घातांक: Difference between revisions

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</math>

दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार <math>b^0</math> 1 के बराबर होना चाहिए। किसी <math>n</math> के लिए , <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math> दोनों पक्षों को <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है।

दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार हम यह व्युत्त्पन्न कर सकते हैं की <math>b^0</math>को 1 के बराबर होना चाहिए। किसी <math>n</math> के लिए, <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math> दोनों पक्षों को <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है।

~~यह तथ्य है कि~~ <math>b^1 = b</math> समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है।

<math>b^1 = b</math> यह तथ्य समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है।

नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math> होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा <math>b^{1}</math> को विभाजित करना <math>b^{-1} = 1 / b^1</math> देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम <math>b^1 = b</math> का उपयोग करके <math>b^{-1} = 1 / b</math> लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से <math>b^{-n} = 1 / b^n</math> लिखा जा सकता है।

भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math> <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है, <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>।

घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह(गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

[[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी ~~क्रिप्टोग्राफी।~~

[[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स|रासायनिक प्रतिक्रिया गतिविज्ञान]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी कूटलेखन।

== अंकन का इतिहास ==

शब्द घात({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के ~~बाद।~~<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, {{math|1=10''a'' · 10''b'' = 10''a''+''b''}}, की घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[~~वर्ग (बीजगणित)|~~वर्ग(बीजगणित)]] के लिए ~~'''~~धन~~'''~~(माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - ~~मुस्लिम~~, उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा(कबाह, घन) एक [[~~घन (बीजगणित)|~~घन(बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों ~~मीम~~(एम) और कफ(के) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>

शब्द घात({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद <ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, {{math|1=10''a'' · 10''b'' = 10''a''+''b''}} की घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)]] के लिए धन (माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुसलमानो ने , उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा (कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों mim (m) और kaf (k) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>

16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref>

[[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की शुरुआत की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक([[चौथी शक्ति|चौथी घात]]), सुरसॉलिड(पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब(छठा), दूसरा सुरसॉलिड(सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक(आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी घात को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है।

17वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला ~~जियोमेट्री~~ नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति ~~पुरःस्थापित~~ किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''2, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''3, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''2, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''3, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref>

17वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला ज्यामिति नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति प्रस्तावित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''2, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''3, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''2, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''3, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref>

कुछ गणितज्ञों(जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''3 + ''d''}}.

कुछ गणितज्ञों (जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''3 + ''d''}}.

एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> और ~~इनवोल्यूशन~~(गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> और प्रत्यावर्तन (गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

1748 में, [[लियोनहार्ड यूलर]] ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:{{blockquote|"घातांक या शक्ति पर विचार करें जिसमें घातांक स्वयं एक चर है। यह स्पष्ट है कि इस प्रकार की मात्राएँ [[बीजगणितीय फलन]] नहीं हैं, क्योंकि उनमें घातांक स्थिर होने चाहिए."<ref name="Euler_1748" /> }}

Line 53:

== शब्दावली ==

भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''2 = ''b'' · ''b''}} b वर्ग या b का वर्ग(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग {{math|''b''}} का क्षेत्रफल {{math|''b''2}} है .

भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''2 = ''b'' · ''b''}} b वर्ग या b का वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग {{math|''b''}} का क्षेत्रफल {{math|''b''2}} है .

इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''3 = ''b'' · ''b'' · ''b''}} b घन या b का घन(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई {{math|''b''}} वाले घन का आयतन {{math|''b''3}} है .

इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''3 = ''b'' · ''b'' · ''b''}} b घन या b का घन (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई {{math|''b''}} वाले घन का आयतन {{math|''b''3}} है .

जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} {{math|5}} बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक {{math|5}} है . यहां, {{math|243}} 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है।

Line 91:

सहज रूप से, <math>b^0</math> की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है।

{{math|00}} प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक घात पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} सामान्यतः <math>0^0,</math>को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|अधिक विवरण के लिए, देखें [[शून्य की घात शून्य]].}}

Line 98:

ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} है और अशून्य {{mvar|b}} धारण करता है:

:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" />

:0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत(<math>\infty</math>) के रूप में की जा सकती है .{{citation needed|date=November 2022}}

:0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत (<math>\infty</math>) के रूप में की जा सकती है .{{citation needed|date=November 2022}}

ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें).

ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें).

समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}}(उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग आव्यूह)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है

समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड|एकाभ]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}}(उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग आव्यूह)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है

=== पहचान और गुण ===

निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिका(गणित)]], प्रायः{{vanchor| प्रतिनिधि नियम}} कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align}

निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिका (गणित)]], प्रायः{{vanchor| प्रतिनिधि नियम}} कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align}

b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\

\left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\

(b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n

\end{align}</math>

जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=23 = 8 ≠ 32 = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(23)2 = 82 {{=}} 64}}, चूँकि {{math|2(32) {{=}} 29 {{=}} 512}}. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में [[क्रमिक घातांक]] के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे(या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/>(या बाया-सहयोगी)। अर्थात् ,

जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=23 = 8 ≠ 32 = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(23)2 = 82 {{=}} 64}}, चूँकि {{math|2(32) {{=}} 29 {{=}} 512}}. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में [[क्रमिक घातांक]] के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे (या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/>(या बाया-सहयोगी)। अर्थात् ,

:<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math>

जो, सामान्य रूप से, से अलग है

Line 120:

एक राशि की घात की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की घात से की जा सकती है

:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>

हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है(अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए यदि {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं(कभी-कभी {{math|^^}} के बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है।

हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए यदि {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी {{math|^^}} के बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है।

=== मिश्रित व्याख्या ===

गैर-नकारात्मक पूर्णांकों {{mvar|n}} तथा {{mvar|m}} के लिए, {{math|''n''''m''}} का मान है {{mvar|m}} तत्व के एक [[सेट (गणित)|समुच्चय(गणित)]] से {{mvar|n}} तत्वों का एक समुच्चय तक प्रकार्य(गणित) की संख्या है ( प्रमुख घातांक देखें)। ऐसे कार्यों को n-तत्व समुच्चय से m-टुपल्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है(या {{mvar|n}}-अक्षर वर्णमाला से {{mvar|m}}-अक्षर शब्द)। {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} के विशेष मूल्यों के लिए कुछ उदाहरण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

गैर-नकारात्मक पूर्णांकों {{mvar|n}} तथा {{mvar|m}} के लिए, {{math|''n''''m''}} का मान है {{mvar|m}} तत्व के एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] से {{mvar|n}} तत्वों का एक समुच्चय तक प्रकार्य(गणित) की संख्या है ( प्रमुख घातांक देखें)। ऐसे कार्यों को n-तत्व समुच्चय से m-टुपल्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (या {{mvar|n}}-अक्षर वर्णमाला से {{mvar|m}}-अक्षर शब्द)। {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} के विशेष मूल्यों के लिए कुछ उदाहरण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

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संख्या प्रणाली में आधार दस([[दशमलव]]), के पूर्णांक घातांक {{math|10}} अंक {{math|1}} के रूप में घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} तथा {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}.

संख्या प्रणाली में आधार दस ([[दशमलव]]), के पूर्णांक घातांक {{math|10}} अंक {{math|1}} के रूप में घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} तथा {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}.

आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}}(निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}.

आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}} (निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}.

[[एसआई उपसर्ग|SI उपसर्ग]] की घात के आधार पर {{math|10}} छोटी या बड़ी मात्रा का वर्णन करने के लिए भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपसर्ग [[किलो-]] का अर्थ है {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, तो एक किलोमीटर है {{val|1000|u=metres}}.

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===={{anchor|Base 2}}दो की घात ====

{{math|2}} की पहली नकारात्मक घात सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: [[एक आधा]] और [[~~4 (संख्या)|~~4(संख्या)]]।

{{math|2}} की पहली नकारात्मक घात सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: [[एक आधा]] और [[4 (संख्या)]]।

{{math|2}} की घात [[समुच्चय सिद्धान्त]] में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक समुच्चय के साथ {{math|''n''}} सदस्यों के पास एक घात समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें {{math|2''n''}} सदस्य होते हैं।

{{math|2}} की पूर्णांक घात परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। धनात्मक पूर्णांक घात 2n एक n- द्रव्यंक पूर्णांक युग्मक संख्या के लिए संभावित मानों की संख्या देता है; उदाहरण के लिए, एक अष्ट द्वंयक में {{math|1=28 = 256}} विभिन्न मान हो सकते हैं। [[बाइनरी संख्या प्रणाली|युग्मक संख्या प्रणाली]] किसी भी संख्या को घातों {{math|2}} के योग के रूप में व्यक्त करती है, और इसे एक युग्मक बिंदु द्वारा अलग किया गया अनुक्रम {{math|0}} तथा {{math|1}} के रूप में दर्शाता है,, {{math|1}} जहां {{math|2}} की घात को दर्शाता है जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है कि {{math|1}}: अऋणात्मक घातांक की कोटि है बिंदु {{math|1}} के बाईं ओर(से शुरू {{math|0}}), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

{{math|2}} की पूर्णांक घात परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। धनात्मक पूर्णांक घात 2n एक n- द्रव्यंक पूर्णांक युग्मक संख्या के लिए संभावित मानों की संख्या देता है; उदाहरण के लिए, एक अष्ट द्वंयक में {{math|1=28 = 256}} विभिन्न मान हो सकते हैं। [[बाइनरी संख्या प्रणाली|युग्मक संख्या प्रणाली]] किसी भी संख्या को घातों {{math|2}} के योग के रूप में व्यक्त करती है, और इसे एक युग्मक बिंदु द्वारा अलग किया गया अनुक्रम {{math|0}} तथा {{math|1}} के रूप में दर्शाता है,, {{math|1}} जहां {{math|2}} की घात को दर्शाता है जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है कि {{math|1}}: अऋणात्मक घातांक की कोटि है बिंदु {{math|1}} के बाईं ओर (से शुरू {{math|0}}), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

==== एक की घात ====

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====शून्य की घात==

यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} सकारात्मक है({{math|''n'' > 0}}), {{mvar|n}} शून्य की घात शून्य है: {{math|1=0''n'' = 0}}.

यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} सकारात्मक है ({{math|''n'' > 0}}), {{mvar|n}} शून्य की घात शून्य है: {{math|1=0''n'' = 0}}.

यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} नकारात्मक है({{math|''n'' < 0}}), {{mvar|n}}शून्य की घात {{math|0''n''}} अपरिभाषित है, क्योंकि यह बराबर होना चाहिए <math>1/0^{-n}</math> के साथ {{math|−''n'' > 0}}, और यह <math>1/0</math> उपरोक्त के अनुसार होगा।

यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} नकारात्मक है ({{math|''n'' < 0}}), {{mvar|n}}शून्य की घात {{math|0''n''}} अपरिभाषित है, क्योंकि यह बराबर होना चाहिए <math>1/0^{-n}</math> के साथ {{math|−''n'' > 0}}, और यह <math>1/0</math> उपरोक्त के अनुसार होगा।

शून्य की घात शून्य {{math|00}} या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, या इसे अपरिभाषित छोड़ दिया गया है।

Line 206:

यदि घातांक संख्या {{math|1}} की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है जैसा कि प्रतिपादक अनंत की ओर जाता है, तो जरूरी नहीं कि सीमा उपरोक्त में से एक हो। विशेष रूप से महत्वपूर्ण आवेष्टन है

:{{math|(1 + 1/''n'')''n'' → ''e''}} जैसा {{math|''n'' → ∞}}

देखना{{section link||घातीय कार्य}}नीचे।

देखना{{section link||घातीय कार्य}} नीचे।

अन्य सीमाएँ, विशेष रूप से वे अभिव्यक्तियाँ जो एक [[अनिश्चित रूप]] धारण करती हैं, नीचे {{section link||घातों की सीमा}} में वर्णित हैं ।

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=== घात प्रकार्य ===

[[File:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|घात के लिए कार्य करता है <math>n=1,3,5</math>]]

[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|<math>n=2,4,6</math> घात के लिए कार्य करता है ]]<math>f(x) = cx^n</math> रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर <math>c \ne 0</math>, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं।<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=थॉमस की कैलकुलस|date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref> जब <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>n \ge 1</math>, दो प्राथमिक परिवार मौजूद होते हैं: <math>n</math> सम के लिए, और <math>n</math> विषम के लिए। सामान्यतः <math>c > 0</math> के लिए, जब <math>n</math> सम है <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ <math>x</math> धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर प्रवृत्त होगा, और घटते हुए <math>x</math> सकारात्मक अनंत की ओर भी। सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^2</math>होता है,<math>n</math> के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण बढ़ता है।<ref name="कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> इस तरह की [[समरूपता]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} के साथ कार्य सम फलन कहलाता है।

[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|<math>n=2,4,6</math> घात के लिए कार्य करता है ]]<math>f(x) = cx^n</math> रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर <math>c \ne 0</math>, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं।<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=थॉमस की कैलकुलस|date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref> जब <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>n \ge 1</math>, दो प्राथमिक परिवार मौजूद होते हैं: <math>n</math> सम के लिए, और <math>n</math> विषम के लिए। सामान्यतः <math>c > 0</math> के लिए, जब <math>n</math> सम <math>f(x) = cx^n</math>है तो बढ़ने के साथ <math>x</math> धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर प्रवृत्त होगा, और घटते हुए <math>x</math> सकारात्मक अनंत की ओर भी। सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^2</math>होता है, <math>n</math> के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण बढ़ता है।<ref name="कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> इस तरह की [[समरूपता]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} के साथ कार्य सम फलन कहलाता है।

जब <math>n</math> विषम है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक <math>x</math> से नकारात्मक <math>x</math> के लिए उलट जाता है। <math>c > 0</math> के लिये , <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर भी <math>x</math> प्रवृत्त होगा, लेकिन घटने के साथ <math>x</math> नकारात्मक अनंतता की ओर प्रवृत्त होगा। विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^3</math> होता है ,<math>n</math> के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और <math>n=1</math> सभी समतलता खो देता है। इस तरह की समरूपता {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} के साथ कार्य करने को विषम फलन कहलाते हैं।

जब <math>n</math> विषम है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक <math>x</math> से नकारात्मक <math>x</math> के लिए उलट जाता है। <math>c > 0</math> के लिये , <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर भी <math>x</math> प्रवृत्त होगा, लेकिन घटने के साथ <math>x</math> नकारात्मक अनंतता की ओर प्रवृत्त होगा। विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^3</math> होता है ,<math>n</math> के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और <math>n=1</math> सभी समतलता खो देता है। इस तरह की समरूपता {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} के साथ कार्य करने को विषम फलन कहलाते हैं।

<math>c < 0</math> के लिये, प्रत्येक प्रकर्ण में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>

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 </math>
-दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार <math>b^0</math> 1 के बराबर होना चाहिए। किसी  <math>n</math> के लिए , <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math> दोनों पक्षों को <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है।
+दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार हम यह व्युत्त्पन्न कर सकते हैं की  <math>b^0</math>को 1 के बराबर होना चाहिए। किसी <math>n</math> के लिए, <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math> दोनों पक्षों को  <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है।
-यह तथ्य है कि <math>b^1 = b</math> समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है।
+<math>b^1 = b</math> यह तथ्य समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है।
-नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math> होना चाहिए।  दोनों पक्षों द्वारा <math>b^{1}</math> को विभाजित करना  <math>b^{-1} = 1 / b^1</math> देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम <math>b^1 = b</math> का उपयोग करके <math>b^{-1} = 1 / b</math> लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से <math>b^{-n} = 1 / b^n</math> लिखा जा सकता है।
+नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math> होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा <math>b^{1}</math> को विभाजित करना  <math>b^{-1} = 1 / b^1</math> देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम <math>b^1 = b</math> का उपयोग करके <math>b^{-1} = 1 / b</math> लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से <math>b^{-n} = 1 / b^n</math> लिखा जा सकता है।
-भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम  <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास  <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math>  <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए।  इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है,  <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है।  दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>।
+भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम  <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math>  <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए।  इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है,  <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>।
 घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह(गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।
-[[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी।
+[[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स|रासायनिक प्रतिक्रिया गतिविज्ञान]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी कूटलेखन।
 == अंकन का इतिहास ==
-शब्द घात({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद।<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे  सिद्ध किया, {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, की  घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)|वर्ग(बीजगणित)]] के लिए '''धन'''(माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुस्लिम, उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा(कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)|घन(बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों मीम(एम) और कफ(के) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>
+शब्द घात({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद <ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}} की घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)]] के लिए धन (माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुसलमानो ने , उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा (कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों mim (m) और kaf (k) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>
 वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref>
 [[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की शुरुआत की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक([[चौथी शक्ति|चौथी घात]]), सुरसॉलिड(पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब(छठा), दूसरा सुरसॉलिड(सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक(आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी घात को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है।
-वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति पुरःस्थापित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''<sup>2</sup>, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''<sup>3</sup>, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''<sup>2</sup>, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''<sup>3</sup>, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref>
+वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला ज्यामिति नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति प्रस्तावित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''<sup>2</sup>, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''<sup>3</sup>, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''<sup>2</sup>, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''<sup>3</sup>, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref>
-कुछ गणितज्ञों(जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}.
+कुछ गणितज्ञों (जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}.
-एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> और इनवोल्यूशन(गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
+एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> और प्रत्यावर्तन (गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
 में, [[लियोनहार्ड यूलर]] ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:{{blockquote|"घातांक या शक्ति पर विचार करें जिसमें घातांक स्वयं एक चर है। यह स्पष्ट है कि इस प्रकार की मात्राएँ [[बीजगणितीय फलन]] नहीं हैं, क्योंकि उनमें घातांक स्थिर होने चाहिए."<ref name="Euler_1748" /> }}
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 == शब्दावली ==
-भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}}  b वर्ग या b का वर्ग(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग {{math|''b''}} का क्षेत्रफल {{math|''b''<sup>2</sup>}} है .
+भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}}  b वर्ग या b का वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग {{math|''b''}} का क्षेत्रफल {{math|''b''<sup>2</sup>}} है .
-इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}}  b घन या b का घन(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई {{math|''b''}} वाले घन का आयतन {{math|''b''<sup>3</sup>}} है .
+इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}}  b घन या b का घन (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई {{math|''b''}} वाले घन का आयतन {{math|''b''<sup>3</sup>}} है .
 जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} {{math|5}} बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक {{math|5}} है . यहां, {{math|243}} 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है।
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 सहज रूप से, <math>b^0</math> की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है।
-{{math|0<sup>0</sup>}}  प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक  घात पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} सामान्यतः <math>0^0,</math>को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|अधिक विवरण के लिए, देखें  [[शून्य की घात शून्य]].}}
+{{math|0<sup>0</sup>}} प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक  घात पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} सामान्यतः <math>0^0,</math>को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|अधिक विवरण के लिए, देखें  [[शून्य की घात शून्य]].}}
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 ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} है और अशून्य {{mvar|b}} धारण करता है:
 :<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" />
-:0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत(<math>\infty</math>) के रूप में की जा सकती है .{{citation needed|date=November 2022}}
+:0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत (<math>\infty</math>) के रूप में की जा सकती है .{{citation needed|date=November 2022}}
-ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें).
+ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें).
-समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}}(उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग आव्यूह)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है
+समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड|एकाभ]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}}(उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग आव्यूह)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है
 === पहचान और गुण ===
 {{Redirect|सूचकांकों के नियम|घोड़ा|सूचकांकों के नियम(घोड़ा)}}
-निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिका(गणित)]], प्रायः{{vanchor| प्रतिनिधि  नियम}} कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align}
+निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिका (गणित)]], प्रायः{{vanchor| प्रतिनिधि  नियम}} कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align}
             b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
    \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\
         (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
 \end{align}</math>
-जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, चूँकि {{math|2<sup>(3<sup>2</sup>)</sup> {{=}} 2<sup>9</sup> {{=}} 512}}. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में [[क्रमिक घातांक]] के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे(या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/>(या  बाया-सहयोगी)।  अर्थात् ,
+जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, चूँकि {{math|2<sup>(3<sup>2</sup>)</sup> {{=}} 2<sup>9</sup> {{=}} 512}}. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में [[क्रमिक घातांक]] के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे (या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/>(या  बाया-सहयोगी)।  अर्थात् ,
 :<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math>
 जो, सामान्य रूप से, से अलग है
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 एक राशि की  घात की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की  घात से की जा सकती है
 :<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>
-हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है(अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए यदि {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के  परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं(कभी-कभी {{math|^^}} के  बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है।
+हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए यदि {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के  परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी {{math|^^}} के  बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है।
 === मिश्रित व्याख्या ===
 {{See also|#समुच्चय पर घातांक|l1=समुच्चय पर घातांक}}
-गैर-नकारात्मक पूर्णांकों  {{mvar|n}} तथा {{mvar|m}} के लिए, {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} का मान है  {{mvar|m}} तत्व के एक [[सेट (गणित)|समुच्चय(गणित)]] से {{mvar|n}} तत्वों का एक समुच्चय तक प्रकार्य(गणित) की संख्या है ( प्रमुख घातांक देखें)। ऐसे कार्यों को n-तत्व समुच्चय से m-टुपल्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है(या  {{mvar|n}}-अक्षर वर्णमाला से {{mvar|m}}-अक्षर शब्द)। {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}}  के विशेष मूल्यों के लिए कुछ उदाहरण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:
+गैर-नकारात्मक पूर्णांकों  {{mvar|n}} तथा {{mvar|m}} के लिए, {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} का मान है  {{mvar|m}} तत्व के एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] से {{mvar|n}} तत्वों का एक समुच्चय तक प्रकार्य(गणित) की संख्या है ( प्रमुख घातांक देखें)। ऐसे कार्यों को n-तत्व समुच्चय से m-टुपल्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (या  {{mvar|n}}-अक्षर वर्णमाला से {{mvar|m}}-अक्षर शब्द)। {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}}  के विशेष मूल्यों के लिए कुछ उदाहरण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:
 :{| class="wikitable"
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 {{Main|10 की घात}}
-संख्या प्रणाली में आधार दस([[दशमलव]]), के पूर्णांक घातांक {{math|10}} अंक {{math|1}} के रूप में घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} तथा {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}.
+संख्या प्रणाली में आधार दस ([[दशमलव]]), के पूर्णांक घातांक {{math|10}} अंक {{math|1}} के रूप में घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} तथा {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}.
-आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}}(निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}.
+आधार के साथ घातांक {{math|[[10 (number)|10]]}} बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए [[वैज्ञानिक संकेत]]न में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{val|299792458|u=m/s}} (निर्वात में प्रकाश की गति, [[मीटर प्रति सेकंड]] में) के रूप में लिखा जा सकता है {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} और फिर [[सन्निकटन]] के रूप में {{val|2.998|e=8|u=m/s}}.
 [[एसआई उपसर्ग|SI उपसर्ग]] की घात के आधार पर {{math|10}} छोटी या बड़ी मात्रा का वर्णन करने के लिए भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपसर्ग [[किलो-]] का अर्थ है {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, तो एक किलोमीटर है {{val|1000|u=metres}}.
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 ===={{anchor|Base 2}}दो की घात ====
 {{Main|Power of two}}
-{{math|2}} की पहली नकारात्मक घात सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: [[एक आधा]] और [[4 (संख्या)|4(संख्या)]]।
+{{math|2}} की पहली नकारात्मक घात सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: [[एक आधा]] और [[4 (संख्या)]]।
 {{math|2}} की घात [[समुच्चय सिद्धान्त]] में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक समुच्चय के साथ {{math|''n''}} सदस्यों के पास एक घात समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें {{math|2<sup>''n''</sup>}} सदस्य होते हैं।
-{{math|2}} की पूर्णांक घात परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। धनात्मक पूर्णांक घात 2n एक n- द्रव्यंक पूर्णांक युग्मक संख्या के लिए संभावित मानों की संख्या देता है; उदाहरण के लिए, एक अष्ट द्वंयक में {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} विभिन्न मान हो सकते हैं। [[बाइनरी संख्या प्रणाली|युग्मक संख्या प्रणाली]] किसी भी संख्या को घातों {{math|2}} के योग के रूप में व्यक्त करती है, और इसे एक युग्मक बिंदु द्वारा अलग किया गया अनुक्रम {{math|0}} तथा {{math|1}} के रूप में दर्शाता है,, {{math|1}} जहां {{math|2}} की घात को दर्शाता है जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है कि {{math|1}}: अऋणात्मक घातांक की कोटि है बिंदु {{math|1}} के बाईं ओर(से शुरू {{math|0}}), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
+{{math|2}} की पूर्णांक घात परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। धनात्मक पूर्णांक घात 2n एक n- द्रव्यंक पूर्णांक युग्मक संख्या के लिए संभावित मानों की संख्या देता है; उदाहरण के लिए, एक अष्ट द्वंयक में {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} विभिन्न मान हो सकते हैं। [[बाइनरी संख्या प्रणाली|युग्मक संख्या प्रणाली]] किसी भी संख्या को घातों {{math|2}} के योग के रूप में व्यक्त करती है, और इसे एक युग्मक बिंदु द्वारा अलग किया गया अनुक्रम {{math|0}} तथा {{math|1}} के रूप में दर्शाता है,, {{math|1}} जहां {{math|2}} की घात को दर्शाता है जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है कि {{math|1}}: अऋणात्मक घातांक की कोटि है बिंदु {{math|1}} के बाईं ओर (से शुरू {{math|0}}), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
 ==== एक की घात ====
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 ====शून्य की घात==
-यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} सकारात्मक है({{math|''n'' > 0}}), {{mvar|n}} शून्य की घात शून्य है: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}.
+यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} सकारात्मक है ({{math|''n'' > 0}}), {{mvar|n}} शून्य की घात शून्य है: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}.
-यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} नकारात्मक है({{math|''n'' < 0}}),  {{mvar|n}}शून्य की घात {{math|0<sup>''n''</sup>}} अपरिभाषित है, क्योंकि यह बराबर होना चाहिए <math>1/0^{-n}</math> के साथ {{math|−''n'' > 0}}, और यह  <math>1/0</math> उपरोक्त के अनुसार होगा।
+यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} नकारात्मक है ({{math|''n'' < 0}}),  {{mvar|n}}शून्य की घात {{math|0<sup>''n''</sup>}} अपरिभाषित है, क्योंकि यह बराबर होना चाहिए <math>1/0^{-n}</math> के साथ {{math|−''n'' > 0}}, और यह  <math>1/0</math> उपरोक्त के अनुसार होगा।
 शून्य की घात शून्य {{math|0<sup>0</sup>}} या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, या इसे अपरिभाषित छोड़ दिया गया है।
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 यदि घातांक संख्या {{math|1}} की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है जैसा कि प्रतिपादक अनंत की ओर जाता है, तो जरूरी नहीं कि सीमा उपरोक्त में से एक हो। विशेष रूप से महत्वपूर्ण आवेष्टन है
 :{{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} जैसा {{math|''n'' → ∞}}
-देखना{{section link||घातीय कार्य}}नीचे।
+देखना{{section link||घातीय कार्य}} नीचे।
 अन्य सीमाएँ, विशेष रूप से वे अभिव्यक्तियाँ जो एक [[अनिश्चित रूप]] धारण करती हैं, नीचे {{section link||घातों की सीमा}} में वर्णित हैं  ।
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 === घात प्रकार्य ===
 [[File:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|घात के लिए कार्य करता है <math>n=1,3,5</math>]]
-[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|<math>n=2,4,6</math> घात के लिए कार्य करता है ]]<math>f(x) = cx^n</math> रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर <math>c \ne 0</math>, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं।<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=थॉमस की कैलकुलस|date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref> जब <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>n \ge 1</math>, दो प्राथमिक परिवार मौजूद होते हैं: <math>n</math> सम के लिए, और <math>n</math> विषम के लिए। सामान्यतः <math>c > 0</math> के लिए, जब <math>n</math> सम है <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ <math>x</math> धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर प्रवृत्त होगा, और घटते हुए <math>x</math> सकारात्मक अनंत की ओर भी। सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^2</math>होता है,<math>n</math> के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण बढ़ता है।<ref name="कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> इस तरह की [[समरूपता]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} के साथ कार्य सम फलन कहलाता है।
+[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|<math>n=2,4,6</math> घात के लिए कार्य करता है ]]<math>f(x) = cx^n</math> रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर <math>c \ne 0</math>, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं।<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=थॉमस की कैलकुलस|date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref> जब <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>n \ge 1</math>, दो प्राथमिक परिवार मौजूद होते हैं: <math>n</math> सम के लिए, और <math>n</math> विषम के लिए। सामान्यतः <math>c > 0</math> के लिए, जब <math>n</math> सम <math>f(x) = cx^n</math>है तो  बढ़ने के साथ <math>x</math> धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर प्रवृत्त होगा, और घटते हुए <math>x</math> सकारात्मक अनंत की ओर भी। सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^2</math>होता है, <math>n</math> के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण बढ़ता है।<ref name="कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> इस तरह की [[समरूपता]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} के साथ कार्य सम फलन कहलाता है।
-जब <math>n</math> विषम है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक <math>x</math> से नकारात्मक <math>x</math> के लिए उलट जाता है। <math>c > 0</math> के लिये , <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर भी <math>x</math> प्रवृत्त होगा, लेकिन घटने के साथ <math>x</math> नकारात्मक अनंतता की ओर प्रवृत्त होगा। विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^3</math> होता है ,<math>n</math>  के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और <math>n=1</math> सभी समतलता खो देता है। इस तरह की समरूपता {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} के साथ कार्य करने को विषम फलन कहलाते हैं।
+जब <math>n</math> विषम है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक <math>x</math> से नकारात्मक <math>x</math> के लिए उलट जाता है। <math>c > 0</math> के लिये , <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर भी <math>x</math> प्रवृत्त होगा, लेकिन घटने के साथ <math>x</math> नकारात्मक अनंतता की ओर प्रवृत्त होगा। विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^3</math> होता है ,<math>n</math>  के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और <math>n=1</math> सभी समतलता खो देता है। इस तरह की समरूपता {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} के साथ कार्य करने को विषम फलन कहलाते हैं।
 <math>c < 0</math> के लिये, प्रत्येक प्रकर्ण में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
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