगा।

यदि बम्प फलन क्षेत्र की सीमाएँ हैं $\partial x$, सम की आवश्यकता को पूरा करने के लिए इसे अपने सभी यौगिक की निरंतरता को बनाए रखना होगा, जो इसके क्षेत्र की सीमाओं पर निम्नलिखित आवश्यकता की ओर ले जाता है:

$$\lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,\forall n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z}$$

बम्प फलन का फूरियर रूपांतरण एक (रील्स) विश्लेषणात्मक फलन है, और इसे पूरे जटिल विमान तक बढ़ाया जा सकता है: इसलिए इसे तब तक सघन रूप से समर्थित नहीं किया जा सकता जब तक कि यह शून्य न हो, क्योंकि केवल संपूर्ण विश्लेषणात्मक बम्प फलन शून्य फलन है (देखें) पाले-वीनर प्रमेय और लिउविल का प्रमेय (जटिल विश्लेषण) | लिउविल का प्रमेय)। क्योंकि बम्प फलन असीम रूप से भिन्न होता है, इसके फूरियर रूपांतरण की किसी भी परिमित शक्ति की तुलना में तेजी से क्षय होना चाहिए $1/k$ एक बड़े कोणीय आवृत्ति के लिए $|k|$. विशेष बम्प फलन का फूरियर रूपांतरण

$$\Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}$$

ऊपर से एक सैडल-पॉइंट विधि द्वारा विश्लेषण किया जा सकता है, और असम्बद्ध रूप में क्षय होता है

$$|k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}$$

बड़े के लिए $|k|$.

यह भी देखें

• कटऑफ समारोह
• संकेतक का लाप्लासियन
• गैर-विश्लेषणात्मक स्मूथ फलन
• श्वार्ट्ज समतल