फंक्टर: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
{{About|गणितीय अवधारणा}} | {{About|गणितीय अवधारणा}} | ||
{{Redirect|क्रियात्मकता|संख्या सिद्धांत में लैंगलैंड्स कार्यात्मकता अनुमान|लैंगलैंड्स कार्यक्रम#कार्यक्षमता}} | {{Redirect|क्रियात्मकता|संख्या सिद्धांत में लैंगलैंड्स कार्यात्मकता अनुमान|लैंगलैंड्स कार्यक्रम#कार्यक्षमता}} | ||
गणित में, विशेष रूप से [[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]] , क्रियात्मकता [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] के बीच नक्शा (गणित) है। क्रियात्मकता को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे [[ मौलिक समूह |मौलिक समूह]] ) [[ सामयिक स्थान |सामयिक स्थान]] स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते | गणित में, विशेष रूप से [[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]] , क्रियात्मकता [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] के बीच नक्शा (गणित) है। क्रियात्मकता को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे [[ मौलिक समूह |मौलिक समूह]] ) [[ सामयिक स्थान |सामयिक स्थान]] स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं। आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में क्रियात्मकता का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में क्रियात्मकता महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है। | ||
शब्द ''श्रेणी'' और ''क्रियात्मकता'' क्रमशः दार्शनिकों [[ अरस्तू |अरस्तू]] और [[ रुडोल्फ कार्नाप |रुडोल्फ कार्नाप]] के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref> उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, <ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp. 13–14.</ref>इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें। | शब्द ''श्रेणी'' और ''क्रियात्मकता'' क्रमशः दार्शनिकों [[ अरस्तू |अरस्तू]] और [[ रुडोल्फ कार्नाप |रुडोल्फ कार्नाप]] के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref> उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, <ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp. 13–14.</ref>इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें। | ||
| Line 26: | Line 26: | ||
ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता रचना की दिशा को उलटते हैं। | ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता रचना की दिशा को उलटते हैं। | ||
साधारण क्रियात्मकता को 'कोवेरिएंट क्रियात्मकता' भी कहा जाता है ताकि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके। ध्यान दें कि कोई भी [[ विपरीत श्रेणी |विपरीत श्रेणी]] में सहसंयोजक क्रियात्मकता के रूप में कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता | साधारण क्रियात्मकता को 'कोवेरिएंट क्रियात्मकता' भी कहा जाता है ताकि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके। ध्यान दें कि कोई भी [[ विपरीत श्रेणी |विपरीत श्रेणी]] में सहसंयोजक क्रियात्मकता के रूप में कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता <math>C^\mathrm{op}</math> को परिभाषित कर सकता है,{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} कुछ लेखक सभी अभिव्यक्तियों को सहसंयोजक रूप से लिखना पसंद करते हैं अर्थात कहने के अतिरिक्त <math>F \colon C\to D</math> कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, वे <math>F \colon C^{\mathrm{op}} \to D</math> लिखते हैं (या कभी -कभी <math>F \colon C \to D^{\mathrm{op}}</math>) और इसे क्रियात्मकता कहते हैं। | ||
कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है।<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|access-date=23 April 2016}}</ref> यह सम्मेलन है जो वैक्टर I को संदर्भित करता है। [[ वेक्टर क्षेत्र |वेक्टर क्षेत्र]] , वर्गों के स्थान के तत्व <math>\Gamma(TM)</math> [[ स्पर्शरेखा |स्पर्शरेखा]] बंडल की <math>TM</math>—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए I से संदर्भित किया जाता हैं। <math>\Gamma\mathord\left(T^*M\right)</math> स्पर्शरेखा बंडल की <math>T^*M</math> सहसंयोजक हैं। यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे <math>{x'}^{\,i} = \Lambda^i_j x^j</math> के लिए <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> या <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> के लिए <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}.</math> इस औपचारिकता में यह देखा गया है कि समन्वय परिवर्तन प्रतीक <math>\Lambda^j_i</math> (मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करना <math>\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}</math>) कोवेक्टर निर्देशांक पर उसी प्रकार से वैक्टर के आधार पर कार्य करता है: <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>-उनसे यह वेक्टर निर्देशांक पर विपरीत तरीके से कार्य करता है (लेकिन उसी तरह जैसे कि आधार पर कोवेक्टर्स: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>)। यह शब्दावली श्रेणी के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले के विपरीत है क्योंकि यह कोवेक्टर्स है जिसमें सामान्य रूप से पुलबैक होते हैं और इस प्रकार कंट्रैथेरिएंट होते हैं, जबकि सामान्य रूप से वैक्टर सहसंयोजक होते हैं क्योंकि उन्हें आगे बढ़ाया जा सकता है।[[ वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन | वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन]] भी देखें। | कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है।<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|access-date=23 April 2016}}</ref> यह सम्मेलन है जो वैक्टर I को संदर्भित करता है। [[ वेक्टर क्षेत्र |वेक्टर क्षेत्र]] , वर्गों के स्थान के तत्व <math>\Gamma(TM)</math> [[ स्पर्शरेखा |स्पर्शरेखा]] बंडल की <math>TM</math>—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए I से संदर्भित किया जाता हैं। <math>\Gamma\mathord\left(T^*M\right)</math> स्पर्शरेखा बंडल की <math>T^*M</math> सहसंयोजक हैं। यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे <math>{x'}^{\,i} = \Lambda^i_j x^j</math> के लिए <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> या <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> के लिए <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}.</math> इस औपचारिकता में यह देखा गया है कि समन्वय परिवर्तन प्रतीक <math>\Lambda^j_i</math> (मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करना <math>\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}</math>) कोवेक्टर निर्देशांक पर उसी प्रकार से वैक्टर के आधार पर कार्य करता है: <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>-उनसे यह वेक्टर निर्देशांक पर विपरीत तरीके से कार्य करता है (लेकिन उसी तरह जैसे कि आधार पर कोवेक्टर्स: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>)। यह शब्दावली श्रेणी के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले के विपरीत है क्योंकि यह कोवेक्टर्स है जिसमें सामान्य रूप से पुलबैक होते हैं और इस प्रकार कंट्रैथेरिएंट होते हैं, जबकि सामान्य रूप से वैक्टर सहसंयोजक होते हैं क्योंकि उन्हें आगे बढ़ाया जा सकता है।[[ वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन | वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन]] भी देखें। | ||
| Line 62: | Line 62: | ||
;मौलिक समूह: नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी पर विचार करें, अर्थात् प्रतिष्ठित बिंदुओं के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान। वस्तुएं जोड़े हैं {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, जहां X<sub>0</sub> टोपोलॉजिकल स्पेस और X है X में बिंदु है। रूपवाद से {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र द्वारा दिया गया है {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} साथ {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}}. प्रतिष्ठित बिंदु x के साथ हर टोपोलॉजिकल स्पेस X<sub>0</sub> के लिए, X<sub>0</sub> पर आधारित मौलिक समूह को निरूपित {{nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} द्वारा परिभाषित कर सकता है। यह X<sub>0</sub> पर आधारित लूप के [[ होमोटॉपी |होमोटॉपी]] वर्गों का [[ समूह (गणित) |समूह (गणित)]] है, कॉन्टेनेशन के समूह संचालन के साथ किया जाता हैं। यदि {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} नुकीले स्थानों का रूपवाद है, फिर बेस पॉइंट X के साथ X<sub>0</sub> में प्रत्येक लूप आधार बिंदु y के साथ y में लूप प्राप्त करने के लिए f<sub>0</sub> के साथ बनाया जा सकता है। यह ऑपरेशन होमोटोपी तुल्यता संबंध और छोरों की संरचना के साथ संगत है और हमें समूह {{nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} का होमोमोर्फिज्म मिलता है। इस प्रकार हम [[ समूहों की श्रेणी |समूहों की श्रेणी]] में नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से फ़ंक्टर प्राप्त करते हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान (प्रतिष्ठित बिंदु के बिना) की श्रेणी में, कोई जेनेरिक घटता के होमोटॉपी वर्गों पर विचार करता है, लेकिन जब तक वे समापन बिंदु साझा नहीं करते हैं, तब तक उन्हें बनाया नहीं जा सकता है। इस प्रकार के पास मौलिक समूह के अतिरिक्त मौलिक समूह है, और यह निर्माण फंक्शनल है। | ;मौलिक समूह: नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी पर विचार करें, अर्थात् प्रतिष्ठित बिंदुओं के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान। वस्तुएं जोड़े हैं {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, जहां X<sub>0</sub> टोपोलॉजिकल स्पेस और X है X में बिंदु है। रूपवाद से {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र द्वारा दिया गया है {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} साथ {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}}. प्रतिष्ठित बिंदु x के साथ हर टोपोलॉजिकल स्पेस X<sub>0</sub> के लिए, X<sub>0</sub> पर आधारित मौलिक समूह को निरूपित {{nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} द्वारा परिभाषित कर सकता है। यह X<sub>0</sub> पर आधारित लूप के [[ होमोटॉपी |होमोटॉपी]] वर्गों का [[ समूह (गणित) |समूह (गणित)]] है, कॉन्टेनेशन के समूह संचालन के साथ किया जाता हैं। यदि {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} नुकीले स्थानों का रूपवाद है, फिर बेस पॉइंट X के साथ X<sub>0</sub> में प्रत्येक लूप आधार बिंदु y के साथ y में लूप प्राप्त करने के लिए f<sub>0</sub> के साथ बनाया जा सकता है। यह ऑपरेशन होमोटोपी तुल्यता संबंध और छोरों की संरचना के साथ संगत है और हमें समूह {{nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} का होमोमोर्फिज्म मिलता है। इस प्रकार हम [[ समूहों की श्रेणी |समूहों की श्रेणी]] में नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से फ़ंक्टर प्राप्त करते हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान (प्रतिष्ठित बिंदु के बिना) की श्रेणी में, कोई जेनेरिक घटता के होमोटॉपी वर्गों पर विचार करता है, लेकिन जब तक वे समापन बिंदु साझा नहीं करते हैं, तब तक उन्हें बनाया नहीं जा सकता है। इस प्रकार के पास मौलिक समूह के अतिरिक्त मौलिक समूह है, और यह निर्माण फंक्शनल है। | ||
;निरंतर कार्यों का बीजगणित: वास्तविक सहयोगी बीजगणित की श्रेणी के लिए [[ टोपोलॉजी |टोपोलॉजी]] की श्रेणी (निरंतर नक्शे के रूप में) की श्रेणी से कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर को हर टोपोलॉजिकल स्पेस 'X' 'D बीजगणित C (' 'X' ') को असाइन करके दिया गया है। उस स्थान पर सभी वास्तविक-मूल्य वाले निरंतर कार्यों में से हैं। हर निरंतर नक्शा {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} बीजगणित समरूपता को प्रेरित करता है {{nowrap|C(''f'') : C(''Y'') → C(''X'')}} नियम से {{nowrap|1=C(''f'')(''φ'') = ''φ'' ∘ ''f''}} प्रत्येक φ के लिए c (y) में उपलब्ध हैं। | ;निरंतर कार्यों का बीजगणित: वास्तविक सहयोगी बीजगणित की श्रेणी के लिए [[ टोपोलॉजी |टोपोलॉजी]] की श्रेणी (निरंतर नक्शे के रूप में) की श्रेणी से कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर को हर टोपोलॉजिकल स्पेस 'X' 'D बीजगणित C (' 'X' ') को असाइन करके दिया गया है। उस स्थान पर सभी वास्तविक-मूल्य वाले निरंतर कार्यों में से हैं। हर निरंतर नक्शा {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} बीजगणित समरूपता को प्रेरित करता है {{nowrap|C(''f'') : C(''Y'') → C(''X'')}} नियम से {{nowrap|1=C(''f'')(''φ'') = ''φ'' ∘ ''f''}} प्रत्येक φ के लिए c (y) में उपलब्ध हैं। | ||
;स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा बंडलों: वह नक्शा जो अपने स्पर्शरेखा बंडल में हर अलग -अलग कई गुना को भेजता है और इसके व्युत्पन्न के लिए हर चिकनी नक्शा [[ वेक्टर बंडल |वेक्टर बंडल]] ों की श्रेणी में विभिन्न मैनिफोल्ड्स की श्रेणी से सहसंयोजक क्रियात्मकता है। इस कंस्ट्रक्शंस पॉइंटवाइज को करने [[ स्पर्शरेखा स्थान |स्पर्शरेखा स्थान]] अंतरिक्ष होता है, जो वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में नुकीले विभेदक कई गुना की श्रेणी से सहसंयोजक फ़न्टर देता है।इसी तरह, [[ कोटजेंट स्पेस |कोटजेंट स्पेस]] कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, जो अनिवार्य रूप से ऊपर के वेक्टर स्पेस के साथ स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की संरचना है। | ;स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा बंडलों: वह नक्शा जो अपने स्पर्शरेखा बंडल में हर अलग-अलग कई गुना को भेजता है और इसके व्युत्पन्न के लिए हर चिकनी नक्शा [[ वेक्टर बंडल |वेक्टर बंडल]] ों की श्रेणी में विभिन्न मैनिफोल्ड्स की श्रेणी से सहसंयोजक क्रियात्मकता है। इस कंस्ट्रक्शंस पॉइंटवाइज को करने [[ स्पर्शरेखा स्थान |स्पर्शरेखा स्थान]] अंतरिक्ष होता है, जो वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में नुकीले विभेदक कई गुना की श्रेणी से सहसंयोजक फ़न्टर देता है।इसी तरह, [[ कोटजेंट स्पेस |कोटजेंट स्पेस]] कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, जो अनिवार्य रूप से ऊपर के वेक्टर स्पेस के साथ स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की संरचना है। | ||
;समूह क्रियाएं/अभ्यावेदन: प्रत्येक समूह (गणित) जी को एकल वस्तु के साथ श्रेणी के रूप में माना जा सकता है, जिसका मॉर्फिज़्म जी के तत्व हैं। जी से 'सेट' तक क्रियात्मकता तब कुछ भी नहीं है, लेकिन जी की समूह कार्रवाई (गणित) जी पर कुछ भी नहीं है।एक विशेष सेट, अर्ताथ जी-सेट या इसी तरह, G से वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में फंक्टर, 'वेक्ट'<sub>''K''</sub>, सामान्य रूप से जी का [[ रैखिक प्रतिनिधित्व |रैखिक प्रतिनिधित्व]] है, फंक्टर {{nowrap|''G'' → ''C''}} श्रेणी C में किसी वस्तु पर G की कार्रवाई के रूप में माना जा सकता है। यदि C समूह है, तो यह कार्रवाई समूह समरूपता है। | ;समूह क्रियाएं/अभ्यावेदन: प्रत्येक समूह (गणित) जी को एकल वस्तु के साथ श्रेणी के रूप में माना जा सकता है, जिसका मॉर्फिज़्म जी के तत्व हैं। जी से 'सेट' तक क्रियात्मकता तब कुछ भी नहीं है, लेकिन जी की समूह कार्रवाई (गणित) जी पर कुछ भी नहीं है।एक विशेष सेट, अर्ताथ जी-सेट या इसी तरह, G से वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में फंक्टर, 'वेक्ट'<sub>''K''</sub>, सामान्य रूप से जी का [[ रैखिक प्रतिनिधित्व |रैखिक प्रतिनिधित्व]] है, फंक्टर {{nowrap|''G'' → ''C''}} श्रेणी C में किसी वस्तु पर G की कार्रवाई के रूप में माना जा सकता है। यदि C समूह है, तो यह कार्रवाई समूह समरूपता है। | ||
;लाई बीजगणित: हर वास्तविक (जटिल) को असाइन करना लाई समूह का वास्तविक (जटिल) लाई एलजेब्रा क्रियात्मकता को परिभाषित करता है। | ;लाई बीजगणित: हर वास्तविक (जटिल) को असाइन करना लाई समूह का वास्तविक (जटिल) लाई एलजेब्रा क्रियात्मकता को परिभाषित करता है। | ||
| Line 68: | Line 68: | ||
;भुलक्कड़ क्रियात्मकता: फंक्टर {{nowrap|''U'' : '''Grp''' → '''Set'''}} जो अपने अंतर्निहित सेट के लिए समूह (गणित) को मैप करता है और सेट के अपने अंतर्निहित कार्य के लिए समूह समरूपता क्रियात्मकता है।{{sfnp|Jacobson|2009|loc=p. 20, ex. 2}} इन जैसे फंक्शन्स, जो कुछ संरचना को भूल जाते हैं, को क्रियात्मकता कहा जाता है। अन्य उदाहरण फंक्टर {{nowrap|'''Rng''' → '''Ab'''}} है, जो अपने अंतर्निहित एडिटिव एबेलियन समूह के लिए अंगूठी (बीजगणित) को मैप करता है। आरएनजी ([[ रिंग समरूपता ]]) में मॉर्फिज्म AB ([[ एबेलियन ग्रुप | एबेलियन ग्रुप]] होमोमोर्फिज्म) में मॉर्फिज्म बन जाता है। | ;भुलक्कड़ क्रियात्मकता: फंक्टर {{nowrap|''U'' : '''Grp''' → '''Set'''}} जो अपने अंतर्निहित सेट के लिए समूह (गणित) को मैप करता है और सेट के अपने अंतर्निहित कार्य के लिए समूह समरूपता क्रियात्मकता है।{{sfnp|Jacobson|2009|loc=p. 20, ex. 2}} इन जैसे फंक्शन्स, जो कुछ संरचना को भूल जाते हैं, को क्रियात्मकता कहा जाता है। अन्य उदाहरण फंक्टर {{nowrap|'''Rng''' → '''Ab'''}} है, जो अपने अंतर्निहित एडिटिव एबेलियन समूह के लिए अंगूठी (बीजगणित) को मैप करता है। आरएनजी ([[ रिंग समरूपता ]]) में मॉर्फिज्म AB ([[ एबेलियन ग्रुप | एबेलियन ग्रुप]] होमोमोर्फिज्म) में मॉर्फिज्म बन जाता है। | ||
;फ्री क्रियात्मकता: फोल्डफुल क्रियात्मकता के विपरीत दिशा में जाना मुफ्त क्रियात्मकता हैं। फ्री फंक्टर {{nowrap|''F'' : '''Set''' → '''Grp'''}} प्रत्येक सेट X को X द्वारा उत्पन्न मुफ्त समूह को भेजता है। फ़ंक्शंस को फ्री समूहों के बीच समूह होमोमोर्फिज्म के लिए मैप किया जाता है। संरचित सेटों के आधार पर कई श्रेणियों के लिए नि: शुल्क निर्माण सम्मलित हैं। [[ मुक्त वस्तु |मुक्त वस्तु]] देखें। | ;फ्री क्रियात्मकता: फोल्डफुल क्रियात्मकता के विपरीत दिशा में जाना मुफ्त क्रियात्मकता हैं। फ्री फंक्टर {{nowrap|''F'' : '''Set''' → '''Grp'''}} प्रत्येक सेट X को X द्वारा उत्पन्न मुफ्त समूह को भेजता है। फ़ंक्शंस को फ्री समूहों के बीच समूह होमोमोर्फिज्म के लिए मैप किया जाता है। संरचित सेटों के आधार पर कई श्रेणियों के लिए नि: शुल्क निर्माण सम्मलित हैं। [[ मुक्त वस्तु |मुक्त वस्तु]] देखें। | ||
;होमोमोर्फिज़्म समूह: हर जोड़ी के लिए, समूह (गणित) के बी (गणित) एबेलियन ग्रुप होम (A, B) को A से B तक सभी समूह होमोमोर्फिज्म से मिलकर असाइन कर सकते हैं दूसरा तर्क अर्ताथ यह फ़ंक्टर है {{nowrap|'''Ab'''<sup>op</sup> × '''Ab''' → '''Ab'''}} (जहां AB समूह होमोमोर्फिज्म के साथ [[ एबेलियन समूहों की श्रेणी |एबेलियन समूहों की श्रेणी]] को दर्शाता है) | ;होमोमोर्फिज़्म समूह: हर जोड़ी के लिए, समूह (गणित) के बी (गणित) एबेलियन ग्रुप होम (A, B) को A से B तक सभी समूह होमोमोर्फिज्म से मिलकर असाइन कर सकते हैं दूसरा तर्क अर्ताथ यह फ़ंक्टर है {{nowrap|'''Ab'''<sup>op</sup> × '''Ab''' → '''Ab'''}} (जहां AB समूह होमोमोर्फिज्म के साथ [[ एबेलियन समूहों की श्रेणी |एबेलियन समूहों की श्रेणी]] को दर्शाता है)। यदि {{nowrap|''f'' : ''A''<sub>1</sub> → ''A''<sub>2</sub>}} और {{nowrap|''g'' : ''B''<sub>1</sub> → ''B''<sub>2</sub>}} AB में मॉर्फिज्म हैं, फिर समूह समरूपतावाद {{nowrap|Hom(''f'', ''g'')}}: {{nowrap|Hom(''A''<sub>2</sub>, ''B''<sub>1</sub>) → Hom(''A''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>)}} द्वारा दिया गया है, इसके लिए {{nowrap|''φ'' ↦ ''g'' ∘ ''φ'' ∘ ''f''}} होम फंक्टर देखें। | ||
;प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्शन: हम पिछले उदाहरण को किसी भी श्रेणी C के लिए सामान्य कर सकते हैं। {{nowrap|Hom(''X'', ''Y'')}} X से Y तक के रूपों में हैं। यह क्रियात्मकता को 'सेट' करने के लिए परिभाषित करता है जो पहले तर्क में कंट्रैथेरिएंट है और दूसरे में सहसंयोजक, अर्ताथ यह {{nowrap|''C''<sup>op</sup> × ''C'' → '''Set'''}} क्रियात्मकता है। यदि {{nowrap|''f'' : ''X''<sub>1</sub> → ''X''<sub>2</sub>}} और {{nowrap|''g'' : ''Y''<sub>1</sub> → ''Y''<sub>2</sub>}} C में मॉर्फिज्म हैं, फिर नक्शा {{nowrap|Hom(''f'', ''g'') : Hom(''X''<sub>2</sub>, ''Y''<sub>1</sub>) → Hom(''X''<sub>1</sub>, ''Y''<sub>2</sub>)}} द्वारा दिया गया है {{nowrap|''φ'' ↦ ''g'' ∘ ''φ'' ∘ ''f''}}. इन जैसे फ़नक को प्रतिनिधित्व योग्य क्रियात्मकता कहा जाता है। कई सेटिंग्स में महत्वपूर्ण लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि क्या दिया गया फ़ंक्टर प्रतिनिधित्व योग्य है। | ;प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्शन: हम पिछले उदाहरण को किसी भी श्रेणी C के लिए सामान्य कर सकते हैं। {{nowrap|Hom(''X'', ''Y'')}} X से Y तक के रूपों में हैं। यह क्रियात्मकता को 'सेट' करने के लिए परिभाषित करता है जो पहले तर्क में कंट्रैथेरिएंट है और दूसरे में सहसंयोजक, अर्ताथ यह {{nowrap|''C''<sup>op</sup> × ''C'' → '''Set'''}} क्रियात्मकता है। यदि {{nowrap|''f'' : ''X''<sub>1</sub> → ''X''<sub>2</sub>}} और {{nowrap|''g'' : ''Y''<sub>1</sub> → ''Y''<sub>2</sub>}} C में मॉर्फिज्म हैं, फिर नक्शा {{nowrap|Hom(''f'', ''g'') : Hom(''X''<sub>2</sub>, ''Y''<sub>1</sub>) → Hom(''X''<sub>1</sub>, ''Y''<sub>2</sub>)}} द्वारा दिया गया है {{nowrap|''φ'' ↦ ''g'' ∘ ''φ'' ∘ ''f''}}. इन जैसे फ़नक को प्रतिनिधित्व योग्य क्रियात्मकता कहा जाता है। कई सेटिंग्स में महत्वपूर्ण लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि क्या दिया गया फ़ंक्टर प्रतिनिधित्व योग्य है। | ||
Revision as of 21:03, 16 January 2023
गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत , क्रियात्मकता श्रेणी (गणित) के बीच नक्शा (गणित) है। क्रियात्मकता को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे मौलिक समूह ) सामयिक स्थान स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं। आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में क्रियात्मकता का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में क्रियात्मकता महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है।
शब्द श्रेणी और क्रियात्मकता क्रमशः दार्शनिकों अरस्तू और रुडोल्फ कार्नाप के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।[1] उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, [2]इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें।
परिभाषा
C और D को श्रेणी (गणित) में C से D तक 'क्रियात्मकता' F मैपिंग है[3]
- प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है किसी वस्तु के लिए सी में डी में,
- प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है C में मॉर्फिज्म D में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
- हर वस्तु के लिए C में,
- सभी रूपों के लिए और C।
अर्थात क्रियात्मकता को मॉर्फिज्म की रूपरेखा को संरक्षित करना चाहिए और मॉर्फिज़्म की फ़ंक्शन रचना को प्रदर्शित करते हैं।
सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन
गणित में कई निर्माण हैं जो क्रियात्मक होंगे लेकिन इस तथ्य के लिए कि वे आकारिकी को चारों ओर घुमाएंगे और संरचना को व्युत्क्रम रूप में परिवर्तित कर देती हैं। हम तब कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्टर f को C से D से मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं
- प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है वस्तु के साथ C में D में,
- प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है मॉर्फिज्म के साथ C में