औसत: Difference between revisions

Revision as of 12:27, 17 January 2023

सामान्य भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, सामान्यतः संख्याओं का योग सूची में जितनी संख्याएं हैं, उनसे विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य), उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य आंकड़े हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या मोड (सांख्यिकी)। उदाहरण के लिए, औसत आय को प्रायः माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को सम्मिलित करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से,केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की संस्तुति की जाती है।

सामान्य गुण

यदि किसी सूची में सभी संख्याएँ समान संख्याएँ हैं, तो उनका औसत भी इस संख्या के बराबर होता है। यह संपत्ति कई प्रकार के औसत में से प्रत्येक द्वारा साझा की जाती है।

एक अन्य सार्वभौमिक संपत्ति दिष्टता है: यदि संख्या A और B की दो सूचियों की लंबाई समान है, और सूची A की प्रत्येक प्रविष्टि सूची B पर संबंधित प्रविष्टि के रूप में कम से कम बड़ी है, तो सूची A का औसत कम से कम सूची का B है। इसके अलावा, सभी औसत सजातीय प्रकार्य को संतुष्ट करते हैं: यदि किसी सूची की सभी संख्याओं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका औसत उसी कारक से बदल जाता है।

कुछ प्रकार के औसत में, सूची में एकांशों को औसत निर्धारित करने से पहले अलग-अलग भार दिए जाते हैं। इनमें भारित अंकगणितीय माध्य, भारित ज्यामितीय माध्य और भारित माध्य सम्मिलित हैं। साथ ही, कुछ प्रकार के गतिमान माध्य के लिए, किसी वस्तु का वजन सूची में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अधिकांश प्रकार के औसत, हालांकि, क्रमचय-असंवेदनशीलता को संतुष्ट करते हैं: सभी वस्तुओं को उनके औसत मूल्य का निर्धारण करने में समान रूप से गिना जाता है और सूची में उनकी स्थिति अप्रासंगिक होती है; (1, 2, 3, 4, 6) का औसत (3, 2, 6, 4, 1) के समान है।

पाइथागोरस का अर्थ है

अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य सामूहिक रूप से पायथागॉरियन साधन के रूप में जाने जाते हैं।

सांख्यिकीय स्थान

वर्णनात्मक आंकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुमान के रूप में मोड (सांख्यिकी), माध्यिका और मध्य-श्रेणी का उपयोग प्रायः माध्य के अतिरिक्त किया जाता है। इन सभी को किसी न किसी उपाय से भिन्नता को कम करने के रूप में देखा जा सकता है; देखो केंद्रीय प्रवृत्ति § परिवर्तनशील समस्याओं का समाधान.

मूल्यों के सामान्य औसत की तुलना { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }
प्रकार	विवरण	उदाहरण	परिणाम
समांतर माध्य	मानों की संख्या से विभाजित डेटा सम्मुच्चय के मानों का योग: $\scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	(1+2+2+3+4+7+9) / 7	4
मध्यस्थ	डेटा सम्मुच्चय के बड़े और छोटे हिस्सों को अलग करने वाला मध्य मान	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	3
मोड	किसी डेटा सेट में सर्वाधिक नियमित मान	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	2
मध्य-स्तर	एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य	(1+9) / 2	5

मोड

विभिन्न तिरछापन के साथ दो लॉग-सामान्य वितरण ों के माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना

किसी सूची में सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को मोड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची का बहुलक (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) 3 है। ऐसा हो सकता है कि दो या दो से अधिक संख्याएँ ऐसी हों जो किसी अन्य संख्या की तुलना में समान रूप से और अधिक बार आती हों। इस स्थिति में बहुलक की कोई स्वीकृत परिभाषा नहीं है। कुछ लेखक कहते हैं कि वे सभी मोड हैं और कुछ कहते हैं कि कोई मोड नहीं है।

मध्यस्थ

माध्यिका समूह की मध्य संख्या होती है जब उन्हें क्रम में रखा जाता है। (यदि संख्याओं की संख्या सम है, तो बीच के दो का माध्य लिया जाता है।)

इस प्रकार माध्यिका को खोजने के लिए, सूची को उसके तत्वों के परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करें और फिर एक या दो मान शेष रहने तक बार-बार उच्चतम और निम्नतम मानों वाली जोड़ी को हटा दें। यदि वास्तव में एक मान छोड़ दिया जाता है, तो वह माध्यक होता है; यदि दो मान हैं, तो माध्यिका इन दोनों का अंकगणितीय माध्य है। यह विधि सूची 1, 7, 3, 13 लेती है और इसे 1, 3, 7, 13 पढ़ने का आदेश देती है। फिर 1 और 13 को सूची 3, 7 प्राप्त करने के लिए हटा दिया जाता है। चूंकि इस शेष सूची में दो तत्व हैं, माध्यिका उनका अंकगणितीय माध्य (3 + 7)/2 = 5 है।

मध्य-श्रेणी

मध्य-श्रेणी एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है।

प्रकारों का सारांश

नाम	समीकरण अथवा वर्णन	अनुकूलन समस्या के समाधान के रूप में
समांतर माध्य	$\bar{x} = \frac{1}{n}$

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 === मोड ===
 [[Image:Comparison mean median mode.svg|thumb|300px|विभिन्न [[ तिरछापन ]] के साथ दो [[ लॉग-सामान्य वितरण ]]ों के माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना]]
-{{Main|Mode (statistics)}}
+{{Main|मोड (सांख्यिकी)}}
 किसी सूची में सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को मोड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची का बहुलक (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) 3 है। ऐसा हो सकता है कि दो या दो से अधिक संख्याएँ ऐसी हों जो किसी अन्य संख्या की तुलना में समान रूप से और अधिक बार आती हों। इस स्थिति में बहुलक की कोई स्वीकृत परिभाषा नहीं है। कुछ लेखक कहते हैं कि वे सभी मोड हैं और कुछ कहते हैं कि कोई मोड नहीं है।
-=== मध्य ===
+=== मध्यस्थ ===
-{{Main|Median}}
+{{Main|मध्यस्थ}}
 माध्यिका समूह की मध्य संख्या होती है जब उन्हें क्रम में रखा जाता है। (यदि संख्याओं की संख्या सम है, तो बीच के दो का माध्य लिया जाता है।)
-इस प्रकार माध्यिका को खोजने के लिए, सूची को उसके तत्वों के परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करें और फिर एक या दो मान शेष रहने तक बार-बार उच्चतम और निम्नतम मानों वाली जोड़ी को हटा दें। यदि वास्तव में एक मान छोड़ दिया जाता है, तो वह माध्यक होता है; यदि दो मान हैं, तो माध्यिका इन दोनों का अंकगणितीय माध्य है। यह विधि सूची 1, 7, 3, 13 लेती है और इसे 1, 3, 7, 13 पढ़ने का आदेश देती है। फिर 1 और 13 को सूची 3, 7 प्राप्त करने के लिए हटा दिया जाता है। चूंकि इस शेष सूची में दो तत्व हैं, माध्यिका उनका अंकगणितीय माध्य है, (3 + 7)/2 = 5।
+इस प्रकार माध्यिका को खोजने के लिए, सूची को उसके तत्वों के परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करें और फिर एक या दो मान शेष रहने तक बार-बार उच्चतम और निम्नतम मानों वाली जोड़ी को हटा दें। यदि वास्तव में एक मान छोड़ दिया जाता है, तो वह माध्यक होता है; यदि दो मान हैं, तो माध्यिका इन दोनों का अंकगणितीय माध्य है। यह विधि सूची 1, 7, 3, 13 लेती है और इसे 1, 3, 7, 13 पढ़ने का आदेश देती है। फिर 1 और 13 को सूची 3, 7 प्राप्त करने के लिए हटा दिया जाता है। चूंकि इस शेष सूची में दो तत्व हैं, माध्यिका उनका अंकगणितीय माध्य  (3 + 7)/2 = 5 है।
-=== मिड-रेंज ===
+=== मध्य-श्रेणी ===
-{{Main|Mid-range}}
+{{Main|मध्य-श्रेणी}}
-मध्य-श्रेणी एक सेट के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है।
+मध्य-श्रेणी एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है।
 == प्रकारों का सारांश ==
-{{see also|Mean#Other means}}
+{{see also|माध्य#अन्य माध्य}}
 {|class="wikitable" style="background:white;"
 |-
-! Name !! Equation or description !! As solution to optimization problem
+! नाम !! समीकरण अथवा वर्णन !! अनुकूलन समस्या के समाधान के रूप में
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-| [[Arithmetic mean]] || <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1 + \cdots + x_n)</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x - x_i)^2</math>
+| [[Arithmetic mean|समांतर माध्य]] || <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1 + \cdots + x_n)</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x - x_i)^2</math>
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-| [[Median]] || The middle value that separates the higher half from the lower half of the data set || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n |x - x_i|</math>
+| [[Median|मध्यस्थ]] || मध्य मान जो डेटा सम्मुच्चय के निचले आधे हिस्से से उच्च आधे को अलग करता है || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n |x - x_i|</math>
 |-
-| [[Geometric median]] || A [[rotation (mathematics)|rotation]] [[invariant (mathematics)|invariant]] extension of the [[median]] for points in <math>\mathbb{R}^d</math> || <math>\underset{\vec{x} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n ||\vec{x} - \vec{x}_i||_2</math>
+| [[Geometric median|ज्यामितिक मध्यस्थ]] || <math>\mathbb{R}^d</math> में बिंदुओं के लिए माध्यिका का [[घूर्णन अपरिवर्तनीय]] विस्तार || <math>\underset{\vec{x} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n ||\vec{x} - \vec{x}_i||_2</math>
 |-
-| [[Tukey median]] || Another rotation invariant extension of the median for points in <math>\mathbb{R}^d</math>—a point that maximizes the [[Tukey depth]] || <math>\underset{\vec{x} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{argmax}}\, \underset{\vec{u} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{min}} \, \sum_{i=1}^n \left(\begin{cases}1, \text{ if }(\vec{x}_i-\vec{x})\cdot\vec{u} \geq 0 \\ 0, \text{ otherwise}\end{cases}\right)</math>
+| [[Tukey median|तुके मध्यस्थ]] || <math>\mathbb{R}^d</math>—में बिंदुओं के लिए माध्यिका का एक और घूर्णन अपरिवर्तनीय विस्तार—एक बिंदु जो तुकी की गहराई को अधिकतम करता है || <math>\underset{\vec{x} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{argmax}}\, \underset{\vec{u} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{min}} \, \sum_{i=1}^n \left(\begin{cases}1, \text{ if }(\vec{x}_i-\vec{x})\cdot\vec{u} \geq 0 \\ 0, \text{ otherwise}\end{cases}\right)</math>
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-| [[Mode (statistics)|Mode]] || The most frequent value in the data set || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmax}}\, \sum_{i=1}^n \left(\begin{cases}1, \text{ if }x = x_i \\ 0, \text{ if }x \neq x_i\end{cases}\right)</math>
+| [[Mode (statistics)|मोड]] || डेटा सेट में सबसे नियमित मान || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmax}}\, \sum_{i=1}^n \left(\begin{cases}1, \text{ if }x = x_i \\ 0, \text{ if }x \neq x_i\end{cases}\right)</math>
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-| [[Geometric mean]] || <math>\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{> 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (\ln(x) - \ln(x_i))^2,\qquad \text{if }x_i > 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>
+| [[Geometric mean|ज्यामितिक माध्य]] || <math>\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{> 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (\ln(x) - \ln(x_i))^2,\qquad \text{if }x_i > 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>
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-| [[Harmonic mean]] || <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\neq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x_i}\right)^2</math>
+| [[Harmonic mean|सुसंगत माध्य]] || <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\neq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x_i}\right)^2</math>
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-| [[Lehmer mean]] || <math>\frac{\sum_{i=1}^n x_i^p}{\sum_{i=1}^n x_i^{p-1}}</math> ||
+| [[Lehmer mean|लेहमेर माध्य]] || <math>\frac{\sum_{i=1}^n x_i^p}{\sum_{i=1}^n x_i^{p-1}}</math> ||
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-| [[Quadratic mean]]<br />(or RMS) || <math>\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\left(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\right)}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^2 - x_i^2)^2</math>
+| [[Quadratic mean|द्विघात माध्य]]<br />(या RMS) || <math>\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\left(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\right)}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^2 - x_i^2)^2</math>
 |-
-| [[Cubic mean]] || <math>\sqrt[3]{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{n}\left(x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3\right)}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^3 - x_i^3)^2,\qquad \text{if }x_i \geq 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>
+| [[Cubic mean|त्रिविमीय माध्य]] || <math>\sqrt[3]{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{n}\left(x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3\right)}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^3 - x_i^3)^2,\qquad \text{if }x_i \geq 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>
 |-
-| [[Generalized mean]] || <math>\sqrt[p]{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^p - x_i^p)^2,\qquad \text{if }x_i \geq 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>
+| [[Generalized mean|व्यापक माध्य]] || <math>\sqrt[p]{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^p - x_i^p)^2,\qquad \text{if }x_i \geq 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>
 |-
-| [[Quasi-arithmetic mean]] || <math> f^{-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \right)</math> || <math>\underset{x \in \operatorname{dom}(f)}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (f(x) - f(x_i))^2,\qquad \text{if } f</math> is [[Monotonic function|monotonic]]
+| [[Quasi-arithmetic mean|क्वासि-समांतर माध्य]] || <math> f^{-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \right)</math> || <math>\underset{x \in \operatorname{dom}(f)}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (f(x) - f(x_i))^2,\qquad \text{if } f</math> is [[Monotonic function|एकदिष्ट]]
 |-
-| [[Weighted arithmetic mean|Weighted mean]] || <math>\frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n w_i(x - x_i)^2</math>
+| [[Weighted arithmetic mean|भारित माध्य]] || <math>\frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n w_i(x - x_i)^2</math>
 |-
-| [[Truncated mean]] || The arithmetic mean of data values after a certain number or proportion of the highest and lowest data values have been discarded
+| [[Truncated mean|संक्षिप्त माध्य]] || एक निश्चित संख्या या उच्चतम और निम्नतम डेटा मानों के अनुपात के बाद डेटा मानों का अंकगणितीय माध्य हटा दिया गया है
 |-
-| [[Interquartile mean]] || A special case of the truncated mean, using the [[interquartile range]].  A special case of the inter-quantile truncated mean, which operates on quantiles (often deciles or percentiles) that are equidistant but on opposite sides of the median.
+| [[Interquartile mean|अन्तःचतुर्थक माध्य]] || अंतरचतुर्थक श्रेणी का उपयोग करते हुए, अंतर-चतुर्थक संक्षिप्त माध्य की एक विशेष स्तिथि, जो चतुर्थक (प्रायः दशमक या प्रतिशतक) पर संचालित होता है जो समान दूरी पर होते हैं लेकिन माध्यिका के विपरीत दिशा में होते हैं
+|
 |-
-| [[Midrange]] || <math>\frac{1}{2}\left(\max x + \min x\right)</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \underset{i \in \{1,\dots,n\}}{\operatorname{max}}\, |x - x_i|</math>
+| [[Midrange|मध्य दूरी]] || <math>\frac{1}{2}\left(\max x + \min x\right)</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \underset{i \in \{1,\dots,n\}}{\operatorname{max}}\, |x - x_i|</math>
 |-
-| [[Winsorized mean]] ||  Similar to the truncated mean, but, rather than deleting the extreme values, they are set equal to the largest and smallest values that remain
+| [[Winsorized mean|शीतऋत्वित माध्य]] ||  काटे गए माध्य के समान, लेकिन, अत्यधिक मूल्यों को हटाने के स्थान पर, वे सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के बराबर निर्धारित किया जाता है
 |}
 [[ गणितीय प्रतीकों की तालिका ]] नीचे प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या करती है।
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 == विविध प्रकार ==
-अन्य अधिक परिष्कृत औसत हैं: [[ काट-छांट करना ]], ट्रिमियन और [[ सामान्यीकृत माध्य ]], उनके सामान्यीकरण के साथ।<ref>{{cite journal |last1=Merigo |first1=Jose M. |last2=Cananovas |first2=Montserrat |title=The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making |year=2009 |journal=Journal of Quantitative Methods for Economics and Business Administration |volume=9 |pages=69–84 |issn=1886-516X |url=http://www.upo.es/RevMetCuant/art.php?id=38 }}{{Dead link|date=October 2018 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>
+अन्य अधिक परिष्कृत औसत हैं: [[ काट-छांट करना |काट-छांट करना]], ट्रिमियन और [[ सामान्यीकृत माध्य |सामान्यीकृत माध्य]], उनके सामान्यीकरण के साथ।<ref>{{cite journal |last1=Merigo |first1=Jose M. |last2=Cananovas |first2=Montserrat |title=The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making |year=2009 |journal=Journal of Quantitative Methods for Economics and Business Administration |volume=9 |pages=69–84 |issn=1886-516X |url=http://www.upo.es/RevMetCuant/art.php?id=38 }}{{Dead link|date=October 2018 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>
-सामान्यीकृत f-mean|सामान्यीकृत f-mean का उपयोग करके कोई अपना औसत मीट्रिक बना सकता है:
+सामान्यीकृत f-माध्य का उपयोग करके कोई अपना औसत मीट्रिक बना सकता है:
 : <math>y = f^{-1}\left(\frac{1}{n}\left[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)\right]\right)</math>
-जहाँ f कोई व्युत्क्रमणीय फलन है। f(x) = 1/x का उपयोग करके हार्मोनिक माध्य इसका एक उदाहरण है, और f(x) = log x का उपयोग करके ज्यामितीय माध्य दूसरा है।
+जहाँ f कोई व्युत्क्रमणीय फलन है। f(x) = 1/x का उपयोग करके सुसंगत माध्य इसका एक उदाहरण है, और f(x) = log x का उपयोग करके ज्यामितीय माध्य दूसरा उदाहरण है।
+हालाँकि, साधनों को उत्पन्न करने की यह विधि सभी औसतों पर अधिकरण करने के लिए पर्याप्त सामान्य नहीं है। औसत को परिभाषित करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि [2] [असफल सत्यापन] तर्कों की एक सूची के किसी भी प्रकार्य g(x1, x2, ..., xn) को लेता है जो निरंतर है, प्रत्येक तर्क में सख्ती से बढ़ रहा है, और सममित है। औसत y तब वह मान है, जो सूची के प्रत्येक सदस्य को प्रतिस्थापित करते समय समान प्रकार्य मान: {{nowrap|1=''g''(''y'', ''y'', ..., ''y'') =}} {{nowrap|''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} में परिणत होता है। यह सबसे सामान्य परिभाषा अभी भी सभी औसतों की महत्वपूर्ण संपत्ति को पकड़ती है कि समान तत्वों की सूची का औसत वह तत्व ही है। प्रकार्य {{nowrap|1=''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|''x''<sub>1</sub>+''x''<sub>2</sub>+ ··· + ''x''<sub>''n''</sub>}} अंकगणितीय माध्य प्रदान करता है। प्रकार्य {{nowrap|1 = ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>···''x''<sub>''n''</sub>}} (जहाँ सूची तत्व सकारात्मक संख्याएँ हैं) ज्यामितीय माध्य प्रदान करता है। प्रकार्य {{nowrap|1 = ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|(''x''<sub>1</sub><sup>−1</sup>+''x''<sub>2</sub><sup>−1</sup>+ ··· + ''x''<sub>''n''</sub><sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>)}} (जहां सूची तत्व सकारात्मक संख्याएं हैं) सुसंगत माध्य प्रदान करता है।<ref name="Bibby">{{cite journal | last1 = Bibby | first1 = John | year = 1974 | title = Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences | journal = [[Glasgow Mathematical Journal]] | volume = 15 | pages = 63–65 | doi=10.1017/s0017089500002135| doi-access = free }}</ref>
-हालाँकि, साधनों को उत्पन्न करने की यह विधि सभी औसतों पर कब्जा करने के लिए पर्याप्त सामान्य नहीं है। एक और सामान्य तरीका<ref name=Bibby/>{{fv|date=May 2022}} औसत को परिभाषित करने के लिए कोई फ़ंक्शन g(x<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>) तर्कों की एक सूची जो [[ निरंतर कार्य ]] है, प्रत्येक तर्क में मोनोटोनिकिटी, और सममित (तर्कों के क्रमपरिवर्तन के तहत परिवर्तनीय)। औसत y तब वह मान है, जो सूची के प्रत्येक सदस्य को प्रतिस्थापित करते समय समान फ़ंक्शन मान में परिणत होता है: {{nowrap|1=''g''(''y'', ''y'', ..., ''y'') =}} {{nowrap|''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}}. यह सबसे सामान्य परिभाषा अभी भी सभी औसतों की महत्वपूर्ण संपत्ति को पकड़ती है कि समान तत्वों की सूची का औसत वह तत्व ही है। कार्यक्रम {{nowrap|1=''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|''x''<sub>1</sub>+''x''<sub>2</sub>+ ··· + ''x''<sub>''n''</sub>}} अंकगणितीय माध्य प्रदान करता है। कार्यक्रम {{nowrap|1 = ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>···''x''<sub>''n''</sub>}} (जहाँ सूची तत्व सकारात्मक संख्याएँ हैं) ज्यामितीय माध्य प्रदान करता है। कार्यक्रम {{nowrap|1 = ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|(''x''<sub>1</sub><sup>−1</sup>+''x''<sub>2</sub><sup>−1</sup>+ ··· + ''x''<sub>''n''</sub><sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>)}} (जहां सूची तत्व सकारात्मक संख्याएं हैं) हार्मोनिक माध्य प्रदान करता है।<ref name=Bibby>{{cite journal | last1 = Bibby | first1 = John | year = 1974 | title = Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences | journal = [[Glasgow Mathematical Journal]] | volume = 15 | pages = 63–65 | doi=10.1017/s0017089500002135| doi-access = free }}</ref>
+=== औसत प्रतिशत लाभ और CAGR ===
+{{Main|चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर}}
-=== औसत प्रतिशत रिटर्न और सीएजीआर ===
+वित्त में उपयोग किए जाने वाले औसत का एक प्रकार औसत प्रतिशत लाभ है। यह एक ज्यामितीय माध्य का एक उदाहरण है। जब लाभ वार्षिक होता है, तो इसे चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर (CAGR) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दो वर्षों की अवधि पर विचार कर रहे हैं, और पहले वर्ष में निवेश लाभ -10% है और दूसरे वर्ष में लाभ +60% है, तो औसत प्रतिशत लाभ या CAGR, R,  {{nowrap|1= (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + ''R'') × (1 + ''R'')}} समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है। R का मान जो इस समीकरण को सत्य बनाता है वह 0.2 या 20% है। इसका मतलब यह है कि 2 साल की अवधि में कुल लाभ उतना ही है जितना कि हर साल 20% की वृद्धि हुई थी। वर्षों के क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता - +60% और -10% का औसत प्रतिशत लाभ -10% और +60% के समान परिणाम है।
-{{Main|Compound annual growth rate}}
-वित्त में उपयोग किए जाने वाले औसत का एक प्रकार औसत प्रतिशत रिटर्न है। यह एक ज्यामितीय माध्य का एक उदाहरण है। जब रिटर्न वार्षिक होता है, तो इसे कंपाउंड एनुअल ग्रोथ रेट (CAGR) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दो वर्षों की अवधि पर विचार कर रहे हैं, और पहले वर्ष में निवेश रिटर्न -10% है और दूसरे वर्ष में रिटर्न +60% है, तो औसत प्रतिशत रिटर्न या सीएजीआर, आर, प्राप्त किया जा सकता है समीकरण को हल करके: {{nowrap|1= (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + ''R'') × (1 + ''R'')}}. R का मान जो इस समीकरण को सत्य बनाता है वह 0.2 या 20% है। इसका मतलब यह है कि 2 साल की अवधि में कुल रिटर्न उतना ही है जितना कि हर साल 20% की वृद्धि हुई थी। वर्षों के क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता - +60% और -10% का औसत प्रतिशत रिटर्न -10% और +60% के समान परिणाम है।
-इस पद्धति को उन उदाहरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनमें अवधि समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आधे साल की अवधि पर विचार करें जिसके लिए रिटर्न -23% है और ढाई साल की अवधि जिसके लिए रिटर्न +13% है। संयुक्त अवधि के लिए औसत प्रतिशत प्रतिफल एक वर्ष का प्रतिफल है, R, जो निम्नलिखित समीकरण का हल है: {{nowrap|1= (1 − 0.23)<sup>0.5</sup> × (1 + 0.13)<sup>2.5</sup> = (1 + ''R'')<sup>0.5+2.5</sup>}}, 0.0600 या 6.00% का औसत रिटर्न R दे रहा है।
+इस पद्धति को उन उदाहरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनमें अवधि समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आधे साल की अवधि पर विचार करें जिसके लिए लाभ -23% है और ढाई साल की अवधि जिसके लिए लाभ +13% है। संयुक्त अवधि के लिए औसत प्रतिशत प्रतिफल एक वर्ष का प्रतिफल है, R, जो निम्नलिखित समीकरण का हल है: {{nowrap|1= (1 − 0.23)<sup>0.5</sup> × (1 + 0.13)<sup>2.5</sup> = (1 + ''R'')<sup>0.5+2.5</sup>}}, 0.0600 या 6.00% का औसत लाभ R दे रहा है।
-== मूविंग एवरेज ==
+== गतिमान माध्य ==
-{{main|Moving average}}
+{{main|गतिमान माध्य}}
-एक [[ समय श्रृंखला ]] दी गई है, जैसे दैनिक शेयर बाजार की कीमतें या वार्षिक तापमान, लोग प्रायः एक चिकनी श्रृंखला बनाना चाहते हैं।<ref>{{cite book | first1=George E.P. | last1= Box |first2=Gwilym M.| last2= Jenkins| title= Time Series Analysis: Forecasting and Control | edition= revised| publisher=Holden-Day | year=1976 | isbn=0816211043}}</ref> यह अंतर्निहित रुझान या शायद आवधिक व्यवहार दिखाने में मदद करता है। इसे करने का एक आसान तरीका मूविंग एवरेज है: कोई नंबर n चुनता है और पहले n मानों का अंकगणितीय माध्य लेकर एक नई श्रृंखला बनाता है, फिर सबसे पुराने मान को गिराकर एक स्थान आगे बढ़ता है और दूसरे पर एक नया मान प्रस्तुत करता है। सूची का अंत, और इसी तरह। यह मूविंग एवरेज का सबसे सरल रूप है। अधिक जटिल रूपों में [[ भारित औसत ]] का उपयोग करना सम्मिलित है। वेटिंग का उपयोग विभिन्न आवधिक व्यवहार को बढ़ाने या दबाने के लिए किया जा सकता है और [[ डिजिटल फिल्टर ]] पर साहित्य में किस वेटिंग का उपयोग करना है, इसका बहुत व्यापक विश्लेषण है। [[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] में मूविंग एवरेज शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब वजन का योग 1.0 नहीं होता है (इसलिए आउटपुट श्रृंखला औसत का एक छोटा संस्करण है)।<ref>{{cite book | first1=Simon | last1= Haykin | title= Adaptive Filter Theory | publisher=Prentice-Hall | year=1986 | isbn=0130040525}}</ref> इसका कारण यह है कि विश्लेषक सामान्यतः केवल प्रवृत्ति या आवधिक व्यवहार में रुचि रखते हैं।
+एक [[ समय श्रृंखला |समय श्रृंखला]] दी गई है, जैसे दैनिक शेयर बाजार की कीमतें या वार्षिक तापमान, लोग प्रायः एक सुचारु श्रृंखला बनाना चाहते हैं।<ref>{{cite book | first1=George E.P. | last1= Box |first2=Gwilym M.| last2= Jenkins| title= Time Series Analysis: Forecasting and Control | edition= revised| publisher=Holden-Day | year=1976 | isbn=0816211043}}</ref> यह अंतर्निहित रुझान या शायद आवधिक व्यवहार दिखाने में मदद करता है। ऐसा करने का एक आसान तरीका गतिमान माध्य है: कोई एक संख्या n चुनता है और पहले n मानों का अंकगणितीय माध्य लेकर एक नई श्रृंखला बनाता है, फिर सबसे पुराने मान को गिराकर एक स्थान आगे बढ़ता है और दूसरे सूची के अंत इत्यादि पर एक नया मान प्रस्तुत करता है। यह गतिमान माध्य का सबसे सरल रूप है। अधिक जटिल रूपों में [[ भारित औसत |भारित औसत]] का उपयोग करना सम्मिलित है। भारण का उपयोग विभिन्न आवधिक व्यवहार को बढ़ाने या दबाने के लिए किया जा सकता है और [[ डिजिटल फिल्टर |अंकीय निस्यंदन]] पर साहित्य में किस औसत का उपयोग करना है, इसका बहुत व्यापक विश्लेषण है। [[ अंकीय संकेत प्रक्रिया |अंकीय संकेत प्रक्रिया]] में गतिमान माध्य शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब वजन का योग 1.0 नहीं होता है (इसलिए आउटपुट श्रृंखला औसत का एक छोटा संस्करण है)।<ref>{{cite book | first1=Simon | last1= Haykin | title= Adaptive Filter Theory | publisher=Prentice-Hall | year=1986 | isbn=0130040525}}</ref> इसका कारण यह है कि विश्लेषक सामान्यतः केवल प्रवृत्ति या आवधिक व्यवहार में रुचि रखते हैं।
 == इतिहास ==
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 ==बाहरी कड़ियाँ==
 {{Wiktionary}}
-*[https://web.archive.org/web/20070810034709/http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2004/volume3/EB-04C10011A.pdf Median as a weighted arithmetic mean of all Sample Observations]
+*[https://web.archive.org/web/20070810034709/http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2004/volume3/EB-04C10011A.pdf मध्यस्थ as a weighted समांतर माध्य of all Sample Observations]
-*[http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Calculations and comparison between arithmetic and geometric mean of two values]
+*[http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Calculations and comparison between arithmetic and ज्यामितिक माध्य of two values] [[Category:सारांश आँकड़े]][[श्रेणी: साधन]][[श्रेणी: अंकगणितीय कार्य]]
-[[Category:सारांश आँकड़े]][[श्रेणी: साधन]][[श्रेणी: अंकगणितीय कार्य]]
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 05/01/2023]]

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