सुपरइलिप्स

सुपरलेलिप्स के उदाहरण $a=1,\ b=0.75$

एक सुपरलिप्स, जिसे गेब्रियल लैम के बाद लैम कर्व के रूप में भी जाना जाता है, दीर्घवृत्त जैसा दिखने वाला एक बंद वक्र है, जो अर्ध-प्रमुख अक्ष और अर्ध-लघु अक्ष की ज्यामितीय विशेषताओं और उनके बारे में समरूपता को बनाए रखता है, लेकिन एक अलग समग्र आकार है।

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, वक्र पर सभी बिंदुओं $(x,y)$ का समुच्चय समीकरण को संतुष्ट करता है।

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,$

जहाँ $n,a$ और $b$ धनात्मक संख्याएँ हैं, और एक संख्या के चारों ओर वर्टीकल बार्स संख्या के पूर्ण मान को दर्शाती हैं।

विशिष्ट मामले

यह सूत्र आयत −a ≤ x ≤ +a और −b ≤ y ≤ +b में निहित एक बंद वक्र को परिभाषित करता है। प्राचलों a और b को वक्र का अर्ध-व्यास कहा जाता है।

वक्र का समग्र आकार घातांक n के मान द्वारा निर्धारित किया जाता है, जैसा कि निम्नलिखित तालिका में दिखाया गया है:

$0<n<1$	सुपरलिप्स अवतल (अंदर की ओर घुमावदार) भुजाओं वाले चार-सशस्त्र तारे की तरह दिखता है। n = 1/2 के लिए, विशेष रूप से, चार चापों में से प्रत्येक परवलय का एक खंड है। एक एस्ट्रोइड विशेष मामला a = b, n = 2/3 है।	सुपरलिप्स के साथ n = 1⁄2, a = b = 1
$n=1$	वक्र एक समचतुर्भुज है जिसके कोने (±a, 0) और (0, ±b) हैं।
$1<n<2$	वक्र समान कोनों के साथ लेकिन उत्तल (बाहर की ओर घुमावदार) पक्षों के साथ एक समचतुर्भुज जैसा दिखता है। वक्रता बिना किसी सीमा के बढ़ जाती है क्योंकि कोई अपने चरम बिंदुओं पर पहुंचता है।	Error creating thumbnail: सुपरलिप्स के साथ n = 3⁄2, a = b = 1
$n=2$	वक्र एक साधारण दीर्घवृत्त है (विशेष रूप से, एक वृत्त यदि a = b)।
$n>2$	वक्र सतही रूप से गोल कोनों के साथ एक आयत की तरह दिखता है। बिंदुओं (±a, 0) और (0, ±b) पर वक्रता शून्य होती है।	File:Superellipse chamfered square.svg स्क्विर्कल, के साथ सुपरलिप्सn = 4, a = b = 1

यदि n < 2, आकृति को हाइपोएलिप्स भी कहा जाता है; अगर n > 2, एक हाइपरलिप्स।

जब n ≥ 1 और a = b, सुपरलिप्स n-नॉर्म में R² की गेंद की सीमा होती है।

सुपरलिप्स के चरम बिंदु हैं (±a, 0) और (0, ±b), और इसके चार "कोने" हैं (±sa, ±sb), जहां $s=2^{-1/n}$ (कभी-कभी "सुपरनेस" कहा जाता है ")।

गणितीय गुण

जब n एक धनात्मक परिमेय संख्या p/q (न्यूनतम शब्दों में) हो, तो सुपरलिप्स का प्रत्येक चतुर्थांश क्रम pq का समतल बीजगणितीय वक्र होता है। विशेष रूप से, जब a = b = 1 और n एक सम पूर्णांक है, तो यह डिग्री n का फर्मेट वक्र होता है। उस मामले में, यह गैर-एकल है, लेकिन सामान्य तौर पर, यह एकल होगा। यदि अंश सम नहीं है, तो वक्र को एक ही बीजगणितीय वक्र के भागों से विभिन्न अभिविन्यासों में एक साथ जोड़ा जाता है।

वक्र पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया गया है (पैरामीटर $t$ के साथ कोई प्राथमिक ज्यामितीय व्याख्या नहीं है)

$\left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$

जहां प्रत्येक ± को अलग से चुना जा सकता है ताकि $t$ का प्रत्येक मान वक्र पर चार बिंदु दे। समतुल्य रूप से, मान लीजिए कि $t$ की सीमा $0\leq t<2\pi$ से अधिक है,

${\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}$

जहां साइन फंक्शन है

$\operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}$

यहाँ $t$ धनात्मक क्षैतिज अक्ष और मूल से किरण के बीच का कोण नहीं है, क्योंकि इस कोण की स्पर्शरेखा y/x के बराबर है, जबकि पैरामीट्रिक अभिव्यक्तियों में ${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t}$

सुपरलिप्स के अंदर के क्षेत्र को गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}=4ab\frac{{(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1+}^{}}{}$