अभिन्न समीकरण: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(minor changes) |
No edit summary |
||
| Line 79: | Line 79: | ||
<math display="block">u(t,x) = g(t,x)+\int_0^x \int_0^{y} R(x,\xi, y, \eta) \, g(\xi, \eta) \, d\eta \, d\xi</math> | <math display="block">u(t,x) = g(t,x)+\int_0^x \int_0^{y} R(x,\xi, y, \eta) \, g(\xi, \eta) \, d\eta \, d\xi</math> | ||
जहां <math>R</math> K का रिज़ॉल्वेंट कर्नेल है।<ref name=":2" /> | जहां <math>R</math> K का रिज़ॉल्वेंट कर्नेल है।<ref name=":2" /> | ||
=== फ्रेडहोम-वोल्तेरा समीकरणों की अद्वितीयता और अस्तित्व प्रमेय === | === फ्रेडहोम-वोल्तेरा समीकरणों की अद्वितीयता और अस्तित्व प्रमेय === | ||
जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, एक VFIE का रूप है:<math display="block">u(t,x) = g(t,x)+(\mathcal{T}u)(t,x)</math> | जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, एक VFIE का रूप है:<math display="block">u(t,x) = g(t,x)+(\mathcal{T}u)(t,x)</math><math>x \in \Omega</math> और <math>\Omega</math> के साथ <math>\mathbb{R}^d</math> में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र होने के साथ टुकड़े की तरह चिकनी सीमा होती है।<ref name=":2" /> फ़्रेडहोल्म-वोल्तेर्रा इंटीग्रल ऑपरेटर <math>\mathcal{T} : C(I \times \Omega) \to C(I \times \Omega)</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<ref name=":2" /><math display="block">(\mathcal{T}u)(t,x) := \int_0^t \int_\Omega K(t,s,x,\xi) \, G(u(s, \xi)) \, d\xi \, ds.</math>ऐसे मामले में जहां कर्नेल K को <math>K(t,s,x,\xi) = k(t-s)H(x, \xi)</math> के रूप में लिखा जा सकता है, K को सकारात्मक मेमोरी कर्नेल कहा जाता है।<ref name=":2" /> इस बात को ध्यान में रखते हुए, अब हम निम्नलिखित प्रमेय को प्रस्तुत कर सकते हैं:<ref name=":2" />{{Math theorem | ||
| math_statement = यदि रैखिक VFIE इसके द्वारा दिया गया है: <math> u(t,x) = g(t,x) + \int_0^t \int_{\Omega} K(t,s,x,\xi) \, G(u (s, \xi)) \, d\xi \, ds </math> साथ में <math> (t,x) \in I \times \Omega </math> निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है: | | math_statement = यदि रैखिक VFIE इसके द्वारा दिया गया है: <math> u(t,x) = g(t,x) + \int_0^t \int_{\Omega} K(t,s,x,\xi) \, G(u (s, \xi)) \, d\xi \, ds </math> साथ में <math> (t,x) \in I \times \Omega </math> निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है: | ||
* <math>g \in C(I \times \Omega)</math>, और | * <math>g \in C(I \times \Omega)</math>, और | ||
* <math> K \in C(D \times \Omega^2) </math> जहाँ <math> D:= \{(t,s): 0 \leq s \leq t \leq T \} </math> और <math> \Omega^2 = \Omega \times \Omega</math> | * <math> K \in C(D \times \Omega^2) </math> जहाँ <math> D:= \{(t,s): 0 \leq s \leq t \leq T \} </math> और <math> \Omega^2 = \Omega \times \Omega</math> | ||
फिर VFIE के पास <math> u(t,x) = g(t,x)+\int_0^t \int_{\Omega} R(t,s,x,\xi) \, G(u(s, \xi)) \, d\xi \, ds </math> द्वारा दिया गया एक अनूठा समाधान <math> u \in C(I \times \Omega) </math> है जहां <math> R \in C(D \times \Omega^2) </math> को रिज़ॉल्वेंट कर्नेल कहा जाता है और कर्नेल <math> K </math> के लिए न्यूमैन श्रृंखला की सीमा द्वारा दिया जाता है और रिज़ॉल्वेंट समीकरण हल करता है: <math> R(t,s,x,\xi) = K(t,s,x,\xi)+\int_0^t \int_\Omega K(t,v,x,z) R(v,s,z,\xi) \, dz \, dv = K(t,s,x,\xi)+\int_0^t \int_\Omega R(t,v,x,z) K(v,s,z,\xi) \, dz \, dv </math> | |||
}} | }} | ||
| Line 143: | Line 142: | ||
{{further|Fredholm theory}}कुछ सजातीय रैखिक अभिन्न समीकरणों को आइगेनवैल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस की सातत्य सीमा के रूप में देखा जा सकता है। [[सूचकांक अंकन]] का उपयोग करते हुए, एक आइगेनवैल्यू समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है | {{further|Fredholm theory}}कुछ सजातीय रैखिक अभिन्न समीकरणों को आइगेनवैल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस की सातत्य सीमा के रूप में देखा जा सकता है। [[सूचकांक अंकन]] का उपयोग करते हुए, एक आइगेनवैल्यू समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है | ||
:<math> \sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i</math> | :<math> \sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i</math> | ||
जहां{{math|1='''M''' = [''M<sub>i,j</sub>'']}} एक मैट्रिक्स है, {{math|'''v'''}} इसका एक ईजेनवेक्टर है, और {{mvar|λ}} संबंधित आइगेनवैल्यू है। | |||
सातत्य सीमा | सातत्य सीमा लेते हुए, अर्थात असतत सूचकांकों {{mvar|i}} और {{mvar|j}} को निरंतर चर {{mvar|x}} और {{mvar|y}} से प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होता है | ||
:<math> \int K(x,y) \, \varphi(y) \, dy = \lambda \, \varphi(x),</math> | :<math> \int K(x,y) \, \varphi(y) \, dy = \lambda \, \varphi(x),</math> | ||
जहाँ {{mvar|j}} पर योग को {{mvar|y}} पर एक समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और मैट्रिक्स {{math|'''M'''}} और सदिश {{math|'''v'''}} को कर्नेल {{math|''K''(''x'', ''y'')}} और [[eigenfunction]] {{math|''φ''(''y'')}} द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। (इंटीग्रल पर सीमाएं {{mvar|j}} से अधिक योग की सीमाओं के अनुरूप तय की जाती हैं।) यह दूसरे प्रकार का एक रैखिक सजातीय फ्रेडहोम समीकरण देता है। | |||
सामान्य | सामान्य तौर पर, {{math|''K''(''x'', ''y'')}} सख्त अर्थों में एक समारोह के बजाय [[वितरण (गणित)|वितरण]] हो सकता है। यदि बंटन {{mvar|K}} को केवल बिंदु {{math|1=''x'' = ''y''}} पर समर्थन प्राप्त है, तो समाकल समीकरण एक विभेदक ईजेनफंक्शन समीकरण में बदल जाता है। | ||
सामान्य तौर पर, | सामान्य तौर पर, वोल्टेरा और फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण एकल अंतर समीकरण से उत्पन्न हो सकते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि इसके समाधान के डोमेन की सीमा पर किस प्रकार की शर्तें लागू होती हैं। | ||
== वीनर-हॉप इंटीग्रल समीकरण == | == वीनर-हॉप इंटीग्रल समीकरण == | ||
| Line 159: | Line 158: | ||
== हैमरस्टीन समीकरण == | == हैमरस्टीन समीकरण == | ||
एक हैमरस्टीन समीकरण फॉर्म का एक गैर-रैखिक प्रथम प्रकार का वोल्टेरा अभिन्न समीकरण है:<ref name=":2" /><math display="block">g(t) = \int_0^t K(t,s) \, G(s,y(s)) \, ds.</math>कुछ निश्चित नियमितता शर्तों के तहत, समीकरण दूसरे प्रकार के अंतर्निहित वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण के बराबर है:<ref name=":2" /><math display="block">G(t, y(t)) = g_1(t) - \int_0^t K_1(t,s) \, G(s,y(s)) \, ds</math>कहां:<math display="block">g_1(t) := \frac{g'(t)}{K(t,t)} \,\,\,\,\,\,\, \text{and} \,\,\,\,\,\,\, K_1(t,s) := -\frac{1}{K(t,t)} \frac{\partial K(t,s)}{\partial t}.</math>हालांकि समीकरण को ऑपरेटर के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जो निम्नलिखित ऑपरेटर की परिभाषा को प्रेरित करता है जिसे नॉनलाइनियर वोल्टेरा-हैमरस्टीन ऑपरेटर कहा जाता है:<ref name=":2" /><math display="block">(\mathcal{H}y)(t):= \int_0^t K(t,s) \, G(s, y(s)) \,ds</math> | एक हैमरस्टीन समीकरण फॉर्म का एक गैर-रैखिक प्रथम प्रकार का वोल्टेरा अभिन्न समीकरण है:<ref name=":2" /><math display="block">g(t) = \int_0^t K(t,s) \, G(s,y(s)) \, ds.</math>कुछ निश्चित नियमितता शर्तों के तहत, समीकरण दूसरे प्रकार के अंतर्निहित वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण के बराबर है:<ref name=":2" /><math display="block">G(t, y(t)) = g_1(t) - \int_0^t K_1(t,s) \, G(s,y(s)) \, ds</math>कहां:<math display="block">g_1(t) := \frac{g'(t)}{K(t,t)} \,\,\,\,\,\,\, \text{and} \,\,\,\,\,\,\, K_1(t,s) := -\frac{1}{K(t,t)} \frac{\partial K(t,s)}{\partial t}.</math>हालांकि समीकरण को ऑपरेटर के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जो निम्नलिखित ऑपरेटर की परिभाषा को प्रेरित करता है जिसे नॉनलाइनियर वोल्टेरा-हैमरस्टीन ऑपरेटर कहा जाता है:<ref name=":2" /><math display="block">(\mathcal{H}y)(t):= \int_0^t K(t,s) \, G(s, y(s)) \,ds</math>यहाँ <math>G:I \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> एक सहज कार्य है जबकि कर्नेल K निरंतर हो सकता है, अर्थात बंधा हुआ, या कमजोर रूप से एकवचन।<ref name=":2" />स ंबंधित दूसरे प्रकार के वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण को दूसरे प्रकार का वोल्टेरा-हैमरस्टीन इंटीग्रल इक्वेशन कहा जाता है, या संक्षेप में हैमरस्टीन समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref name=":2" /><math display="block">y(t)=g(t)+(\mathcal{H}y)(t) </math>कुछ अनुप्रयोगों में, फ़ंक्शन G की गैर-रैखिकता को केवल सेमी-लीनियर के रूप में माना जा सकता है:<ref name=":2" /><math display="block">G(s,y) = y+ H(s,y)</math>इस मामले में, हम निम्नलिखित अर्ध-रैखिक वोल्टेरा अभिन्न समीकरण:<ref name=":2" /><math display="block">y(t)=g(t)+(\mathcal{H}y)(t) = g(t) + \int_0^t K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))] \, ds</math>इस रूप में, हम अर्ध-रैखिक हैमरस्टीन अभिन्न समीकरण के लिए एक अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय बता सकते हैं।<ref name=":2" /> | ||
{{Math theorem | {{Math theorem | ||
| math_statement = | | math_statement = मान लीजिए कि अर्ध-रैखिक हैमरस्टीन समीकरण का एक अद्वितीय समाधान है <math> y\in C(I) </math> और <math> H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}</math > एक लिपशिट्ज निरंतर कार्य करें। तब इस समीकरण का हल इस रूप में लिखा जा सकता है: <math> y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s ,y(s))\,ds </math> जहां <math> y_{l}(t) </math> उपरोक्त समीकरण के रैखिक भाग के अद्वितीय समाधान को दर्शाता है और इसके द्वारा दिया जाता है: <math> y_{ l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds </math> with <math> R(t,s) </math> विलायक कर्नेल को दर्शाता है। | ||
}} | }} | ||
हम हैमरस्टीन समीकरण को एक अलग ऑपरेटर का उपयोग करके भी लिख सकते हैं जिसे निएमित्ज़की ऑपरेटर कहा जाता है, या प्रतिस्थापन ऑपरेटर, <math>\mathcal{N}</math> को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:<ref name=":2" /> <math display="block">(\mathcal{N} \phi )(t) := G(t, \phi(t))</math>इसके बारे में अधिक जानकारी इस पुस्तक के पृष्ठ 75 पर पाई जा सकती है।<ref name=":2" /> | |||
== अनुप्रयोग == | |||
कई अनुप्रयोगों में अभिन्न समीकरण महत्वपूर्ण हैं। जिन समस्याओं में अभिन्न समीकरणों का सामना करना पड़ता है उनमें [[विकिरण स्थानांतरण|रेडियेटिव ट्रांसफर]], और एक स्ट्रिंग, झिल्ली, या एक्सल का दोलन शामिल है। अवकलन समस्याओं को अवकल समीकरणों के रूप में भी हल किया जा सकता है। | |||
* [[जिवानांकिकी]] (खंडहर सिद्धांत<ref>{{Cite web|url=https://www.kent.ac.uk/smsas/personal/lb209/files/risk-notes-10.pdf|title=जोखिम सिद्धांत पर व्याख्यान नोट्स|date=2010}}</ref> ) | |||
*[[जिवानांकिकी]] (खंडहर सिद्धांत<ref>{{Cite web|url=https://www.kent.ac.uk/smsas/personal/lb209/files/risk-notes-10.pdf|title=जोखिम सिद्धांत पर व्याख्यान नोट्स|date=2010}}</ref>) | |||
* [[कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स]] | * [[कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स]] | ||
** [[सीमा तत्व विधि]] | ** [[सीमा तत्व विधि]] | ||
* [[उलटी समस्या]] | * [[उलटी समस्या]] | ||
** [[मार्चेंको समीकरण]] (उलटा बिखराव परिवर्तन) | ** [[मार्चेंको समीकरण]] (उलटा बिखराव परिवर्तन) | ||
* [[कूद प्रसार]] | * [[कूद प्रसार]] के तहत ऑप्शंस प्राइसिंग<ref>{{Cite journal|last=Sachs|first=E. W.|last2=Strauss|first2=A. K.|date=2008-11-01|title=वित्त में आंशिक पूर्णांक-विभेदक समीकरण का कुशल समाधान|journal=Applied Numerical Mathematics|volume=58|issue=11|pages=1687–1703|doi=10.1016/j.apnum.2007.11.002|issn=0168-9274}}</ref> | ||
* रेडिएटिव ट्रांसफर | * रेडिएटिव ट्रांसफर | ||
*विस्कोलोच | * विस्कोलोच | ||
*[[तरल यांत्रिकी]] | * [[तरल यांत्रिकी]] | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 13:45, 27 December 2022
गणित में, समाकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात फलन एक समाकल चिन्ह के अंतर्गत आता है।[1] गणितीय संकेतन में, समाकल समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
जहां आप पर अभिनय करने वाला एक अभिन्न संकारक है।[1] इसलिए, अभिन्न समीकरणों को अवकल समीकरणों के अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है जहां डेरिवेटिव वाले समीकरण के बजाय, समीकरण में अभिन्न शामिल हैं।[1] उपरोक्त सामान्य अभिन्न समीकरण के गणितीय रूप के साथ एक प्रत्यक्ष तुलना को एक अंतर समीकरण के सामान्य रूप के साथ देखा जा सकता है जिसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
जहां को ऑर्डर i के डिफरेंशियल ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है।[1] डिफरेंशियल और इंटीग्रल समीकरणों के बीच इस घनिष्ठ संबंध के कारण, कोई भी अक्सर दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है।[1] उदाहरण के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या को हल करने का एक तरीका अंतर समीकरण को इसकी सीमा शर्तों के साथ एक अभिन्न समीकरण में परिवर्तित करके और अभिन्न समीकरण को हल करना है।[1] इसके अलावा, क्योंकि कोई भी दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है, मैक्सवेल के समीकरणों जैसे भौतिक विज्ञान में अंतर समीकरणों में अक्सर एक एनालॉग इंटीग्रल और डिफरेंशियल फॉर्म होता है।[2] यह भी देखें, उदाहरण के लिए, ग्रीन का कार्य और फ्रेडहोम सिद्धांत।