घातांक: Difference between revisions

$b n$
bn
अंकन पद्धति
	आधार b तथा प्रतिपादक n

Revision as of 12:54, 3 December 2022

File:Expo02.svg

के रेखांकन

y = b x

विभिन्न आधारों के लिए b: base 10, base e, base 2, base 12. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है

(0, 1)

क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है

x = 1

, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,^[1] जिसे $b n$ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , $b^{n}$ $n$ की घटनाएं $b$ है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

{\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}

दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार

b^{0}

1 के बराबर होना चाहिए। किसी

n

के लिए ,

b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}

. दोनों पक्षों को

[1]

@@ Line 371: / Line 371: @@
 जटिल लघुगणक का मुख्य मान <math>z=0</math> के लिए परिभाषित नहीं है। यह {{mvar|z}} के ऋणात्मक वास्तविक मानों पर सतत फलन है, और यह कहीं और [[होलोमार्फिक|पूर्णसममितिक]] है (अर्थात, जटिल विभेदक)। यदि {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है, जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य प्राकृतिक लघुगणक है<math>\log z=\ln z.</math>
-<math>z^w</math> का मुख्य मूल्य  की तरह परिभाषित किया गया है।कहाँ पे <math>\log z</math> लघुगणक का मुख्य मान है।
+<math>z^w</math> का मुख्य मूल्य  <math>z^w=e^{w\log z}</math> की तरह परिभाषित किया गया है। जहाँ <math>\log z</math> लघुगणक का मुख्य मान है।
   <math>z^w=e^{w\log z},</math>
-कार्यक्रम <math>(z,w)\to z^w</math> बिंदुओं के पड़ोस को छोड़कर होलोमोर्फिक है {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है।
-यदि {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है, का प्रमुख मूल्य <math>z^w</math> इसके ऊपर परिभाषित सामान्य मूल्य के बराबर है। यदि <math>w=1/n,</math> कहाँ पे {{mvar|n}} एक पूर्णांक है, यह मुख्य मान वही है जो ऊपर परिभाषित किया गया है।
+प्रकार्य <math>(z,w)\to z^w</math> बिंदुओं के  प्रतिवैस को छोड़कर पूर्णसममितिक है जहाँ {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है।
+यदि {{mvar|z}} वास्तविक और सकारात्मक है, <math>z^w</math> का प्रमुख मूल्य  इसके ऊपर परिभाषित सामान्य मूल्य के बराबर है। यदि <math>w=1/n,</math> कहाँ पे {{mvar|n}} एक पूर्णांक है, यह मुख्य मान वही है जो ऊपर परिभाषित किया गया है।
 ====बहुमूल्य समारोह ====
@@ Line 389: / Line 390: @@
 यदि <math>w=\frac mn</math> के साथ एक परिमेय संख्या है {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} कोप्राइम के साथ पूर्णांक <math>n>0,</math> फिर <math>z^w</math> बिल्कुल है {{mvar|n}} मान। यदि <math>m=1,</math> ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के #nवें मूल में वर्णित हैं|§ {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या की वें वर्गमूलें। यदि {{mvar|w}} एक पूर्णांक है, केवल एक मान है जो इससे सहमत है {{slink||Integer exponents}}.
-बहुविकल्पी घातांक के लिए होलोमोर्फिक है <math>z\ne 0,</math> इस अर्थ में कि किसी प्रकार्य के ग्राफ़ में कई शीट होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक होलोमोर्फिक प्रकार्य को परिभाषित करते हैं। यदि {{mvar|z}} चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार बदलता रहता है {{math|0}}, फिर, एक मोड़ के बाद, का मान <math>z^w</math> चादर बदली है।
+बहुविकल्पी घातांक के लिए पूर्णसममितिक है <math>z\ne 0,</math> इस अर्थ में कि किसी प्रकार्य के ग्राफ़ में कई शीट होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक पूर्णसममितिक प्रकार्य को परिभाषित करते हैं। यदि {{mvar|z}} चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार बदलता रहता है {{math|0}}, फिर, एक मोड़ के बाद, का मान <math>z^w</math> चादर बदली है।
 ==== गणना ====

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