विभाजन (गणित): Difference between revisions

Revision as of 00:01, 10 August 2022

20/4 = 5, यहां सेब के साथ सचित्र।यह मौखिक रूप से कहा जाता है, बीस को चार बराबर पांच से विभाजित किया गया है।

डिवीजन अंकगणित के चार बुनियादी संक्रियाओं में से एक है, जिन तरीकों से संख्याओं को नई संख्या बनाने के लिए संयुक्त किया जाता है। अन्य संक्रियाऐ जोड़, घटाव और गुणन हैं।

एक प्राथमिक स्तर पर दो प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन अन्य संभावित व्याख्याओं के बीच है, एक संख्या को दूसरी संख्या में समाहित होने की गणना करने की प्रक्रिया है।^[1]^: 7 इस संख्या का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि 20 सेब को समान रूप से 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो हर कोई 5 सेब प्राप्त करता है (चित्र देखें)।

दो प्राकृतिक संख्याओं के शेष या यूक्लिडियन डिवीजन के साथ विभाजन एक पूर्णांक भागफल प्रदान करता है, जो कि दूसरी संख्या पूरी तरह से पहले संख्या में निहित है, और शेष, जो पहले संख्या का हिस्सा है, भागफल की गणना के दौरान, दूसरी संख्या के आकार का कोई हिस्सा आवंटित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 21 सेब को 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो सभी को फिर से 5 सेब मिलते हैं, और 1 सेब बचा रहता है।

विभाजन के लिए हमेशा एक भागफल के बजाय एक संख्या प्राप्त करने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को परिमेय संख्या या वास्तविक संख्या तक बढ़ाया जाना चाहिए। इन बढ़े हुए संख्या प्रणालियों में, विभाजन गुणन के लिए उलटा संचालन है, अर्थात $a = c / b$ का अर्थ है $a \times b = c$ , जब तक कि $b$ शून्य नहीं हो। यदि $b = 0$ , फिर यह शून्य द्वारा एक विभाजन है, जिसे परिभाषित नहीं किया गया है।^{[lower-alpha 1]}^[4]^: 246 21 सेब के उदाहरण में, सभी को 5 सेब और एक सेब का एक चौथाई हिस्सा मिलेगा, इस प्रकार किसी भी बचे हुए से बचा जा सकता है।

विभाजन के दोनों रूप विभिन्न बीजीय संरचनाओं में दिखाई देते हैं, गणितीय संरचना को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं। जिनमें एक यूक्लिडियन विभाजन (शेष के साथ) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें यूक्लिडियन डोमेन कहा जाता है और इसमें एक अनिश्चित (जो एकल-चर वाले सूत्रों पर गुणा और जोड़ को परिभाषित करते हैं) में बहुपद के छल्ले शामिल होते हैं। जिनमें सभी गैर-शून्य तत्वों द्वारा विभाजन (एक ही परिणाम के साथ) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें फ़ील्ड और विभाजन रिंग कहा जाता है। एक रिंग में जिन तत्वों के द्वारा विभाजन हमेशा संभव होता है, उन्हें इकाइयां (उदाहरण के लिए, पूर्णांक की रिंग में 1 और −1) कहा जाता है । बीजगणितीय संरचनाओं के लिए विभाजन का एक और सामान्यीकरण भागफल समूह है, जिसमें विभाजन का परिणाम एक संख्या के बजाय एक समूह होता है।

परिचय

विभाजन को देखने का सबसे सरल तरीका उद्धरण और विखंडन के संदर्भ में है: उद्धरण के दृष्टिकोण से, $20 / 5$ का अर्थ है 5 की संख्या जिसे 20 प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाना चाहिए। विभाजन के संदर्भ में, $20 / 5$ का अर्थ है 5 भागों में से प्रत्येक के आकार का मतलब है जिसमें आकार 20 का एक सेट विभाजित है।उदाहरण के लिए, 20 सेब चार सेब के पांच समूहों में विभाजित होते हैं, जिसका अर्थ है कि पांच से विभाजित बीस चार के बराबर है। इसे $20 / 5 = 4$ , या $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}20/5 = 4$ के रूप में दर्शाया गया है।^[2] जिसे विभाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, उसे भाज्य कहा जाता है और परिणाम को भागफल कहा जाता है। उदाहरण में, 20 भाज्य है, 5 विभाजक है, और 4 भागफल है।

अन्य बुनियादी संचालन के विपरीत, प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय कभी कुछ शेष होता है जो समान रूप से भाज्य में नहीं जाएगा;उदाहरण के लिए, $10 / 3$ के बाद 1 का शेषफल मिलता है, क्योंकि 10, 3 का गुणज नहीं है। कभी -कभी यह शेष भाग को एक भिन्नात्मक भाग के रूप में जोड़ा जाता है, इसलिए $10 / 3$ के बराबर है $3 + 1 / 3$ या $3.33...$ , लेकिन पूर्णांक डिवीजन के संदर्भ में, जहां संख्याओं का कोई भिन्नात्मक हिस्सा नहीं है, शेष को अलग से रखा जाता है (या असाधारण रूप से, छोड़ दिया जाता है)।^[5] जब शेष को एक अंश के रूप में रखा जाता है, तो यह एक परिमेय संख्या की ओर ले जाता है।सभी परिमेय संख्याओं का सेट पूर्णांक के सभी संभावित परिणामों के साथ पूर्णांक का विस्तार करके बनाया गया है।

गुणा और जोड़ के विपरीत, विभाजन क्रमविनिमेय नहीं है, जिसका अर्थ है कि $a / b$ हमेशा $b / a$ बराबर नहीं होता है।^[6] विभाजन भी सामान्य रूप से, साहचर्य में नहीं है, जिसका अर्थ है कि कई बार विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम परिणाम बदल सकता है।^[7] उदाहरण के लिए, $(24 / 6) / 2 = 2$ , लेकिन $24 / (6 / 2) = 8$ (जहां कोष्ठक का उपयोग इंगित करता है कि कोष्ठक के अंदर के संचालन कोष्ठक के बाहर संचालन से पहले किए जाते हैं)।

विभाजन को पारंपरिक रूप से वाम-सहयोगी माना जाता है। यदि एक पंक्ति में कई विभाजन हैं, तो गणना का क्रम बाएं से दाएं चला जाता है:^[8]^[9]

a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\;\neq \;a/(b/c)=(a\times c)/b.

विभाजन इस अर्थ में जोड़ और घटाव पर सही-वितरण है

{\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.

यह गुणा के लिए समान है, जैसा कि $(a +$

[1]

[lower-alpha 1]

[4]

[2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ Line 69: / Line 69: @@
 === कंप्यूटर द्वारा ===
-आधुनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर या तो लंबे डिवीजन के समान तरीकों से, या तेज तरीकों से विभाजन की गणना करते हैं;डिवीजन एल्गोरिथ्म देखें।
+आधुनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर या तो लंबे विभाजन के समान तरीकों से या तेज तरीकों से गणना करते हैं; डिवीजन एल्गोरिथ्म देखें।
-मॉड्यूलर अंकगणित (मोडुलो ए प्राइम नंबर) और वास्तविक संख्याओं के लिए, नॉनज़ेरो नंबरों में एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।इन मामलों में, एक विभाजन द्वारा {{mvar|x}} गुणात्मक व्युत्क्रम द्वारा उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है {{mvar|x}}।यह दृष्टिकोण अक्सर कंप्यूटर अंकगणित में तेज तरीकों से जुड़ा होता है।
+मॉड्यूलर अंकगणित (मॉड्यूलो एक अभाज्य संख्या) और वास्तविक संख्याओं के लिए, गैर-शून्य संख्याओं में एक गुणात्मक प्रतिलोम होता है। इन मामलों में, x से एक भाग की गणना x के गुणनात्मक प्रतिलोम द्वारा गुणनफल के रूप में की जा सकती है। यह दृष्टिकोण अक्सर कंप्यूटर अंकगणित में तेज तरीकों से जुड़ा होता है।
 == विभिन्न संदर्भों में विभाजन ==

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