अनुपात

For गैर-आयामहीन अनुपात, see दरें.

For other uses, see अनुपात (disambiguation).

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मानक-परिभाषा चित्रपटल की चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात

गणित में, एक अनुपात दर्शाता है कि एक संख्या में कितनी बार दूसरी संख्या सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, यदि एक फल की कटोरी में आठ संतरे और छह नींबू हैं, तो संतरे से नींबू का अनुपात आठ से छह (अर्थात, 8:6, जो अनुपात 4:3 के बराबर है) है। इसी तरह, नींबू का संतरे से अनुपात 6:8 (या 3:4) है और संतरे का फल की कुल मात्रा से अनुपात 8:14 (या 4:7) है।

किसी अनुपात में संख्याएँ किसी भी प्रकार की मात्राएँ हो सकती हैं, जैसे लोगों या वस्तुओं की संख्या, या जैसे लम्बाई, भार, समय आदि की माप। अधिकांश संदर्भों में, दोनों संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक तक सीमित हैं।

एक अनुपात या तो दोनों गठित संख्याओं को देकर निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसे a से b या a:b के रूप में लिखा जाता है, या उनके भागफल का मूल्य देकर a/b. समान भागफल समान अनुपात के अनुरूप हैं।

नतीजतन, एक अनुपात को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में माना जा सकता है, एक अंश (गणित) अंश में पहली संख्या के साथ और दूसरा भाजक में, या इस अंश द्वारा निरूपित मूल्य के रूप में माना जा सकता है। (गैर-शून्य) प्राकृतिक संख्याओं द्वारा दिए गए गणनाओं के अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं, और कभी-कभी प्राकृतिक संख्याएँ भी हो सकती हैं। जब दो मात्राओं को एक ही इकाई से मापा जाता है, जैसा कि प्रायः होता है, उनका अनुपात एक विमाहीन संख्या होती है। दो मात्राओं का भागफल जो विभिन्न इकाइयों से मापा जाता है, दर (गणित) कहलाती है।

संकेतन और शब्दावली

संख्या A और B के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

• A से B का अनुपात
• A:B
• A, B के लिए है (जब इसके बाद C, D के लिए है; नीचे देखें)
• एक अंश (गणित) जिसमें A अंश और B भाजक के रूप में होता है जो भागफल का प्रतिनिधित्व करता है (अर्थात, A को B से विभाजित किया जाता है, या ${\tfrac {A}{B}}$). इसे साधारण या दशमलव अंश, या प्रतिशत आदि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

जब एक अनुपात को A:B के रूप में लिखा जाता है, तो दो- बिन्दु वर्ण कभी-कभी अपूर्ण विराम चिह्न होते हैं। एकल कूट में, U+003A : अपूर्ण विराम यह है, हालांकि एकल कूट एक समर्पित अनुपात संप्रतीक U+2236 ∶ अनुपात भी प्रदान करता है, .

संख्या A और B को कभी-कभी अनुपात का पद कहा जाता है, जिसमें A पूर्ववर्ती (व्याकरण) और B परिणामी होता है।

दो अनुपात A:B और C:D की समानता व्यक्त करने वाला कथन 'अनुपात' कहलाता है, और A:B = C:D या A:B∷C:D के रूप में लिखा गया है। यह अनुवर्ती रूप, जब अंग्रेजी भाषा में बोला या लिखा जाता है, प्रायः (A से B है) जैसे (C से D) व्यक्त किया जाता है।

A, B, C और D को समानुपात के पद कहते हैं। A और D को इसके चरम कहा जाता है, और B और C को इसका साधन कहा जाता है। तीन या अधिक अनुपातों की समानता, जैसे A:B = C:D = E:F, को 'सतत अनुपात' कहा जाता है।

अनुपात का उपयोग कभी-कभी तीन या इससे भी अधिक शब्दों के साथ किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक आयामी लकड़ी के किनारे की लंबाई का अनुपात जो कि दस इंच लंबा होता है, अतः

${\text{मोटाई : चौड़ाई : लंबाई}}=2:4:10;$

(अनियोजित माप; लकड़ी को मुलायम रखने पर पहली दो संख्याएँ थोड़ी कम हो जाती हैं)

एक अच्छा स्थूल मिश्रण (आयतन इकाइयों में) कभी-कभी उद्धृत किया जाता है

${\text{ बज्रलेप : रेत : कंकड़ }}=1:2:4.$

बज्रलेप और पानी की मात्रा में 4/1 भागों के (बल्कि सूखे) मिश्रण के लिए, यह कहा जा सकता है कि बज्रलेप से पानी का अनुपात 4:1 है, या कि बज्रलेप पानी से 4 गुना ज्यादा है, या कि वहाँ एक चौथाई (1/4) बज्रलेप जितना पानी है।

दो से अधिक पदों वाले अनुपातों के ऐसे अनुपात का अर्थ यह है कि बायीं ओर किन्हीं दो पदों का अनुपात दायीं ओर के दो पदों के अनुपात के बराबर होता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

अनुपात शब्द की उत्पत्ति प्राचीन यूनानी λόγος (लोगस) में खोजी जा सकती है। शुरुआती अनुवादकों ने इसे लैटिन में इसे अनुपात (कारण; तर्कसंगत शब्द के रूप में) के रूप में प्रस्तुत किया। एक और आधुनिक व्याख्या यूक्लिड का अर्थ अभिकलन या गणना के अधिक समान है। मध्यकालीन लेखकों ने , प्रोपोरटीओ (अनुपात) अनुपात को इंगित करने के लिए और प्रोपोरशनलीटस (आनुपातिकता) अनुपात की समानता के लिए इन शब्दों का प्रयोग किया था।

यूक्लिड ने तत्वों में दिखाई देने वाले परिणामों को पहले के स्रोतों से एकत्रित किया। पाइथैगोरसी ने संख्याओं पर लागू होने वाले अनुपात और समानुपात के सिद्धांत को विकसित किया। पाइथागोरस की संख्या की अवधारणा में केवल वह सम्मिलित था जिसे आज परिमेय संख्या कहा जाता है, ज्यामिति में सिद्धांत की वैधता पर संदेह पैदा करता है, जहां पाइथागोरस ने भी खोज की वहां अतुलनीय अनुपात (अपरिमेय संख्या के अनुरूप) मौजूद हैं। संभवतः निडस के यूडोक्सस के कारण अनुपात के एक सिद्धांत की खोज जो अनुरूपता नहीं मानती है। द एलिमेंट्स की पुस्तक VII में प्रकट होने वाले अनुपात के सिद्धांत की व्याख्या आनुपातिकता के अनुपात के पहले के सिद्धांत को दर्शाती है।

कई सिद्धांतों का अस्तित्व अनावश्यक रूप से जटिल लगता है क्योंकि अनुपात, काफी हद तक, भागफल और उनके संभावित मूल्यों के साथ पहचाने जाते हैं। हालांकि, यह एक अपेक्षाकृत नवीन विकास है, जैसा कि इस तथ्य से देखा जा सकता है कि आधुनिक ज्यामिति पाठ्यपुस्तकें अभी भी अनुपात और भागफल के लिए विशिष्ट शब्दावली और संकेतन का उपयोग करती हैं। इसके दो कारण हैं: पहला, अपरिमेय संख्याओं को सही संख्या के रूप में स्वीकार करने के लिए पहले उल्लेखित अनिच्छा थी, और दूसरा, अनुपात की पहले से ही स्थापित शब्दावली को बदलने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले प्रतीकवाद की कमी ने 16 वीं शताब्दी तक विकल्प के रूप में अंशों की पूर्ण स्वीकृति में देरी करी।

यूक्लिड की परिभाषाएं

यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक V में 18 परिभाषाएँ हैं, जो सभी अनुपातों से संबंधित हैं। इसके अलावा, यूक्लिड उन विचारों का उपयोग करता है जो इतने सामान्य उपयोग में थे कि उन्होंने उनके लिए परिभाषाएँ सम्मिलित नहीं कीं। पहली दो परिभाषाएँ कहती हैं कि एक मात्रा का एक हिस्सा एक और मात्रा है जो इसे मापता है और इसके विपरीत, एक मात्रा का गुणक एक और मात्रा है जिसे यह मापता है। पहली दो परिभाषाओं का कहना है कि मात्रा का एक हिस्सा एक और मात्रा है जो इसे "मापता है" और इसके विपरीत, मात्रा का एक गुणक एक और मात्रा है जिसे यह मापता है।

यूक्लिड शब्द माप को परिभाषित नहीं करता है जैसा कि यहाँ प्रयोग किया गया है, हालांकि, कोई यह अनुमान लगा सकता है कि यदि एक मात्रा को माप की इकाई के रूप में लिया जाता है, और दूसरी मात्रा को इन इकाइयों की एक पूर्णांक संख्या के रूप में दिया जाता है, तो पहली मात्रा दूसरी को मापती है। पुस्तक VII में परिभाषा 3 और 5 के रूप में, इन परिभाषाओं को दोहराया गया है।

परिभाषा 3 बताती है कि सामान्य तरीके से अनुपात क्या होता है। यह एक गणितीय अर्थ में कठोर नहीं है और कुछ ने यूक्लिड के स्वयं के बजाय यूक्लिड के संपादकों को इसका श्रेय दिया है। यूक्लिड एक अनुपात को एक ही प्रकार की दो मात्राओं के बीच परिभाषित करता है, इसलिए इस परिभाषा के द्वारा दो लंबाई या दो क्षेत्रों के अनुपात को परिभाषित किया जाता है, लेकिन एक लंबाई और एक क्षेत्र के अनुपात को नहीं। परिभाषा 4 इसे और अधिक कठोर बनाती है। इसमें कहा गया है कि दो मात्राओं का अनुपात मौजूद होता है, जब प्रत्येक का एक गुणक दूसरे से अधिक होता है। आधुनिक संकेतन में, मात्रा p और q के बीच एक अनुपात मौजूद होता है, यदि पूर्णांक m और n मौजूद हों जैसे कि mp>q और nq>p। इस स्थिति को आर्किमिडीज संपत्ति के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा 5 सबसे जटिल और कठिन है। यह परिभाषित करता है कि दो अनुपातों के बराबर होने का क्या मतलब है। आज, यह केवल यह कहकर किया जा सकता है कि अनुपात बराबर होते हैं जब शर्तों के अंश समान होते हैं, लेकिन ऐसी परिभाषा यूक्लिड के लिए अर्थहीन होती। आधुनिक संकेतन में, यूक्लिड की समानता की परिभाषा यह है कि दी गई राशियाँ p, q, r और s, p:q∷r:s अगर और केवल अगर, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक m और n के लिए, np<mq, np=mq, या np>mq क्रमशः nr<ms, nr=ms, या nr>ms के अनुसार हैं। इस परिभाषा में डेडेकाइंड कट्स के साथ समानताएं हैं।

परिभाषा 6 कहती है कि समान अनुपात वाली मात्राएँ आनुपातिक या समानुपातिक होती हैं यूक्लिड ग्रीक ἀναλόγον (एनालॉगन) का उपयोग करता है, इसकी जड़ λόγος के समान है और अंग्रेजी शब्द समधर्मी से संबंधित है।

परिभाषा 7 परिभाषित करती है कि एक अनुपात का दूसरे से कम या अधिक होने का क्या अर्थ है और यह परिभाषा 5 में मौजूद विचारों पर आधारित है। आधुनिक संकेतन में यह कहा गया है कि दी गई मात्राएँ p, q, r और s, p:q>r: s यदि सकारात्मक पूर्णांक m और n हैं ताकि np>mq और nr≤ms हो।

जैसा कि परिभाषा 3 के साथ है, परिभाषा 8 को यूक्लिड के संपादकों द्वारा बाद की प्रविष्टि के रूप में माना जाता है। यह p:q∷q:r होने पर तीन पदों p, q और r को समानुपात में परिभाषित करता है। इसे 4 पदों p, q, r और s तक p:q∷q:r∷r:s, और इसी तरह आगे बढ़ाया जाता है। जिन अनुक्रमों में यह गुण होता है कि लगातार पदों के अनुपात समान होते हैं, उन्हें ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है। परिभाषाएँ 9 और 10 इसे यह कहते हुए लागू करते हैं कि यदि p, q और r अनुपात में हैं तो p: r p: q का प्रतिलिपि अनुपात है और यदि p, q, r और s समानुपात में हैं तो p: s p:q का त्रयी अनुपात है।

शब्दों की संख्या और अंशों का उपयोग

सामान्य तौर पर, दो-इकाई अनुपात की मात्राओं की तुलना अनुपात से प्राप्त अंश (गणित) के रूप में व्यक्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 2:3 के अनुपात में, पहली इकाई की मात्रा, आकार, आयतन या मात्रा दूसरी इकाई का ${\tfrac {2}{3}}$ है।

यदि 2 संतरे और 3 सेब हैं, तो संतरे से सेब का अनुपात 2:3 है, और संतरे का फल के टुकड़ों की कुल संख्या से अनुपात 2:5 है। इन अनुपातों को अंश के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: सेब के रूप में 2/3 संतरे हैं, और फलों के 2/5 टुकड़े संतरे हैं। यदि संतरे के रस के सांद्रण को 1:4 के अनुपात में पानी से पतला करना है, तो संतरे के एक भाग को पानी के चार भागों के साथ मिलाया जाता है, जिससे कुल पाँच भाग मिलते हैं; संतरे के रस की मात्रा पानी की मात्रा का 1/4 है, जबकि संतरे के रस की मात्रा कुल तरल का 1/5 है। दोनों अनुपातों और अंशों में, यह स्पष्ट होना महत्वपूर्ण है कि किसकी तुलना किससे की जा रही है, और शुरुआती लोग प्रायः इस कारण से गलतियाँ करते हैं।

भिन्नों को दो से अधिक इकाइयों वाले अनुपातों से भी अनुमान लगाया जा सकता है; हालाँकि, दो से अधिक संस्थाओं वाले अनुपात को पूरी तरह से एक अंश में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक अंश केवल दो मात्राओं की तुलना कर सकता है। अनुपात द्वारा समाविष्ट की गई किन्हीं दो संस्थाओं की मात्राओं की तुलना करने के लिए एक अलग अंश का उपयोग किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, 2:3:7 के अनुपात से हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि दूसरी इकाई की मात्रा तीसरी इकाई की ${\tfrac {3}{7}}$ है।

अनुपात और प्रतिशत अनुपात

यदि हम अनुपात में सम्मिलित सभी राशियों को समान संख्या से गुणा करते हैं, तो अनुपात वैध रहता है। उदाहरण के लिए, 3:2 का अनुपात 12:8 के समान है। यह सामान्य है कि या तो शब्दों को सबसे कम सामान्य भाजक तक कम किया जाए, या उन्हें प्रति सौ (प्रतिशत) भागों में व्यक्त किया जाए।

यदि किसी मिश्रण में पदार्थ A, B, C और D 5:9:4:2 के अनुपात में हैं तो B के प्रत्येक 9 भागों के लिए A के 5 भाग, C के 4 भाग और D के 2 भाग हैं। 5+9 के रूप में +4+2=20, कुल मिश्रण में A का 5/20 (20 में से 5 भाग), B का 9/20, C का 4/20 और D का 2/20 होता है।यदि हम सभी संख्याओं को कुल योग से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं, हमने प्रतिशत में परिवर्तित कर दिया है: 25% A, 45% B, 20% C, और 10% D (25:45:20:10 के रूप में अनुपात लिखने के बराबर)।

यदि किसी विशेष स्थिति में दो या अधिक अनुपात मात्राएँ सभी मात्राओं को सम्मिलित करती हैं, तो यह कहा जाता है कि संपूर्ण में भागों का योग होता है: उदाहरण के लिए, एक फलों की टोकरी में दो सेब और तीन संतरे हैं और कोई अन्य फल दो भाग सेब और तीन भाग संतरे से नहीं बना है इस मामले में, ${\tfrac {2}{5}}$, या पूरे का 40% सेब है और ${\tfrac {3}{5}}$, या पूरे का 60% संतरे हैं। किसी विशिष्ट मात्रा की संपूर्ण से तुलना को अनुपात कहा जाता है।

यदि अनुपात में केवल दो मान होते हैं, तो इसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, विशेष रूप से दशमलव अंश के रूप में। उदाहरण के लिए, पुराने चित्रपटल का पक्षानुपात 4:3 होता है, जिसका अर्थ है कि चौड़ाई ऊंचाई की 4/3 है (इसे 1.33:1 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है या केवल 1.33 को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांक किया जा सकता है)। हाल ही के वाइडस्क्रीन चित्रपटल में 16:9 का पक्षानुपात है, या 1.78 को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांक किया गया है। लोकप्रिय वाइडस्क्रीन चलचित्र प्रारूपों में से एक 2.35:1 या केवल 2.35 है। अनुपातों को दशमलव भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने से उनकी तुलना सरल हो जाती है। 1.33, 1.78 और 2.35 की तुलना करते समय, यह स्पष्ट है कि कौन सा प्रारूप व्यापक छवि प्रदान करता है। इस तरह की तुलना केवल तभी काम करती है जब तुलना की जा रही महत्त्वता सुसंगत होती है, जैसे ऊंचाई के संबंध में हमेशा चौड़ाई व्यक्त करना होता है।

लघुकरण

सभी मात्राओं के सामान्य कारकों द्वारा प्रत्येक मात्रा को विभाजित करके अनुपात न्यूनीकरण (गणित) (अंशों के रूप में) हो सकते हैं। अंशों के लिए, सबसे सरल रूप माना जाता है जिसमें अनुपात में संख्याएँ सबसे छोटी संभव पूर्णांक होती हैं।

इस प्रकार, अनुपात 40:60 अनुपात 2:3 के अर्थ के बराबर है, दोनों मात्राओं को 20 से विभाजित करके पूर्व से प्राप्त किया जा रहा है। गणितीय रूप से, हम 40:60 = 2:3, या समकक्ष 40:60∷2:3 लिखते हैं। मौखिक समकक्ष 40 से 60 है क्योंकि 2 से 3 है।

एक अनुपात जिसमें दोनों मात्राओं के लिए पूर्णांक होते हैं और जिसे आगे (पूर्णांकों का उपयोग करके) कम नहीं किया जा सकता है, अलघुकरणीय अंश या निम्नतम शब्दों में कहा जाता है।

कभी-कभी अनुपात को 1:x या x:1 के रूप में लिखना उपयोगी होता है, जहां x आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं है, ताकि विभिन्न अनुपातों की तुलना की जा सके। उदाहरण के लिए, अनुपात 4:5 को 1:1.25 के रूप में लिखा जा सकता है (दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करके) वैकल्पिक रूप से, इसे 0.8:1 (दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करके) लिखा जा सकता है।

जहां संदर्भ अर्थ स्पष्ट करता है, इस रूप में एक अनुपात कभी-कभी 1 और अनुपात प्रतीक (:) के बिना लिखा जाता है, हालांकि, गणितीय रूप से, यह इसे भाजक या गुणन बनाता है।

अपरिमेय अनुपात

आनुपातिकता (गणित) मात्राओं के बीच अनुपात भी स्थापित किया जा सकता है (मात्रा जिसका अनुपात, अंश के मान के रूप में, एक अपरिमेय संख्या के बराबर होता है)। पाइथोगोरस द्वारा खोजा गया सबसे पहला उदाहरण, वर्ग की भुजा s की लंबाई से विकर्ण d की लंबाई का अनुपात है, जो औपचारिक रूप से 2 का वर्गमूल $a:d=1:{\sqrt {2}}.$ है, एक अन्य उदाहरण एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है, जिसे π कहा जाता है, और केवल एक अपरिमेय संख्या नहीं है, बल्कि एक पारलौकिक संख्या है।

यह भी जाना जाता है कि दो (ज्यादातर) लंबाई a और b का सुनहरा अनुपात है, जो अनुपात द्वारा परिभाषित किया गया है।

$a:b=(a+b):a\quad$या, समकक्ष $\quad a:b=(1+b/a):1.$

अनुपातों को भिन्न के रूप में लेना और $a:b$ को मान x के रूप में लेना, समीकरण देता है

$x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad$ या $\quad x^{2}-x-1=0,$

जिसका सकारात्मक, तर्कहीन समाधान $x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ है

इस प्रकार a और b में से कम से कम एक को सुनहरे अनुपात में होने के लिए अपरिमेय होना चाहिए। गणित में सुनहरे अनुपात की घटना का एक उदाहरण दो लगातार फिबोनैकी संख्याओं के अनुपात के सीमित मूल्य के रूप में है: भले ही ये सभी अनुपात दो पूर्णांकों के अनुपात हैं और इसलिए तर्कसंगत हैं, इन तर्कसंगत अनुपातों के अनुक्रम की सीमा तर्कहीन सुनहरा अनुपात है।

इसी तरह, चांदी अनुपात a तथा b अनुपात निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है।

$a:b=(2$