समता (भौतिकी): Difference between revisions
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जिसका नकारात्मक निर्धारक भी है और एक वैध समता परिवर्तन बनाता है। फिर, उन्हें घूर्णन (या क्रमिक रूप से एक्स-, वाई-, और जेड-प्रतिबिंबों का संपादन) के साथ जोड़कर पहले से परिभाषित विशेष समता परिवर्तन को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। दिया गया पहला समता परिवर्तन आयामों की एक समान संख्या में काम नहीं करता है, हालाँकि, इसका परिणाम एक सकारात्मक निर्धारक में होता है। सम आयामों में समता परिवर्तन (या निर्देशांक की विषम संख्या का कोई भी प्रतिबिंब) का केवल बाद वाला उदाहरण प्रयोग किया जा सकता है। | जिसका नकारात्मक निर्धारक भी है और एक वैध समता परिवर्तन बनाता है। फिर, उन्हें घूर्णन (या क्रमिक रूप से एक्स-, वाई-, और जेड-प्रतिबिंबों का संपादन) के साथ जोड़कर पहले से परिभाषित विशेष समता परिवर्तन को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। दिया गया पहला समता परिवर्तन आयामों की एक समान संख्या में काम नहीं करता है, हालाँकि, इसका परिणाम एक सकारात्मक निर्धारक में होता है। सम आयामों में समता परिवर्तन (या निर्देशांक की विषम संख्या का कोई भी प्रतिबिंब) का केवल बाद वाला उदाहरण प्रयोग किया जा सकता है। | ||
समानता <math>\hat{\mathcal P}^2 = \hat{1}</math> संबंध के कारण | समानता <math>\hat{\mathcal P}^2 = \hat{1}</math> संबंध के कारण [[ एबेलियन समूह |एबेलियन समूह]] <math>\mathbb{Z}_2</math> बनाती है। सभी एबेलियन समूहों के पास <math>\mathbb{Z}_2</math> के लिए केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है। दो अलघुकरणीय अभ्यावेदन हैं: एक समता के अंतर्गत <math>\hat{\mathcal P}\phi = +\phi</math> भी है, दूसरा विषम <math>\hat{\mathcal P}\phi = -\phi</math> है। ये क्वांटम यांत्रिकी में उपयोगी हैं। हालाँकि, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है, क्वांटम यांत्रिकी में अवस्थाओं को समानता के वास्तविक निरूपण के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत और इसलिए सिद्धांत रूप में एक समानता परिवर्तन किसी भी चरण (तरंगों) द्वारा अवस्था को घुमा सकता है। | ||
=== ओ (3) का निरूपण === | |||
अदिशों, छद्म अदिश, सदिश और स्यूडोसदिश के उपरोक्त वर्गीकरण को लिखने का एक वैकल्पिक तरीका अभ्यावेदन स्थान के संदर्भ में है जिसमें प्रत्येक वस्तु रूपांतरित होती है। यह [[ समूह समरूपता |समूह समरूपता]] <math>\rho</math> के संदर्भ में दिया जा सकता है, जो अभ्यावेदन को परिभाषित करता है। एक आव्यूह <math>R\in \text{O}(3),</math>के लिए, | अदिशों, छद्म अदिश, सदिश और स्यूडोसदिश के उपरोक्त वर्गीकरण को लिखने का एक वैकल्पिक तरीका अभ्यावेदन स्थान के संदर्भ में है जिसमें प्रत्येक वस्तु रूपांतरित होती है। यह [[ समूह समरूपता |समूह समरूपता]] <math>\rho</math> के संदर्भ में दिया जा सकता है, जो अभ्यावेदन को परिभाषित करता है। एक आव्यूह <math>R\in \text{O}(3),</math>के लिए, | ||
* अदिशों : <math>\rho(R) = 1</math>, तुच्छ निरूपण | * अदिशों : <math>\rho(R) = 1</math>, तुच्छ निरूपण | ||
* स्यूडोस्कालर: <math>\rho(R) = \det(R)</math> | * स्यूडोस्कालर: <math>\rho(R) = \det(R)</math> | ||
* सदिश : <math>\rho(R) = R</math>, मौलिक निरूपण | * सदिश : <math>\rho(R) = R</math>, मौलिक निरूपण | ||
* स्यूडो सदिश : <math>\rho(R) = \det(R)R.</math> | * स्यूडो सदिश : <math>\rho(R) = \det(R)R.</math> | ||
जब तक अभ्यावेदन <math>\text{SO}(3)</math>प्रतिबंधित है, अदिश और स्यूडोअदिश समान रूप से रूपांतरित होते हैं, जैसा कि सदिश और स्यूडोसदिश करते हैं। | जब तक अभ्यावेदन <math>\text{SO}(3)</math>प्रतिबंधित है, अदिश और स्यूडोअदिश समान रूप से रूपांतरित होते हैं, जैसा कि सदिश और स्यूडोसदिश करते हैं। | ||
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* <math> h </math>, the [[helicity (particle physics)| | * <math> h </math>, the [[helicity (particle physics)| कुंडलता]] | ||
* <math> \Phi </math>, the [[ | * <math> \Phi </math>, the [[चुंबकीय प्रवाह]] | ||
* <math> \mathbf x </math>, | * <math> \mathbf x </math>, तीन अंतरिक्ष में एक कण की [[position (vector)|स्थिति]] | ||
* <math> \mathbf v </math>, | * <math> \mathbf v </math>, एक कण का [[वेग]] | ||
* <math> \mathbf a </math>, | * <math> \mathbf a </math>, एक कण का [[त्वरण]] कण वेग | ||
* <math> \mathbf p </math>, | * <math> \mathbf p </math>, एक कण का [[रैखिक संवेग]] | ||
* <math> \rho \, \mathbf v </math>, | * <math> \rho \, \mathbf v </math>, द्रव्यमान प्रवाह{{efn| | ||
द्रव्यमान प्रवाह दर का एक उदाहरण वजन के अनुसार दिशा और दर है, जिस पर एक नदी तलछट को स्थानांतरित करती है। यह [[रैखिक गति]] का एक समग्र रूप है, और एक माध्यम से [[ध्वनि]] दोलनों के प्रवाह से निकटता से संबंधित है। | |||
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* <math> \mathbf F </math>, | * <math> \mathbf F </math>, [[बल (भौतिकी)|बल]] एक कण पर लगाया गया | ||
* <math> \mathbf J </math>, | * <math> \mathbf J </math>, विद्युत [[वर्तमान घनत्व]] | ||
* <math> \mathbf E </math>, | * <math> \mathbf E </math>, [[विद्युत क्षेत्र]] | ||
* <math> \mathbf D </math>, | * <math> \mathbf D </math>, [[विद्युत विस्थापन क्षेत्र]] | ||
* <math> \mathbf P </math>, | * <math> \mathbf P </math>, [[विद्युत ध्रुवीकरण]] | ||
* <math> \mathbf A </math>, | * <math> \mathbf A </math>, विद्युत चुम्बकीय [[वेक्टर क्षमता]] | ||
* <math> \mathbf S </math>, | * <math> \mathbf S </math>, [[पॉयंटिंग वेक्टर]] (विद्युत चुम्बकीय शक्ति का प्रवाह) | ||
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* <math> t </math>, | * <math> t </math>, [[समय]] जब कोई घटना होती है | ||
* <math> m </math>, | * <math> m </math>, [[समय]] जब कोई घटना होती है | ||
* <math> E </math>, | * <math> E </math>, कण की [[ऊर्जा]] | ||
* <math> P </math>, [[ | * <math> P </math>, [[शक्ति (भौतिकी)|शक्ति]] ([[कार्य (भौतिकी)|कार्य]] किए जाने की दर) | ||
* <math> \rho </math>, | * <math> \rho </math>, बिजली [[चार्ज घनत्व]] | ||
* <math> V </math>, | * <math> V </math>, [[अदिश (भौतिकी)|अदिश]] [[विद्युत क्षमता]] ([[वोल्ट]]आयु) | ||
* <math> \rho </math>, [[ | * <math> \rho </math>, [[ऊर्जा घनत्व]] का [[विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र]] | ||
* <math> \mathbf L </math>, | * <math> \mathbf L </math>, एक कण का [[कोणीय गति]] (दोनों [[कक्षीय गति|कक्षीय]] और [[स्पिन (भौतिकी)|स्पिन]]) (अक्षीय सदिश) | ||
* <math> \mathbf B </math>, | * <math> \mathbf B </math>, [[चुंबकीय क्षेत्र]] (अक्षीय वेक्टर) | ||
* <math> \mathbf H </math>, | * <math> \mathbf H </math>, [[चुंबकीय क्षेत्र#बी और एच के बीच अंतर|सहायक चुंबकीय क्षेत्र]] | ||
* <math> \mathbf M </math>, | * <math> \mathbf M </math>, [[चुम्बकत्व]] | ||
* <math> T_{ij} </math>, [[ | * <math> T_{ij} </math>, [[मैक्सवेल स्ट्रेस टेन्सर]]। | ||
* | * सभी ''द्रव्यमान'', ''आवेश'', ''युग्मन स्थिरांक'', और अन्य अदिश भौतिक स्थिरांक, '''''''''''' को छोड़कर ''[[कमजोर बल]] से जुड़े ''. | ||
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<nowiki>:</nowiki> <math>\hat{\mathcal P}\, \psi{\left(r\right)} = e^{{i\phi}/{2}}\psi{\left(-r\right)}</math>. | <nowiki>:</nowiki> <math>\hat{\mathcal P}\, \psi{\left(r\right)} = e^{{i\phi}/{2}}\psi{\left(-r\right)}</math>. | ||
एक इस प्रकार होना चाहिए <math>\hat{\mathcal P}^2\, \psi{\left(r\right)} = e^{i\phi}\psi{\left(r\right)}</math>, चूंकि एक समग्र चरण अवकलन योग्य नहीं है। परिचालक <math>\hat{\mathcal P}^2</math>, जो एक अवस्था की समता को दो बार व्युत्क्रम करता है, अंतरिक्ष समय अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और इसी तरह एक आंतरिक समरूपता है जो चरणों द्वारा अपने आइगेन स्टेट्स को घुमाती है जो अवयव <math>e^{i\phi}</math> | एक इस प्रकार होना चाहिए <math>\hat{\mathcal P}^2\, \psi{\left(r\right)} = e^{i\phi}\psi{\left(r\right)}</math>, चूंकि एक समग्र चरण अवकलन योग्य नहीं है। परिचालक <math>\hat{\mathcal P}^2</math>, जो एक अवस्था की समता को दो बार व्युत्क्रम करता है, अंतरिक्ष समय अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और इसी तरह एक आंतरिक समरूपता है जो चरणों द्वारा अपने आइगेन स्टेट्स को घुमाती है जो अवयव <math>e^{i\phi}</math> है। यदि <math>\hat{\mathcal P}^2</math> एक अवयव है <math>e^{iQ}</math> चरण घूर्णन के निरंतर U(1) समरूपता समूह की, फिर <math>e^{-iQ}</math>यह U(1) का भाग है और इसी प्रकार एक समरूपता भी है। विशेष रूप से, हम इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं <math>\hat{\mathcal P}' \equiv \hat{\mathcal P}\, e^{-{iQ}/{2}}</math>, जो एक समरूपता भी है, और इसलिए हम <math>\hat{\mathcal P}</math>. के के स्थान पर <math>\hat{\mathcal P}'</math>आवाहन के रूप में चुन सकते हैं। ध्यान दें कि <math>{\hat{\mathcal P}'}^2 = 1</math> इसलिए <math>\hat{\mathcal P}'</math> ईगेनवेल्यूज <math>\pm 1</math> हैं। समता परिवर्तन के अंतर्गत ईगेनवेल्यूज +1 के साथ तरंग फलन सम और विषम फलन हैं, जबकि ईगेनवेल्यूज -1 विषम कार्यों से समरूप है।<ref>{{cite book |last=Levine |first=Ira N. |date=1991 |title=क्वांटम रसायन|edition=4th |publisher=Prentice-Hall |page=163 |isbn=0-205-12770-3}}</ref> हालाँकि, जब ऐसा कोई समरूपता समूह उपस्थित नहीं होता है, तो यह हो सकता है कि सभी समता परिवर्तनों में कुछ ईजेनवेल्यूज़ हों जो <math>\pm 1</math> के अलावा अन्य चरण हों । | ||
इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन के लिए, यहां तक कि अवस्थाओं को साधारणतः गेरेड (जर्मन: यहां तक) के लिए एक सबस्क्रिप्ट जी द्वारा इंगित किया जाता है और एक सबस्क्रिप्ट यू के लिए अनगेरेड (जर्मन: विषम) द्वारा विषम अवस्थाओं का संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन अणु आयन का निम्नतम ऊर्जा स्तर (H<sub>2</sub><sup>+</sup>) <math>1\sigma_g</math> चिह्नित किया गया है और अगला-निकटतम (उच्च) ऊर्जा स्तर <math>1\sigma_u</math>चिह्नित किया गया | इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन के लिए, यहां तक कि अवस्थाओं को साधारणतः गेरेड (जर्मन: यहां तक) के लिए एक सबस्क्रिप्ट जी द्वारा इंगित किया जाता है और एक सबस्क्रिप्ट यू के लिए अनगेरेड (जर्मन: विषम) द्वारा विषम अवस्थाओं का संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन अणु आयन का निम्नतम ऊर्जा स्तर (H<sub>2</sub><sup>+</sup>) <math>1\sigma_g</math> चिह्नित किया गया है और अगला-निकटतम (उच्च) ऊर्जा स्तर <math>1\sigma_u</math>चिह्नित किया गया है।.<ref>{{cite book |last=Levine |first=Ira N. |date=1991 |title=क्वांटम रसायन|edition=4th |publisher=Prentice-Hall |page=355 |isbn=0-205-12770-3}}</ref> | ||
एक बाहरी क्षमता में जाने वाले कण के तरंग कार्य, जो कि [[ सेंट्रोसिमेट्री |सेंट्रोसिमेट्री]] है (अंतरिक्ष व्युत्क्रम के संबंध में संभावित ऊर्जा अपरिवर्तनीय, मूल के सममित), तरंग कार्यों की स्थिति या तो अपरिवर्तित रहते हैं या संकेत बदलते हैं: इन दो संभावित अवस्थाओं को सम अवस्था या विषम कहा जाता है ।<ref name="Andrew, chapter 2">{{cite book|title= परमाणु स्पेक्ट्रोस्कोपी। हाइपरफाइन संरचना के सिद्धांत का परिचय|first1= A. V.|last1= Andrew|date= 2006|page=274|isbn= 978-0-387-25573-6|chapter= 2. [[Schrödinger equation]]}}</ref> | एक बाहरी क्षमता में जाने वाले कण के तरंग कार्य, जो कि [[ सेंट्रोसिमेट्री |सेंट्रोसिमेट्री]] है (अंतरिक्ष व्युत्क्रम के संबंध में संभावित ऊर्जा अपरिवर्तनीय, मूल के सममित), तरंग कार्यों की स्थिति या तो अपरिवर्तित रहते हैं या संकेत बदलते हैं: इन दो संभावित अवस्थाओं को सम अवस्था या विषम कहा जाता है ।<ref name="Andrew, chapter 2">{{cite book|title= परमाणु स्पेक्ट्रोस्कोपी। हाइपरफाइन संरचना के सिद्धांत का परिचय|first1= A. V.|last1= Andrew|date= 2006|page=274|isbn= 978-0-387-25573-6|chapter= 2. [[Schrödinger equation]]}}</ref> | ||
कणों की समता के संरक्षण के नियम में कहा गया है कि, यदि कणों के एक पृथक समूह में एक निश्चित समता है, तो समुच्चय के विकास की प्रक्रिया में समता अपरिवर्तित रहती है। हालांकि यह नाभिक के [[ बीटा क्षय |बीटा क्षय]] के लिए सही नहीं है) जो मन्द अंतःक्रिया समरूपता के उल्लंघन के कारण है।<ref>{{cite arXiv|title= नाभिक के β-क्षय में समता गैर-संरक्षण: पचास साल बाद प्रयोग और सिद्धांत पर फिर से विचार करना। चतुर्थ। समता तोड़ने वाले मॉडल|author= Mladen Georgiev |date= November 20, 2008 |page=26 |eprint= 0811.3403|class= physics.hist-ph }}</ref> एक गोलाकार रूप से बाहरी क्षेत्र में गतिमान एक कण की अवस्थाओं की समता कोणीय संवेग संचालक द्वारा निर्धारित की जाती है, कुल ऊर्जा, कोणीय संवेग और कोणीय संवेग का प्रक्षेपण और कण अवस्था को तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा परिभाषित किया जाता है।<ref name="Andrew, chapter 2" /> | कणों की समता के संरक्षण के नियम में कहा गया है कि, यदि कणों के एक पृथक समूह में एक निश्चित समता है, तो समुच्चय के विकास की प्रक्रिया में समता अपरिवर्तित रहती है। हालांकि यह नाभिक के [[ बीटा क्षय |बीटा क्षय]] के लिए सही नहीं है) जो मन्द अंतःक्रिया समरूपता के उल्लंघन के कारण है।<ref>{{cite arXiv|title= नाभिक के β-क्षय में समता गैर-संरक्षण: पचास साल बाद प्रयोग और सिद्धांत पर फिर से विचार करना। चतुर्थ। समता तोड़ने वाले मॉडल|author= Mladen Georgiev |date= November 20, 2008 |page=26 |eprint= 0811.3403|class= physics.hist-ph }}</ref> एक गोलाकार रूप से बाहरी क्षेत्र में गतिमान एक कण की अवस्थाओं की समता कोणीय संवेग संचालक द्वारा निर्धारित की जाती है, कुल ऊर्जा, कोणीय संवेग और कोणीय संवेग का प्रक्षेपण और कण अवस्था को तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा परिभाषित किया जाता है।<ref name="Andrew, chapter 2" /> | ||
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*यदि <math>\left[\hat{H}, \hat{P}\right] = 0</math>, फिर एक गैर-पतित स्वदेशी <math>\hat{H}</math> समता संचालिका का आइगेन अवस्था भी है; उदाहरण, <math>\hat{H}</math> का एक गैर-पतित ईजेनफलन या तो अपरिवर्तनीय है <math>\hat{\mathcal{P}}</math> या इसके द्वारा साइन इन करके बदला जाता | *यदि <math>\left[\hat{H}, \hat{P}\right] = 0</math>, फिर एक गैर-पतित स्वदेशी <math>\hat{H}</math> समता संचालिका का आइगेन अवस्था भी है; उदाहरण, <math>\hat{H}</math> का एक गैर-पतित ईजेनफलन या तो अपरिवर्तनीय है <math>\hat{\mathcal{P}}</math> या इसके द्वारा साइन इन करके बदला जाता है। | ||
*<math>\hat{H}</math> के कुछ गैर-पतित आइगेन फलन समानता से अप्रभावित (अपरिवर्तनीय) हैं <math>\hat{\mathcal{P}}</math> और अन्य केवल संकेत में व्युत्क्रम हो जाते हैं जब हैमिल्टनियन संचालक और समता संचालक कम्यूट करते | *<math>\hat{H}</math> के कुछ गैर-पतित आइगेन फलन समानता से अप्रभावित (अपरिवर्तनीय) हैं <math>\hat{\mathcal{P}}</math> और अन्य केवल संकेत में व्युत्क्रम हो जाते हैं जब हैमिल्टनियन संचालक और समता संचालक कम्यूट करते हैं। | ||
:<math>\hat{\mathcal{P}}\left| \psi \right\rangle = c \left| \psi \right\rangle,</math> | :<math>\hat{\mathcal{P}}\left| \psi \right\rangle = c \left| \psi \right\rangle,</math> | ||
'''जहाँ <math>c</math> एक स्थिर है, का [[ eigenvalue |ईगेनवेल्यूज]] <math>\hat{\mathcal{P}}</math>,''' | '''जहाँ <math>c</math> एक स्थिर है, का [[ eigenvalue |ईगेनवेल्यूज]] <math>\hat{\mathcal{P}}</math>,''' | ||
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=== परमाणु === | === परमाणु === | ||
परमाणु कक्षकों में समता (−1) होती है<sup>ℓ</sup>, जहां घातांक ℓ [[ अज़ीमुथल क्वांटम संख्या |अज़ीमुथल क्वांटम संख्या]] है। ℓ = 1, 3, ... के साथ कक्षकों p, f, ... के लिए समता विषम होती है और यदि इन कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की विषम संख्या होती है तो परमाणु अवस्था में विषम समता होती है। उदाहरण के लिए, नाइट्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन विन्यास 1s 2s<sup>2</sup>2p<sup>3</sup> होता है और शब्द प्रतीक <sup>4</sup>S<sup>o</sup> द्वारा पहचाना जाता है , जहां सुपरस्क्रिप्ट o विषम समता दर्शाता है। हालाँकि तीसरा उत्साहित शब्द लगभग 83,300 cm<sup>−1</sup>पर है जमीनी अवस्था के ऊपर इलेक्ट्रॉन विन्यास 1s है<sup>2</sup>2s<sup>2</sup>2p<sup>2</sup>3s में सम समानता है क्योंकि केवल दो 2p इलेक्ट्रॉन हैं, और इसका शब्द प्रतीक <sup>4</sup>P है (ओ सुपरस्क्रिप्ट के बिना) | परमाणु कक्षकों में समता (−1) होती है<sup>ℓ</sup>, जहां घातांक ℓ [[ अज़ीमुथल क्वांटम संख्या |अज़ीमुथल क्वांटम संख्या]] है। ℓ = 1, 3, ... के साथ कक्षकों p, f, ... के लिए समता विषम होती है और यदि इन कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की विषम संख्या होती है तो परमाणु अवस्था में विषम समता होती है। उदाहरण के लिए, नाइट्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन विन्यास 1s 2s<sup>2</sup>2p<sup>3</sup> होता है और शब्द प्रतीक <sup>4</sup>S<sup>o</sup> द्वारा पहचाना जाता है , जहां सुपरस्क्रिप्ट o विषम समता दर्शाता है। हालाँकि तीसरा उत्साहित शब्द लगभग 83,300 cm<sup>−1</sup>पर है जमीनी अवस्था के ऊपर इलेक्ट्रॉन विन्यास 1s है<sup>2</sup>2s<sup>2</sup>2p<sup>2</sup>3s में सम समानता है क्योंकि केवल दो 2p इलेक्ट्रॉन हैं, और इसका शब्द प्रतीक <sup>4</sup>P है (ओ सुपरस्क्रिप्ट के बिना)।।<ref name=NIST>[http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/levels_form.html NIST Atomic Spectrum Database] To read the nitrogen atom energy levels, type "N I" in the Spectrum box and click on Retrieve data.</ref> | ||
'''अणु''' | '''अणु''' | ||
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साम्यवस्था पर सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं में उनके मध्य बिंदु (द्रव्यमान का परमाणु केंद्र) पर समरूपता का केंद्र होता है। इसमें सभी समनाभिकीय [[ डायटोमिक अणु |डायटोमिक अणु]] ओं के साथ-साथ [[ ईथीलीन |ईथीलीन]], [[ बेंजीन |बेंजीन]], [[ क्सीनन टेट्राफ्लोराइड |क्सीनन टेट्राफ्लोराइड]] और [[ सल्फर हेक्साफ्लोराइड |सल्फर हेक्साफ्लोराइड]] जैसे कुछ अणु सम्मिलित हैं। सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं के लिए, बिंदु समूह में संक्रिया ''i'' होता है, जिसे पैरिटी संक्रिया के साथ भ्रमित नहीं होना है। संक्रिया ''i'' में द्रव्यमान के परमाणु केंद्र पर इलेक्ट्रॉनिक और कंपन विस्थापन निर्देशांक का व्युत्क्रम सम्मिलित है। सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं के लिए संक्रिया 'i' रोविब्रॉनिक (घूर्णन -कंपन-इलेक्ट्रॉनिक) हैमिल्टनियन के साथ शुरू होता है और ऐसे अवस्थाओं को चिन्ह करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं के इलेक्ट्रॉनिक और कंपन अवस्था या तो संक्रिया 'i' द्वारा अपरिवर्तित हैं, या वे 'i' द्वारा साइन में बदल दिए गए हैं। पूर्व को सबस्क्रिप्ट ''जी'' द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे ''गेरेड'' कहा जाता है, जबकि बाद वाले को सबस्क्रिप्ट ''यू'' द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे ''अनग्रेड'' कहा जाता है।<ref>P. R. Bunker and P. Jensen (2005), ''Fundamentals of Molecular Symmetry'' (CRC Press) {{ISBN|0-7503-0941-5}}[https://www.routledge.com/Fundamentals-of-Molecular-Symmetry/Bunker-Jensen/p/book/9780750309417]</ref> | साम्यवस्था पर सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं में उनके मध्य बिंदु (द्रव्यमान का परमाणु केंद्र) पर समरूपता का केंद्र होता है। इसमें सभी समनाभिकीय [[ डायटोमिक अणु |डायटोमिक अणु]] ओं के साथ-साथ [[ ईथीलीन |ईथीलीन]], [[ बेंजीन |बेंजीन]], [[ क्सीनन टेट्राफ्लोराइड |क्सीनन टेट्राफ्लोराइड]] और [[ सल्फर हेक्साफ्लोराइड |सल्फर हेक्साफ्लोराइड]] जैसे कुछ अणु सम्मिलित हैं। सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं के लिए, बिंदु समूह में संक्रिया ''i'' होता है, जिसे पैरिटी संक्रिया के साथ भ्रमित नहीं होना है। संक्रिया ''i'' में द्रव्यमान के परमाणु केंद्र पर इलेक्ट्रॉनिक और कंपन विस्थापन निर्देशांक का व्युत्क्रम सम्मिलित है। सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं के लिए संक्रिया 'i' रोविब्रॉनिक (घूर्णन -कंपन-इलेक्ट्रॉनिक) हैमिल्टनियन के साथ शुरू होता है और ऐसे अवस्थाओं को चिन्ह करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। सेंट्रोसिमेट्रिक अणुओं के इलेक्ट्रॉनिक और कंपन अवस्था या तो संक्रिया 'i' द्वारा अपरिवर्तित हैं, या वे 'i' द्वारा साइन में बदल दिए गए हैं। पूर्व को सबस्क्रिप्ट ''जी'' द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे ''गेरेड'' कहा जाता है, जबकि बाद वाले को सबस्क्रिप्ट ''यू'' द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे ''अनग्रेड'' कहा जाता है।<ref>P. R. Bunker and P. Jensen (2005), ''Fundamentals of Molecular Symmetry'' (CRC Press) {{ISBN|0-7503-0941-5}}[https://www.routledge.com/Fundamentals-of-Molecular-Symmetry/Bunker-Jensen/p/book/9780750309417]</ref> | ||
परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टनियन के प्रभाव के कारण पॉइंट ग्रुप इनवर्जन संक्रिया ''i'' के साथ कम्यूट नहीं करता है। परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टनियन जी और यू कंपट्रानीय अवस्था (जिसे ''ऑर्थो-पैरा'' मिक्सिंग कहा जाता है) के घूर्णी स्तरों को मिला सकते हैं और ''ऑर्थो''-''पैरा'' पारगमन को उत्तपन कर सकते | परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टनियन के प्रभाव के कारण पॉइंट ग्रुप इनवर्जन संक्रिया ''i'' के साथ कम्यूट नहीं करता है। परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टनियन जी और यू कंपट्रानीय अवस्था (जिसे ''ऑर्थो-पैरा'' मिक्सिंग कहा जाता है) के घूर्णी स्तरों को मिला सकते हैं और ''ऑर्थो''-''पैरा'' पारगमन को उत्तपन कर सकते हैं।<ref>{{cite journal | last = Pique | first = J. P.|display-authors=etal | year = 1984 | title =हाइपरफाइन-इंड्यूज्ड अनगेराडे-गेराड सिमेट्री ब्रेकिंग इन ए होमोन्यूक्लियर डायटोमिक मॉलिक्यूल इन ए डिसोसिएशन लिमिट:<math>^{127}</math>I<math>_{2}</math> at the <math>^{2} P_{3/2}</math> − <गणित>^{2}P_{1/2}</math> सीमा| journal = Phys. Rev. Lett. | volume = 52 | issue = 4| pages = 267–269 | doi = 10.1103/PhysRevLett.52.267 | bibcode = 1984PhRvL..52..267P }}</ref><ref name="Critchley2001">{{cite journal | last = Critchley | first = A. D. J.|display-authors=etal | year = 2001 | title =H<math>_{2}^{+}</math> में शुद्ध घूर्णन संक्रमण का प्रत्यक्ष मापन| journal = Phys. Rev. Lett. | volume = 86 | issue = 9| pages = 1725–1728 | doi = 10.1103/PhysRevLett.86.1725 | pmid = 11290233| bibcode = 2001PhRvL..86.1725C }}</ref> | ||
'''नाभिक''' | '''नाभिक''' | ||
परमाणु नाभिक में, प्रत्येक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) की स्थिति सम या विषम समता होती है, और परमाणु विन्यास का अनुमान परमाणु शेल मॉडल का उपयोग करके लगाया जा सकता है। परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के लिए, न्यूक्लियॉन अवस्था में विषम समग्र समता होती है यदि और केवल विषम-समता वाले अवस्थाओं में न्यूक्लियंस की संख्या विषम होती है। समता को साधारणतः परमाणु स्पिन मान के बाद + (सम) या - (विषम) के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, [[ ऑक्सीजन के समस्थानिक |ऑक्सीजन के समस्थानिक]] | परमाणु नाभिक में, प्रत्येक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) की स्थिति सम या विषम समता होती है, और परमाणु विन्यास का अनुमान परमाणु शेल मॉडल का उपयोग करके लगाया जा सकता है। परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के लिए, न्यूक्लियॉन अवस्था में विषम समग्र समता होती है यदि और केवल विषम-समता वाले अवस्थाओं में न्यूक्लियंस की संख्या विषम होती है। समता को साधारणतः परमाणु स्पिन मान के बाद + (सम) या - (विषम) के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, [[ ऑक्सीजन के समस्थानिक |ऑक्सीजन के समस्थानिक]] में सम्मिलित हैं <sup>17</sup>O(5/2+), जिसका अर्थ है कि घुमाव 5/2 है और समता सम है। शेल मॉडल इसे समझाता है क्योंकि पहले 16 न्यूक्लियॉन जोड़े जाते हैं ताकि प्रत्येक जोड़ी में स्पिन शून्य और समता हो, और अंतिम न्यूक्लियॉन 1d में हो<sub>5/2</sub> खोल, जिसमें d कक्षक के लिए ℓ = 2 के बाद से समता है।<ref>{{cite book |last1=Cottingham |first1=W.N. |last2=Greenwood |first2=D.A. |date=1986 |title=परमाणु भौतिकी का परिचय|publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-31960-9 |page=[https://archive.org/details/introductiontonu0000cott/page/57 57] |url=https://archive.org/details/introductiontonu0000cott/page/57 }}</ref> | ||
== '''क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत''' == | == '''क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत''' == | ||
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यदि कोई दिखा सकता है कि [[ निर्वात अवस्था |निर्वात अवस्था]] समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, <math>\hat{\mathcal{P}}\left| 0 \right\rangle = \left| 0 \right\rangle</math>, हैमिल्टन समता <math>\left[\hat{H},\hat{\mathcal{P}}\right]</math>अपरिवर्तनीय है और परिमाणीकरण की स्थिति समता के अंतर्गत अपरिवर्तित रहती है, तो यह इस प्रकार है कि प्रत्येक अवस्था में अच्छी क्वांटम संख्या समानता है, और यह समता किसी भी प्रतिक्रिया में संरक्षित है। | यदि कोई दिखा सकता है कि [[ निर्वात अवस्था |निर्वात अवस्था]] समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, <math>\hat{\mathcal{P}}\left| 0 \right\rangle = \left| 0 \right\rangle</math>, हैमिल्टन समता <math>\left[\hat{H},\hat{\mathcal{P}}\right]</math>अपरिवर्तनीय है और परिमाणीकरण की स्थिति समता के अंतर्गत अपरिवर्तित रहती है, तो यह इस प्रकार है कि प्रत्येक अवस्था में अच्छी क्वांटम संख्या समानता है, और यह समता किसी भी प्रतिक्रिया में संरक्षित है। | ||
यह दिखाने के लिए कि [[ क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स |क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]] समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, हमें यह साबित करना होगा कि क्रिया अपरिवर्तनीय है और परिमाणीकरण भी अपरिवर्तनीय है। सरलता के लिए हम मानेंगे कि [[ विहित परिमाणीकरण |विहित परिमाणीकरण]] का उपयोग किया जाता है; निर्वात अवस्था तब निर्माण द्वारा समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती है। कार्रवाई का व्युत्क्रम मैक्सवेल के समीकरणों के पारम्परिक निश्चरता से अनुसरण करता है। विहित परिमाणीकरण प्रक्रिया के निश्चरता पर काम किया जा सकता है, और यह अभाव संचालक के परिवर्तन पर निर्भर करता | यह दिखाने के लिए कि [[ क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स |क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]] समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, हमें यह साबित करना होगा कि क्रिया अपरिवर्तनीय है और परिमाणीकरण भी अपरिवर्तनीय है। सरलता के लिए हम मानेंगे कि [[ विहित परिमाणीकरण |विहित परिमाणीकरण]] का उपयोग किया जाता है; निर्वात अवस्था तब निर्माण द्वारा समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती है। कार्रवाई का व्युत्क्रम मैक्सवेल के समीकरणों के पारम्परिक निश्चरता से अनुसरण करता है। विहित परिमाणीकरण प्रक्रिया के निश्चरता पर काम किया जा सकता है, और यह अभाव संचालक के परिवर्तन पर निर्भर करता है।:{{Citation needed|date=October 2015}} | ||
: | : Pa (p, ±) P<sup>+</sup> = −a(−p, ±) | ||
जहाँ p एक फोटॉन की गति को दर्शाता है और ± इसकी ध्रुवीकरण अवस्था को दर्शाता है। यह इस कथन के समतुल्य है कि फोटॉन में विषम आंतरिक समता है। इसी प्रकार सभी सदिश बोसॉनों में विषम आंतरिक समता दिखाई जा सकती है, और सभी [[ स्यूडोवेक्टर मेसन |स्यूडोसदिश मेसन]] | जहाँ p एक फोटॉन की गति को दर्शाता है और ± इसकी ध्रुवीकरण अवस्था को दर्शाता है। यह इस कथन के समतुल्य है कि फोटॉन में विषम आंतरिक समता है। इसी प्रकार सभी सदिश बोसॉनों में विषम आंतरिक समता दिखाई जा सकती है, और सभी [[ स्यूडोवेक्टर मेसन |स्यूडोसदिश मेसन]] अक्षीय-सदिशों में समान आंतरिक समता दिखाई जा सकती है। | ||
अदिश क्षेत्र सिद्धांतों के लिए इन तर्कों का सीधा विस्तार दर्शाता है कि अदिशों में समता है, चूँकि | अदिश क्षेत्र सिद्धांतों के लिए इन तर्कों का सीधा विस्तार दर्शाता है कि अदिशों में समता है, चूँकि | ||
: | : Pa (p) p<sup>+</sup> = a(−p). | ||
यह एक जटिल अदिश क्षेत्र के लिए भी सत्य है। (डिराक समीकरण पर लेख में स्पिनरों का विवरण दिया गया है, जहां यह दिखाया गया है कि फ़र्मियन और एंटी[[ फर्मियन | फर्मियन]] में विपरीत आंतरिक समानता है।) | यह एक जटिल अदिश क्षेत्र के लिए भी सत्य है। (डिराक समीकरण पर लेख में स्पिनरों का विवरण दिया गया है, जहां यह दिखाया गया है कि फ़र्मियन और एंटी[[ फर्मियन | फर्मियन]] में विपरीत आंतरिक समानता है।) | ||
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यह देखने के लिए कि क्या समानता संचालक को सदैव संतुष्ट करने के लिए परिभाषित किया जा सकता है {{math|1={{mathcal|P}}{{i sup|2}} = 1}}, सामान्य मामले पर विचार करें जब {{math|1={{mathcal|P}}{{i sup|2}} = {{mathcal|Q}}}} कुछ आंतरिक समरूपता के लिए {{mathcal| Q}} सिद्धांत में उपस्थित है। वांछित समता संचालक होगा {{math|1={{mathcal|P'}} = {{mathcal|P}}{{mathcal|Q}}<sup>−1/2</sup>}}. यदि {{mathcal|Q}} एक सतत समरूपता समूह का भाग है {{math|{{mathcal|Q}}<sup>−1/2</sup>}} उपस्थित है, लेकिन अगर यह [[ असतत समरूपता |असतत समरूपता]] का भाग है तो इस अवयव की उपस्थिति की आवश्यकता नहीं है और ऐसी पुनर्वितरण संभव नहीं हो सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Feinberg|first1=G.|authorlink1=Gerald Feinberg|last2=Weinberg|first2=S.|authorlink2=Steven Weinberg|date=1959|title=व्युत्क्रम में चरण कारकों पर|url=|journal=Il Nuovo Cimento|volume=14|issue=3|pages=571–592|doi=10.1007/BF02726388|pmid=|arxiv=|bibcode=1959NCim...14..571F |s2cid=120498009|access-date=}}</ref> | यह देखने के लिए कि क्या समानता संचालक को सदैव संतुष्ट करने के लिए परिभाषित किया जा सकता है {{math|1={{mathcal|P}}{{i sup|2}} = 1}}, सामान्य मामले पर विचार करें जब {{math|1={{mathcal|P}}{{i sup|2}} = {{mathcal|Q}}}} कुछ आंतरिक समरूपता के लिए {{mathcal| Q}} सिद्धांत में उपस्थित है। वांछित समता संचालक होगा {{math|1={{mathcal|P'}} = {{mathcal|P}}{{mathcal|Q}}<sup>−1/2</sup>}}. यदि {{mathcal|Q}} एक सतत समरूपता समूह का भाग है {{math|{{mathcal|Q}}<sup>−1/2</sup>}} उपस्थित है, लेकिन अगर यह [[ असतत समरूपता |असतत समरूपता]] का भाग है तो इस अवयव की उपस्थिति की आवश्यकता नहीं है और ऐसी पुनर्वितरण संभव नहीं हो सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Feinberg|first1=G.|authorlink1=Gerald Feinberg|last2=Weinberg|first2=S.|authorlink2=Steven Weinberg|date=1959|title=व्युत्क्रम में चरण कारकों पर|url=|journal=Il Nuovo Cimento|volume=14|issue=3|pages=571–592|doi=10.1007/BF02726388|pmid=|arxiv=|bibcode=1959NCim...14..571F |s2cid=120498009|access-date=}}</ref> | ||
मानक मॉडल एक {{math|(−1)<sup>''F''</sup>}} समरूपता प्रदर्शित करता है {{math|(−1)<sup>''F''</sup>}}, जहाँ {{math|''F''}} फर्मियन [[ कण संख्या ऑपरेटर |कण संख्या संचालक]] यह गिनता है कि एक अवस्था में कितने फ़र्मियन हैं। यदि समता संचालिका संतुष्ट है चूंकि मानक मॉडल में सभी कण संतुष्ट करते हैं {{math|1=''F'' = ''B'' + ''L''}}असतत समरूपता भी इसका भाग है {{math|''e''<sup>''iα''(''B'' + ''L'')</sup>}} निरंतर समरूपता समूह।{{math|1={{mathcal|P}}<sup>2</sup> = (−1)<sup>''F''</sup>}}, तो इसे एक नया समता संचालक संतोषजनक देने के लिए पुनर्परिभाषित किया जा सकता है {{math|1={{mathcal|P}}{{i sup|2}} = 1}}. लेकिन अगर [[ मेजराना फर्मियन |मेजराना फर्मियन]] [[ न्युट्रीनो |न्युट्रीनो]] को सम्मिलित करके स्टैंडर्ड मॉडल को बढ़ाया जाए, जिसमें है {{math|1=''F'' = 1}} और {{math|1=''B'' + ''L'' = 0}}, फिर असतत समरूपता {{math|(−1)<sup>''F''</sup>}} अब निरंतर समरूपता समूह का भाग नहीं है और समता संचालिका की वांछित पुनर्परिभाषा नहीं की जा सकती है। इसके बजाय यह संतुष्ट करता है {{math|1={{mathcal|P}}{{i sup|4}} = 1}} इसलिए मेजराना न्यूट्रिनो में आंतरिक समता {{math|±''i''}} | मानक मॉडल एक {{math|(−1)<sup>''F''</sup>}} समरूपत | ||