गणितीय भ्रांति: Difference between revisions

Revision as of 15:31, 24 December 2022

गणित में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण प्रायः प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते हैं, गणितीय भ्रम नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में। प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच अंतर है, जिसमें प्रमाण में एक गलती अमान्य प्रमाण की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या धोखे का कुछ तत्व होता है प्रमाण।

उदाहरण के लिए, वैधता विफल होने का कारण शून्य से विभाजन को उत्तरदायी ठहराया जा सकता है जो बीजगणितीय संकेतन द्वारा छिपा हुआ है। गणितीय भ्रांति का एक निश्चित गुण है: जैसा कि सामान्यतः प्रस्तुत किया जाता है, यह न केवल एक गलत परिणाम की ओर ले जाता है, बल्कि एक चालाक उपाय से ऐसा लगता है।^[1] इसलिए, ये भ्रांतियां, शैक्षणिक कारणों से, सामान्यतः स्पष्ट विरोधाभासों के मिथ्या गणितीय प्रमाण का रूप ले लेती हैं। चूँकि प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं, त्रुटियां, सामान्यतः चित्र द्वारा, तुलनात्मक रूप से सूक्ष्म होती हैं, या यह दिखाने के लिए चित्र की जाती हैं कि कुछ चरण सशर्त हैं, और उन स्थितियों में लागू नहीं होते हैं जो नियमों के अपवाद हैं।

गणितीय भ्रांति को प्रस्तुत करने का पारंपरिक उपाय वैध चरणों के साथ मिश्रित कटौती का एक अमान्य चरण देना है, जिससे भ्रांति का अर्थ यहाँ तार्किक भ्रांति से थोड़ा भिन्न हो। उत्तरार्द्ध सामान्यतः तर्क के एक रूप पर लागू होता है जो तर्क के वैध निष्कर्ष नियमों का पालन नहीं करता है, जबकि समस्याग्रस्त गणितीय चरण सामान्यतः एक गलत धारणा के साथ लागू एक सही नियम है। अध्यापन से परे,भ्रम के संकल्प से एक विषय में गहरी अंतर्दृष्टि हो सकती है (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति के पास्च के स्वयंसिद्ध का परिचय,^[2] ग्राफ सिद्धांत के पांच रंग प्रमेय)। स्यूडरिया, झूठे प्रमाण की एक प्राचीन खोई हुई किताब है, जिसका श्रेय यूक्लिड को दिया जाता है।^[3] गणित की कई शाखाओं में गणितीय भ्रांतियां उपस्तिथ हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, विशिष्ट उदाहरणों में एक चरण सम्मलित हो सकता है जहां शून्य से विभाजन किया जाता है, जहां फलन की जड़ गलत उपाय से निकाली जाती है या अधिक सामान्यतः जहां एक से अधिक मूल्यवान फलन के विभिन्न मान समान होते हैं। प्रारंभिक यूक्लिडियन ज्यामिति और गणना में प्रसिद्ध भ्रम भी सम्मलित हैं।^[4]^[5]

हाउलर्स

{\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}

गणना में विषम रद्दीकरण

तर्क की गलत पंक्तियों द्वारा व्युत्पन्न गणितीय रूप से सही परिणामों के उदाहरण उपस्तिथ हैं। इस प्रकार का एक तर्क, चूंकि निष्कर्ष सत्य प्रतीत होता है, गणितीय रूप से वैधता (तर्क) है और इसे सामान्यतः हाउलर के रूप में जाना जाता है। निम्नलिखित असंगत निरस्तीकरण से जुड़े हाउलर का एक उदाहरण है:

{\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.

यहाँ, चूंकि निष्कर्ष 1664 = 14 सही है, मध्य चरण में एक भ्रामक, अमान्य रद्दीकरण है।।^{[note 1]} हाउलर का एक और शास्त्रीय उदाहरण केली-हैमिल्टन प्रमेय एक गलत प्रमाण है: p(A) = det(AIn − A) = det(A − A) = 0|केली-हैमिल्टन प्रमेय को केवल स्केलर चरों को प्रतिस्थापित करके सिद्ध करना मैट्रिक्स द्वारा विशेषता बहुपद है।

गलत तर्क या संचालन के अतिरिक्त सही परिणाम उत्पन्न करने के लिए बनाए गए गलत प्रमाण, गणना या व्युत्पत्ति को मैक्सवेल द्वारा हाउलर का उदाहरण दिया गया था।^[2]गणित क्षेत्र के बाहर हाउलर शब्द के विभिन्न अर्थ हैं, सामान्यतः कम विशिष्ट।

शून्य से भाग

शून्य द्वारा विभाजन|-दर-शून्य भ्रम के कई रूप हैं। निम्न उदाहरण 2 = 1 को प्रमाण करने के लिए शून्य से छिपे हुए विभाजन का उपयोग करता है, लेकिन यह प्रमाण करने के लिए संशोधित किया जा सकता है कि कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर है।

मान लीजिए a और b बराबर, अशून्य मात्राएँ हैं
$a=b$
a से गुणा करें
$a^{2}=ab$
b² घटाएं ^{: $a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$ दोनों पक्षों का गुणनखंडन:}
दोनों पक्षों का गुणनखंड करें: वर्गों के अंतर के रूप में बायां गुणनखंड, दोनों पदों से b निकालने के द्वारा दायां गुणनखंड किया जाता है
$(a-b)(a+b)=b(a-b)$
विभाजित करें (a - b)
$a+b=b$
इस तथ्य का प्रयोग करें कि a = b
$b+b=b$
बाईं ओर समान पदों को संयोजित करें
$2b=b$
अशून्य ख से विभाजित करें
$2=1$

Q.E.D.^[6]

भ्रम पंक्ति 5 में है: पंक्ति 4 से पंक्ति 5 तक की प्रगति में a − b द्वारा विभाजन सम्मलित है, जो a = b के बाद से शून्य है। चूंकि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, तर्क अमान्य है।

विश्लेषण

गणितीय विश्लेषण परिवर्तन और एक फलन की सीमा के गणितीय अध्ययन के रूप में गणितीय भ्रांतियों को जन्म दे सकता है - यदि अभिन्न और अवकलन (गणित) के गुणों की उपेक्षा की जाती है। उदाहरण के लिए, भागों द्वारा एकीकरण का एक सरल उपयोग गलत प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है कि 0 = 1।^[7] u =1/log x और dv =dx/x, हम लिख सकते हैं:

\int \frac{1}{x}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 1]

[6]

[7]

@@ Line 4: / Line 4: @@
 {{Redirect|1=0 = 1|2=बीजगणितीय संरचना जहां यह समानता है|3=अशक्त छल्ला}}
 {{short description|Certain type of mistaken proof}}
-गणित में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण प्रायः प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते हैं, गणितीय भ्रम नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में। एक प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच एक अंतर है, जिसमें एक सबूत में एक गलती एक अमान्य प्रमाण की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या धोखे का कुछ तत्व होता है प्रमाण।
+गणित में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण प्रायः प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते हैं, गणितीय भ्रम नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में। प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच अंतर है, जिसमें  प्रमाण में एक गलती अमान्य प्रमाण की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या धोखे का कुछ तत्व होता है प्रमाण।
-उदाहरण के लिए, वैधता विफल होने का कारण [[शून्य से विभाजन]] को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है जो बीजगणितीय संकेतन द्वारा छिपा हुआ है। गणितीय भ्रांति का एक निश्चित गुण है: जैसा कि सामान्यतः प्रस्तुत किया जाता है, यह न केवल एक गलत परिणाम की ओर ले जाता है, बल्कि एक चालाक या चतुर तरीके से ऐसा करता है।<ref>{{harvnb|Maxwell|1959|p=9}}</ref> इसलिए, ये भ्रांतियां, शैक्षणिक कारणों से, सामान्यतः स्पष्ट विरोधाभासों के मिथ्या [[गणितीय प्रमाण]] का रूप ले लेती हैं। चूँकि प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं, त्रुटियां, सामान्यतः चित्र द्वारा, तुलनात्मक रूप से सूक्ष्म होती हैं, या यह दिखाने के लिए चित्र  की जाती हैं कि कुछ चरण सशर्त हैं, और उन स्थितियों में लागू नहीं होते हैं जो नियमों के अपवाद हैं।
+उदाहरण के लिए, वैधता विफल होने का कारण [[शून्य से विभाजन]] को उत्तरदायी ठहराया जा सकता है जो बीजगणितीय संकेतन द्वारा छिपा हुआ है। गणितीय भ्रांति का एक निश्चित गुण है: जैसा कि सामान्यतः प्रस्तुत किया जाता है, यह न केवल एक गलत परिणाम की ओर ले जाता है, बल्कि एक चालाक उपाय से ऐसा लगता है।<ref>{{harvnb|Maxwell|1959|p=9}}</ref> इसलिए, ये भ्रांतियां, शैक्षणिक कारणों से, सामान्यतः स्पष्ट विरोधाभासों के मिथ्या [[गणितीय प्रमाण]] का रूप ले लेती हैं। चूँकि प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं, त्रुटियां, सामान्यतः चित्र द्वारा, तुलनात्मक रूप से सूक्ष्म होती हैं, या यह दिखाने के लिए चित्र  की जाती हैं कि कुछ चरण सशर्त हैं, और उन स्थितियों में लागू नहीं होते हैं जो नियमों के अपवाद हैं।
-गणितीय भ्रांति को प्रस्तुत करने का पारंपरिक तरीका वैध चरणों के साथ मिश्रित कटौती का एक अमान्य चरण देना है, ताकि भ्रांति का अर्थ यहाँ तार्किक भ्रांति से थोड़ा अलग हो। उत्तरार्द्ध सामान्यतः तर्क के एक रूप पर लागू होता है जो तर्क के वैध निष्कर्ष नियमों का पालन नहीं करता है, जबकि समस्याग्रस्त गणितीय चरण सामान्यतः एक गलत गलत धारणा के साथ लागू एक सही नियम है। अध्यापन से परे, एक भ्रम के संकल्प से एक विषय में गहरी अंतर्दृष्टि हो सकती है (उदाहरण के लिए, [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] के पास्च के स्वयंसिद्ध का परिचय,<ref name="Maxwell 1959">{{harvnb|Maxwell|1959}}</ref> [[ग्राफ सिद्धांत]] के [[पांच रंग प्रमेय]])। स्यूडरिया, झूठे प्रमाण की एक प्राचीन खोई हुई किताब है, जिसका श्रेय [[यूक्लिड]] को दिया जाता है।<ref>{{harvnb|Heath|Heiberg|1908|loc=Chapter II, §I}}</ref> गणित की कई शाखाओं में गणितीय भ्रांतियां उपस्तिथ हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, विशिष्ट उदाहरणों में एक चरण सम्मलित हो सकता है जहां शून्य से विभाजन किया जाता है, जहां फलन की जड़ गलत तरीके से निकाली जाती है या अधिक सामान्यतः जहां एक से अधिक मूल्यवान फलन के विभिन्न मान समान होते हैं। प्रारंभिक यूक्लिडियन ज्यामिति और [[गणना]] में प्रसिद्ध भ्रम भी मौजूद हैं।<ref>{{Cite journal|last=Barbeau|first=Ed|date=1991|title=भ्रम, खामियां, और Flimflam|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/barbeau.pdf|journal=The College Mathematics Journal|volume=22|issue=5|issn=0746-8342}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/348198 |title=सॉफ्ट क्वेश्चन - बेस्ट फेक प्रूफ? (एक M.SE अप्रैल फूल डे संग्रह)|website=Mathematics Stack Exchange|access-date=2019-10-24}}</ref>
+गणितीय भ्रांति को प्रस्तुत करने का पारंपरिक उपाय वैध चरणों के साथ मिश्रित कटौती का एक अमान्य चरण देना है, जिससे भ्रांति का अर्थ यहाँ तार्किक भ्रांति से थोड़ा भिन्न हो। उत्तरार्द्ध सामान्यतः तर्क के एक रूप पर लागू होता है जो तर्क के वैध निष्कर्ष नियमों का पालन नहीं करता है, जबकि समस्याग्रस्त गणितीय चरण सामान्यतः एक गलत धारणा के साथ लागू एक सही नियम है। अध्यापन से परे,भ्रम के संकल्प से एक विषय में गहरी अंतर्दृष्टि हो सकती है (उदाहरण के लिए, [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] के पास्च के स्वयंसिद्ध का परिचय,<ref name="Maxwell 1959">{{harvnb|Maxwell|1959}}</ref> [[ग्राफ सिद्धांत]] के [[पांच रंग प्रमेय]])। स्यूडरिया, झूठे प्रमाण की एक प्राचीन खोई हुई किताब है, जिसका श्रेय [[यूक्लिड]] को दिया जाता है।<ref>{{harvnb|Heath|Heiberg|1908|loc=Chapter II, §I}}</ref> गणित की कई शाखाओं में गणितीय भ्रांतियां उपस्तिथ हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, विशिष्ट उदाहरणों में एक चरण सम्मलित हो सकता है जहां शून्य से विभाजन किया जाता है, जहां फलन की जड़ गलत उपाय से निकाली जाती है या अधिक सामान्यतः जहां एक से अधिक मूल्यवान फलन के विभिन्न मान समान होते हैं। प्रारंभिक यूक्लिडियन ज्यामिति और [[गणना]] में प्रसिद्ध भ्रम भी सम्मलित हैं।<ref>{{Cite journal|last=Barbeau|first=Ed|date=1991|title=भ्रम, खामियां, और Flimflam|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/barbeau.pdf|journal=The College Mathematics Journal|volume=22|issue=5|issn=0746-8342}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/348198 |title=सॉफ्ट क्वेश्चन - बेस्ट फेक प्रूफ? (एक M.SE अप्रैल फूल डे संग्रह)|website=Mathematics Stack Exchange|access-date=2019-10-24}}</ref>
@@ Line 18: / Line 18: @@
 \\  =  -                        \dfrac{1}{x^2}
 \end{array}</math>}}
-तर्क की गलत पंक्तियों द्वारा व्युत्पन्न गणितीय रूप से सही परिणामों के उदाहरण उपस्तिथ  हैं। इस तरह का एक तर्क, चूंकि निष्कर्ष सत्य प्रतीत होता है, गणितीय रूप से [[वैधता (तर्क)]] है और इसे सामान्यतः  हाउलर के रूप में जाना जाता है। निम्नलिखित असंगत निरस्तीकरण से जुड़े हाउलर का एक उदाहरण है:
+तर्क की गलत पंक्तियों द्वारा व्युत्पन्न गणितीय रूप से सही परिणामों के उदाहरण उपस्तिथ हैं। इस प्रकार का एक तर्क, चूंकि निष्कर्ष सत्य प्रतीत होता है, गणितीय रूप से [[वैधता (तर्क)]] है और इसे सामान्यतः  हाउलर के रूप में जाना जाता है। निम्नलिखित असंगत निरस्तीकरण से जुड़े हाउलर का एक उदाहरण है:
 <math display=block>\frac{16}{64} = \frac{16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}=\frac{1}{4}.</math>
 यहाँ, चूंकि निष्कर्ष {{sfrac|16|64}} = {{sfrac|1|4}} सही है, मध्य चरण में एक भ्रामक, अमान्य रद्दीकरण है।।<ref group="note">The same fallacy also applies to the following:
@@ Line 28: / Line 28: @@
 \end{align}</math></ref> हाउलर का एक और शास्त्रीय उदाहरण केली-हैमिल्टन प्रमेय एक गलत प्रमाण है: p(A) = det(AIn − A) = det(A − A) = 0|केली-हैमिल्टन प्रमेय को केवल स्केलर चरों को प्रतिस्थापित करके सिद्ध करना मैट्रिक्स द्वारा विशेषता बहुपद है।
-गलत तर्क या संचालन के बावजूद सही परिणाम उत्पन्न करने के लिए बनाए गए गलत प्रमाण, गणना या व्युत्पत्ति को मैक्सवेल द्वारा हाउलर उदाहरण दिया गया था।<ref name="Maxwell 1959"/>गणित के क्षेत्र के बाहर हाउलर शब्द के विभिन्न अर्थ हैं, सामान्यतः कम विशिष्ट।
+गलत तर्क या संचालन के अतिरिक्त सही परिणाम उत्पन्न करने के लिए बनाए गए गलत प्रमाण, गणना या व्युत्पत्ति को मैक्सवेल द्वारा हाउलर का उदाहरण दिया गया था।<ref name="Maxwell 1959"/>गणित क्षेत्र के बाहर हाउलर शब्द के विभिन्न अर्थ हैं, सामान्यतः कम विशिष्ट।
 == शून्य से भाग ==
-शून्य द्वारा विभाजन|विभाजन-दर-शून्य भ्रम के कई रूप हैं। निम्न उदाहरण 2 = 1 को प्रमाण करने के लिए शून्य से छिपे हुए विभाजन का उपयोग करता है, लेकिन यह प्रमाण करने के लिए संशोधित किया जा सकता है कि कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर है।
+शून्य द्वारा विभाजन|-दर-शून्य भ्रम के कई रूप हैं। निम्न उदाहरण 2 = 1 को प्रमाण करने के लिए शून्य से छिपे हुए विभाजन का उपयोग करता है, लेकिन यह प्रमाण करने के लिए संशोधित किया जा सकता है कि कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर है।
 # मान लीजिए a और b बराबर, अशून्य मात्राएँ हैं
 #:<math>a = b</math>
-# ए से गुणा करें
+# ''a'' से गुणा करें
 #:<math>a^2 = ab</math>
-# बी घटाएं<sup>2</उप> #:<math>a^2 - b^2 = ab - b^2</math>दोनों पक्षों का [[गुणन]]खंडन:
+# ''b''<sup>2</sup> घटाएं <sup>:<math>a^2 - b^2 = ab - b^2</math>दोनों पक्षों का [[गुणन]]खंडन:
 # दोनों पक्षों का गुणनखंड करें: वर्गों के अंतर के रूप में बायां गुणनखंड, दोनों पदों से b निकालने के द्वारा दायां गुणनखंड किया जाता है
 #:<math>(a - b)(a + b) = b(a - b)</math>
-# विभाजित करें (ए - बी)
+# विभाजित करें (a - b)
 #:<math>a + b = b</math>
-# इस तथ्य का प्रयोग करें कि ए = बी
+# इस तथ्य का प्रयोग करें कि a = b
 #:<math>b + b = b</math>
 # बाईं ओर समान पदों को संयोजित करें
@@ Line 49: / Line 49: @@
 #:<math>2 = 1</math>
 :Q.E.D.<ref>{{citation|first=Harro|last=Heuser|title=Lehrbuch der Analysis – Teil 1|edition=6th|publisher=Teubner|year=1989|isbn=978-3-8351-0131-9|page=51}}</ref>
-भ्रम पंक्ति 5 में है: पंक्ति 4 से पंक्ति 5 तक की प्रगति में a − b द्वारा विभाजन शामिल है, जो a = b के बाद से शून्य है। चूंकि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, तर्क अमान्य है।
+भ्रम पंक्ति 5 में है: पंक्ति 4 से पंक्ति 5 तक की प्रगति में a − b द्वारा विभाजन सम्मलित है, जो a = b के बाद से शून्य है। चूंकि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, तर्क अमान्य है।
 == विश्लेषण ==
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 : <math>\int \frac{1}{x \, \log x} \, dx = 1 + \int \frac{1}{x \, \log x} \, dx</math>
-जिसके बाद एंटीडेरिवेटिव्स को 0 = 1 उत्पन्न करने के लिए रद्द किया जा सकता है। समस्या यह है कि एंटीडेरिवेटिव्स को केवल एक [[लगातार कार्य]] [[तक]] परिभाषित किया जाता है और उन्हें 1 या वास्तव में किसी भी संख्या में स्थानांतरित करने की अनुमति है। त्रुटि वास्तव में तब सामने आती है जब हम मनमाना एकीकरण सीमा  ''a''  और ''b'' पेश करते हैं।
+जिसके बाद एंटीडेरिवेटिव्स को 0 = 1 उत्पन्न करने के लिए निरस्त किया जा सकता है। समस्या यह है कि एंटीडेरिवेटिव्स को केवल एक [[लगातार कार्य]] [[तक]] परिभाषित किया जाता है और उन्हें 1 या वास्तव में किसी भी संख्या में स्थानांतरित करने की अनुमति है। त्रुटि वास्तव में तब सामने आती है जब हम मनमाना एकीकरण सीमा  ''a''  और ''b'' स्वागत करते हैं।
 : <math>\int_a^b \frac{1}{x \, \log x} \, dx = 1 |_a^b + \int_a^b \frac{1}{x \, \log x} \, dx = 0 + \int_a^b \frac{1}{x \log x} \, dx = \int_a^b \frac{1}{x \log x} \, dx</math>

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