समता (भौतिकी): Difference between revisions
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इसे एक भौतिक घटना के [[ चिरायता (भौतिकी) |चिरायता (भौतिकी)]] के लिए एक परीक्षण के रूप में भी सोचा जा सकता है, जिसमें एक समता व्युत्क्रम एक घटना को अपनी दर्पण प्रतिबिम्ब में बदल देता है। [[ कमजोर अंतःक्रिया |मन्द अंतःक्रिया]] के अपवाद के साथ, [[ प्राथमिक कण |प्राथमिक | इसे एक भौतिक घटना के [[ चिरायता (भौतिकी) |चिरायता (भौतिकी)]] के लिए एक परीक्षण के रूप में भी सोचा जा सकता है, जिसमें एक समता व्युत्क्रम एक घटना को अपनी दर्पण प्रतिबिम्ब में बदल देता है। [[ कमजोर अंतःक्रिया |मन्द अंतःक्रिया]] के अपवाद के साथ, [[ प्राथमिक कण |प्राथमिक कणों]] की सभी मौलिक अंतःक्रिया समता के अंतर्गत होती हैं। मन्द अंतःक्रिया चिराल है और इस प्रकार भौतिक विज्ञान में चिरायता की परीक्षण के लिए एक साधन प्रदान किया जाता है। पारस्परिक क्रियाओं में जो समता के अंतर्गत हैं, जैसे कि परमाणु और आणविक भौतिक विज्ञान में विद्युत चुंबकत्व, समानता एक प्रभावशाली नियंत्रण [[ सिद्ध |सिद्धांत]] अंतर्निहित क्वांटम पारगमन के रूप में कार्य करता है। | ||
P का एक | P का एक आव्यूह निरूपण (किसी भी आयामों की संख्या में) निर्धारक 1 के समान होता है, और इसलिए एक [[ रोटेशन |घूर्णन]] से भिन्न होता है, जिसमें एक निर्धारक 1 के समान होता है। दो-आयामी विमान में, चिन्ह में सभी निर्देशांक का एक साथ घुमाव एक समता परिवर्तन ''नहीं'' है; यह 180° घुमाव के समान है। | ||
क्वांटम यांत्रिकी में, एक समता परिवर्तन द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्यों को [[ सम और विषम कार्य |सम और विषम]] | क्वांटम यांत्रिकी में, एक समता परिवर्तन द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्यों को [[ सम और विषम कार्य |सम और विषम]] फलनों के कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जबकि जो एक समता परिवर्तन के अंतर्गत चिन्ह बदलते हैं वे विषम फलन हैं। | ||
== सरल समरूपता संबंध == | == सरल समरूपता संबंध == | ||
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'''<u>ओ (3) का निरूपण</u>''' | '''<u>ओ (3) का निरूपण</u>''' | ||
अदिशों, छद्म अदिश, सदिश और | अदिशों, छद्म अदिश, सदिश और स्यूडोसदिश के उपरोक्त वर्गीकरण को लिखने का एक वैकल्पिक तरीका अभ्यावेदन स्थान के संदर्भ में है जिसमें प्रत्येक वस्तु रूपांतरित होती है। यह [[ समूह समरूपता |समूह समरूपता]] <math>\rho</math> के संदर्भ में दिया जा सकता है, जो अभ्यावेदन को परिभाषित करता है। एक आव्यूह <math>R\in \text{O}(3),</math>के लिए, | ||
* अदिशों : <math>\rho(R) = 1</math>, तुच्छ निरूपण | * अदिशों : <math>\rho(R) = 1</math>, तुच्छ निरूपण | ||
* स्यूडोस्कालर: <math>\rho(R) = \det(R)</math> | * स्यूडोस्कालर: <math>\rho(R) = \det(R)</math> | ||
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== पारम्परिक यांत्रिकी == | == पारम्परिक यांत्रिकी == | ||
न्यूटन का गति का समीकरण <math>\mathbf{F} = m\mathbf{a}</math> (यदि द्रव्यमान स्थिर है) दो सदिशों के समान है, और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। गुरुत्व के नियम में भी केवल सदिश सम्मिलित होते हैं और इसलिए | न्यूटन का गति का समीकरण <math>\mathbf{F} = m\mathbf{a}</math> (यदि द्रव्यमान स्थिर है) दो सदिशों के समान है, और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। गुरुत्व के नियम में भी केवल सदिश सम्मिलित होते हैं और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय भी है। | ||
हालाँकि, कोणीय गति <math>\mathbf{L}</math> एक [[ अक्षीय वेक्टर |अक्षीय सदिश]] है, | हालाँकि, कोणीय गति <math>\mathbf{L}</math> एक [[ अक्षीय वेक्टर |अक्षीय सदिश]] है, | ||
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=== संभावित आइगेनवैल्यू === | === संभावित आइगेनवैल्यू === | ||
[[Image:parity 1drep.png|thumb|200px|right|समानता के दो आयामी निरूपण क्वांटम अवस्थाओं की एक जोड़ी द्वारा दिए जाते हैं जो समता के अंतर्गत एक दूसरे में जाते हैं। हालांकि, इस निरूपण को सदैव अवस्थाओं के रैखिक संयोजनों में घटाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम है। एक का कहना है कि समता के सभी अलघुकरणीय निरूपण एक आयामी हैं।]]क्वांटम यांत्रिकी में, | [[Image:parity 1drep.png|thumb|200px|right|समानता के दो आयामी निरूपण क्वांटम अवस्थाओं की एक जोड़ी द्वारा दिए जाते हैं जो समता के अंतर्गत एक दूसरे में जाते हैं। हालांकि, इस निरूपण को सदैव अवस्थाओं के रैखिक संयोजनों में घटाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम है। एक का कहना है कि समता के सभी अलघुकरणीय निरूपण एक आयामी हैं।]]क्वांटम यांत्रिकी में, अंतरिक्षसमय परिवर्तन क्वांटम अवस्थाओं पर फलन करते हैं। समता परिवर्तन, <math>\hat{\mathcal P}</math>, एक एकात्मक संचालिका है, सामान्य रूप से अवस्था <math>\psi</math> पर फलन करता है जो इस प्रकार है; | ||
<nowiki>:</nowiki> <math>\hat{\mathcal P}\, \psi{\left(r\right)} = e^{{i\phi}/{2}}\psi{\left(-r\right)}</math>. | <nowiki>:</nowiki> <math>\hat{\mathcal P}\, \psi{\left(r\right)} = e^{{i\phi}/{2}}\psi{\left(-r\right)}</math>. | ||
एक इस प्रकार होना चाहिए <math>\hat{\mathcal P}^2\, \psi{\left(r\right)} = e^{i\phi}\psi{\left(r\right)}</math>, चूंकि एक समग्र चरण अवकलन योग्य नहीं है। परिचालक <math>\hat{\mathcal P}^2</math>, जो एक अवस्था की समता को दो बार व्युत्क्रम करता है, अंतरिक्ष समय अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और इसी तरह एक आंतरिक समरूपता है जो चरणों द्वारा अपने आइजनस्टेट्स को घुमाती है जो अवयव <math>e^{i\phi}</math> है| यदि <math>\hat{\mathcal P}^2</math> एक अवयव है <math>e^{iQ}</math> चरण घूर्णन के निरंतर | एक इस प्रकार होना चाहिए <math>\hat{\mathcal P}^2\, \psi{\left(r\right)} = e^{i\phi}\psi{\left(r\right)}</math>, चूंकि एक समग्र चरण अवकलन योग्य नहीं है। परिचालक <math>\hat{\mathcal P}^2</math>, जो एक अवस्था की समता को दो बार व्युत्क्रम करता है, अंतरिक्ष समय अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और इसी तरह एक आंतरिक समरूपता है जो चरणों द्वारा अपने आइजनस्टेट्स को घुमाती है जो अवयव <math>e^{i\phi}</math> है| यदि <math>\hat{\mathcal P}^2</math> एक अवयव है <math>e^{iQ}</math> चरण घूर्णन के निरंतर U(1) समरूपता समूह की, फिर <math>e^{-iQ}</math>यह U(1) का भाग है और इसी प्रकार एक समरूपता भी है। विशेष रूप से, हम इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं <math>\hat{\mathcal P}' \equiv \hat{\mathcal P}\, e^{-{iQ}/{2}}</math>, जो एक समरूपता भी है, और इसलिए हम <math>\hat{\mathcal P}</math>. के के स्थान पर <math>\hat{\mathcal P}'</math>आवाहन के रूप में चुन सकते हैं| ध्यान दें कि <math>{\hat{\mathcal P}'}^2 = 1</math> इसलिए <math>\hat{\mathcal P}'</math> ईगेनवेल्यूज <math>\pm 1</math> हैं| समता परिवर्तन के अंतर्गत ईगेनवेल्यूज +1 के साथ तरंग फलन सम और विषम फलन हैं, जबकि ईगेनवेल्यूज -1 विषम कार्यों से समरूप है।<ref>{{cite book |last=Levine |first=Ira N. |date=1991 |title=क्वांटम रसायन|edition=4th |publisher=Prentice-Hall |page=163 |isbn=0-205-12770-3}}</ref> हालाँकि, जब ऐसा कोई समरूपता समूह उपस्थित नहीं होता है, तो यह हो सकता है कि सभी समता परिवर्तनों में कुछ ईजेनवेल्यूज़ हों जो <math>\pm 1</math> के अलावा अन्य चरण हों | | ||
इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन के लिए, यहां तक कि अवस्थाओं को साधारणतः गेरेड (जर्मन: यहां तक) के लिए एक सबस्क्रिप्ट जी द्वारा इंगित किया जाता है और एक सबस्क्रिप्ट यू के लिए अनगेरेड (जर्मन: विषम) द्वारा विषम अवस्थाओं का संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन अणु आयन का निम्नतम ऊर्जा स्तर (H<sub>2</sub><sup>+</sup>) <math>1\sigma_g</math> | इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन के लिए, यहां तक कि अवस्थाओं को साधारणतः गेरेड (जर्मन: यहां तक) के लिए एक सबस्क्रिप्ट जी द्वारा इंगित किया जाता है और एक सबस्क्रिप्ट यू के लिए अनगेरेड (जर्मन: विषम) द्वारा विषम अवस्थाओं का संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन अणु आयन का निम्नतम ऊर्जा स्तर (H<sub>2</sub><sup>+</sup>) <math>1\sigma_g</math> चिह्नित किया गया है और अगला-निकटतम (उच्च) ऊर्जा स्तर <math>1\sigma_u</math>चिह्नित किया गया है|.<ref>{{cite book |last=Levine |first=Ira N. |date=1991 |title=क्वांटम रसायन|edition=4th |publisher=Prentice-Hall |page=355 |isbn=0-205-12770-3}}</ref> | ||
एक बाहरी क्षमता में जाने वाले कण के तरंग कार्य, जो कि [[ सेंट्रोसिमेट्री |सेंट्रोसिमेट्री]] है (अंतरिक्ष व्युत्क्रम के संबंध में संभावित ऊर्जा अपरिवर्तनीय, मूल के सममित), या तो अपरिवर्तित रहते हैं या संकेत बदलते हैं: इन दो संभावित अवस्थाओं को सम अवस्था या विषम कहा जाता है | एक बाहरी क्षमता में जाने वाले कण के तरंग कार्य, जो कि [[ सेंट्रोसिमेट्री |सेंट्रोसिमेट्री]] है (अंतरिक्ष व्युत्क्रम के संबंध में संभावित ऊर्जा अपरिवर्तनीय, मूल के सममित), तरंग कार्यों की स्थिति या तो अपरिवर्तित रहते हैं या संकेत बदलते हैं: इन दो संभावित अवस्थाओं को सम अवस्था या विषम कहा जाता है ।<ref name="Andrew, chapter 2">{{cite book|title= परमाणु स्पेक्ट्रोस्कोपी। हाइपरफाइन संरचना के सिद्धांत का परिचय|first1= A. V.|last1= Andrew|date= 2006|page=274|isbn= 978-0-387-25573-6|chapter= 2. [[Schrödinger equation]]}}</ref> | ||
कणों की समता के संरक्षण के नियम में कहा गया है कि, यदि कणों के एक पृथक समूह में एक निश्चित समता है, तो समुच्चय के विकास की प्रक्रिया में समता अपरिवर्तित रहती है। हालांकि यह नाभिक के [[ बीटा क्षय |बीटा क्षय]] के लिए सही नहीं है) जो मन्द अंतःक्रिया समरूपता के उल्लंघन के कारण है।<ref>{{cite arXiv|title= नाभिक के β-क्षय में समता गैर-संरक्षण: पचास साल बाद प्रयोग और सिद्धांत पर फिर से विचार करना। चतुर्थ। समता तोड़ने वाले मॉडल|author= Mladen Georgiev |date= November 20, 2008 |page=26 |eprint= 0811.3403|class= physics.hist-ph }}</ref> एक गोलाकार रूप से बाहरी क्षेत्र में गतिमान एक कण की अवस्थाओं की समता कोणीय संवेग संचालक द्वारा निर्धारित की जाती है, और कण अवस्था को तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा परिभाषित किया जाता | कणों की समता के संरक्षण के नियम में कहा गया है कि, यदि कणों के एक पृथक समूह में एक निश्चित समता है, तो समुच्चय के विकास की प्रक्रिया में समता अपरिवर्तित रहती है। हालांकि यह नाभिक के [[ बीटा क्षय |बीटा क्षय]] के लिए सही नहीं है) जो मन्द अंतःक्रिया समरूपता के उल्लंघन के कारण है।<ref>{{cite arXiv|title= नाभिक के β-क्षय में समता गैर-संरक्षण: पचास साल बाद प्रयोग और सिद्धांत पर फिर से विचार करना। चतुर्थ। समता तोड़ने वाले मॉडल|author= Mladen Georgiev |date= November 20, 2008 |page=26 |eprint= 0811.3403|class= physics.hist-ph }}</ref> एक गोलाकार रूप से बाहरी क्षेत्र में गतिमान एक कण की अवस्थाओं की समता कोणीय संवेग संचालक द्वारा निर्धारित की जाती है, कुल ऊर्जा, कोणीय संवेग और कोणीय संवेग का प्रक्षेपण और कण अवस्था को तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा परिभाषित किया जाता है।<ref name="Andrew, chapter 2" /> | ||
'''समता समरूपता के परिणाम''' | '''समता समरूपता के परिणाम''' | ||
जब समानता एबेलियन समूह ℤ उत्पन्न करती है<sub>2</sub>, कोई सदैव क्वांटम अवस्थाओं के रैखिक संयोजन ले सकता है जैसे कि वे समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम हैं (चित्र देखें)। इस प्रकार ऐसे अवस्थाओं की समता ±1 है। | जब समानता एबेलियन समूह ℤ उत्पन्न करती है<sub>2</sub>, कोई सदैव क्वांटम अवस्थाओं के रैखिक संयोजन ले सकता है जैसे कि वे समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम हैं (चित्र देखें)। इस प्रकार ऐसे अवस्थाओं की समता ±1 है। बहुकण अवस्था की समानता प्रत्येक अवस्था की समानता का उत्पाद है; दूसरे शब्दों में समता एक गुणक क्वांटम संख्या है। | ||
क्वांटम यांत्रिकी में, [[ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) |हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] एक समता परिवर्तन के अंतर्गत [[ अपरिवर्तनीय (भौतिकी) |अपरिवर्तनीय (भौतिकी)]] (सममित) हैं यदि <math>\hat{\mathcal{P}}</math> हैमिल्टन के साथ [[ कम्यूटेटर | | क्वांटम यांत्रिकी में, [[ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) |हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] एक समता परिवर्तन के अंतर्गत [[ अपरिवर्तनीय (भौतिकी) |अपरिवर्तनीय (भौतिकी)]] (सममित) हैं यदि <math>\hat{\mathcal{P}}</math> हैमिल्टन के साथ [[ कम्यूटेटर |रूपान्तरित]] करते हैं। गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, यह किसी भी अदिश क्षमता के लिए होता है, अर्थात, <math> V = V{\left(r\right)}</math>, इसलिए क्षमता गोलाकार रूप से है। निम्नलिखित तथ्यों को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है: | ||
*यदि <math>\left| \varphi \right\rangle</math> और <math>\left| \psi \right\rangle</math> फिर समान समानता है <math>\left\langle \varphi \left| \hat{X} \right| \psi \right\rangle = 0</math> जहाँ <math>\hat{X}</math> स्थिति संचालिका है। | *यदि <math>\left| \varphi \right\rangle</math> और <math>\left| \psi \right\rangle</math> फिर समान समानता है <math>\left\langle \varphi \left| \hat{X} \right| \psi \right\rangle = 0</math> जहाँ <math>\hat{X}</math> स्थिति संचालिका है। | ||
* अवस्था के लिए <math>\left|\vec{L}, L_z\right\rangle</math> कक्षीय कोणीय गति का <math>\vec{L}</math> जेड-अक्ष प्रक्षेपण के साथ <math>L_z</math>, तब <math>\hat{\mathcal{P}} \left|\vec{L}, L_z\right\rangle = \left(-1\right)^{L} \left|\vec{L}, L_z\right\rangle</math>. | * अवस्था के लिए <math>\left|\vec{L}, L_z\right\rangle</math> कक्षीय कोणीय गति का <math>\vec{L}</math> जेड-अक्ष प्रक्षेपण के साथ <math>L_z</math>, तब <math>\hat{\mathcal{P}} \left|\vec{L}, L_z\right\rangle = \left(-1\right)^{L} \left|\vec{L}, L_z\right\rangle</math>. | ||
Revision as of 11:08, 11 January 2023
भौतिक विज्ञान में, एक समानता परिवर्तन (जिसे समता व्युत्क्रमण भी कहा जाता है) एक त्रिविम -आयामी अंतरिक्ष समन्वय के संकेत में घुमाव है। तीन आयामों में, यह तीनों स्थानिक निर्देशांक (एक बिंदु प्रतिबिंब) के संकेत में एक साथ घुमाव का भी उल्लेख कर सकता है:
इसे एक भौतिक घटना के चिरायता (भौतिकी) के लिए एक परीक्षण के रूप में भी सोचा जा सकता है, जिसमें एक समता व्युत्क्रम एक घटना को अपनी दर्पण प्रतिबिम्ब में बदल देता है। मन्द अंतःक्रिया के अपवाद के साथ, प्राथमिक कणों की सभी मौलिक अंतःक्रिया समता के अंतर्गत होती हैं। मन्द अंतःक्रिया चिराल है और इस प्रकार भौतिक विज्ञान में चिरायता की परीक्षण के लिए एक साधन प्रदान किया जाता है। पारस्परिक क्रियाओं में जो समता के अंतर्गत हैं, जैसे कि परमाणु और आणविक भौतिक विज्ञान में विद्युत चुंबकत्व, समानता एक प्रभावशाली नियंत्रण सिद्धांत अंतर्निहित क्वांटम पारगमन के रूप में कार्य करता है।
P का एक आव्यूह निरूपण (किसी भी आयामों की संख्या में) निर्धारक 1 के समान होता है, और इसलिए एक घूर्णन से भिन्न होता है, जिसमें एक निर्धारक 1 के समान होता है। दो-आयामी विमान में, चिन्ह में सभी निर्देशांक का एक साथ घुमाव एक समता परिवर्तन नहीं है; यह 180° घुमाव के समान है।
क्वांटम यांत्रिकी में, एक समता परिवर्तन द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्यों को सम और विषम फलनों के कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जबकि जो एक समता परिवर्तन के अंतर्गत चिन्ह बदलते हैं वे विषम फलन हैं।
सरल समरूपता संबंध
घूर्णन के अंतर्गत, पारम्परिक ज्यामितीय वस्तुओं को अदिश (भौतिकी), यूक्लिडियन सदिश और उच्च श्रेणी के टेंसर में वर्गीकृत किया जा सकता है। पारम्परिक भौतिक विज्ञान में, भौतिक विन्यास को प्रत्येक समरूपता समूह के अभ्यावेदन के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता होती है।
क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणी है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष में अवस्थाओं को घूर्णन के समूह (गणित) के निरूपण के अंतर्गत बदलने की जरूरत नहीं है, लेकिन यह केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत होता है। प्रक्षेपीय शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि यदि कोई प्रत्येक अवस्था के चरण का प्रक्षेपण करता है, वहाँ हम याद रखते हैं कि क्वांटम अवस्था का संपूर्ण चरण अवलोकन योग्य नहीं है, तो एक प्रक्षेपीय अभ्यावेदन सामान्य अभ्यावेदन में कम हो जाता है। सभी अभ्यावेदन भी प्रक्षेपी अभ्यावेदन हैं, लेकिन इसके विपरीत सत्य नहीं है, इसलिए क्वांटम अवस्थाओं पर प्रक्षेप्य निरूपण की स्थिति पारम्परिक अवस्थाओं पर निरूपण की स्थिति से मन्द है।
किसी भी समूह का प्रक्षेप्य निरूपण समूह विस्तार समूह के केंद्रीय विस्तार के सामान्य निरूपण के लिए समरूप है। उदाहरण के लिए, 3-आयामी घूर्णन समूह के प्रक्षेपी निरूपण, जो कि विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3) है, विशेष एकात्मक समूह SU(2) के सामान्य निरूपण हैं। घूर्णन समूह के प्रक्षेपी अभ्यावेदन जो अभ्यावेदन नहीं हैं उन्हें स्पाइनर कहा जाता है और इसलिए क्वांटम अवस