अनुपात: Difference between revisions

Revision as of 12:04, 24 December 2022

मानक-परिभाषा टेलीविजन की चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात

गणित में, एक अनुपात दर्शाता है कि एक संख्या में कितनी बार दूसरी संख्या सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, यदि एक फल की कटोरी में आठ संतरे और छह नींबू हैं, तो संतरे से नींबू का अनुपात आठ से छह (अर्थात, 8:6, जो अनुपात 4:3 के बराबर है) है। इसी तरह, नींबू का संतरे से अनुपात 6:8 (या 3:4) है और संतरे का फल की कुल मात्रा से अनुपात 8:14 (या 4:7) है।

किसी अनुपात में संख्याएँ किसी भी प्रकार की मात्राएँ हो सकती हैं, जैसे लोगों या वस्तुओं की संख्या, या जैसे लम्बाई, भार, समय आदि की माप। अधिकांश संदर्भों में, दोनों संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक तक सीमित हैं।

एक अनुपात या तो दोनों गठित संख्याओं को देकर निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसे a से b या a:b के रूप में लिखा जाता है, या उनके भागफल का मूल्य देकर a/b.^[1]^[2]^[3] समान भागफल समान अनुपात के अनुरूप हैं।

नतीजतन, एक अनुपात को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में माना जा सकता है, एक अंश (गणित) अंश में पहली संख्या के साथ और दूसरा भाजक में, या इस अंश द्वारा निरूपित मूल्य के रूप में माना जा सकता है। (गैर-शून्य) प्राकृतिक संख्याओं द्वारा दिए गए गणनाओं के अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं, और कभी-कभी प्राकृतिक संख्याएँ भी हो सकती हैं। जब दो मात्राओं को एक ही इकाई से मापा जाता है, जैसा कि प्रायः होता है, उनका अनुपात एक विमाहीन संख्या होती है। दो मात्राओं का भागफल जो विभिन्न इकाइयों से मापा जाता है, दर (गणित) कहलाती है।^[4]

संकेतन और शब्दावली

संख्या A और B के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:^[5]

A से B का अनुपात
A:B
A, B के लिए है (जब इसके बाद C, D के लिए है; नीचे देखें)
एक अंश (गणित) जिसमें A अंश और B भाजक के रूप में होता है जो भागफल का प्रतिनिधित्व करता है (अर्थात, A को B से विभाजित किया जाता है, या ${\tfrac {A}{B}}$ ). इसे साधारण या दशमलव अंश, या प्रतिशत आदि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।^[6]

जब एक अनुपात को A:B के रूप में लिखा जाता है, तो दो- बिन्दु वर्ण कभी-कभी अपूर्ण विराम चिह्न होते हैं।^[7] एकल कूट में, U+003A : अपूर्ण विराम यह है, हालांकि एकल कूट एक समर्पित अनुपात संप्रतीक U+2236 ∶ अनुपात भी प्रदान करता है, .^[8]

संख्या A और B को कभी-कभी अनुपात का पद कहा जाता है, जिसमें A पूर्ववर्ती (व्याकरण) और B परिणामी होता है।^[9]

दो अनुपात A:B और C:D की समानता व्यक्त करने वाला कथन 'अनुपात' कहलाता है,^[10] और A:B = C:D या A:B∷C:D के रूप में लिखा गया है। यह अनुवर्ती रूप, जब अंग्रेजी भाषा में बोला या लिखा जाता है, प्रायः (A से B है) जैसे (C से D) व्यक्त किया जाता है।

A, B, C और D को समानुपात के पद कहते हैं। A और D को इसके चरम कहा जाता है, और B और C को इसका साधन कहा जाता है। तीन या अधिक अनुपातों की समानता, जैसे A:B = C:D = E:F, को 'सतत अनुपात' कहा जाता है।^[11]

अनुपात का उपयोग कभी-कभी तीन या इससे भी अधिक शब्दों के साथ किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक आयामी लकड़ी के किनारे की लंबाई का अनुपात जो कि दस इंच लंबा होता है, अतः

म ो ट ा ई colon च ौ ड ़ ा ई colon ल ं ब ा ई equals 2 colon 4 colon 10 semicolon

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 {{short description|Relationship between two numbers of the same kind}}
-{{for|non-dimensionless ratios|Rate (mathematics){{!}}Rates}}
+{{for|गैर-आयामहीन अनुपात|दर (गणित) {{!}} दरें}}
 {{other uses}}
-{{redirect|is to|the grammatical construction|am to}}
+{{redirect|प्रति है|व्याकरणिक निर्माण|प्रति हूँ}}
-[[File:Aspect-ratio-4x3.svg|thumb|[[मानक-परिभाषा टेलीविजन]] की चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात]]गणित में, एक अनुपात दर्शाता है कि एक [[संख्या]] में कितनी बार दूसरी संख्या शामिल है। उदाहरण के लिए, यदि एक कटोरी फल में आठ संतरे और छह नींबू हैं, तो संतरे से नींबू का अनुपात आठ से छह (अर्थात, 8:6, जो अनुपात 4:3 के बराबर है) है। इसी तरह, नींबू का संतरे से अनुपात 6:8 (या 3:4) है और संतरे का फल की कुल मात्रा से अनुपात 8:14 (या 4:7) है।
+[[File:Aspect-ratio-4x3.svg|thumb|[[मानक-परिभाषा टेलीविजन]] की चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात]]गणित में, एक अनुपात दर्शाता है कि एक [[संख्या]] में कितनी बार दूसरी संख्या सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, यदि एक फल की कटोरी में आठ संतरे और छह नींबू हैं, तो संतरे से नींबू का अनुपात आठ से छह (अर्थात, 8:6, जो अनुपात 4:3 के बराबर है) है। इसी तरह, नींबू का संतरे से अनुपात 6:8 (या 3:4) है और संतरे का फल की कुल मात्रा से अनुपात 8:14 (या 4:7) है।
 किसी अनुपात में संख्याएँ किसी भी प्रकार की मात्राएँ हो सकती हैं, जैसे लोगों या वस्तुओं की संख्या, या जैसे लम्बाई, भार, समय आदि की माप। अधिकांश संदर्भों में, दोनों संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक तक सीमित हैं।
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 एक अनुपात या तो दोनों गठित संख्याओं को देकर निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसे ''a'' से ''b'' या ''a'':''b'' के रूप में लिखा जाता है, या उनके भागफल का मूल्य देकर {{nowrap|{{sfrac|''a''|''b''}}.<ref>New International Encyclopedia</ref>}}<ref>{{Cite web|title=अनुपात|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/ratio.html|access-date=2020-08-22|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Stapel|first=Elizabeth|title=अनुपात|url=https://www.purplemath.com/modules/ratio.htm|access-date=2020-08-22|website=Purplemath}}</ref> समान भागफल समान अनुपात के अनुरूप हैं।
-नतीजतन, एक अनुपात को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में माना जा सकता है, एक [[अंश (गणित)]] अंश में पहली संख्या के साथ और दूसरा भाजक में, या इस अंश द्वारा निरूपित मूल्य के रूप में। (गैर-शून्य) [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा दिए गए गणनाओं के अनुपात [[परिमेय संख्या]]एँ हैं, और कभी-कभी प्राकृतिक संख्याएँ भी हो सकती हैं। जब दो मात्राओं को एक ही इकाई से मापा जाता है, जैसा कि अक्सर होता है, उनका अनुपात एक विमाहीन संख्या होती है। दो मात्राओं का भागफल जो विभिन्न इकाइयों से मापा जाता है, [[दर (गणित)]] कहलाती है।<ref>''"The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)"'', "The Mathematics Dictionary" [https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PA349&dq=dictionary%20ratio&pg=PA349#v=onepage&q=dictionary%20ratio&f=false]</ref>
+नतीजतन, एक अनुपात को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में माना जा सकता है, एक [[अंश (गणित)]] अंश में पहली संख्या के साथ और दूसरा भाजक में, या इस अंश द्वारा निरूपित मूल्य के रूप में माना जा सकता है। (गैर-शून्य) [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा दिए गए गणनाओं के अनुपात [[परिमेय संख्या]]एँ हैं, और कभी-कभी प्राकृतिक संख्याएँ भी हो सकती हैं। जब दो मात्राओं को एक ही इकाई से मापा जाता है, जैसा कि प्रायः होता है, उनका अनुपात एक विमाहीन संख्या होती है। दो मात्राओं का भागफल जो विभिन्न इकाइयों से मापा जाता है, [[दर (गणित)]] कहलाती है।<ref>''"The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)"'', "The Mathematics Dictionary" [https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PA349&dq=dictionary%20ratio&pg=PA349#v=onepage&q=dictionary%20ratio&f=false]</ref>
 == संकेतन और शब्दावली ==
-संख्याओं A और B के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref>New International Encyclopedia</ref>
+संख्या A और B के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref>New International Encyclopedia</ref>
 * A से B का अनुपात
-*ए:बी
+*A:B
-*A, B के लिए है (जब इसके बाद C, D के लिए है{{hair space}}; नीचे देखें)
+*A, B के लिए है (जब इसके बाद C, D के लिए है; नीचे देखें)
 *एक अंश (गणित) जिसमें A अंश और B भाजक के रूप में होता है जो भागफल का प्रतिनिधित्व करता है (अर्थात, A को B से विभाजित किया जाता है, या <math>\tfrac{A}{B}</math>). इसे साधारण या दशमलव अंश, या प्रतिशत आदि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref>Decimal fractions are frequently used in technological areas where ratio comparisons are important, such as aspect ratios (imaging), compression ratios (engines or data storage), etc.</ref>
-जब एक अनुपात को A:B के रूप में लिखा जाता है, तो दो-डॉट वर्ण कभी-कभी [[कोलन (विराम चिह्न)]] विराम चिह्न होते हैं।<ref name="MathWorld-colon">{{cite web |url=https://mathworld.wolfram.com/Colon.html |title=पेट|last=Weisstein |first=Eric W. |author-link=Eric W. Weisstein |website=[[MathWorld]] |date=2022-11-04 |access-date=2022-11-26 }}</ref> [[यूनिकोड]] में, यह है {{unichar|3a|colon}}, हालांकि यूनिकोड एक समर्पित अनुपात संप्रतीक भी प्रदान करता है, {{unichar|2236|ratio}}.<ref name="Unicode">{{cite web |url=https://www.unicode.org/charts/PDF/U0000.pdf |publisher=Unicode, Inc. |website=The Unicode Standard, Version 15.0 |title=ASCII विराम चिह्न|date=2022 |access-date=2022-11-26 |quote=[003A is] का उपयोग विभाजन या पैमाने को दर्शाने के लिए भी किया जाता है; उस गणितीय उपयोग के लिए 2236 {{टाइपो नहीं|∶}} is preferred }}</ref>
+जब एक अनुपात को A:B के रूप में लिखा जाता है, तो दो- बिन्दु वर्ण कभी-कभी अपूर्ण विराम चिह्न होते हैं।<ref name="MathWorld-colon">{{cite web |url=https://mathworld.wolfram.com/Colon.html |title=पेट|last=Weisstein |first=Eric W. |author-link=Eric W. Weisstein |website=[[MathWorld]] |date=2022-11-04 |access-date=2022-11-26 }}</ref> [[यूनिकोड|एकल कूट]] में, {{unichar|3a|अपूर्ण विराम}} यह है, हालांकि [[यूनिकोड|एकल कूट]] एक समर्पित अनुपात संप्रतीक {{unichar|2236|अनुपात}} भी प्रदान करता है, .<ref name="Unicode">{{cite web |url=https://www.unicode.org/charts/PDF/U0000.pdf |publisher=Unicode, Inc. |website=The Unicode Standard, Version 15.0 |title=ASCII विराम चिह्न|date=2022 |access-date=2022-11-26 |quote=[003A is] का उपयोग विभाजन या पैमाने को दर्शाने के लिए भी किया जाता है; उस गणितीय उपयोग के लिए 2236 {{टाइपो नहीं|∶}} is preferred }}</ref>
-संख्या A और B को कभी-कभी अनुपात की शर्तें कहा जाता है, जिसमें A [[पूर्ववर्ती (व्याकरण)]] और B परिणामी होता है।<ref>[http://www.britannica.com/topic/ratio from the Encyclopædia Britannica]</ref>
-दो अनुपातों A:B और C:D की समानता व्यक्त करने वाला कथन 'अनुपात' कहलाता है,<ref>Heath, p. 126</ref> A:B = C:D या A:B∷C:D के रूप में लिखा गया है। यह बाद वाला रूप, जब अंग्रेजी भाषा में बोला या लिखा जाता है, अक्सर व्यक्त किया जाता है
-:(ए टू बी) के रूप में (सी टू डी)।
-A, B, C और D को समानुपात के पद कहते हैं। ए और डी को इसके चरम कहा जाता है, और बी और सी को इसका मतलब कहा जाता है। तीन या अधिक अनुपातों की समानता, जैसे A:B = C:D = E:F, को 'सतत अनुपात' कहा जाता है।<ref>New International Encyclopedia</ref>
+संख्या A और B को कभी-कभी अनुपात का पद कहा जाता है, जिसमें A [[पूर्ववर्ती (व्याकरण)]] और B परिणामी होता है।<ref>[http://www.britannica.com/topic/ratio from the Encyclopædia Britannica]</ref>
-अनुपात का उपयोग कभी-कभी तीन या इससे भी अधिक शब्दों के साथ किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक [[आयामी लकड़ी]] के किनारे की लंबाई का अनुपात जो कि दस इंच लंबा होता है
-:<math>\text{thickness : width : length } = 2:4:10;</math>
-:(अनियोजित माप; लकड़ी को चिकना रखने पर पहली दो संख्याएँ थोड़ी कम हो जाती हैं)
-एक अच्छा ठोस मिश्रण (वॉल्यूम इकाइयों में) कभी-कभी उद्धृत किया जाता है
-:<math>\text{cement : sand : gravel } = 1:2:4.</math><ref>[http://www.bellegroup.com/es/support/mixingHints.html Belle Group concrete mixing hints]</ref>
-सीमेंट और पानी की मात्रा में 4/1 भागों के (बल्कि सूखे) मिश्रण के लिए, यह कहा जा सकता है कि सीमेंट से पानी का अनुपात 4:1 है, कि सीमेंट पानी से 4 गुना ज्यादा है, या कि वहाँ है एक चौथाई (1/4) सीमेंट जितना पानी।
-दो से अधिक पदों वाले अनुपातों के ऐसे अनुपात का अर्थ यह है कि बायीं ओर किन्हीं दो पदों का अनुपात दायीं ओर के संगत दो पदों के अनुपात के बराबर होता है।
+दो अनुपात A:B और C:D की समानता व्यक्त करने वाला कथन 'अनुपात' कहलाता है,<ref>Heath, p. 126</ref> और A:B = C:D या A:B∷C:D के रूप में लिखा गया है। यह अनुवर्ती रूप, जब अंग्रेजी भाषा में बोला या लिखा जाता है, प्रायः (A से B है) जैसे (C से D) व्यक्त किया जाता है।
+A, B, C और D को समानुपात के पद कहते हैं। A और D को इसके चरम कहा जाता है, और B और C को इसका साधन कहा जाता है। तीन या अधिक अनुपातों की समानता, जैसे A:B = C:D = E:F, को 'सतत अनुपात' कहा जाता है।<ref>New International Encyclopedia</ref>
+अनुपात का उपयोग कभी-कभी तीन या इससे भी अधिक शब्दों के साथ किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक [[आयामी लकड़ी]] के किनारे की लंबाई का अनुपात जो कि दस इंच लंबा होता है, अतः
+:<math>\text {मोटाई :  चौड़ाई : लंबाई} = 2:4:10;</math>
+:(अनियोजित माप; लकड़ी को मुलायम रखने पर पहली दो संख्याएँ थोड़ी कम हो जाती हैं)
+एक अच्छा स्थूल मिश्रण (आयतन इकाइयों में) कभी-कभी उद्धृत किया जाता है
+:<math>\text{ बज्रलेप : रेत : कंकड़ } = 1:2:4.</math><ref>[http://www.bellegroup.com/es/support/mixingHints.html Belle Group concrete mixing hints]</ref>
+बज्रलेप और पानी की मात्रा में 4/1 भागों के (बल्कि सूखे) मिश्रण के लिए, यह कहा जा सकता है कि बज्रलेप से पानी का अनुपात 4:1 है, या कि बज्रलेप पानी से 4 गुना ज्यादा है, या कि वहाँ एक चौथाई (1/4) बज्रलेप जितना पानी है।
+दो से अधिक पदों वाले अनुपातों के ऐसे अनुपात का अर्थ यह है कि बायीं ओर किन्हीं दो पदों का अनुपात दायीं ओर के दो पदों के अनुपात के बराबर होता है।
 == इतिहास और व्युत्पत्ति ==
-अनुपात शब्द की उत्पत्ति [[प्राचीन यूनानी]] भाषा में खोजी जा सकती है {{lang|grc|λόγος}} ([[लोगो]])। शुरुआती अनुवादकों ने इसे [[लैटिन]] में इस रूप में प्रस्तुत किया{{lang|la|[[wikt:ratio#Latin|ratio]]}}(कारण; तर्कसंगत शब्द के रूप में)। एक और आधुनिक व्याख्या{{Compared to?|date=October 2019}} यूक्लिड का अर्थ अभिकलन या गणना के अधिक समान है।<ref>Penny Cyclopædia, p. 307</ref> मध्यकालीन लेखकों ने इस शब्द का प्रयोग किया था{{lang|la|proportio}}(अनुपात) अनुपात को इंगित करने के लिए और{{lang|la|proportionalitas}}(आनुपातिकता) अनुपात की समानता के लिए।<ref>Smith, p. 478</ref>
+अनुपात शब्द की उत्पत्ति [[प्राचीन यूनानी]] {{lang|grc|λόγος}} ([[लोगो|लोगस]]) में खोजी जा सकती है। शुरुआती अनुवादकों ने इसे [[लैटिन]] में इसे अनुपात (कारण; तर्कसंगत शब्द के रूप में) के रूप में प्रस्तुत किया । एक और आधुनिक व्याख्या यूक्लिड का अर्थ अभिकलन या गणना के अधिक समान है।<ref>Penny Cyclopædia, p. 307</ref> मध्यकालीन लेखकों ने इस शब्द का प्रयोग किया था{{lang|la|proportio}}(अनुपात) अनुपात को इंगित करने के लिए और{{lang|la|proportionalitas}}(आनुपातिकता) अनुपात की समानता के लिए।<ref>Smith, p. 478</ref>
-यूक्लिड ने तत्वों में दिखाई देने वाले परिणामों को पहले के स्रोतों से एकत्रित किया। [[पाइथागोरसवाद]] ने संख्याओं पर लागू होने वाले अनुपात और समानुपात के सिद्धांत को विकसित किया।<ref>Heath, p. 112</ref> पाइथागोरस की संख्या की अवधारणा में केवल वह शामिल था जिसे आज परिमेय संख्या कहा जाता है, ज्यामिति में सिद्धांत की वैधता पर संदेह पैदा करता है, जहां पाइथागोरस ने भी खोज की, अतुलनीय अनुपात ([[अपरिमेय संख्या]] के अनुरूप) मौजूद हैं। अनुपात के एक सिद्धांत की खोज जो अनुरूपता नहीं मानती है, शायद कनिडस के यूडोक्सस के कारण है। द एलिमेंट्स की पुस्तक VII में प्रकट होने वाले अनुपात के सिद्धांत की व्याख्या आनुपातिकता के अनुपात के पहले के सिद्धांत को दर्शाती है।<ref>Heath, p. 113</ref>
+यूक्लिड ने तत्वों में दिखाई देने वाले परिणामों को पहले के स्रोतों से एकत्रित किया। [[पाइथागोरसवाद]] ने संख्याओं पर लागू होने वाले अनुपात और समानुपात के सिद्धांत को विकसित किया।<ref>Heath, p. 112</ref> पाइथागोरस की संख्या की अवधारणा में केवल वह सम्मिलित था जिसे आज परिमेय संख्या कहा जाता है, ज्यामिति में सिद्धांत की वैधता पर संदेह पैदा करता है, जहां पाइथागोरस ने भी खोज की, अतुलनीय अनुपात ([[अपरिमेय संख्या]] के अनुरूप) मौजूद हैं। अनुपात के एक सिद्धांत की खोज जो अनुरूपता नहीं मानती है, शायद कनिडस के यूडोक्सस के कारण है। द एलिमेंट्स की पुस्तक VII में प्रकट होने वाले अनुपात के सिद्धांत की व्याख्या आनुपातिकता के अनुपात के पहले के सिद्धांत को दर्शाती है।<ref>Heath, p. 113</ref>
 कई सिद्धांतों का अस्तित्व अनावश्यक रूप से जटिल लगता है क्योंकि अनुपात, काफी हद तक, भागफल और उनके संभावित मूल्यों के साथ पहचाने जाते हैं। हालांकि, यह एक अपेक्षाकृत हालिया विकास है, जैसा कि इस तथ्य से देखा जा सकता है कि आधुनिक ज्यामिति पाठ्यपुस्तकें अभी भी अनुपात और भागफल के लिए विशिष्ट शब्दावली और संकेतन का उपयोग करती हैं। इसके दो कारण हैं: पहला, अपरिमेय संख्याओं को सही संख्या के रूप में स्वीकार करने के लिए पहले उल्लेखित अनिच्छा थी, और दूसरा, अनुपातों की पहले से स्थापित शब्दावली को बदलने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले प्रतीकवाद की कमी ने विकल्प के रूप में भिन्नों की पूर्ण स्वीकृति में देरी की। 16 वीं शताब्दी।<ref>Smith, p. 480</ref>
 ===यूक्लिड की परिभाषाएं===
-यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक V में 18 परिभाषाएँ हैं, जो सभी अनुपातों से संबंधित हैं।<ref>Heath, reference for section</ref> इसके अलावा, यूक्लिड उन विचारों का उपयोग करता है जो इतने सामान्य उपयोग में थे कि उन्होंने उनके लिए परिभाषाएँ शामिल नहीं कीं। पहली दो परिभाषाएँ कहती हैं कि एक मात्रा का एक हिस्सा एक और मात्रा है जो इसे मापता है और इसके विपरीत, एक मात्रा का गुणक एक और मात्रा है जिसे यह मापता है। आधुनिक शब्दावली में, इसका मतलब यह है कि एक मात्रा का गुणक वह मात्रा है जिसे एक से अधिक पूर्णांक से गुणा किया जाता है - और मात्रा का एक हिस्सा (अर्थात् [[विभाज्य भाग]]) एक हिस्सा है, जो एक से अधिक पूर्णांक से गुणा करने पर, देता है मात्रा।
+यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक V में 18 परिभाषाएँ हैं, जो सभी अनुपातों से संबंधित हैं।<ref>Heath, reference for section</ref> इसके अलावा, यूक्लिड उन विचारों का उपयोग करता है जो इतने सामान्य उपयोग में थे कि उन्होंने उनके लिए परिभाषाएँ सम्मिलित नहीं कीं। पहली दो परिभाषाएँ कहती हैं कि एक मात्रा का एक हिस्सा एक और मात्रा है जो इसे मापता है और इसके विपरीत, एक मात्रा का गुणक एक और मात्रा है जिसे यह मापता है। आधुनिक शब्दावली में, इसका मतलब यह है कि एक मात्रा का गुणक वह मात्रा है जिसे एक से अधिक पूर्णांक से गुणा किया जाता है - और मात्रा का एक हिस्सा (अर्थात् [[विभाज्य भाग]]) एक हिस्सा है, जो एक से अधिक पूर्णांक से गुणा करने पर, देता है मात्रा।
 यूक्लिड शब्द माप को परिभाषित नहीं करता है जैसा कि यहाँ प्रयोग किया गया है, हालांकि, कोई यह अनुमान लगा सकता है कि यदि एक मात्रा को माप की इकाई के रूप में लिया जाता है, और दूसरी मात्रा को इन इकाइयों की एक पूर्णांक संख्या के रूप में दिया जाता है, तो पहली मात्रा दूसरी को मापती है। पुस्तक VII में परिभाषाओं 3 और 5 के रूप में, इन परिभाषाओं को दोहराया गया है, लगभग शब्द के लिए शब्द।
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 सामान्य तौर पर, दो-इकाई अनुपात की मात्राओं की तुलना अनुपात से प्राप्त अंश (गणित) के रूप में व्यक्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 2:3 के अनुपात में, पहली इकाई की मात्रा, आकार, आयतन या मात्रा है <math>\tfrac{2}{3}</math> दूसरी इकाई का।
-यदि 2 संतरे और 3 सेब हैं, तो संतरे से सेब का अनुपात 2:3 है, और संतरे का फल के टुकड़ों की कुल संख्या से अनुपात 2:5 है। इन अनुपातों को अंश के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: सेब के रूप में 2/3 संतरे हैं, और फलों के 2/5 टुकड़े संतरे हैं। यदि संतरे के रस के सांद्रण को 1:4 के अनुपात में पानी से पतला करना है, तो सांद्र के एक भाग को पानी के चार भागों के साथ मिलाया जाता है, जिससे कुल पाँच भाग मिलते हैं; संतरे के रस की मात्रा पानी की मात्रा का 1/4 है, जबकि संतरे के रस की मात्रा कुल तरल का 1/5 है। दोनों अनुपातों और अंशों में, यह स्पष्ट होना महत्वपूर्ण है कि किसकी तुलना किससे की जा रही है, और शुरुआती लोग अक्सर इस कारण से गलतियाँ करते हैं।
+यदि 2 संतरे और 3 सेब हैं, तो संतरे से सेब का अनुपात 2:3 है, और संतरे का फल के टुकड़ों की कुल संख्या से अनुपात 2:5 है। इन अनुपातों को अंश के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: सेब के रूप में 2/3 संतरे हैं, और फलों के 2/5 टुकड़े संतरे हैं। यदि संतरे के रस के सांद्रण को 1:4 के अनुपात में पानी से पतला करना है, तो सांद्र के एक भाग को पानी के चार भागों के साथ मिलाया जाता है, जिससे कुल पाँच भाग मिलते हैं; संतरे के रस की मात्रा पानी की मात्रा का 1/4 है, जबकि संतरे के रस की मात्रा कुल तरल का 1/5 है। दोनों अनुपातों और अंशों में, यह स्पष्ट होना महत्वपूर्ण है कि किसकी तुलना किससे की जा रही है, और शुरुआती लोग प्रायः इस कारण से गलतियाँ करते हैं।
 भिन्नों को दो से अधिक इकाइयों वाले अनुपातों से भी अनुमान लगाया जा सकता है; हालाँकि, दो से अधिक संस्थाओं वाले अनुपात को पूरी तरह से एक अंश में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक अंश केवल दो मात्राओं की तुलना कर सकता है। अनुपात द्वारा कवर की गई किन्हीं दो संस्थाओं की मात्राओं की तुलना करने के लिए एक अलग अंश का उपयोग किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, 2:3:7 के अनुपात से हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि दूसरी इकाई की मात्रा है <math>\tfrac{3}{7}</math> तीसरी इकाई का।
 == अनुपात और [[[[प्रतिशत]]]] अनुपात ==
-यदि हम अनुपात में शामिल सभी राशियों को समान संख्या से गुणा करते हैं, तो अनुपात वैध रहता है। उदाहरण के लिए, 3:2 का अनुपात 12:8 के समान है। यह सामान्य है कि या तो शब्दों को सबसे कम सामान्य भाजक तक कम किया जाए, या उन्हें प्रति सौ (प्रतिशत) भागों में व्यक्त किया जाए।
+यदि हम अनुपात में सम्मिलित सभी राशियों को समान संख्या से गुणा करते हैं, तो अनुपात वैध रहता है। उदाहरण के लिए, 3:2 का अनुपात 12:8 के समान है। यह सामान्य है कि या तो शब्दों को सबसे कम सामान्य भाजक तक कम किया जाए, या उन्हें प्रति सौ (प्रतिशत) भागों में व्यक्त किया जाए।
 यदि किसी मिश्रण में पदार्थ A, B, C और D 5:9:4:2 के अनुपात में हैं तो B के प्रत्येक 9 भागों के लिए A के 5 भाग, C के 4 भाग और D के 2 भाग हैं। 5+9 के रूप में +4+2=20, कुल मिश्रण में A का 5/20 (20 में से 5 भाग), B का 9/20, C का 4/20 और D का 2/20 होता है। कुल और 100 से गुणा करें, हमने प्रतिशत में परिवर्तित किया है: 25% ए, 45% बी, 20% सी, और 10% डी (25:45:20:10 के रूप में अनुपात लिखने के बराबर)।
-यदि किसी विशेष स्थिति में दो या अधिक अनुपात मात्राएँ सभी मात्राओं को शामिल करती हैं, तो यह कहा जाता है कि संपूर्ण में भागों का योग होता है: उदाहरण के लिए, एक फल की टोकरी जिसमें दो सेब और तीन संतरे होते हैं और कोई अन्य फल नहीं बनता है दो भाग सेब और तीन भाग संतरे। इस मामले में, <math>\tfrac{2}{5}</math>, या पूरे का 40% सेब और है <math>\tfrac{3}{5}</math>, या पूरे का 60% संतरे हैं। किसी विशिष्ट मात्रा की संपूर्ण से तुलना को अनुपात कहा जाता है।
+यदि किसी विशेष स्थिति में दो या अधिक अनुपात मात्राएँ सभी मात्राओं को सम्मिलित करती हैं, तो यह कहा जाता है कि संपूर्ण में भागों का योग होता है: उदाहरण के लिए, एक फल की टोकरी जिसमें दो सेब और तीन संतरे होते हैं और कोई अन्य फल नहीं बनता है दो भाग सेब और तीन भाग संतरे। इस मामले में, <math>\tfrac{2}{5}</math>, या पूरे का 40% सेब और है <math>\tfrac{3}{5}</math>, या पूरे का 60% संतरे हैं। किसी विशिष्ट मात्रा की संपूर्ण से तुलना को अनुपात कहा जाता है।
 यदि अनुपात में केवल दो मान होते हैं, तो इसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, विशेष रूप से दशमलव अंश के रूप में। उदाहरण के लिए, पुराने [[टेलीविजन]] में 4:3 [[पहलू अनुपात प्रदर्शित करें]] होता है, जिसका अर्थ है कि चौड़ाई ऊंचाई की 4/3 है (इसे 1.33:1 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है या केवल 1.33 को दो दशमलव स्थानों तक गोल किया जा सकता है)। हाल ही के वाइडस्क्रीन टीवी में 16:9 का पक्षानुपात है, या 1.78 को दो दशमलव स्थानों तक गोल किया गया है। लोकप्रिय वाइडस्क्रीन मूवी प्रारूपों में से एक 2.35:1 या केवल 2.35 है। अनुपातों को दशमलव भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने से उनकी तुलना सरल हो जाती है। 1.33, 1.78 और 2.35 की तुलना करते समय, यह स्पष्ट है कि कौन सा प्रारूप व्यापक छवि प्रदान करता है। इस तरह की तुलना केवल तभी काम करती है जब तुलना की जा रही वैल्यू सुसंगत होती है, जैसे ऊंचाई के संबंध में हमेशा चौड़ाई व्यक्त करना।
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 == त्रिकोणीय निर्देशांक ==
-शीर्ष (ज्यामिति) A, B, और C और भुजाओं AB, BC, और CA के साथ त्रिभुज के सापेक्ष बिंदुओं के स्थान अक्सर त्रिकोणीय निर्देशांक के रूप में विस्तारित अनुपात रूप में व्यक्त किए जाते हैं।
+शीर्ष (ज्यामिति) A, B, और C और भुजाओं AB, BC, और CA के साथ त्रिभुज के सापेक्ष बिंदुओं के स्थान प्रायः त्रिकोणीय निर्देशांक के रूप में विस्तारित अनुपात रूप में व्यक्त किए जाते हैं।
 [[बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)]] में, निर्देशांक α, β, γ के साथ एक बिंदु वह बिंदु है जिस पर त्रिकोण के आकार और आकार में धातु की एक भारहीन शीट बिल्कुल संतुलित होती है, यदि वज़न को कोने पर रखा जाता है, के अनुपात के साथ A और B पर भार α: β है, B और C पर भार का अनुपात β: γ है, और इसलिए A और C पर भार का अनुपात α: γ है।

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