घातांक: Difference between revisions
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'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है | '''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है | ||
<math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | <math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | ||
प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस | प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है। | ||
ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं <math>b</math> है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: | ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं <math>b</math> है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: | ||
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पहचान को विस्तारित करने के लिए इन सभी परिभाषाओं की आवश्यकता <math>(x^r)^s = x^{rs}</math> तर्कसंगत घातांक के लिए है। | पहचान को विस्तारित करने के लिए इन सभी परिभाषाओं की आवश्यकता <math>(x^r)^s = x^{rs}</math> तर्कसंगत घातांक के लिए है। | ||
दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या {{mvar|n}} वर्गमूल होती है, जो ऋणात्मक है, यदि {{mvar|n}} [[विषम संख्या]] है, और यदि कोई वास्तविक मूल नहीं है {{mvar|n}} सम है। बाद के | दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या {{mvar|n}} वर्गमूल होती है, जो ऋणात्मक है, यदि {{mvar|n}} [[विषम संख्या]] है, और यदि कोई वास्तविक मूल नहीं है {{mvar|n}} सम है। बाद के प्रकर्ण में, जो भी जटिल हो {{mvar|n}} वह रूट जिसके लिए कोई <math>x^\frac 1n,</math> चुनता है पहचान <math>(x^a)^b=x^{ab}</math> संतुष्ट नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math> | :<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math> | ||
देखना {{slink|| यथार्थ प्रतिपादक}} तथा {{slink||सम्मिश्र संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात}} विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है। | देखना {{slink|| यथार्थ प्रतिपादक}} तथा {{slink||सम्मिश्र संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात}} विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है। | ||
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=== लघुगणक के माध्यम से घातयाँ === | === लघुगणक के माध्यम से घातयाँ === | ||
{{math|''e''<sup>''x''</sup>}} की परिभाषा | घातांकी प्रकार्य के रूप में {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} की परिभाषा प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|b}} के लिए {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} को चरघातांकी और लघुगणक फलन के संदर्भ में परिभाषित करने की अनुमति देती है। विशेष रूप से, तथ्य यह है कि [[प्राकृतिक]] लघुगणक {{math|ln(''x'')}} चरघातांकी फलन {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} का प्रतिलोम फलन है इसका तात्पर्य है कि किसी के पास निम्न है: | ||
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math> | : <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math> | ||
प्रत्येक {{math|''b'' > 0}} के लिए, <math>(e^x)^y=e^{xy}</math> पहचान को सुरक्षित रखने के लिए किसी के पास निम्न होना चाहिए: | |||
:<math>b^x=\left(e^{\ln b} \right)^x = e^{x \ln b}</math> | :<math>b^x=\left(e^{\ln b} \right)^x = e^{x \ln b}</math> | ||
किसी सकारात्मक वास्तविक {{mvar|b}} के लिए, {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में <math>e^{x \ln b}</math> उपयोग किया जा सकता है। किसी भी जटिल प्रतिपादक को सीधे विस्तार करने के लाभ के साथ, यह तर्कसंगत प्रतिपादकों और निरंतरता का उपयोग करते हुए ऊपर दी गई परिभाषा से सहमत है। | |||
== एक सकारात्मक वास्तविक आधार | === एक सकारात्मक वास्तविक आधार के साथ जटिल घातांक === | ||
यदि {{mvar|b}} एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, आधार के साथ घातांक {{mvar|b}} और जटिल संख्या | यदि {{mvar|b}} एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, आधार के साथ घातांक {{mvar|b}} और जटिल संख्या प्रतिपादक {{mvar|z}} जटिल तर्क के साथ घातीय कार्य के माध्यम से परिभाषित किया गया है (ऊपर {{slink|| घातांकी प्रकार्य}},का अंत देखें ) | ||
:<math>b^z = e^{(z\ln b)},</math> | :<math>b^z = e^{(z\ln b)},</math> के रूप में | ||
जहाँ पर <math>\ln b</math> के प्राकृतिक लघुगणक को {{mvar|b}} दर्शाता है: | |||
यह पहचान को संतुष्ट करता है | यह पहचान को संतुष्ट करता है | ||
:<math>b^{z+t} = b^z b^t,</math> | :<math>b^{z+t} = b^z b^t,</math> | ||
सामान्य रूप में, | सामान्य रूप में, | ||
<math | |||
<math display="inline">\left(b^z\right)^t</math> परिभाषित नहीं है, क्योंकि {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} वास्तविक संख्या नहीं है। यदि किसी के पास एक सम्मिश्र संख्या के घातांक का अर्थ दिया गया है (देखें {{slink||सम्मिश्र संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात}}, नीचे), सामान्यतः | |||
:<math>\left(b^z\right)^t \ne b^{zt},</math> | :<math>\left(b^z\right)^t \ne b^{zt},</math> | ||
जब तक {{mvar|z}} वास्तविक है या {{mvar|t}} एक पूर्णांक है। | जब तक {{mvar|z}} वास्तविक है या {{mvar|t}} एक पूर्णांक है। | ||
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यूलर का सूत्र, | यूलर का सूत्र, | ||
:<math>e^{iy} = \cos y + i \sin y,</math> | :<math>e^{iy} = \cos y + i \sin y,</math> | ||
के [[ध्रुवीय रूप]] को व्यक्त करने की अनुमति देता है <math>b^z</math> के [[वास्तविक और काल्पनिक भाग]] | के [[ध्रुवीय रूप]] को व्यक्त करने की अनुमति देता है <math>b^z</math> के {{mvar|z}} [[वास्तविक और काल्पनिक भाग|वास्तविक और काल्पनिक भागों]] के संदर्भ में , अर्थात् | ||
:<math>b^{x+iy}= b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),</math> | :<math>b^{x+iy}= b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),</math> | ||
जहां [[त्रिकोणमिति]] गुणक का निरपेक्ष मान एक है। इसका परिणाम है | जहां [[त्रिकोणमिति]] गुणक का निरपेक्ष मान एक है। इसका परिणाम है: | ||
:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math> | :<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math> | ||
=== जटिल संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात === | |||
पिछले अनुभागों में, गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक को केवल धनात्मक वास्तविक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। अन्य आधारों के लिए, स्पष्ट रूप से {{mvar|n}}वें मूल के सरल प्रकर्ण के साथ कठिनाइयाँ पहले से ही दिखाई देती हैं, अर्थात्, प्रतिपादकों की <math>1/n,</math> जहाँ पर {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। यद्यपि गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक {{mvar|n}}वें मूलका सामान्य सिद्धांत लागू होता है , इस प्रकर्ण पर पहले विचार किया जाना चाहिए, क्योंकि इसमें [[जटिल लघुगणक|जटिल लघुगणको]] का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, और इसलिए इसे समझना आसान है। | |||
= | === एक जटिल संख्या की {{mvar|n}}वें वर्गमूलें === | ||
हर अशून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} को ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है। | |||
हर अशून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} | |||
:<math>z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),</math> | :<math>z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),</math> | ||
जहाँ पर <math>\rho</math> का परम मूल्य {{mvar|z}} है, तथा <math>\theta</math> इसका तर्क है (जटिल विश्लेषण)। तर्क को एक पूर्णांक एकाधिक {{math|2{{pi}}}} [[तक]] परिभाषित किया गया है ; इसका मतलब है कि, अगर <math>\theta</math> एक सम्मिश्र संख्या का तर्क है, तब <math>\theta +2k\pi</math> समान सम्मिश्र संख्या का भी एक तर्क है। | |||
दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक का ध्रुवीय रूप | दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक सम्मिश्र संख्या के nवें मूल का ध्रुवीय रूप निरपेक्ष मान का nवां मूल लेकर और उसके तर्क को n से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
:<math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n | :<math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n</math> | ||
यदि <math>2\pi</math> | यदि <math>2\pi</math> को <math>\theta</math> में जोड़ा जाता है, तो जटिल संख्या नहीं बदली जाती है, लेकिन यह <math>2i\pi/n</math> जोड़ता है } nवें रूट के तर्क के लिए, और एक नया nवें रूट प्रदान करता है। यह संभव है {{mvar|n}} बार, और सम्मिश्र संख्या {{mvar|n}} की {{mvar|n}}वें मूल प्रदान करता है। | ||
इनमें से किसी एक को चुनना आम बात है {{mvar|n}} {{mvar|n}}मुख्य वर्गमूल के रूप में वें रूट। को चुनना आम बात है {{mvar|n}}जिसके लिए वर्गमूल <math>-\pi<\theta\le \pi,</math> वह यह है कि {{mvar|n}}वर्गमूल जिसका सबसे बड़ा वास्तविक भाग है, और, यदि वे दो हैं, तो सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह प्रिंसिपल बनाता है {{mvar|n}}[[रेडिकैंड]] के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों को छोड़कर, वें पूरे जटिल विमान में एक निरंतर कार्य करता है। यह कार्य सामान्य के बराबर है {{mvar|n}}धनात्मक वास्तविक मूलांक के लिए वें मूल। ऋणात्मक वास्तविक मूलांक और विषम घातांक के लिए मूलधन {{mvar|n}}वर्गमूल वास्तविक नहीं है, हालांकि सामान्य है {{mvar|n}}वर्गमूल असली है। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] से पता चलता है कि प्रिंसिपल {{mvar|n}}वें रूट अद्वितीय जटिल अलग-अलग कार्य है जो सामान्य रूप से विस्तारित होता है {{mvar|n}}गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के बिना जटिल तल पर वें मूल। | इनमें से किसी एक को चुनना आम बात है {{mvar|n}} {{mvar|n}}मुख्य वर्गमूल के रूप में वें रूट। को चुनना आम बात है {{mvar|n}} जिसके लिए वर्गमूल <math>-\pi<\theta\le \pi,</math> वह यह है कि {{mvar|n}}वर्गमूल जिसका सबसे बड़ा वास्तविक भाग है, और, यदि वे दो हैं, तो सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह प्रिंसिपल बनाता है {{mvar|n}} [[रेडिकैंड]] के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों को छोड़कर, वें पूरे जटिल विमान में एक निरंतर कार्य करता है। यह कार्य सामान्य के बराबर है {{mvar|n}}धनात्मक वास्तविक मूलांक के लिए वें मूल। ऋणात्मक वास्तविक मूलांक और विषम घातांक के लिए मूलधन {{mvar|n}}वर्गमूल वास्तविक नहीं है, हालांकि सामान्य है {{mvar|n}}वर्गमूल असली है। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] से पता चलता है कि प्रिंसिपल {{mvar|n}}वें रूट अद्वितीय जटिल अलग-अलग कार्य है जो सामान्य रूप से विस्तारित होता है {{mvar|n}}गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के बिना जटिल तल पर वें मूल। | ||
यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो वृद्धि के बाद <math>2\pi,</math> जटिल संख्या अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है, और इसकी {{mvar|n}}वें वर्गमूलें परिपत्र क्रमचय हैं (वे गुणा कर रहे हैं <math | यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो वृद्धि के बाद <math>2\pi,</math> जटिल संख्या अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है, और इसकी {{mvar|n}}वें वर्गमूलें परिपत्र क्रमचय हैं (वे गुणा कर रहे हैं <math display="textstyle">e^{2i\pi/n}</math>). इससे पता चलता है कि a को परिभाषित करना संभव नहीं है {{mvar|n}}वें रूट फ़ंक्शन जो पूरे जटिल विमान में निरंतर है। | ||
==== एकता की वर्गमूलें ==== | ==== एकता की वर्गमूलें ==== | ||
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====बहुमूल्य समारोह ==== | ====बहुमूल्य समारोह ==== | ||
कुछ संदर्भों में, के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है <math>\log z</math> तथा <math>z^w</math> के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर {{mvar|z}}. इस | कुछ संदर्भों में, के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है <math>\log z</math> तथा <math>z^w</math> के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर {{mvar|z}}. इस प्रकर्ण में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है। | ||
यदि <math>\log z</math> बहुविकल्पीय लघुगणक (सामान्यतः पर इसका प्रमुख मान) के मानों में से एक को दर्शाता है, अन्य मान हैं <math>2ik\pi +\log z,</math> कहाँ पे {{mvar|k}} कोई पूर्णांक है। इसी प्रकार यदि <math>z^w</math> घातांक का एक मान है, तो अन्य मान दिए जाते हैं | यदि <math>\log z</math> बहुविकल्पीय लघुगणक (सामान्यतः पर इसका प्रमुख मान) के मानों में से एक को दर्शाता है, अन्य मान हैं <math>2ik\pi +\log z,</math> कहाँ पे {{mvar|k}} कोई पूर्णांक है। इसी प्रकार यदि <math>z^w</math> घातांक का एक मान है, तो अन्य मान दिए जाते हैं | ||
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(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\ | (-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\ | ||
&=-2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)}(\cos(4\ln 2) +i\sin(4\ln 2)). | &=-2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)}(\cos(4\ln 2) +i\sin(4\ln 2)). | ||
\end{align}</math>इस | \end{align}</math>इस प्रकर्ण में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है <math>4\ln 2,</math> और विभिन्न निरपेक्ष मान। | ||
दोनों उदाहरणों में, के सभी मान <math>z^w</math> एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है अगर और केवल अगर असली हिस्सा {{mvar|w}} एक पूर्णांक है। | दोनों उदाहरणों में, के सभी मान <math>z^w</math> एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है अगर और केवल अगर असली हिस्सा {{mvar|w}} एक पूर्णांक है। | ||
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* <math>x^{n+1} =x x^n</math> प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}. | * <math>x^{n+1} =x x^n</math> प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}. | ||
यदि {{mvar|n}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, <math>x^n</math> केवल अगर परिभाषित किया गया है {{mvar|x}} एक गुणक व्युत्क्रम है।<ref>{{cite book |author-first=David M. |author-last=Bloom |title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |url-access=registration |date=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |page=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45]}}</ref> इस | यदि {{mvar|n}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, <math>x^n</math> केवल अगर परिभाषित किया गया है {{mvar|x}} एक गुणक व्युत्क्रम है।<ref>{{cite book |author-first=David M. |author-last=Bloom |title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |url-access=registration |date=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |page=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45]}}</ref> इस प्रकर्ण में, का उलटा {{mvar|x}} निरूपित किया जाता है <math>x^{-1},</math> तथा <math>x^n</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>\left(x^{-1}\right)^{-n}.</math> | ||
पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} बीजगणितीय संरचना में, और {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} पूर्णांक: | पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} बीजगणितीय संरचना में, और {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} पूर्णांक: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर]]ों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक है, <math>d/dx</math>, जो एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों पर कार्य करता है <math>f(x)</math> एक नया कार्य देने के लिए <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. अवकलन संकारक की n-वीं घात n-वें अवकलज है: | मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर]]ों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक है, <math>d/dx</math>, जो एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों पर कार्य करता है <math>f(x)</math> एक नया कार्य देने के लिए <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. अवकलन संकारक की n-वीं घात n-वें अवकलज है: | ||
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | :<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | ||
ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह [[c0-अर्धसमूह]] के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref> जिस तरह असतत घातांक के साथ मैट्रिक्स घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले मैट्रिक्स घात की गणना निरंतर गतिकी वाले सिस्टम को हल करती है। उदाहरणों में [[ताप समीकरण]], श्रोडिंगर समीकरण, [[तरंग समीकरण]], और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। व्युत्पन्न ऑपरेटर को एक गैर-पूर्णांक घात के घातांक के विशेष | ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह [[c0-अर्धसमूह]] के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref> जिस तरह असतत घातांक के साथ मैट्रिक्स घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले मैट्रिक्स घात की गणना निरंतर गतिकी वाले सिस्टम को हल करती है। उदाहरणों में [[ताप समीकरण]], श्रोडिंगर समीकरण, [[तरंग समीकरण]], और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। व्युत्पन्न ऑपरेटर को एक गैर-पूर्णांक घात के घातांक के विशेष प्रकर्ण को भिन्नात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है, जो भिन्नात्मक अभिन्न के साथ मिलकर भिन्नात्मक कलन के बुनियादी कार्यों में से एक है। | ||
=== परिमित क्षेत्र === | === परिमित क्षेत्र === | ||
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यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें घात <math>S^n</math> एक समुच्चय का {{mvar|S}} सभी के समुच्चय के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें घात <math>S^n</math> एक समुच्चय का {{mvar|S}} सभी के समुच्चय के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | ||
कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस | कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस प्रकर्ण में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और प्रतिपादकिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (कहाँ पे <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R,</math> साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]], रिंग (गणित), आदि। | ||
=== | === प्रतिपादक के रूप में समुच्चय === | ||
{{see also|Function (mathematics)#Set exponentiation}} | {{see also|Function (mathematics)#Set exponentiation}} | ||
A {{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}} से एक समारोह (गणित) के रूप में माना जा सकता है <math>\{1,\ldots, n\}.</math> यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है। | A {{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}} से एक समारोह (गणित) के रूप में माना जा सकता है <math>\{1,\ldots, n\}.</math> यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है। | ||
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कहाँ पे <math>\times</math> कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ। | कहाँ पे <math>\times</math> कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ। | ||
कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए | कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा सम्मिलित है)। | ||
इस संदर्भ में, {{math|2}} समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का समुच्चय है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को मैप करके {{math|1}}. | इस संदर्भ में, {{math|2}} समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का समुच्चय है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को मैप करके {{math|1}}. | ||
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[[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] में, समुच्चय के बीच [[morphism]]s {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}} से कार्य हैं {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}}. यह परिणाम है कि कार्यों का समुच्चय से {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}} जिसे दर्शाया गया है <math>Y^X</math> पूर्ववर्ती खंड में भी निरूपित किया जा सकता है <math>\hom(X,Y).</math> समरूपता <math>(S^T)^U\cong S^{T\times U}</math> फिर से लिखा जा सकता है | [[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] में, समुच्चय के बीच [[morphism]]s {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}} से कार्य हैं {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}}. यह परिणाम है कि कार्यों का समुच्चय से {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}} जिसे दर्शाया गया है <math>Y^X</math> पूर्ववर्ती खंड में भी निरूपित किया जा सकता है <math>\hom(X,Y).</math> समरूपता <math>(S^T)^U\cong S^{T\times U}</math> फिर से लिखा जा सकता है | ||
:<math>\hom(U,S^T)\cong \hom(T\times U,S).</math> | :<math>\hom(U,S^T)\cong \hom(T\times U,S).</math> | ||
इसका अर्थ है घात के लिए फ़ंक्टर | इसका अर्थ है घात के लिए फ़ंक्टर प्रतिपादकिएशन {{mvar|T{{space|thin}}}} फ़नकार प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर है {{mvar|T{{space|thin}}}} . | ||
यह [[घातीय (श्रेणी सिद्धांत)]] की परिभाषा को सामान्यीकृत करता है जिसमें परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद होते हैं: ऐसी श्रेणी में, फ़ैक्टर <math>X\to X^T</math> है, यदि यह मौजूद है, तो फ़ंक्टर का दाहिना सटा हुआ है <math>Y\to T\times Y.</math> एक श्रेणी को कार्टेशियन बंद श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद हैं, और फ़ैक्टर <math>Y\to X\times Y</math> प्रत्येक के लिए एक सही जोड़ है {{mvar|T}}. | यह [[घातीय (श्रेणी सिद्धांत)]] की परिभाषा को सामान्यीकृत करता है जिसमें परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद होते हैं: ऐसी श्रेणी में, फ़ैक्टर <math>X\to X^T</math> है, यदि यह मौजूद है, तो फ़ंक्टर का दाहिना सटा हुआ है <math>Y\to T\times Y.</math> एक श्रेणी को कार्टेशियन बंद श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद हैं, और फ़ैक्टर <math>Y\to X\times Y</math> प्रत्येक के लिए एक सही जोड़ है {{mvar|T}}. | ||
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ये घातयाँ की सीमा लेकर प्राप्त की जाती हैं {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{math|''x''}}. यह विधि परिभाषा की अनुमति नहीं देती है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} जब {{math|''x'' < 0}}, जोड़े के बाद से {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x'' < 0}} के संचय बिंदु नहीं हैं {{math|''D''}}. | ये घातयाँ की सीमा लेकर प्राप्त की जाती हैं {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{math|''x''}}. यह विधि परिभाषा की अनुमति नहीं देती है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} जब {{math|''x'' < 0}}, जोड़े के बाद से {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x'' < 0}} के संचय बिंदु नहीं हैं {{math|''D''}}. | ||
वहीं, जब {{math|''n''}} एक पूर्णांक है, घात {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही सार्थक है {{math|''x''}}, नकारात्मक सहित। यह परिभाषा कर सकता है {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} ऊपर नकारात्मक के लिए प्राप्त किया {{math|''n''}} समस्याग्रस्त जब {{math|''n''}} अजीब है, क्योंकि इस | वहीं, जब {{math|''n''}} एक पूर्णांक है, घात {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही सार्थक है {{math|''x''}}, नकारात्मक सहित। यह परिभाषा कर सकता है {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} ऊपर नकारात्मक के लिए प्राप्त किया {{math|''n''}} समस्याग्रस्त जब {{math|''n''}} अजीब है, क्योंकि इस प्रकर्ण में {{math|''x''<sup>''n''</sup> → +∞}} जैसा {{math|''x''}} आदत है {{math|0}} सकारात्मक मूल्यों के माध्यम से, लेकिन नकारात्मक नहीं। | ||
== पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना == | == पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना == | ||
कम्प्यूटिंग बी<sup>n</sup> पुनरावृत्त गुणन का उपयोग करना आवश्यक है {{math|''n'' − 1}} गुणा संचालन, लेकिन इसकी तुलना में अधिक कुशलता से गणना की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। गणना करना 2<sup>100</sup>, युग्मक में लिखे | कम्प्यूटिंग बी<sup>n</sup> पुनरावृत्त गुणन का उपयोग करना आवश्यक है {{math|''n'' − 1}} गुणा संचालन, लेकिन इसकी तुलना में अधिक कुशलता से गणना की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। गणना करना 2<sup>100</sup>, युग्मक में लिखे प्रतिपादक 100 पर हॉर्नर का नियम लागू करें: | ||
:<math>100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))</math>. | :<math>100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))</math>. | ||
फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें। | फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें। | ||
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यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन {{mvar|f}} इसके कोडोमेन के बराबर है, कोई भी समय की मनमानी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह परिभाषित करता है {{mvar|n}}संरचना के तहत समारोह की वें घात, सामान्यतः कहा जाता है{{mvar|n}}समारोह का वें पुनरावृति। इस प्रकार <math>f^n</math> सामान्यतः दर्शाता है {{mvar|n}}की पुनरावृति {{mvar|f}}; उदाहरण के लिए, <math>f^3(x)</math> साधन <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/> | यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन {{mvar|f}} इसके कोडोमेन के बराबर है, कोई भी समय की मनमानी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह परिभाषित करता है {{mvar|n}}संरचना के तहत समारोह की वें घात, सामान्यतः कहा जाता है{{mvar|n}}समारोह का वें पुनरावृति। इस प्रकार <math>f^n</math> सामान्यतः दर्शाता है {{mvar|n}}की पुनरावृति {{mvar|f}}; उदाहरण के लिए, <math>f^3(x)</math> साधन <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/> | ||
जब गुणन को फ़ंक्शन के कोडोमेन पर परिभाषित किया जाता है, तो यह फ़ंक्शन पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को सामान्यतः फ़ंक्शन के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> तथा <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> तथा <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, <math>\sin^2 x</math> तथा <math>\sin^2(x)</math> दोनों मतलब <math>\sin(x)\cdot\si | |||