अनुकूल माध्य: Difference between revisions

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अन्य [[ऑप्टिक समीकरण]] के लिए, पतली लेंस समीकरण {{sfrac|''f''}} = {{sfrac|''u''}} + {{sfrac|''v''}}  इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है कि फोकल लंबाई f लेंस से सब्जेक्ट u और ऑब्जेक्ट v की दूरी के अनुकूल माध्य का आधा है।<ref name="Hecht1">{{cite book |first=Eugene |last=Hecht |year=2002 |title=प्रकाशिकी|edition=4th |publisher=[[Addison Wesley]] |isbn=978-0805385663 |page=168}}</ref>
अन्य [[ऑप्टिक समीकरण]] के लिए, पतली लेंस समीकरण {{sfrac|''f''}} = {{sfrac|''u''}} + {{sfrac|''v''}}  इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है कि फोकल लंबाई f लेंस से सब्जेक्ट u और ऑब्जेक्ट v की दूरी के अनुकूल माध्य का आधा है।<ref name="Hecht1">{{cite book |first=Eugene |last=Hecht |year=2002 |title=प्रकाशिकी|edition=4th |publisher=[[Addison Wesley]] |isbn=978-0805385663 |page=168}}</ref>
=== वित्त में ===
=== वित्त में ===
भारित अनुकूल माध्य गुणकों के औसत के लिए बेहतर तरीका है, जैसे मूल्य-आय अनुपात (पी/ई)। यदि इन अनुपातों को भारित समान्तर माध्य का उपयोग करके औसत किया जाता है, तो उच्च डेटा बिंदुओं को निम्न डेटा बिंदुओं की तुलना में अधिक भार दिया जाता है। भारित अनुकूल माध्य, दूसरी ओर, प्रत्येक डेटा बिंदु को सही ढंग से भारित करता है।<ref>{{cite book |chapter=Fairness Opinions: Common Errors and Omissions |title=व्यापार मूल्यांकन और बौद्धिक संपदा विश्लेषण की पुस्तिका|publisher=McGraw Hill |year=2004 |isbn=0-07-142967-0 }}</ref> साधारण भारित समान्तर माध्य जब गैर-मूल्य सामान्यीकृत अनुपातों जैसे पी/ई पर लागू किया जाता है तो यह ऊपर की ओर पक्षपाती होता है और इसे संख्यात्मक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि यह समान आय पर आधारित है, जिस तरह वाहनों की गति को राउंडट्रिप यात्रा के लिए औसत नहीं किया जा सकता है (ऊपर देखें)।<ref>{{cite journal |title=फर्म वैल्यूएशन अनुमानों में सुधार के लिए मूल्य-से-कमाई हार्मोनिक माध्य का उपयोग करना|first=Pankaj |last=Agrrawal |first2=Richard |last2=Borgman |first3=John M. |last3=Clark |first4=Robert |last4=Strong |journal=[[Journal of Financial Education]] |volume=36 |year=2010 |issue=3–4 |pages=98–110 |jstor=41948650 |ssrn=2621087 }}</ref>
भारित अनुकूल माध्य गुणकों के औसत के लिए बेहतर तरीका है, जैसे मूल्य-आय अनुपात (पी/ई)। यदि इन अनुपातों को भारित समान्तर माध्य का उपयोग करके औसत किया जाता है, तो उच्च डेटा बिंदुओं को निम्न डेटा बिंदुओं की तुलना में अधिक भार दिया जाता है। भारित अनुकूल माध्य, दूसरी ओर, प्रत्येक डेटा बिंदु को सही ढंग से भारित करता है।<ref>{{cite book |chapter=Fairness Opinions: Common Errors and Omissions |title=व्यापार मूल्यांकन और बौद्धिक संपदा विश्लेषण की पुस्तिका|publisher=McGraw Hill |year=2004 |isbn=0-07-142967-0 }}</ref> साधारण भारित समान्तर माध्य जब गैर-मूल्य सामान्यीकृत अनुपातों जैसे पी/ई पर लागू किया जाता है तो यह ऊपर की ओर अभिनत होता है और इसे संख्यात्मक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि यह समान आय पर आधारित है, जिस तरह वाहनों की गति को राउंडट्रिप यात्रा के लिए औसत नहीं किया जा सकता है (ऊपर देखें)।<ref>{{cite journal |title=फर्म वैल्यूएशन अनुमानों में सुधार के लिए मूल्य-से-कमाई हार्मोनिक माध्य का उपयोग करना|first=Pankaj |last=Agrrawal |first2=Richard |last2=Borgman |first3=John M. |last3=Clark |first4=Robert |last4=Strong |journal=[[Journal of Financial Education]] |volume=36 |year=2010 |issue=3–4 |pages=98–110 |jstor=41948650 |ssrn=2621087 }}</ref>


उदाहरण के लिए, दो फर्मों पर विचार करें, जिनमें से एक $150 बिलियन के [[बाजार पूंजीकरण]] और $5 बिलियन (30 का पी/ई) की कमाई और एक $1 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $1 मिलियन (1000 का पी/ई) की कमाई के साथ है। दो शेयरों से बने [[सूचकांक (वित्त)]] पर विचार करें, जिसमें पहले में 30% निवेश किया गया और दूसरे में 70% निवेश किया गया। हम इस सूचकांक के पी/ई अनुपात की गणना करना चाहते हैं।
उदाहरण के लिए, दो फर्मों पर विचार करें, जिनमें से एक $150 बिलियन के [[बाजार पूंजीकरण]] और $5 बिलियन (30 का पी/ई) की कमाई और एक $1 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $1 मिलियन (1000 का पी/ई) की कमाई के साथ है। दो शेयरों से बने [[सूचकांक (वित्त)]] पर विचार करें, जिसमें पहले में 30% निवेश किया गया और दूसरे में 70% निवेश किया गया। हम इस सूचकांक के पी/ई अनुपात की गणना करना चाहते हैं।
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यादृच्छिक नमूने के लिए, अनुकूल माध्य की गणना ऊपर की तरह की जाती है। अपेक्षित मान और प्रसरण दोनों अनंत हो सकते हैं (यदि इसमें 1/0 रूप का कम से कम एक पद सम्मलित है)।
यादृच्छिक नमूने के लिए, अनुकूल माध्य की गणना ऊपर की तरह की जाती है। अपेक्षित मान और प्रसरण दोनों अनंत हो सकते हैं (यदि इसमें 1/0 रूप का कम से कम एक पद सम्मलित है)।


=== माध्य और  प्रसरण का नमूना वितरण ===
=== माध्य और  प्रसरण का प्रतिचयन वितरण ===


नमूना ''m'' का मतलब असमान रूप से सामान्य रूप से  प्रसरण ''s''<sup>2</sup> के साथ वितरित किया जाता है।
प्रतिचयन ''m'' का मतलब असमान रूप से सामान्य रूप से  प्रसरण ''s''<sup>2</sup> के साथ वितरित किया जाता है।
:<math>s^2 = \frac{m \left[\operatorname{E}\left(\frac{1}{x} - 1\right)\right]}{m^2 n}</math>
:<math>s^2 = \frac{m \left[\operatorname{E}\left(\frac{1}{x} - 1\right)\right]}{m^2 n}</math>
माध्य का प्रसरण ही है<ref name=Zelen1972>Zelen M (1972) Length-biased sampling and biomedical problems. In: Biometric Society Meeting, Dallas, Texas</ref>
माध्य का प्रसरण ही है<ref name=Zelen1972>Zelen M (1972) Length-biased sampling and biomedical problems. In: Biometric Society Meeting, Dallas, Texas</ref>
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=== डेल्टा विधि ===
=== डेल्टा विधि ===
{{Unreferenced section|date=December 2019}}
{{Unreferenced section|date=December 2019}}
यह मानते हुए कि प्रसरण अनंत नहीं है और यह कि [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] नमूने पर लागू होता है, फिर [[डेल्टा विधि]] का उपयोग करते हुए, प्रसरण है
यह मानते हुए कि प्रसरण अनंत नहीं है और यह कि [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] नमूने पर लागू होता है, फिर [[डेल्टा विधि]] का उपयोग करते हुए, प्रसरण है


: <math>\operatorname{Var}(H) = \frac{1}{n}\frac{s^2}{m^4}</math>
: <math>\operatorname{Var}(H) = \frac{1}{n}\frac{s^2}{m^4}</math>
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: <math>m = \frac{1}{n} \sum{ \frac{1}{x} }.</math>
: <math>m = \frac{1}{n} \sum{ \frac{1}{x} }.</math>
एस<sup>2</sup> डेटा के व्युत्क्रम का प्रसरण है
''s''<sup>2</sup> डेटा के व्युत्क्रम का प्रसरण है


: <math>s^2 = \operatorname{Var}\left( \frac{1}{x} \right) </math>
: <math>s^2 = \operatorname{Var}\left( \frac{1}{x} \right) </math>
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=== जैकनाइफ विधि ===
=== जैकनाइफ विधि ===


यदि माध्य ज्ञात हो, तो प्रसरण का अनुमान लगाने की एक रीसैंपलिंग (सांख्यिकी)#जैकनाइफ विधि संभव है।<ref name=Lam1985>Lam FC (1985) Estimate of variance for harmonic mean half lives. J Pharm Sci 74(2) 229-231</ref> यह विधि 'डिलीट एम' संस्करण के अतिरिक्त सामान्य 'डिलीट 1' है।
यदि माध्य ज्ञात हो, तो प्रसरण का अनुमान लगाने जैकनाइफ विधि संभव है।<ref name=Lam1985>Lam FC (1985) Estimate of variance for harmonic mean half lives. J Pharm Sci 74(2) 229-231</ref> यह विधि 'डिलीट m' संस्करण के अतिरिक्त सामान्य 'डिलीट 1' है।


इस विधि में पहले नमूने के माध्य (एम) की गणना की आवश्यकता होती है
इस विधि में पहले नमूने के माध्य (''m'') की गणना की आवश्यकता होती है
: <math>m = \frac{n}{ \sum{ \frac{1}{x} } }</math>
: <math>m = \frac{n}{ \sum{ \frac{1}{x} } }</math>
जहाँ x नमूना मान हैं।
जहाँ x प्रतिचयन मान हैं।


मूल्य डब्ल्यू की एक श्रृंखला<sub>i</sub>फिर कहाँ गणना की जाती है
मूल्य ''w<sub>i</sub>'' की श्रृंखला गणना की जाती है
: <math>w_i = \frac{n - 1}{ \sum_{j \neq i} \frac{1}{x} }.</math>
: <math>w_i = \frac{n - 1}{ \sum_{j \neq i} \frac{1}{x} }.</math>
डब्ल्यू का मतलब (H)।<sub>i</sub> तब लिया जाता है:
''w''<sub>i</sub> का माध्य (''h'') तब लिया जाता है:
: <math>h = \frac{1}{n} \sum{w_i}</math>
: <math>h = \frac{1}{n} \sum{w_i}</math>
माध्य का प्रसरण है
माध्य का प्रसरण है
: <math>\frac{n - 1}{n} \sum{(m - w_i)}^2.</math>
: <math>\frac{n - 1}{n} \sum{(m - w_i)}^2.</math>
माध्य के लिए महत्व परीक्षण और [[विश्वास अंतराल]] का अनुमान [[टी परीक्षण]] के साथ लगाया जा सकता है।
माध्य के लिए महत्व परीक्षण और [[विश्वास अंतराल|कॉन्फिडेंस इंटरवल]] का अनुमान [[टी परीक्षण|t परीक्षण]] के साथ लगाया जा सकता है।


=== आकार पक्षपातपूर्ण नमूनाकरण ===
=== आकार अभिनत नमूनाकरण ===


मान लें कि एक यादृच्छिक चर का वितरण f( x ) है। यह भी मान लें कि किसी चर के चुने जाने की संभावना उसके मूल्य के समानुपाती होती है। इसे लंबाई आधारित या आकार पक्षपाती नमूनाकरण के रूप में जाना जाता है।
मान लें कि यादृच्छिक चर का वितरण ''f( x )'' है। यह भी मान लें कि किसी चर के चुने जाने की संभावना उसके मूल्य के समानुपाती होती है। इसे लंबाई आधारित या आकार अभिनत नमूनाकरण के रूप में जाना जाता है।


माना μ जनसंख्या का माध्य है। तब प्रायिकता घनत्व फलन f*( x ) आकार पक्षपाती जनसंख्या का है
माना μ जनसंख्या का माध्य है। तब प्रायिकता घनत्व फलन ''f*( x )'' आकार अभिनत जनसंख्या का है
: <math>f^*(x) = \frac{x f(x)}{\mu}</math>
: <math>f^*(x) = \frac{x f(x)}{\mu}</math>
इस लंबाई के पक्षपाती वितरण की अपेक्षा ई<sup>*</sup>( x ) है<ref name="Zelen1972"/>: <math>\operatorname{E}^*(x) = \mu \left[ 1 + \frac{\sigma^2}{\mu^2} \right]</math>
इस लंबाई के अभिनत वितरण की अपेक्षा E<sup>*</sup>( ''x'' ) है<ref name="Zelen1972"/>:  
जहां प<sup>2</sup> प्रसरण है।


अनुकूल माध्य की अपेक्षा गैर-लम्बाई बायस्ड संस्करण E( x ) के समान है
<math>\operatorname{E}^*(x) = \mu \left[ 1 + \frac{\sigma^2}{\mu^2} \right]</math>
 
जहां  ''σ''<sup>2</sup> प्रसरण है।
 
अनुकूल माध्य की अपेक्षा गैर-लम्बाई अभिनत संस्करण E( x ) के समान है
:  <math> E^*( x^{ -1 } ) = E( x )^{ -1 } </math>
:  <math> E^*( x^{ -1 } ) = E( x )^{ -1 } </math>
कपड़ा निर्माण सहित कई क्षेत्रों में लंबाई पक्षपातपूर्ण नमूनाकरण की समस्या उत्पन्न होती है<ref name=Cox1969>Cox DR (1969) Some sampling problems in technology. In: New developments in survey sampling. U.L. Johnson, H Smith eds. New York: Wiley Interscience</ref> वंशावली विश्लेषण<ref name="Davidov2001">Davidov O, Zelen M (2001) Referent sampling, family history and relative risk: the role of length‐biased sampling. Biostat 2(2): 173-181 {{doi|10.1093/biostatistics/2.2.173}}</ref> और उत्तरजीविता विश्लेषण<ref name=Zelen1969>Zelen M, Feinleib M (1969) On the theory of screening for chronic diseases. Biometrika 56: 601-614</ref>
कपड़ा निर्माण सहित कई क्षेत्रों में लंबाई अभिनत नमूनाकरण की समस्या उत्पन्न होती है<ref name="Cox1969">Cox DR (1969) Some sampling problems in technology. In: New developments in survey sampling. U.L. Johnson, H Smith eds. New York: Wiley Interscience</ref> वंशावली विश्लेषण<ref name="Davidov2001">Davidov O, Zelen M (2001) Referent sampling, family history and relative risk: the role of length‐biased sampling. Biostat 2(2): 173-181 {{doi|10.1093/biostatistics/2.2.173}}</ref> और उत्तरजीविता विश्लेषण<ref name="Zelen1969">Zelen M, Feinleib M (1969) On the theory of screening for chronic diseases. Biometrika 56: 601-614</ref>
अकमन एट अल। नमूनों में लंबाई आधारित पूर्वाग्रह का पता लगाने के लिए एक परीक्षण विकसित किया है।<ref name=Akman2007>Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) A simple test for detection of length-biased sampling. J Biostats 1 (2) 189-195</ref>
 


अकमन एट अल नमूनों में लंबाई आधारित अभिनत का पता लगाने के लिए परीक्षण विकसित किया है।<ref name="Akman2007">Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) A simple test for detection of length-biased sampling. J Biostats 1 (2) 189-195</ref>
=== स्थानांतरित चर ===
=== स्थानांतरित चर ===


यदि X एक धनात्मक यादृच्छिक चर है और q > 0 है तो सभी ε > 0 के लिए<ref name=Chuen-Teck2008>Chuen-Teck See, Chen J (2008) Convex functions of random variables. J Inequal Pure Appl Math 9 (3) Art 80</ref>
यदि X धनात्मक यादृच्छिक चर है और q > 0 है तो सभी ε > 0 के लिए<ref name=Chuen-Teck2008>Chuen-Teck See, Chen J (2008) Convex functions of random variables. J Inequal Pure Appl Math 9 (3) Art 80</ref>
: <math>\operatorname{Var} \left[\frac{1}{(X + \epsilon)^q}\right] < \operatorname{Var} \left(\frac{1}{X^q}\right) .</math>
: <math>\operatorname{Var} \left[\frac{1}{(X + \epsilon)^q}\right] < \operatorname{Var} \left(\frac{1}{X^q}\right) .</math>
=== क्षण ===


यह मानते हुए कि X और E(X) > 0 हैं<ref name="Chuen-Teck2008"/>:


=== क्षण ===
<math>\operatorname{E}\left[ \frac{1}{X} \right] \ge \frac{1}{ \operatorname{E}(X) }</math>


यह मानते हुए कि X और E(X) > 0 हैं<ref name="Chuen-Teck2008"/>: <math>\operatorname{E}\left[ \frac{1}{X} \right] \ge \frac{1}{ \operatorname{E}(X) }</math>
यह जेन्सेन की असमानता से अनुसरण करता है।
यह जेन्सेन की असमानता से अनुसरण करता है।


गुरलैंड ने दिखाया है<ref name=Gurland1967>Gurland J (1967) An inequality satisfied by the expectation of the reciprocal of a random variable. The American Statistician. 21 (2) 24</ref> एक वितरण के लिए जो केवल धनात्मक मान लेता है, किसी भी n > 0 के लिए
गुरलैंड ने दिखाया है<ref name="Gurland1967">Gurland J (1967) An inequality satisfied by the expectation of the reciprocal of a random variable. The American Statistician. 21 (2) 24</ref> वितरण के लिए जो केवल धनात्मक मान लेता है, किसी भी n > 0 के लिए
: <math>\operatorname{E} \left(X^{-1}\right) \ge \frac{\operatorname{E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname{E}\left(X^n\right)} .</math>
: <math>\operatorname{E} \left(X^{-1}\right) \ge \frac{\operatorname{E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname{E}\left(X^n\right)} .</math>
कुछ शर्तों के तहत<ref name="Sung2010">Sung SH (2010) On inverse moments for a class of nonnegative random variables. J Inequal Applic {{doi|10.1155/2010/823767}}</ref>
कुछ शर्तों के अनुसार<ref name="Sung2010">Sung SH (2010) On inverse moments for a class of nonnegative random variables. J Inequal Applic {{doi|10.1155/2010/823767}}</ref>
: <math>\operatorname{E}(a + X)^{-n} \sim \operatorname{E}\left(a + X^{-n}\right)</math>
: <math>\operatorname{E}(a + X)^{-n} \sim \operatorname{E}\left(a + X^{-n}\right)</math>
जहाँ ~ का अर्थ लगभग बराबर है।
जहाँ ~ का अर्थ लगभग बराबर है।


=== नमूना गुण ===
=== प्रतिचयन गुण ===


यह मानते हुए कि चर (x) एक सामान्य वितरण से तैयार किए गए हैं, H के लिए कई संभावित अनुमानक हैं:
यह मानते हुए कि चर (x) एक सामान्य वितरण से तैयार किए गए हैं, H के लिए कई संभावित अनुमानक हैं:
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   H_3 &= \exp \left(m - \frac{1}{2} s^2 \right)
   H_3 &= \exp \left(m - \frac{1}{2} s^2 \right)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
कहां
जहा
: <math>m = \frac{1}{n} \sum \log_e (x)</math>
: <math>m = \frac{1}{n} \sum \log_e (x)</math>
: <math>s^2 = \frac{1}{n} \sum \left(\log_e (x) - m\right)^2</math>
: <math>s^2 = \frac{1}{n} \sum \left(\log_e (x) - m\right)^2</math>
इनमें एच<sub>3</sub> शायद 25 या अधिक के नमूनों के लिए सबसे अच्छा अनुमानक है।<ref name=Stedinger1980>Stedinger JR (1980) Fitting lognormal distributions to hydrologic data. Water Resour Res 16(3) 481–490</ref>
इनमें ''H''<sub>3</sub> शायद 25 या अधिक के नमूनों के लिए सबसे अच्छा अनुमानक है।<ref name=Stedinger1980>Stedinger JR (1980) Fitting lognormal distributions to hydrologic data. Water Resour Res 16(3) 481–490</ref>
=== अभिनत और भिन्नता अनुमानक ===


 
अभिनत और''H''<sub>1</sub> के प्रसरण के लिए प्रथम क्रम सन्निकटन हैं<ref name=Limbrunner2000>Limbrunner JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Estimation of harmonic mean of a lognormal variable. J Hydrol Eng 5(1) 59-66 {{cite web |url=http://engineering.tufts.edu/cee/people/vogel/publications/estimation-harmonic.pdf |title=Archived copy |access-date=2012-09-16 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20100611205528/http://engineering.tufts.edu/cee/people/vogel/publications/estimation-harmonic.pdf |archive-date=2010-06-11 }}</ref>
=== पूर्वाग्रह और भिन्नता अनुमानक ===
 
पूर्वाग्रह और H के  प्रसरण के लिए एक प्रथम क्रम सन्निकटन<sub>1</sub> हैं<ref name=Limbrunner2000>Limbrunner JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Estimation of harmonic mean of a lognormal variable. J Hydrol Eng 5(1) 59-66 {{cite web |url=http://engineering.tufts.edu/cee/people/vogel/publications/estimation-harmonic.pdf |title=Archived copy |access-date=2012-09-16 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20100611205528/http://engineering.tufts.edu/cee/people/vogel/publications/estimation-harmonic.pdf |archive-date=2010-06-11 }}</ref>
: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
   \operatorname{bias}\left[ H_1 \right] &= \frac{H C_v}{n} \\
   \operatorname{bias}\left[ H_1 \right] &= \frac{H C_v}{n} \\
   \operatorname{Var}\left[ H_1 \right] &= \frac{H^2 C_v}{n}
   \operatorname{Var}\left[ H_1 \right] &= \frac{H^2 C_v}{n}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जहां सी<sub>v</sub> भिन्नता का गुणांक है।
जहां ''C''<sub>v</sub> भिन्नता का गुणांक है।


इसी तरह H के पूर्वाग्रह और प्रसरण के लिए एक प्रथम क्रम सन्निकटन<sub>3</sub> हैं<ref name="Limbrunner2000"/>
इसी तरह ''H''<sub>3</sub> के अभिनत और प्रसरण के लिए प्रथम क्रम सन्निकटन हैं<ref name="Limbrunner2000"/>


: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
Line 318: Line 319:
   \frac{H \log_e \left(1 + C_v\right)}{n} \left[ 1 + \frac{1 + C_v^2}{4} \right]
   \frac{H \log_e \left(1 + C_v\right)}{n} \left[ 1 + \frac{1 + C_v^2}{4} \right]
\end{align}</math>
\end{align}</math>
संख्यात्मक प्रयोगों में एच<sub>3</sub> H की तुलना में सामान्यतः अनुकूल माध्य का एक बेहतर अनुमानक है<sub>1</sub>.<ref name="Limbrunner2000"/>एच<sub>2</sub> ऐसे अनुमान उत्पन्न करता है जो काफी हद तक H के समान हैं<sub>1</sub>.
संख्यात्मक प्रयोगों में ''H''<sub>3,</sub> ''H''<sub>1</sub> की तुलना में सामान्यतः अनुकूल माध्य का बेहतर अनुमानक है.<ref name="Limbrunner2000"/> ''H''<sub>2</sub> ऐसे अनुमान उत्पन्न करता है जो काफी हद तक ''H''<sub>1</sub> के समान हैं।


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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In geophysical [[reservoir engineering]] studies, the harmonic mean is widely used.<ref name=Muskat1937>Muskat M (1937) The flow of homogeneous fluids through porous media. McGraw-Hill, New York</ref>
In geophysical [[reservoir engineering]] studies, the harmonic mean is widely used.<ref name=Muskat1937>Muskat M (1937) The flow of homogeneous fluids through porous media. McGraw-Hill, New York</ref>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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Revision as of 16:48, 3 January 2023

गणित में, अनुकूल माध्य औसत के कई प्रकारों में से एक है, और विशेष रूप से, पायथागॉरियन माध्यों में से एक है। यह कभी-कभी परिस्थितियों के लिए उपयुक्त होता है जब औसत दर (गणित)[1] वांछित है।

अनुकूल माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का अनुकूल माध्य है


परिभाषा

धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुकूल माध्य H इस प्रकार परिभाषित किया गया है