कोणीय वेग: Difference between revisions
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भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}}या{{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book | |||
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| pages = 449, 484, 485, 487 | | pages = 449, 484, 485, 487 | ||
| url = https://books.google.com/books?id=rAfF_X9cE0EC | | url = https://books.google.com/books?id=rAfF_X9cE0EC | ||
| isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर | | | isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] निरूपण है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)। छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य(ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य (ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है।<ref name= EM1>{{cite book | ||
| last = Hibbeler | | last = Hibbeler | ||
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कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार हैं। | कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार हैं। | ||
* कक्षीय कोणीय वेग एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु | * '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल(गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर। | ||
* झुकाव कोणीय वेग से तात्पर्य है कि एक कठोर शरीर कितनी तेजी से | * '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक कठोर शरीर कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है। | ||
सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम(भौतिकी)]] होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है)।कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |ओमेगा({{math|ω}}, कभी-कभी{{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता है ।परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है। | |||
उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट | | उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है। यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या गुना होता है, <math>v = r\omega</math>। पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की ओर यात्रा करता है। | ||
== एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय वेग == | == एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय वेग == | ||
=== दो आयामों में कण === | === दो आयामों में कण === | ||
[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा।]]त्रिज्या पर | [[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा।]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों ओर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है,और रैखिक वेग है <math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math>, ताकि <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math>। | ||
तल में जाने वाले एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण से बाहर निकलती है।आरेख स्थिति सदिश दिखाता है <math>\mathbf{r}</math> मूल से <math>O</math> एक कण को <math>P</math>, इसके ध्रुवीय निर्देशांक के साथ <math>(r, \phi)</math>।(सभी चर समय के कार्य हैं <math>t</math>।) कण में रैखिक वेग के रूप में विभाजित होता है <math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math>, रेडियल घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और क्रॉस-रेडियल (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए लंबवत।जब कोई रेडियल घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है;लेकिन जब कोई क्रॉस-रेडियल घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है।चूंकि रेडियल गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का क्रॉस-रेडियल घटक कोणीय वेग में योगदान देता है। | |||
कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे क्रॉस-रेडियल वेग से गणना की जा सकती है: | कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे क्रॉस-रेडियल वेग से गणना की जा सकती है: | ||
: <math qid=Q240105>\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{v_\perp}{r}.</math> | : <math qid=Q240105>\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{v_\perp}{r}.</math> | ||
यहाँ क्रॉस-रेडियल स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण है <math>\mathbf{v}_\perp</math>, काउंटर-क्लॉकवाइज गति के लिए सकारात्मक, दक्षिणावर्त के लिए | यहाँ क्रॉस-रेडियल स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण है <math>\mathbf{v}_\perp</math>, काउंटर-क्लॉकवाइज गति के लिए सकारात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक ।रैखिक वेग के लिए ध्रुवीय निर्देशांक लेना <math>\mathbf{v}</math> परिमाण देता है <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, ताकि | ||
: <math qid=Q161635>\omega = \frac{v\sin(\theta)}{r}.</math> | : <math qid=Q161635>\omega = \frac{v\sin(\theta)}{r}.</math> | ||
इन सूत्रों को किया जा सकता है <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>, हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य।फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें)।जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का रेडियल घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक रेडियल | इन सूत्रों को किया जा सकता है <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>, हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य।फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें)।जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का रेडियल घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक रेडियल इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है। | ||
दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो | दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है।यदि RADIUS सदिश काउंटर-क्लॉकवाइज हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक हो जाता है।कोणीय वेग को तब एक [[ स्यूडोस्केलर |स्यूडोस्केलर]] कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक [[ समता (भौतिकी) |समता (भौतिकी)]] के तहत हस्ताक्षर को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को इनवर्ट करना या दो अक्षों को स्विच करना। | ||
=== तीन आयामों में कण === | === तीन आयामों में कण === | ||
[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक | [[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है।इस मामले में (काउंटर-क्लॉकवाइज सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है।]]त्रि-आयामी स्थान में, हमारे पास फिर से एक चलती कण की स्थिति सदिश आर है।यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक स्यूडोसदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर आर कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात् तल आर और वी द्वारा फैलाया जाता है)।हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है। | ||
छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए | छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, ताकि दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-क्लॉकवाइज है जो ऊपर से दिख रही है <math>\mathbf{u}</math>)।ध्रुवीय निर्देशांक लेना <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है: | ||
: <math>\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,</math> | : <math>\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,</math> | ||
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== एक कठोर शरीर या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग == | == एक कठोर शरीर या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग == | ||
तीन | तीन इकाई समन्वय वैक्टर के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए।इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर स्केलर त्रिज्या के साथ एक चलती कण के रूप में माना जा सकता है। | ||
घूर्णन फ्रेम कठोर शरीर के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। | घूर्णन फ्रेम कठोर शरीर के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। | ||
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(\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j + | (\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j + | ||
(\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k</math> | (\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k</math> | ||
कहाँ पे <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> मूविंग बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए | कहाँ पे <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> मूविंग बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई वैक्टर हैं।यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया है।{{Citation needed|date=June 2020}} | ||
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=== | === निर्देशन आव्यूह से गणना === | ||
एक सदिश <math>\mathbf r</math> एक निश्चित अक्ष के आसपास समान | एक सदिश <math>\mathbf r</math> एक निश्चित अक्ष के आसपास समान वृत्तीय गति से गुजरना संतुष्टि: | ||
:<math>\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}</math> | :<math>\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}</math> | ||
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: <math>\frac {dA}{dt} = W \cdot A.</math> | : <math>\frac {dA}{dt} = W \cdot A.</math> | ||
(यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं | (यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं घूर्णन है।) इसलिए कोणीय वेग प्रदिश है: | ||
: <math>W = \frac {dA} {dt} \cdot A^{-1} = \frac {dA} {dt} \cdot A^{\mathrm{T}},</math> | : <math>W = \frac {dA} {dt} \cdot A^{-1} = \frac {dA} {dt} \cdot A^{\mathrm{T}},</math> | ||
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: <math>0 = \frac{dA}{dt}A^\text{T}+\left(\frac{dA}{dt} A^\text{T}\right)^\text{T} = W + W^\text{T}</math> | : <math>0 = \frac{dA}{dt}A^\text{T}+\left(\frac{dA}{dt} A^\text{T}\right)^\text{T} = W + W^\text{T}</math> | ||
इस प्रकार, डब्ल्यू इसके ट्रांसपोज़ का | इस प्रकार, डब्ल्यू इसके ट्रांसपोज़ का ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि यह तिरछा सममित है। | ||
=== समन्वय-मुक्त विवरण === | === समन्वय-मुक्त विवरण === | ||
किसी भी पल में <math>t</math>, कोणीय वेग प्रदिश स्थिति सदिश के बीच एक रैखिक मानचित्र का | किसी भी पल में <math>t</math>, कोणीय वेग प्रदिश स्थिति सदिश के बीच एक रैखिक मानचित्र का निरूपण करता है <math>\mathbf{r}(t)</math> और वेग वैक्टर <math>\mathbf{v}(t)</math> मूल के चारों ओर घूमने वाले एक कठोर शरीर पर एक बिंदु: | ||
: <math> \mathbf{v} = W\mathbf{r} .</math> | : <math> \mathbf{v} = W\mathbf{r} .</math> | ||
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{{See also|axes conventions}} | {{See also|axes conventions}} | ||
[[Image:AngularVelocity02.svg|right|320 px | कठोर शरीर में स्थित बिंदु P की स्थिति (नीले रंग में दिखाया गया है)।आर<sub>''i''</sub> लैब फ्रेम के संबंध में स्थिति है, जो ओ और 'आर' पर केंद्रित है<sub>''i''</sub> कठोर शरीर के फ्रेम के संबंध में स्थिति है, पर केंद्रित है {{′|''O''}}।कठोर शरीर के फ्रेम की उत्पत्ति लैब फ्रेम से सदिश स्थिति आर पर है।]]कोणीय गति के लिए समान समीकरणों को एक घूर्णन कठोर शरीर पर तर्क प्राप्त किया जा सकता है।यहाँ यह नहीं माना जाता है कि कठोर शरीर मूल के चारों ओर | [[Image:AngularVelocity02.svg|right|320 px | कठोर शरीर में स्थित बिंदु P की स्थिति (नीले रंग में दिखाया गया है)।आर<sub>''i''</sub> लैब फ्रेम के संबंध में स्थिति है, जो ओ और 'आर' पर केंद्रित है<sub>''i''</sub> कठोर शरीर के फ्रेम के संबंध में स्थिति है, पर केंद्रित है {{′|''O''}}।कठोर शरीर के फ्रेम की उत्पत्ति लैब फ्रेम से सदिश स्थिति आर पर है।]]कोणीय गति के लिए समान समीकरणों को एक घूर्णन कठोर शरीर पर तर्क प्राप्त किया जा सकता है।यहाँ यह नहीं माना जाता है कि कठोर शरीर मूल के चारों ओर घूर्णन है।इसके बजाय, यह एक मनमाना बिंदु के चारों ओर घूर्णन हुआ माना जा सकता है जो प्रत्येक तत्काल में एक रैखिक वेग v (t) के साथ आगे बढ़ रहा है। | ||
समीकरणों को प्राप्त करने के लिए, फ्रेम से जुड़े एक कठोर शरीर की कल्पना करना और एक समन्वय प्रणाली पर विचार करना सुविधाजनक है जो कठोर शरीर के संबंध में तय है।फिर हम इस समन्वय और निश्चित प्रयोगशाला प्रणाली के बीच समन्वय परिवर्तनों का अध्ययन करेंगे। | समीकरणों को प्राप्त करने के लिए, फ्रेम से जुड़े एक कठोर शरीर की कल्पना करना और एक समन्वय प्रणाली पर विचार करना सुविधाजनक है जो कठोर शरीर के संबंध में तय है।फिर हम इस समन्वय और निश्चित प्रयोगशाला प्रणाली के बीच समन्वय परिवर्तनों का अध्ययन करेंगे। | ||
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: <math>\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i</math> | : <math>\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i</math> | ||
एक कठोर शरीर की परिभाषित विशेषता यह है कि कठोर शरीर में किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी समय में अपरिवर्तित होती है।इसका मतलब है कि सदिश की लंबाई <math>\mathbf{r}_i</math> अपरिवर्तित है।यूलर के घूर्णन प्रमेय द्वारा, हम सदिश को बदल सकते हैं <math>\mathbf{r}_i</math> साथ <math>\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}</math> कहाँ पे <math>\mathcal{R}</math> एक 3 × 3 [[ रोटेशन मैट्रिक्स | घूर्णन]] आव्यूह है और <math>\mathbf{r}_{io}</math> समय में कुछ निश्चित बिंदु पर कण की स्थिति है, कहते हैं {{nowrap|1=''t'' = 0}}।यह प्रतिस्थापन उपयोगी है, क्योंकि अब यह केवल घूर्णन आव्यूह है <math>\mathcal{R}</math> यह समय में बदल रहा है न कि संदर्भ सदिश <math>\mathbf{r}_{io}</math>, जैसे कि कठोर शरीर बिंदु के बारे में | एक कठोर शरीर की परिभाषित विशेषता यह है कि कठोर शरीर में किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी समय में अपरिवर्तित होती है।इसका मतलब है कि सदिश की लंबाई <math>\mathbf{r}_i</math> अपरिवर्तित है।यूलर के घूर्णन प्रमेय द्वारा, हम सदिश को बदल सकते हैं <math>\mathbf{r}_i</math> साथ <math>\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}</math> कहाँ पे <math>\mathcal{R}</math> एक 3 × 3 [[ रोटेशन मैट्रिक्स | घूर्णन]] आव्यूह है और <math>\mathbf{r}_{io}</math> समय में कुछ निश्चित बिंदु पर कण की स्थिति है, कहते हैं {{nowrap|1=''t'' = 0}}।यह प्रतिस्थापन उपयोगी है, क्योंकि अब यह केवल घूर्णन आव्यूह है <math>\mathcal{R}</math> यह समय में बदल रहा है न कि संदर्भ सदिश <math>\mathbf{r}_{io}</math>, जैसे कि कठोर शरीर बिंदु के बारे में घूर्णन है {{′|''O''}}।इसके अलावा, चूंकि घूर्णन आव्यूह के तीन कॉलम कठोर शरीर के साथ एक साथ घूमते हुए एक संदर्भ फ्रेम के तीन [[ पाठ्यक्रम में हो |पाठ्यक्रम में हो]] ्स का निरूपण करते हैं, किसी भी अक्ष के बारे में कोई भी घूर्णन अब दिखाई देता है, जबकि सदिश <math>\mathbf{r}_i</math> यदि घूर्णन अक्ष इसके समानांतर थे, तो नहीं घूमेंगे, और इसलिए यह केवल एक अक्ष के बारे में एक घूर्णन का वर्णन करेगा (यानी, यह कोणीय वेग के घटक को नहीं देखेगा, इसके समानांतर स्यूडोवेक्टर, और केवल गणना की अनुमति देगाइसके लिए लंबवत घटक)।कण की स्थिति अब के रूप में लिखी गई है: | ||
: <math>\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}</math> | : <math>\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}</math> | ||
| Line 267: | Line 267: | ||
=== स्थिरता === | === स्थिरता === | ||
हमने माना है कि कठोर शरीर एक मनमाना बिंदु के चारों ओर | हमने माना है कि कठोर शरीर एक मनमाना बिंदु के चारों ओर घूर्णन है।हमें यह साबित करना चाहिए कि पहले परिभाषित झुकाव कोणीय वेग मूल की पसंद से स्वतंत्र है, जिसका अर्थ है कि झुकाव कोणीय वेग कताई कठोर शरीर की एक आंतरिक संपत्ति है।(एक बिंदु कण के कक्षीय कोणीय वेग के साथ इसके चिह्नित विपरीत पर ध्यान दें, जो निश्चित रूप से मूल की पसंद पर निर्भर करता है।) | ||
[[image:AngularVelocity03.svg|right|320 पीएक्स |अँगूठा | [[image:AngularVelocity03.svg|right|320 पीएक्स |अँगूठा | ||
Revision as of 01:02, 27 January 2023
| Angular velocity | |
|---|---|
सामान्य प्रतीक | ω |
| SI आधार इकाइयाँ में | s−1 |
| व्यापक? | yes |
| गहन? | yes (for rigid body only) |
| संरक्षित? | no |
Behaviour under समन्वय परिवर्तन | pseudovector |
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां | ω = dθ / dt |
| आयाम | Script error: The module returned a nil value. It is supposed to return an export table. |
| Part of a series on |
| चिरसम्मत यांत्रिकी |
|---|