चैनल क्षमता: Difference between revisions
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* <math>W</math> प्रेषित होने वाला संदेश है; | * <math>W</math> प्रेषित होने वाला संदेश है; | ||
* <math>X</math> चैनल इनपुट संकेताक्षर है (<math>X^n</math>, <math>n</math> उस पर संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर <math>\mathcal{X}</math> में लिया गया है; | * <math>X</math> चैनल इनपुट संकेताक्षर है (<math>X^n</math>, <math>n</math> उस पर संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर <math>\mathcal{X}</math> में लिया गया है; | ||
*<math>Y</math> चैनल आउटपुट संकेताक्षर है (<math>Y^n</math>, <math>n</math> संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर <math>\mathcal{Y}</math> में लिया गया है; | *<math>Y</math> चैनल आउटपुट संकेताक्षर है (<math>Y^n</math>, <math>n</math> उस पर संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर <math>\mathcal{Y}</math> में लिया गया है; | ||
* <math>\hat{W}</math> प्रेषित संदेश का अनुमान है; | * <math>\hat{W}</math> प्रेषित संदेश का अनुमान है; | ||
* <math>f_n</math> एक एनकोडिंग फ़ंक्शन है ब्लॉक की लंबाई <math>n</math> के लिए; | * <math>f_n</math> एक एनकोडिंग फ़ंक्शन है ब्लॉक की लंबाई <math>n</math> के लिए; | ||
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यदि G [[ अप्रत्यक्ष ग्राफ |अप्रत्यक्ष ग्राफ]] है तो इसका उपयोग एक संचार चैनल को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें संकेताक्षर ग्राफ के कोने हैं, और दो कोडवर्ड एक दूसरे के साथ भ्रमित हो सकते हैं यदि प्रत्येक स्थिति में उनके संकेताक्षर समान या आसन्न हैं। ऐसे चैनल की शैनन क्षमता को खोजने की कम्प्यूटेशनल जटिलता खुली रहती है, लेकिन यह एक अन्य महत्वपूर्ण ग्राफ इनवेरिएंट, लोवाज़ नंबर द्वारा ऊपरी सीमा में हो सकती है।<ref>{{citation | first = László | last = Lovász | author-link = László Lovász | title = On the Shannon Capacity of a Graph | journal = [[IEEE Transactions on Information Theory]] | volume = IT-25 | issue = 1 | year = 1979 | pages = 1–7 | doi = 10.1109/tit.1979.1055985 }}.</ref> | यदि G [[ अप्रत्यक्ष ग्राफ |अप्रत्यक्ष ग्राफ]] है तो इसका उपयोग एक संचार चैनल को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें संकेताक्षर ग्राफ के कोने हैं, और दो कोडवर्ड एक दूसरे के साथ भ्रमित हो सकते हैं यदि प्रत्येक स्थिति में उनके संकेताक्षर समान या आसन्न हैं। ऐसे चैनल की शैनन क्षमता को खोजने की कम्प्यूटेशनल जटिलता खुली रहती है, लेकिन यह एक अन्य महत्वपूर्ण ग्राफ इनवेरिएंट, लोवाज़ नंबर द्वारा ऊपरी सीमा में हो सकती है।<ref>{{citation | first = László | last = Lovász | author-link = László Lovász | title = On the Shannon Capacity of a Graph | journal = [[IEEE Transactions on Information Theory]] | volume = IT-25 | issue = 1 | year = 1979 | pages = 1–7 | doi = 10.1109/tit.1979.1055985 }}.</ref> | ||
== | == नोइज़ी चैनल कोडिंग प्रमेय == | ||
नोइज़ी चैनल कोडिंग प्रमेय बताता है कि किसी भी त्रुटि संभावना के लिए ε> 0 और चैनल क्षमता सी से कम किसी भी संचरण दर आर के लिए, एन्कोडिंग और डिकोडिंग योजना है जो दर आर पर डेटा संचारित करती है जिसकी त्रुटि संभावना ε से कम है, एक के लिए पर्याप्त बड़ी ब्लॉक लंबाई है। चैनल की क्षमता से अधिक किसी दर के लिए, रिसीवर पर त्रुटि की संभावना 0.5 तक बढ़ जाती है क्योंकि ब्लॉक की लंबाई अनंत तक जाती है। | |||
== उदाहरण आवेदन == | == उदाहरण आवेदन == | ||
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बी हर्ट्ज [[ बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) |बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] और सिग्नल-टू-शोर अनुपात एस/एन के साथ एक योगात्मक सफेद गॉसियन शोर (एडब्ल्यूजीएन) चैनल के लिए चैनल क्षमता अवधारणा का एक अनुप्रयोग शैनन-हार्टले प्रमेय है: | बी हर्ट्ज [[ बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) |बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] और सिग्नल-टू-शोर अनुपात एस/एन के साथ एक योगात्मक सफेद गॉसियन शोर (एडब्ल्यूजीएन) चैनल के लिए चैनल क्षमता अवधारणा का एक अनुप्रयोग शैनन-हार्टले प्रमेय है: | ||
:<math> C = B \log_2 \left( 1+\frac{S}{N} \right)\ </math> | :<math> C = B \log_2 \left( 1+\frac{S}{N} \right)\ </math> | ||
C को [[ बिट्स प्रति सेकंड |बिट्स प्रति सेकंड]] में मापा जाता है यदि लघुगणक को आधार 2 में लिया जाता है, या Nat (यूनिट) प्रति सेकंड यदि [[ प्राकृतिक ]] लघुगणक का उपयोग किया जाता है, तो B को [[हर्ट्ज़]] में माना जाता है; संकेत और शोर ऊर्जा S और N रैखिक ऊर्जा इकाई (जैसे वाट या वोल्ट<sup>2</sup>) में व्यक्त की जाती हैं। चूंकि एस/एन आंकड़ों को अक्सर डीबी में उद्धृत किया जाता है, रूपांतरण की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, 30 डीबी का संकेत-ध्वनि अनुपात <math> 10^{30/10} = 10^3 = 1000</math> के रेखीय शक्ति अनुपात के अनुरूप होता है। | C को [[ बिट्स प्रति सेकंड |बिट्स प्रति सेकंड]] में मापा जाता है यदि लघुगणक को आधार 2 में लिया जाता है, या Nat (यूनिट) प्रति सेकंड यदि [[ प्राकृतिक |प्राकृतिक]] लघुगणक का उपयोग किया जाता है, तो B को [[हर्ट्ज़]] में माना जाता है; संकेत और शोर ऊर्जा S और N रैखिक ऊर्जा इकाई (जैसे वाट या वोल्ट<sup>2</sup>) में व्यक्त की जाती हैं। चूंकि एस/एन आंकड़ों को अक्सर डीबी में उद्धृत किया जाता है, रूपांतरण की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, 30 डीबी का संकेत-ध्वनि अनुपात <math> 10^{30/10} = 10^3 = 1000</math> के रेखीय शक्ति अनुपात के अनुरूप होता है। | ||
== वायरलेस संचार में चैनल क्षमता == | == वायरलेस संचार में चैनल क्षमता == | ||
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=== बैंडलिमिटेड एडब्लूजीएन चैनल === | === बैंडलिमिटेड एडब्लूजीएन चैनल === | ||
{{main|शैनन-हार्टले प्रमेय}} | {{main|शैनन-हार्टले प्रमेय}} | ||
[[File:Channel Capacity with Power- and Bandwidth-Limited Regimes.png|thumb|पावर-सीमित शासन और बैंडविड्थ-सीमित शासन के साथ | [[File:Channel Capacity with Power- and Bandwidth-Limited Regimes.png|thumb|पावर-सीमित शासन और बैंडविड्थ-सीमित शासन के साथ एडब्लूजीएन चैनल क्षमता का संकेत दिया गया। यहां, <math>\frac{\bar{P}}{N_0}=1</math>; बी और सी को अन्य मूल्यों के लिए आनुपातिक रूप से बढ़ाया जा सकता है।]]यदि औसत प्राप्त शक्ति है <math>\bar{P}</math> [डब्ल्यू], कुल बैंडविड्थ है <math>W</math> हर्ट्ज़ में, और शोर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है <math>N_0</math> [W/Hz], एडब्लूजीएन चैनल क्षमता है | ||
:<math>C_{\text{AWGN}}=W\log_2\left(1+\frac{\bar{P}}{N_0 W}\right)</math> [बिट्स/एस], | :<math>C_{\text{AWGN}}=W\log_2\left(1+\frac{\bar{P}}{N_0 W}\right)</math> [बिट्स/एस], | ||
कहां <math>\frac{\bar{P}}{N_0 W}</math> प्राप्त सिग्नल-टू-शोर अनुपात ( | कहां <math>\frac{\bar{P}}{N_0 W}</math> प्राप्त सिग्नल-टू-शोर अनुपात (एसएनआर) है। इस परिणाम को शैनन-हार्टले प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book|title=इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग की पुस्तिका|year=1996|publisher=Research & Education Association|isbn=9780878919819|page=D-149|url=https://books.google.com/books?id=-WJS3VnvomIC&q=%22Shannon%E2%80%93Hartley+theorem%22&pg=RA1-SL4-PA41}}</ref> | ||
जब | |||
जब एसएनआर बड़ा होता है (एसएनआर ≫ 0 डीबी), क्षमता <math>C\approx W\log_2 \frac{\bar{P}}{N_0 W} </math> शक्ति में लघुगणक और बैंडविड्थ में लगभग रैखिक है। इसे बैंडविड्थ-सीमित शासन कहा जाता है। | |||
जब एसएनआर छोटा होता है (एसएनआर ≪ 0 डीबी), क्षमता <math>C\approx \frac{\bar{P}}{N_0 \ln 2} </math> शक्ति में रैखिक है लेकिन बैंडविड्थ के प्रति असंवेदनशील है। इसे शक्ति-सीमित शासन कहा जाता है। | जब एसएनआर छोटा होता है (एसएनआर ≪ 0 डीबी), क्षमता <math>C\approx \frac{\bar{P}}{N_0 \ln 2} </math> शक्ति में रैखिक है लेकिन बैंडविड्थ के प्रति असंवेदनशील है। इसे शक्ति-सीमित शासन कहा जाता है। | ||
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बैंडविड्थ-सीमित शासन और शक्ति-सीमित शासन चित्र में सचित्र हैं। | बैंडविड्थ-सीमित शासन और शक्ति-सीमित शासन चित्र में सचित्र हैं। | ||
=== आवृत्ति-चयनात्मक | === आवृत्ति-चयनात्मक एडब्लूजीएन चैनल === | ||
आवृत्ति चयनात्मक चैनल की क्षमता तथाकथित जल भरण शक्ति आवंटन द्वारा दी गई है, | |||
:<math>C_{N_c}=\sum_{n=0}^{N_c-1} \log_2 \left(1+\frac{P_n^* |\bar{h}_n|^2}{N_0} \right),</math> | :<math>C_{N_c}=\sum_{n=0}^{N_c-1} \log_2 \left(1+\frac{P_n^* |\bar{h}_n|^2}{N_0} \right),</math> | ||
कहां <math>P_n^*=\max \left\{ \left(\frac{1}{\lambda}-\frac{N_0}{|\bar{h}_n|^2} \right),0 \right\}</math> और <math>|\bar{h}_n|^2</math> सबचैनल का लाभ है <math>n</math>, साथ <math>\lambda</math> शक्ति की कमी को पूरा करने के लिए चुना गया। | कहां <math>P_n^*=\max \left\{ \left(\frac{1}{\lambda}-\frac{N_0}{|\bar{h}_n|^2} \right),0 \right\}</math> और <math>|\bar{h}_n|^2</math> सबचैनल का लाभ है <math>n</math>, साथ <math>\lambda</math> शक्ति की कमी को पूरा करने के लिए चुना गया। | ||
=== | === स्लो-फेडिंग चैनल === | ||
स्लो-फेडिंग चैनल में, जहां सुसंगतता समय विलंबता की आवश्यकता से अधिक है, चैनल द्वारा समर्थित विश्वसनीय संचार की अधिकतम दर के रूप में कोई निश्चित क्षमता नहीं है, <math>\log_2 (1+|h|^2 SNR)</math>, यादृच्छिक चैनल लाभ पर निर्भर करता है <math>|h|^2</math>, जो ट्रांसमीटर के लिए अज्ञात है। यदि ट्रांसमीटर दर पर डेटा को एनकोड करता है <math>R</math> [बिट्स / एस / हर्ट्ज], एक गैर-शून्य संभावना है कि डिकोडिंग त्रुटि संभावना को मनमाने ढंग से छोटा नहीं किया जा सकता है, | |||
:<math>p_{out}=\mathbb{P}(\log(1+|h|^2 SNR)<R)</math>, | :<math>p_{out}=\mathbb{P}(\log(1+|h|^2 SNR)<R)</math>, | ||
जिस स्थिति में कहा जाता है कि सिस्टम आउटेज में है। एक गैर-शून्य संभावना के साथ कि चैनल गहरा फीका है, धीमी गति से लुप्त होती चैनल की क्षमता सख्त अर्थों में शून्य है। हालांकि, का सबसे बड़ा मूल्य निर्धारित करना संभव है <math>R</math> जैसे आउटेज की संभावना <math>p_{out}</math> मै रुक जाना <math>\epsilon</math> | जिस स्थिति में कहा जाता है कि सिस्टम आउटेज में है। एक गैर-शून्य संभावना के साथ कि चैनल गहरा फीका है, धीमी गति से लुप्त होती चैनल की क्षमता सख्त अर्थों में शून्य है। हालांकि, का सबसे बड़ा मूल्य निर्धारित करना संभव है <math>R</math> जैसे आउटेज की संभावना <math>p_{out}</math> मै रुक जाना <math>\epsilon</math> इस मान को के रूप में जाना जाता है <math>\epsilon</math>-आउटेज क्षमता। | ||
=== | === फास्ट-फेडिंग चैनल === | ||
फास्ट-फेडिंग चैनल में, जहां विलंबता की आवश्यकता सुसंगतता समय से अधिक है और कोडवर्ड की लंबाई कई सुसंगतता अवधियों तक फैली हुई है, बड़ी संख्या में सुसंगतता समय अंतरालों पर कोडिंग करके कई स्वतंत्र चैनल फ़ेड्स पर औसत कर सकते हैं। इस प्रकार, संचार की विश्वसनीय दर प्राप्त करना संभव है <math>\mathbb{E}(\log_2 (1+|h|^2 SNR))</math> [बिट्स/सेकंड/हर्ट्ज] और इस मूल्य को तेजी से लुप्त होती चैनल की क्षमता के रूप में बोलना सार्थक है। | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[ बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग) ]] | * [[ बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग) |बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग)]] | ||
* बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) | * बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) | ||
* [[ बिट दर ]] | * [[ बिट दर |बिट दर]] | ||
* [[ कोड दर ]] | * [[ कोड दर |कोड दर]] | ||
* त्रुटि प्रतिपादक | * त्रुटि प्रतिपादक | ||
* [[ निक्विस्ट दर ]] | * [[ निक्विस्ट दर |निक्विस्ट दर]] | ||
* [[ नेगेंट्रॉपी ]] | * [[ नेगेंट्रॉपी |नेगेंट्रॉपी]] | ||
* [[ अतिरेक (सूचना सिद्धांत) ]] | * [[ अतिरेक (सूचना सिद्धांत) |अतिरेक (सूचना सिद्धांत)]] | ||
* [[ प्रेषक ]], डेटा संपीड़न, [[ रिसीवर (सूचना सिद्धांत) ]] | * [[ प्रेषक |प्रेषक]], डेटा संपीड़न, [[ रिसीवर (सूचना सिद्धांत) ]] | ||
* शैनन-हार्टले प्रमेय | * शैनन-हार्टले प्रमेय | ||
* [[ स्पेक्ट्रल दक्षता ]] | * [[ स्पेक्ट्रल दक्षता |स्पेक्ट्रल दक्षता]] | ||
* [[ प्रवाह ]] | * [[ प्रवाह |प्रवाह]] | ||
=== उन्नत संचार विषय === | === उन्नत संचार विषय === | ||
* मिमो | * मिमो | ||
* [[ सहकारी विविधता ]] | * [[ सहकारी विविधता |सहकारी विविधता]] | ||
==बाहरी कड़ियाँ== | ==बाहरी कड़ियाँ== | ||
* {{springer|title=Transmission rate of a channel|id=p/t093890}} | * {{springer|title=Transmission rate of a channel|id=p/t093890}} | ||
* [http://webdemo.inue.uni-stuttgart.de/webdemos/08_research/capacity/ | * [http://webdemo.inue.uni-stuttgart.de/webdemos/08_research/capacity/ एडब्लूजीएन Channel Capacity with various constraints on the channel input (interactive demonstration)] | ||
Revision as of 09:56, 17 January 2023
चैनल क्षमता, विद्युत अभियन्त्रण , कंप्यूटर विज्ञान, और सूचना सिद्धांत जिस दर पर तंग ऊपरी सीमा होती है, उस संचार चैनल पर सूचना को मज़बूती से प्रसारित किया जा सकता है।
शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय की शर्तों का पालन करते हुए प्रदत्त चैनल की चैनल क्षमता उच्चतम सूचना दर है। (प्रति इकाई समय सूचना की इकाइयों में) जिसे अव्यवस्थित रूप से छोटी त्रुटि संभाव्यता के साथ प्राप्त किया जा सकता है।[1][2]
1948 में क्लाउड ई. शैनन द्वारा विकसित सूचना सिद्धांत, चैनल क्षमता की धारणा को परिभाषित करता है और एक गणितीय मॉडल प्रदान करता है जिसके द्वारा इसकी गणना की जा सकती है। मुख्य परिणाम यह बताता है कि ऊपर वर्णित रूप में चैनल की क्षमता, चैनल के इनपुट और आउटपुट के बीच अधिकतम आपसी सूचना द्वारा दी गई है, जहां इनपुट वितरण के संबंध में अधिकतम जानकारी दी गई है।[3]
चैनल क्षमता की धारणा आधुनिक वायरलाइन और बेतार संचार प्रणालियों के विकास के लिए केन्द्रीय रही है, जिसमें नई त्रुटि सुधार कोडन तंत्र का आगमन हुआ है, जिसके परिणाम से चैनल क्षमता की सीमा काफी निकट आ गई है।
औपचारिक परिभाषा
संचार प्रणाली के लिए बुनियादी गणितीय मॉडल निम्नलिखित है:
जहाँ:
- प्रेषित होने वाला संदेश है;
- चैनल इनपुट संकेताक्षर है (, उस पर संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर में लिया गया है;
- चैनल आउटपुट संकेताक्षर है (, उस पर संकेताक्षर का अनुक्रम है) जो अक्षर में लिया गया है;
- प्रेषित संदेश का अनुमान है;