विभाजन (गणित): Difference between revisions

Revision as of 13:17, 9 August 2022

20/4 = 5, यहां सेब के साथ सचित्र।यह मौखिक रूप से कहा जाता है, बीस को चार बराबर पांच से विभाजित किया गया है।

डिवीजन अंकगणित के चार बुनियादी संक्रियाओं में से एक है, जिन तरीकों से संख्याओं को नई संख्या बनाने के लिए संयुक्त किया जाता है। अन्य संक्रियाऐ जोड़, घटाव और गुणन हैं।

एक प्राथमिक स्तर पर दो प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन अन्य संभावित व्याख्याओं के बीच है, एक संख्या को दूसरी संख्या में समाहित होने की गणना करने की प्रक्रिया है।^[1]^: 7 इस संख्या का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि 20 सेब को समान रूप से 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो हर कोई 5 सेब प्राप्त करता है (चित्र देखें)।

दो प्राकृतिक संख्याओं के शेष या यूक्लिडियन डिवीजन के साथ विभाजन एक पूर्णांक भागफल प्रदान करता है, जो कि दूसरी संख्या पूरी तरह से पहले संख्या में निहित है, और शेष, जो पहले संख्या का हिस्सा है, भागफल की गणना के दौरान, दूसरी संख्या के आकार का कोई हिस्सा आवंटित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 21 सेब को 4 लोगों के बीच विभाजित किया जाता है, तो सभी को फिर से 5 सेब मिलते हैं, और 1 सेब बचा रहता है।

विभाजन के लिए हमेशा एक भागफल के बजाय एक संख्या प्राप्त करने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को परिमेय संख्या या वास्तविक संख्या तक बढ़ाया जाना चाहिए। इन बढ़े हुए संख्या प्रणालियों में, विभाजन गुणन के लिए उलटा संचालन है, अर्थात $a = c / b$ का अर्थ है $a \times b = c$ , जब तक कि $b$ शून्य नहीं हो। यदि $b = 0$ , फिर यह शून्य द्वारा एक विभाजन है, जिसे परिभाषित नहीं किया गया है।^{[lower-alpha 1]}^[4]^: 246 21 सेब के उदाहरण में, सभी को 5 सेब और एक सेब का एक चौथाई हिस्सा मिलेगा, इस प्रकार किसी भी बचे हुए से बचा जा सकता है।

विभाजन के दोनों रूप विभिन्न बीजीय संरचनाओं में दिखाई देते हैं, गणितीय संरचना को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं। जिनमें एक यूक्लिडियन विभाजन (शेष के साथ) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें यूक्लिडियन डोमेन कहा जाता है और इसमें एक अनिश्चित (जो एकल-चर वाले सूत्रों पर गुणा और जोड़ को परिभाषित करते हैं) में बहुपद के छल्ले शामिल होते हैं। जिनमें सभी गैर-शून्य तत्वों द्वारा विभाजन (एक ही परिणाम के साथ) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें फ़ील्ड और विभाजन रिंग कहा जाता है। एक रिंग में जिन तत्वों के द्वारा विभाजन हमेशा संभव होता है, उन्हें इकाइयां (उदाहरण के लिए, पूर्णांक की रिंग में 1 और −1) कहा जाता है । बीजगणितीय संरचनाओं के लिए विभाजन का एक और सामान्यीकरण भागफल समूह है, जिसमें विभाजन का परिणाम एक संख्या के बजाय एक समूह होता है।

परिचय

विभाजन को देखने का सबसे सरल तरीका उद्धरण और विखंडन के संदर्भ में है: उद्धरण के दृष्टिकोण से, $20 / 5$ का अर्थ है 5 की संख्या जिसे 20 प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाना चाहिए। विभाजन के संदर्भ में, $20 / 5$ का अर्थ है 5 भागों में से प्रत्येक के आकार का मतलब है जिसमें आकार 20 का एक सेट विभाजित है।उदाहरण के लिए, 20 सेब चार सेब के पांच समूहों में विभाजित होते हैं, जिसका अर्थ है कि पांच से विभाजित बीस चार के बराबर है। इसे $20 / 5 = 4$ , या $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}20/5 = 4$ के रूप में दर्शाया गया है।^[2] जिसे विभाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, उसे भाज्य कहा जाता है और परिणाम को भागफल कहा जाता है। उदाहरण में, 20 भाज्य है, 5 विभाजक है, और 4 भागफल है।

अन्य बुनियादी संचालन के विपरीत, प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय कभी कुछ शेष होता है जो समान रूप से भाज्य में नहीं जाएगा;उदाहरण के लिए, $10 / 3$ के बाद 1 का शेषफल मिलता है, क्योंकि 10, 3 का गुणज नहीं है। कभी -कभी यह शेष भाग को एक भिन्नात्मक भाग के रूप में जोड़ा जाता है, इसलिए $10 / 3$ के बराबर है $3 + 1 / 3$ या $3.33...$ , लेकिन पूर्णांक डिवीजन के संदर्भ में, जहां संख्याओं का कोई भिन्नात्मक हिस्सा नहीं है, शेष को अलग से रखा जाता है (या असाधारण रूप से, छोड़ दिया जाता है)।^[5] जब शेष को एक अंश के रूप में रखा जाता है, तो यह एक परिमेय संख्या की ओर ले जाता है।सभी परिमेय संख्याओं का सेट पूर्णांक के सभी संभावित परिणामों के साथ पूर्णांक का विस्तार करके बनाया गया है।

गुणा और जोड़ के विपरीत, विभाजन क्रमविनिमेय नहीं है, जिसका अर्थ है कि $a / b$ हमेशा $b / a$ बराबर नहीं होता है।^[6] विभाजन भी सामान्य रूप से, साहचर्य में नहीं है, जिसका अर्थ है कि कई बार विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम परिणाम बदल सकता है।^[7] उदाहरण के लिए, $(24 / 6) / 2 = 2$ , लेकिन $24 / (6 / 2) = 8$ (जहां कोष्ठक का उपयोग इंगित करता है कि कोष्ठक के अंदर के संचालन कोष्ठक के बाहर संचालन से पहले किए जाते हैं)।

विभाजन को पारंपरिक रूप से वाम-सहयोगी माना जाता है। यदि एक पंक्ति में कई विभाजन हैं, तो गणना का क्रम बाएं से दाएं चला जाता है:^[8]^[9]

a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\;\neq \;a/(b/c)=(a\times c)/b.

विभाजन इ

[1]

[lower-alpha 1]

[4]

[2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ Line 32: / Line 32: @@
 {{further|Division sign}}
 [[File:Skjermbilete 2012-11-03 kl. 02.48.36.png|thumb|प्लस और माइनस।कराधान वर्ष 2010 के लिए «næringsoppgave 1» नामक एक आधिकारिक नॉर्वेजियन ट्रेडिंग स्टेटमेंट फॉर्म से एक अंश में माइनस साइन के एक प्रकार के रूप में इस्तेमाल किया गया एक ओबिलस का उपयोग किया गया।]]
-डिवीजन को अक्सर बीजगणित और विज्ञान में एक क्षैतिज रेखा के साथ विभाजक पर लाभांश रखकर दिखाया जाता है, जिसे उनके बीच एक अंश बार भी कहा जाता है।उदाहरण के लिए, बी द्वारा विभाजित एक के रूप में लिखा जा सकता है:
+विभाजन को अक्सर बीजगणित और विज्ञान में एक क्षैतिज रेखा के साथ विभाजक पर भाज्य रखकर दिखाया जाता है, जिसे  भिन्न बार भी कहा जाता है, के बीच रखकर दिखाया जाता है। उदाहरण के लिए, बी (b) द्वारा विभाजित एक (a) इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 :<math>\frac ab</math>
-जिसे जोर से पढ़ा जा सकता है जैसे कि बी या ए से अधिक बी को विभाजित करें।एक पंक्ति पर सभी को विभाजन को व्यक्त करने का एक तरीका लाभांश (या अंश) लिखना है, फिर एक स्लैश, फिर विभाजक (या भाजक), निम्नानुसार है:
+जिसे "डिवाइड ए बाय बी" या "ए ओवर बी" के रूप में भी पढ़ा जा सकता है। एक पंक्ति पर विभाजन को व्यक्त करने का एक तरीका है भाज्य  (या अंश) लिखना है, फिर एक स्लैश, फिर विभाजक (या भाजक), निम्नानुसार है:
 :<math>a/b</math>
-यह अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं में विभाजन को निर्दिष्ट करने का सामान्य तरीका है, क्योंकि इसे आसानी से ASCII वर्णों के एक सरल अनुक्रम के रूप में टाइप किया जा सकता है।(यह अमूर्त बीजगणित में भागफल वस्तुओं के लिए उपयोग किया जाने वाला एकमात्र संकेतन भी है।) कुछ गणितीय सॉफ़्टवेयर, जैसे कि MATLAB और GNU ऑक्टेव, ऑपरेंड को बैकस्लैश को डिवीजन ऑपरेटर के रूप में उपयोग करके रिवर्स ऑर्डर में लिखे जाने की अनुमति देता है:
+अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं में विभाजन को निर्दिष्ट करने का सामान्य तरीका है, क्योंकि इसे आसानी से '''ASCII''' वर्णों के एक सरल अनुक्रम के रूप में टाइप किया जा सकता है।(यह अमूर्त बीजगणित में भागफल वस्तुओं के लिए उपयोग किया जाने वाला एकमात्र संकेतन भी है।) कुछ गणितीय सॉफ़्टवेयर, जैसे कि MATLAB और GNU ऑक्टेव, विभाजन ऑपरेटर के रूप में बैकस्लैश का उपयोग करके ऑपरेंड को उल्टे क्रम में लिखने की अनुमति देते हैं:
 :<math>b\backslash a</math>
-इन दोनों रूपों के बीच एक टाइपोग्राफिक भिन्नता आधी एक ठोस (अंश स्लैश) का उपयोग करती है, लेकिन लाभांश को ऊंचा करती है और विभाजक को कम करती है:
+इन दोनों रूपों के बीच एक टाइपोग्राफिक भिन्नता आधी एक ठोस (अंश स्लैश) का उपयोग करती है, लेकिन भाज्य को बढ़ाती है और विभाजक को कम करती है:
 :<math>{}^{a}\!/{}_{b}</math>
-इनमें से किसी भी रूप का उपयोग अंश प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है।एक अंश एक विभाजन अभिव्यक्ति है जहां लाभांश और विभाजक दोनों पूर्णांक होते हैं (आमतौर पर अंश और भाजक कहा जाता है), और इस बात का कोई निहितार्थ नहीं है कि विभाजन का आगे मूल्यांकन किया जाना चाहिए।डिवीजन को दिखाने का एक दूसरा तरीका डिवीजन साइन का उपयोग करना है (is, जिसे ओबेलस के रूप में भी जाना जाता है, हालांकि इस शब्द के अतिरिक्त अर्थ हैं), इस तरह से अंकगणित में आम: इस तरह से:
+इनमें से किसी भी रूप का उपयोग अंश प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है। एक अंश एक विभाजन अभिव्यक्ति है जहां लाभांश और विभाजक दोनों पूर्णांक होते हैं (आमतौर पर अंश और भाजक कहा जाता है), और इस बात का कोई निहितार्थ नहीं है कि विभाजन का आगे मूल्यांकन किया जाना चाहिए।डिवीजन को दिखाने का एक दूसरा तरीका डिवीजन साइन का उपयोग करना है (is, जिसे ओबेलस के रूप में भी जाना जाता है, हालांकि इस शब्द के अतिरिक्त अर्थ हैं), इस तरह से अंकगणित में आम: इस तरह से:
 :<math>a \div b</math>
 यह रूप प्राथमिक अंकगणित को छोड़कर अनैतिक है।आईएसओ 80000-2-9.6 कहता है कि इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए।इस डिवीजन साइन का उपयोग अकेले डिवीजन ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, उदाहरण के लिए एक कैलकुलेटर की एक कुंजी पर एक लेबल के रूप में।ओबिलस को 1659 में स्विस गणितज्ञ जोहान राहन ने टुट्शे बीजगणित में पेश किया था।<ref name="Cajori">{{cite book|author=Cajori, Florian|title=A History of Mathematical Notations|url=https://archive.org/details/b29980343_0002|publisher=Open Court Pub. Co.|year=1929}}</ref>{{rp|211}} कुछ यूरोपीय देशों में घटाव को इंगित करने के लिए the प्रतीक का उपयोग किया जाता है, इसलिए इसके उपयोग को गलत समझा जा सकता है।

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