मॉड्यूल (गणित): Difference between revisions
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=== प्रेरणा === | === प्रेरणा === | ||
सदिश स्थान में, | सदिश स्थान में, अदिशों का समुच्चय एक क्षेत्र होता है और अदिश गुणन द्वारा सदिशों पर कार्य करता है, जो वितरण नियम जैसे कुछ स्वयंसिद्धों के अधीन होता है। एक मॉड्यूल में, अदिशों को केवल एक वलय (गणित) आवश्यकता होती है, इसलिए मॉड्यूल अवधारणा एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। क्रमविनिमेय बीजगणित में, दोनों [[आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)|आदर्श (वलय सिद्धांत)]] और भागफल के वलय मॉड्यूल हैं, ताकि आदर्शों या भागफल के वलय के बारे में कई तर्कों को मॉड्यूल के बारे में एक ही तर्क में जोड़ा जा सके। गैर-क्रमविनिमेय बीजगणित में, बाएं आदर्शों, आदर्शों और मॉड्यूल के बीच का अंतर अधिक स्पष्ट हो जाता है, चूंकि कुछ वलयों-सैद्धांतिक स्थितियों को या तो बाएं आदर्शों या बाएं मॉड्यूल के बारे में व्यक्त किया जा सकता है।<!-- (semi)perfect rings for instance have a litany of "Foo is true for all left ideals iff foo is true for all finitely generated left ideals iff foo is true for all cyclic modules iff foo is true for all modules" --> | ||
मॉड्यूल के अधिकांश सिद्धांत में | |||
मॉड्यूल के अधिकांश सिद्धांत में [[अच्छी तरह से व्यवहार]] वाली वलय पर मॉड्यूल के दायरे में संभव के रूप में सदिश रिक्त स्थान के कई वांछनीय गुणों का विस्तार होता है, जैसे कि एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]]। चूंकि, सदिश रिक्त स्थान की तुलना में मॉड्यूल थोड़ा अधिक जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, सभी मॉड्यूल का [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] नहीं होता है, और यहां तक कि जो ऐसा करते है, [[मुफ्त मॉड्यूल]] के लिए, एक अद्वितीय रैंक की आवश्यकता नहीं होती है यदि अंतर्निहित वलय अपरिवर्तनीय आधार संख्या की स्थिति को पूरा नहीं करती है, जिसमें हमेशा एक (संभवतः अनंत) होता है। आधार जिसकी कार्डिनैलिटी तब अद्वितीय है। (इन अंतिम दो अभिकथनों को सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, लेकिन परिमित-आयामी रिक्त स्थान या कुछ अच्छी तरह से व्यवहार किए गए अनंत-आयामी रिक्त स्थान जैसे L<sup>''p''</sup> रिक्त स्थान के मामले में नहीं।) | |||
=== औपचारिक परिभाषा === | === औपचारिक परिभाषा === | ||
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संक्रिया · को अदिश गुणन कहते हैं। अक्सर प्रतीक · को छोड़ दिया जाता है, लेकिन इस लेख में हम इसका उपयोग करते हैं और आर में गुणन के लिए सन्निकटन आरक्षित रखते हैं। कोई भी लिख सकता है <sub>''R''</sub>एम इस बात पर जोर देने के लिए कि एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है। एक 'सही आर-मॉड्यूल' एम<sub>''R''</sub> एक ऑपरेशन के संदर्भ में इसी तरह परिभाषित किया गया है {{nowrap|· : ''M'' × ''R'' → ''M''}}. | संक्रिया · को अदिश गुणन कहते हैं। अक्सर प्रतीक · को छोड़ दिया जाता है, लेकिन इस लेख में हम इसका उपयोग करते हैं और आर में गुणन के लिए सन्निकटन आरक्षित रखते हैं। कोई भी लिख सकता है <sub>''R''</sub>एम इस बात पर जोर देने के लिए कि एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है। एक 'सही आर-मॉड्यूल' एम<sub>''R''</sub> एक ऑपरेशन के संदर्भ में इसी तरह परिभाषित किया गया है {{nowrap|· : ''M'' × ''R'' → ''M''}}. | ||
जिन लेखकों को [[एकात्मक बीजगणित]] होने के लिए | जिन लेखकों को [[एकात्मक बीजगणित]] होने के लिए वलय की आवश्यकता नहीं है, वे उपरोक्त परिभाषा में शर्त 4 को छोड़ देते हैं; वे यूनिटल लेफ्ट आर-मॉड्यूल के ऊपर परिभाषित संरचनाओं को कॉल करेंगे। इस लेख में, [[रिंग थ्योरी की शब्दावली|वलय थ्योरी की शब्दावली]] के अनुरूप, सभी वलय्स और मॉड्यूल्स को एकात्मक माना जाता है।<ref name="DummitFoote">{{cite book | title=सार बीजगणित| publisher=John Wiley & Sons, Inc. |author1=Dummit, David S. |author2=Foote, Richard M. |name-list-style=amp | year=2004 | location=Hoboken, NJ | isbn=978-0-471-43334-7}}</ref> | ||
An (R, S)-बिमॉड्यूल एक विनिमेय समूह है जिसमें R के तत्वों द्वारा · बाएं अदिश गुणा · और S के तत्वों द्वारा दाएं अदिश गुणा * दोनों शामिल हैं, इसे एक साथ एक बाएं R-मॉड्यूल और एक दाएं S-मॉड्यूल बनाते हैं, अतिरिक्त शर्त को पूरा करना {{nowrap|1=(''r'' · ''x'') ∗ ''s'' = ''r'' ⋅ (''x'' ∗ ''s'')}} आर में सभी आर के लिए, एम में एक्स, और एस में एस। | An (R, S)-बिमॉड्यूल एक विनिमेय समूह है जिसमें R के तत्वों द्वारा · बाएं अदिश गुणा · और S के तत्वों द्वारा दाएं अदिश गुणा * दोनों शामिल हैं, इसे एक साथ एक बाएं R-मॉड्यूल और एक दाएं S-मॉड्यूल बनाते हैं, अतिरिक्त शर्त को पूरा करना {{nowrap|1=(''r'' · ''x'') ∗ ''s'' = ''r'' ⋅ (''x'' ∗ ''s'')}} आर में सभी आर के लिए, एम में एक्स, और एस में एस। | ||
यदि आर [[क्रमविनिमेय अंगूठी]] है, तो बाएं आर-मॉड्यूल दाएं आर-मॉड्यूल के समान होते हैं और उन्हें केवल आर-मॉड्यूल कहा जाता है। | यदि आर [[क्रमविनिमेय अंगूठी|क्रमविनिमेय वलय]] है, तो बाएं आर-मॉड्यूल दाएं आर-मॉड्यूल के समान होते हैं और उन्हें केवल आर-मॉड्यूल कहा जाता है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
*यदि के एक क्षेत्र (गणित) है, तो के- | *यदि के एक क्षेत्र (गणित) है, तो के-सदिश रिक्त स्थान (के पर सदिश रिक्त स्थान) और के-मॉड्यूल समान हैं। | ||
*यदि K एक क्षेत्र है, और K[x] एक अविभाजित बहुपद वलय है, तो एक बहुपद वलय#Modules|K[x]-मॉड्यूल M, M पर x की एक अतिरिक्त क्रिया के साथ एक K-मॉड्यूल है जो की क्रिया के साथ संचार करता है एम पर के। दूसरे शब्दों में, एक के [एक्स] -मॉड्यूल एक के- | *यदि K एक क्षेत्र है, और K[x] एक अविभाजित बहुपद वलय है, तो एक बहुपद वलय#Modules|K[x]-मॉड्यूल M, M पर x की एक अतिरिक्त क्रिया के साथ एक K-मॉड्यूल है जो की क्रिया के साथ संचार करता है एम पर के। दूसरे शब्दों में, एक के [एक्स] -मॉड्यूल एक के-सदिश स्पेस एम है जो एम से एम के रैखिक मानचित्र के साथ संयुक्त है। इस उदाहरण के लिए एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से जेनरेट किए गए मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय को लागू करना दिखाता है वाजिब विहित रूप और [[जॉर्डन सामान्य रूप]] रूपों का अस्तित्व। | ||
*'जेड'-मॉड्यूल की अवधारणा एक विनिमेय समूह की धारणा से सहमत है। अर्थात्, प्रत्येक विनिमेय समूह एक अनोखे तरीके से पूर्णांक 'Z' के वलय पर एक मॉड्यूल है। के लिये {{nowrap|''n'' > 0}}, होने देना {{nowrap|1=''n'' ⋅ ''x'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x''}} (एन योग), {{nowrap|1=0 ⋅ ''x'' = 0}}, तथा {{nowrap|1=(−''n'') ⋅ ''x'' = −(''n'' ⋅ ''x'')}}. इस तरह के एक मॉड्यूल के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) की आवश्यकता नहीं है - मरोड़ वाले तत्वों वाले समूह नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, पूर्णांक अंकगणितीय 3 के समूह में, एक भी तत्व नहीं मिल सकता है जो एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट की परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि जब एक पूर्णांक जैसे 3 या 6 एक तत्व को गुणा करता है, तो परिणाम 0 होता है। हालाँकि, यदि कोई [[परिमित क्षेत्र]] को वलय के रूप में लिए गए परिमित क्षेत्र पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, यह एक सदिश स्थान है और इसका एक आधार है।) | *'जेड'-मॉड्यूल की अवधारणा एक विनिमेय समूह की धारणा से सहमत है। अर्थात्, प्रत्येक विनिमेय समूह एक अनोखे तरीके से पूर्णांक 'Z' के वलय पर एक मॉड्यूल है। के लिये {{nowrap|''n'' > 0}}, होने देना {{nowrap|1=''n'' ⋅ ''x'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x''}} (एन योग), {{nowrap|1=0 ⋅ ''x'' = 0}}, तथा {{nowrap|1=(−''n'') ⋅ ''x'' = −(''n'' ⋅ ''x'')}}. इस तरह के एक मॉड्यूल के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) की आवश्यकता नहीं है - मरोड़ वाले तत्वों वाले समूह नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, पूर्णांक अंकगणितीय 3 के समूह में, एक भी तत्व नहीं मिल सकता है जो एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट की परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि जब एक पूर्णांक जैसे 3 या 6 एक तत्व को गुणा करता है, तो परिणाम 0 होता है। हालाँकि, यदि कोई [[परिमित क्षेत्र]] को वलय के रूप में लिए गए परिमित क्षेत्र पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, यह एक सदिश स्थान है और इसका एक आधार है।) | ||
*दशमलव भिन्न (नकारात्मक सहित) पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल बनाते हैं। केवल [[सिंगलटन (गणित)]] रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट हैं, लेकिन कोई सिंगलटन नहीं है जो आधार के रूप में काम कर सके, इसलिए मॉड्यूल का कोई आधार नहीं है और कोई रैंक नहीं है। | *दशमलव भिन्न (नकारात्मक सहित) पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल बनाते हैं। केवल [[सिंगलटन (गणित)]] रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट हैं, लेकिन कोई सिंगलटन नहीं है जो आधार के रूप में काम कर सके, इसलिए मॉड्यूल का कोई आधार नहीं है और कोई रैंक नहीं है। | ||
*यदि R कोई वलय है और n एक प्राकृत संख्या है, तो [[कार्तीय गुणन]]फल R<sup>n</sup> यदि हम घटक-वार संचालन का उपयोग करते हैं, तो R के ऊपर बाएँ और दाएँ R-मॉड्यूल दोनों हैं। इसलिए कब {{nowrap|1=''n'' = 1}}, आर एक आर-मॉड्यूल है, जहां अदिश गुणा सिर्फ वलय गुणन है। मुकदमा {{nowrap|1=''n'' = 0}} तुच्छ आर-मॉड्यूल {0} उत्पन्न करता है जिसमें केवल इसकी पहचान तत्व होता है। इस प्रकार के मॉड्यूल को मुक्त मॉड्यूल कहा जाता है और यदि आर में अपरिवर्तनीय आधार संख्या है (उदाहरण के लिए कोई कम्यूटेटिव वलय या फ़ील्ड) संख्या n तो मुक्त मॉड्यूल का रैंक है। | *यदि R कोई वलय है और n एक प्राकृत संख्या है, तो [[कार्तीय गुणन]]फल R<sup>n</sup> यदि हम घटक-वार संचालन का उपयोग करते हैं, तो R के ऊपर बाएँ और दाएँ R-मॉड्यूल दोनों हैं। इसलिए कब {{nowrap|1=''n'' = 1}}, आर एक आर-मॉड्यूल है, जहां अदिश गुणा सिर्फ वलय गुणन है। मुकदमा {{nowrap|1=''n'' = 0}} तुच्छ आर-मॉड्यूल {0} उत्पन्न करता है जिसमें केवल इसकी पहचान तत्व होता है। इस प्रकार के मॉड्यूल को मुक्त मॉड्यूल कहा जाता है और यदि आर में अपरिवर्तनीय आधार संख्या है (उदाहरण के लिए कोई कम्यूटेटिव वलय या फ़ील्ड) संख्या n तो मुक्त मॉड्यूल का रैंक है। | ||
*यदि एम<sub>''n''</sub>(आर) की | *यदि एम<sub>''n''</sub>(आर) की वलय है {{nowrap|''n'' × ''n''}} [[मैट्रिक्स (गणित)]] एक वलय R के ऊपर, M एक M है<sub>''n''</sub>(आर) -मॉड्यूल, और ई<sub>''i''</sub> है {{nowrap|''n'' × ''n''}} 1 के साथ मैट्रिक्स {{nowrap|(''i'', ''i'')}}-प्रविष्टि (और शून्य कहीं और), फिर ई<sub>''i''</sub>एम एक आर-मॉड्यूल है, क्योंकि {{nowrap|1=''re''<sub>''i''</sub>''m'' = ''e''<sub>''i''</sub>''rm'' ∈ ''e''<sub>''i''</sub>''M''}}. तो एम आर-मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में टूट जाता है, {{nowrap|1=''M'' = ''e''<sub>1</sub>''M'' ⊕ ... ⊕ ''e''<sub>''n''</sub>''M''}}. इसके विपरीत, एक आर-मॉड्यूल एम दिया गया<sub>0</sub>, फिर एम<sub>0</sub><sup>⊕n</sup> एक एम है<sub>''n''</sub>(आर) -मॉड्यूल। वास्तव में, मॉड्यूल की श्रेणी | आर-मॉड्यूल की श्रेणी और एम की [[श्रेणी (गणित)]]।<sub>''n''</sub>(आर)-मॉड्यूल श्रेणियों के समकक्ष हैं। विशेष मामला यह है कि मॉड्यूल एम सिर्फ एक मॉड्यूल के रूप में आर है, फिर आर<sup>n</sup> एक एम है<sub>''n''</sub>(आर) -मॉड्यूल। | ||
*यदि एस एक [[खाली सेट]] [[सेट (गणित)]] है, एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है, और एम<sup>एस</sup> सभी कार्यों (गणित) का संग्रह है {{nowrap|''f'' : ''S'' → ''M''}}, फिर एम में जोड़ और अदिश गुणन के साथ<sup>S</sup> द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है {{nowrap|1=(''f'' + ''g'')(''s'') = ''f''(''s'') + ''g''(''s'')}} तथा {{nowrap|1=(''rf'')(''s'') = ''rf''(''s'')}}, एम<sup>एस</sup> एक बायां आर-मॉड्यूल है। सही आर-मॉड्यूल केस अनुरूप है। विशेष रूप से, यदि आर कम्यूटेटिव है तो आर-मॉड्यूल समरूपता का संग्रह {{nowrap|''h'' : ''M'' → ''N''}} (नीचे देखें) एक आर-मॉड्यूल है (और वास्तव में एन का एक सबमॉड्यूल है<sup>एम </सुप>). | *यदि एस एक [[खाली सेट]] [[सेट (गणित)]] है, एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है, और एम<sup>एस</sup> सभी कार्यों (गणित) का संग्रह है {{nowrap|''f'' : ''S'' → ''M''}}, फिर एम में जोड़ और अदिश गुणन के साथ<sup>S</sup> द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है {{nowrap|1=(''f'' + ''g'')(''s'') = ''f''(''s'') + ''g''(''s'')}} तथा {{nowrap|1=(''rf'')(''s'') = ''rf''(''s'')}}, एम<sup>एस</sup> एक बायां आर-मॉड्यूल है। सही आर-मॉड्यूल केस अनुरूप है। विशेष रूप से, यदि आर कम्यूटेटिव है तो आर-मॉड्यूल समरूपता का संग्रह {{nowrap|''h'' : ''M'' → ''N''}} (नीचे देखें) एक आर-मॉड्यूल है (और वास्तव में एन का एक सबमॉड्यूल है<sup>एम </सुप>). | ||
*यदि X एक [[चिकना कई गुना]] है, तो X से [[वास्तविक संख्या]]ओं तक के [[चिकना समारोह]] एक वलय C बनाते हैं<sup>∞</sup>(एक्स). एक्स पर परिभाषित सभी चिकनी [[वेक्टर क्षेत्र]] का सेट सी पर एक मॉड्यूल बनाता है<sup>∞</sup>(X), और इसी प्रकार [[टेंसर क्षेत्र]] और X पर [[विभेदक रूप]] भी करते हैं। आम तौर पर, किसी भी [[वेक्टर बंडल]] के सेक्शन C पर एक [[प्रक्षेपी मॉड्यूल]] बनाते हैं।<sup>∞</sup>(X), और हंस के प्रमेय द्वारा, प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल कुछ बंडल के अनुभागों के मॉड्यूल के लिए समरूप है; सी की श्रेणी (गणित)।<sup>∞</sup>(X)-मॉड्यूल और X के ऊपर सदिश बंडलों की श्रेणी श्रेणियों की समतुल्यता है। | *यदि X एक [[चिकना कई गुना]] है, तो X से [[वास्तविक संख्या]]ओं तक के [[चिकना समारोह]] एक वलय C बनाते हैं<sup>∞</sup>(एक्स). एक्स पर परिभाषित सभी चिकनी [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्र]] का सेट सी पर एक मॉड्यूल बनाता है<sup>∞</sup>(X), और इसी प्रकार [[टेंसर क्षेत्र]] और X पर [[विभेदक रूप]] भी करते हैं। आम तौर पर, किसी भी [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] के सेक्शन C पर एक [[प्रक्षेपी मॉड्यूल]] बनाते हैं।<sup>∞</sup>(X), और हंस के प्रमेय द्वारा, प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल कुछ बंडल के अनुभागों के मॉड्यूल के लिए समरूप है; सी की श्रेणी (गणित)।<sup>∞</sup>(X)-मॉड्यूल और X के ऊपर सदिश बंडलों की श्रेणी श्रेणियों की समतुल्यता है। | ||
*यदि आर कोई | *यदि आर कोई वलय है और मैं आर में कोई [[अंगूठी आदर्श|वलय आदर्श]] है, तो मैं एक बाएं आर-मॉड्यूल है, और आर में समान रूप से सही आदर्श दाएं आर-मॉड्यूल हैं। | ||
*यदि R एक वलय है, तो हम विपरीत वलय R को परिभाषित कर सकते हैं<sup>op</sup> जिसमें समान [[अंतर्निहित सेट]] और समान जोड़ ऑपरेशन है, लेकिन विपरीत गुणन: यदि {{nowrap|1=''ab'' = ''c''}} आर में, फिर {{nowrap|1=''ba'' = ''c''}} आर में<sup>ऑप</sup>। किसी भी बाएं आर-मॉड्यूल एम को तब आर पर एक सही मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है<sup>op</sup>, और R के ऊपर किसी भी दाएँ मॉड्यूल को R के ऊपर एक बायाँ मॉड्यूल माना जा सकता है<sup>ऑप</sup>। | *यदि R एक वलय है, तो हम विपरीत वलय R को परिभाषित कर सकते हैं<sup>op</sup> जिसमें समान [[अंतर्निहित सेट]] और समान जोड़ ऑपरेशन है, लेकिन विपरीत गुणन: यदि {{nowrap|1=''ab'' = ''c''}} आर में, फिर {{nowrap|1=''ba'' = ''c''}} आर में<sup>ऑप</sup>। किसी भी बाएं आर-मॉड्यूल एम को तब आर पर एक सही मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है<sup>op</sup>, और R के ऊपर किसी भी दाएँ मॉड्यूल को R के ऊपर एक बायाँ मॉड्यूल माना जा सकता है<sup>ऑप</sup>। | ||
* झूठे बीजगणित की शब्दावली # प्रतिनिधित्व सिद्धांत (सहयोगी बीजगणित) इसके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित पर मॉड्यूल हैं। | * झूठे बीजगणित की शब्दावली # प्रतिनिधित्व सिद्धांत (सहयोगी बीजगणित) इसके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित पर मॉड्यूल हैं। | ||
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; अंतिम रूप से उत्पन्न: एक आर-मॉड्यूल एम [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल]] है यदि बहुत सारे तत्व x मौजूद हैं<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> M में ऐसा है कि M का प्रत्येक तत्व वलय R से गुणांक वाले उन तत्वों का एक [[रैखिक संयोजन]] है। | ; अंतिम रूप से उत्पन्न: एक आर-मॉड्यूल एम [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल]] है यदि बहुत सारे तत्व x मौजूद हैं<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> M में ऐसा है कि M का प्रत्येक तत्व वलय R से गुणांक वाले उन तत्वों का एक [[रैखिक संयोजन]] है। | ||
; चक्रीय: एक मॉड्यूल को [[चक्रीय मॉड्यूल]] कहा जाता है यदि यह एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है। | ; चक्रीय: एक मॉड्यूल को [[चक्रीय मॉड्यूल]] कहा जाता है यदि यह एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है। | ||
; नि: शुल्क: एक नि: शुल्क मॉड्यूल | मुक्त आर-मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल है जिसका एक आधार है, या समकक्ष है, जो वलय आर की प्रतियों के मॉड्यूल के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए आइसोमोर्फिक है। ये ऐसे मॉड्यूल हैं जो | ; नि: शुल्क: एक नि: शुल्क मॉड्यूल | मुक्त आर-मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल है जिसका एक आधार है, या समकक्ष है, जो वलय आर की प्रतियों के मॉड्यूल के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए आइसोमोर्फिक है। ये ऐसे मॉड्यूल हैं जो सदिश रिक्त स्थान की तरह व्यवहार करते हैं। | ||
; प्रक्षेपी: प्रक्षेपी मॉड्यूल मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग हैं और उनके कई वांछनीय गुणों को साझा करते हैं। | ; प्रक्षेपी: प्रक्षेपी मॉड्यूल मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग हैं और उनके कई वांछनीय गुणों को साझा करते हैं। | ||
; इंजेक्शन: [[इंजेक्शन मॉड्यूल]] को प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के लिए दो तरह से परिभाषित किया गया है। | ; इंजेक्शन: [[इंजेक्शन मॉड्यूल]] को प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के लिए दो तरह से परिभाषित किया गया है। | ||
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; अविघटनीय: एक गैर-शून्य मॉड्यूल एक गैर-शून्य मॉड्यूल है जिसे दो गैर-शून्य सबमॉड्यूल के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रत्येक सरल मॉड्यूल अविघटनीय है, लेकिन ऐसे अविघटनीय मॉड्यूल हैं जो सरल नहीं हैं (जैसे [[वर्दी मॉड्यूल]])। | ; अविघटनीय: एक गैर-शून्य मॉड्यूल एक गैर-शून्य मॉड्यूल है जिसे दो गैर-शून्य सबमॉड्यूल के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रत्येक सरल मॉड्यूल अविघटनीय है, लेकिन ऐसे अविघटनीय मॉड्यूल हैं जो सरल नहीं हैं (जैसे [[वर्दी मॉड्यूल]])। | ||
; वफादार: एक [[वफादार मॉड्यूल]] एम वह है जहां प्रत्येक की कार्रवाई होती है {{nowrap|''r'' ≠ 0}} R में M पर nontrivial है (अर्थात {{nowrap|''r'' ⋅ ''x'' ≠ 0}} एम में कुछ एक्स के लिए)। समान रूप से, M का सर्वनाश (वलय थ्योरी) [[शून्य आदर्श]] है। | ; वफादार: एक [[वफादार मॉड्यूल]] एम वह है जहां प्रत्येक की कार्रवाई होती है {{nowrap|''r'' ≠ 0}} R में M पर nontrivial है (अर्थात {{nowrap|''r'' ⋅ ''x'' ≠ 0}} एम में कुछ एक्स के लिए)। समान रूप से, M का सर्वनाश (वलय थ्योरी) [[शून्य आदर्श]] है। | ||
; मरोड़-मुक्त: एक मरोड़-मुक्त मॉड्यूल एक | ; मरोड़-मुक्त: एक मरोड़-मुक्त मॉड्यूल एक वलय पर एक मॉड्यूल होता है जैसे कि 0 वलय के एक नियमित तत्व (गैर शून्य-विभाजक) द्वारा विलोपित एकमात्र तत्व है, समकक्ष {{nowrap|1=''rm'' = 0}} तात्पर्य {{nowrap|1=''r'' = 0}} या {{nowrap|1=''m'' = 0}}. | ||
; नोथेरियन: एक [[नोथेरियन मॉड्यूल]] एक मॉड्यूल है जो सबमॉड्यूल पर [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है, अर्थात, सबमॉड्यूल की प्रत्येक बढ़ती हुई श्रृंखला बारीक कई चरणों के बाद स्थिर हो जाती है। समान रूप से, प्रत्येक सबमॉड्यूल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है। | ; नोथेरियन: एक [[नोथेरियन मॉड्यूल]] एक मॉड्यूल है जो सबमॉड्यूल पर [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है, अर्थात, सबमॉड्यूल की प्रत्येक बढ़ती हुई श्रृंखला बारीक कई चरणों के बाद स्थिर हो जाती है। समान रूप से, प्रत्येक सबमॉड्यूल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है। | ||
; आर्टिनियन: एक [[आर्टिनियन मॉड्यूल]] एक मॉड्यूल है जो सबमॉड्यूल पर [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है, अर्थात, सबमॉड्यूल की प्रत्येक घटती श्रृंखला बारीक कई चरणों के बाद स्थिर हो जाती है। | ; आर्टिनियन: एक [[आर्टिनियन मॉड्यूल]] एक मॉड्यूल है जो सबमॉड्यूल पर [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है, अर्थात, सबमॉड्यूल की प्रत्येक घटती श्रृंखला बारीक कई चरणों के बाद स्थिर हो जाती है। | ||
; ग्रेडेड: एक [[वर्गीकृत मॉड्यूल]] प्रत्यक्ष योग के रूप में अपघटन के साथ एक मॉड्यूल है {{nowrap|1=''M'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''M''<sub>''x''</sub>}} एक [[वर्गीकृत अंगूठी]] पर {{nowrap|1=''R'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''R''<sub>''x''</sub>}} ऐसा है कि {{nowrap|''R''<sub>''x''</sub>''M''<sub>''y''</sub> ⊂ ''M''<sub>''x''+''y''</sub>}} सभी एक्स और वाई के लिए। | ; ग्रेडेड: एक [[वर्गीकृत मॉड्यूल]] प्रत्यक्ष योग के रूप में अपघटन के साथ एक मॉड्यूल है {{nowrap|1=''M'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''M''<sub>''x''</sub>}} एक [[वर्गीकृत अंगूठी|वर्गीकृत वलय]] पर {{nowrap|1=''R'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''R''<sub>''x''</sub>}} ऐसा है कि {{nowrap|''R''<sub>''x''</sub>''M''<sub>''y''</sub> ⊂ ''M''<sub>''x''+''y''</sub>}} सभी एक्स और वाई के लिए। | ||
; यूनिफ़ॉर्म: एक यूनिफ़ॉर्म मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल होता है जिसमें नॉनज़रो सबमॉड्यूल्स के सभी जोड़े नॉनज़रो इंटरसेक्शन होते हैं। | ; यूनिफ़ॉर्म: एक यूनिफ़ॉर्म मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल होता है जिसमें नॉनज़रो सबमॉड्यूल्स के सभी जोड़े नॉनज़रो इंटरसेक्शन होते हैं। | ||
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फ़ील्ड k पर समूह G का प्रतिनिधित्व समूह वलय k [G] पर एक मॉड्यूल है। | फ़ील्ड k पर समूह G का प्रतिनिधित्व समूह वलय k [G] पर एक मॉड्यूल है। | ||
यदि एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है, तो आर में एक तत्व आर की क्रिया को मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|''M'' → ''M''}} जो प्रत्येक x को rx (या सही मॉड्यूल के मामले में xr) भेजता है, और अनिवार्य रूप से विनिमेय समूह का एक [[समूह समरूपता]] है {{nowrap|(''M'', +)}}. एम के सभी समूह एंडोमोर्फिज्म के सेट को अंत के रूप में दर्शाया गया है<sub>'''Z'''</sub>(एम) और इसके अलावा और कार्य संरचना के तहत एक | यदि एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है, तो आर में एक तत्व आर की क्रिया को मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|''M'' → ''M''}} जो प्रत्येक x को rx (या सही मॉड्यूल के मामले में xr) भेजता है, और अनिवार्य रूप से विनिमेय समूह का एक [[समूह समरूपता]] है {{nowrap|(''M'', +)}}. एम के सभी समूह एंडोमोर्फिज्म के सेट को अंत के रूप में दर्शाया गया है<sub>'''Z'''</sub>(एम) और इसके अलावा और कार्य संरचना के तहत एक वलय बनाता है, और आर के एक वलय तत्व आर को अपनी क्रिया में भेजना वास्तव में आर से अंत तक एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है<sub>'''Z'''</sub>(एम)। | ||
ऐसा वलय होमोमोर्फिज्म {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} विनिमेय समूह एम पर आर का प्रतिनिधित्व कहा जाता है; बाएं आर-मॉड्यूल को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक और समतुल्य तरीका यह कहना है कि एक बाएं आर-मॉड्यूल एक विनिमेय समूह एम है जो इसके ऊपर आर के प्रतिनिधित्व के साथ है। ऐसा प्रतिनिधित्व {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} M पर R की वलय क्रिया भी कहा जा सकता है। | ऐसा वलय होमोमोर्फिज्म {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} विनिमेय समूह एम पर आर का प्रतिनिधित्व कहा जाता है; बाएं आर-मॉड्यूल को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक और समतुल्य तरीका यह कहना है कि एक बाएं आर-मॉड्यूल एक विनिमेय समूह एम है जो इसके ऊपर आर के प्रतिनिधित्व के साथ है। ऐसा प्रतिनिधित्व {{nowrap|''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')}} M पर R की वलय क्रिया भी कहा जा सकता है। | ||
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कोई [[मोटी हो जाओ]] पर मॉड्यूल पर भी विचार कर सकता है। वलय्स के ऊपर मॉड्यूल विनिमेय समूह हैं, लेकिन सेमीवलय्स पर मॉड्यूल केवल [[विनिमेय]] [[मोनोइड]]्स हैं। मॉड्यूल के अधिकांश अनुप्रयोग अभी भी संभव हैं। विशेष रूप से, किसी भी सेमीवलय एस के लिए, एस पर मैट्रिसेस एक सेमीवलय बनाते हैं, जिस पर एस से तत्वों के टुपल्स एक मॉड्यूल होते हैं (केवल इस सामान्यीकृत अर्थ में)। यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान से सेमीवलय को शामिल करते हुए सदिश स्थान की अवधारणा के एक और सामान्यीकरण की अनुमति देता है। | कोई [[मोटी हो जाओ]] पर मॉड्यूल पर भी विचार कर सकता है। वलय्स के ऊपर मॉड्यूल विनिमेय समूह हैं, लेकिन सेमीवलय्स पर मॉड्यूल केवल [[विनिमेय]] [[मोनोइड]]्स हैं। मॉड्यूल के अधिकांश अनुप्रयोग अभी भी संभव हैं। विशेष रूप से, किसी भी सेमीवलय एस के लिए, एस पर मैट्रिसेस एक सेमीवलय बनाते हैं, जिस पर एस से तत्वों के टुपल्स एक मॉड्यूल होते हैं (केवल इस सामान्यीकृत अर्थ में)। यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान से सेमीवलय को शामिल करते हुए सदिश स्थान की अवधारणा के एक और सामान्यीकरण की अनुमति देता है। | ||
निकट-अंगूठियों पर, निकट- | निकट-अंगूठियों पर, निकट-वलय मॉड्यूल पर विचार कर सकते हैं, मॉड्यूल के एक गैर-अबेलियन सामान्यीकरण।{{Citation needed|date=May 2015}} | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* ग्रुप वलय | * ग्रुप वलय | ||
* [[बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत)]] | * [[बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत)|बीजगणित (वलय सिद्धांत)]] | ||
* [[मॉड्यूल (मॉडल सिद्धांत)]] | * [[मॉड्यूल (मॉडल सिद्धांत)]] | ||
* [[मॉड्यूल स्पेक्ट्रम]] | * [[मॉड्यूल स्पेक्ट्रम]] | ||
* विनाशक ( | * विनाशक (वलय सिद्धांत) | ||
== टिप्पणियाँ == | == टिप्पणियाँ == | ||
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*सदिश स्थल | *सदिश स्थल | ||
*अदिश (गणित) | *अदिश (गणित) | ||
* | *वलय (गणित) | ||
*वितरण की जाने वाली संपत्ति | *वितरण की जाने वाली संपत्ति | ||
*क्रमविनिमेय बीजगणित | *क्रमविनिमेय बीजगणित | ||
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*समरूप बीजगणित | *समरूप बीजगणित | ||
*वितरण कानून | *वितरण कानून | ||
*भागफल की | *भागफल की वलय | ||
*पसंद का स्वयंसिद्ध | *पसंद का स्वयंसिद्ध | ||
*bimodule | *bimodule | ||
*बहुपद की | *बहुपद की वलय | ||
*रैखिक नक्शा | *रैखिक नक्शा | ||
*एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय | *एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय | ||
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*श्रेणियों की समानता | *श्रेणियों की समानता | ||
*समारोह (गणित) | *समारोह (गणित) | ||
*विपरीत | *विपरीत वलय | ||
*वलय समरूपता | *वलय समरूपता | ||
*सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित | *सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित | ||
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*सटीक क्रम | *सटीक क्रम | ||
*अपघटनीय मॉड्यूल | *अपघटनीय मॉड्यूल | ||
*विनाशक ( | *विनाशक (वलय सिद्धांत) | ||
*मरोड़ मुक्त मॉड्यूल | *मरोड़ मुक्त मॉड्यूल | ||
*शून्य भाजक | *शून्य भाजक | ||
*समूह की | *समूह की वलय | ||
*समारोह रचना | *समारोह रचना | ||
*पूर्वगामी श्रेणी | *पूर्वगामी श्रेणी | ||
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*शीफ (गणित) | *शीफ (गणित) | ||
*मॉड्यूल का पुलिंदा | *मॉड्यूल का पुलिंदा | ||
*पास के | *पास के वलय | ||
== बाहरी संबंध == | == बाहरी संबंध == | ||
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Revision as of 12:12, 15 December 2022
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