घातांक: Difference between revisions
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== | == विवेकपूर्ण घातांक == | ||
[[Image:Mplwp roots 01.svg|right|thumb|300px|ऊपर से नीचे: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.]]यदि {{mvar|x}} एक गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, और {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है, <math>x^{1/n}</math> या <math>\sqrt[n]x</math> अद्वितीय धनात्मक वास्तविक nवें मूल को दर्शाता है{{mvar|n}} | [[Image:Mplwp roots 01.svg|right|thumb|300px|ऊपर से नीचे: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.]]यदि {{mvar|x}} एक गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, और {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है, <math>x^{1/n}</math> या <math>\sqrt[n]x</math> अद्वितीय धनात्मक वास्तविक nवें मूल को दर्शाता है {{mvar|n}} का वर्गमूल {{math|x}} है, अर्थात्, अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|y}} इस तरह है कि <math>y^n=x</math>। | ||
यदि {{mvar|x}} एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और <math>\frac pq</math> एक [[परिमेय संख्या]] | यदि {{mvar|x}} एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और <math>\frac pq</math> एक [[परिमेय संख्या]] के साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q ≠ 0}} पूर्णांक है, फिर <math display="inline">x^{p/q}</math> को निम्न की तरह परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.</math> | :<math>x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.</math> | ||
<math>y=x^\frac 1q,</math>समायोजन करके और <math>(x^\frac 1q)^p=y^p=\left((y^p)^q\right)^\frac 1q=\left((y^q)^p\right)^\frac 1q=(x^p)^\frac 1q.</math> लिखकर दाईं ओर की समानता प्राप्त की जा सकती है। | |||
यदि परिभाषा से {{mvar|r}} एक धनात्मक परिमेय संख्या <math>0^r=0,</math> है। | |||
दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या होती है {{mvar|n}} | पहचान को विस्तारित करने के लिए इन सभी परिभाषाओं की आवश्यकता <math>(x^r)^s = x^{rs}</math> तर्कसंगत घातांक के लिए है। | ||
दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या होती है {{mvar|n}}वर्गमूल, जो ऋणात्मक है, यदि {{mvar|n}} [[विषम संख्या]] है, और यदि कोई वास्तविक मूल नहीं है {{mvar|n}} सम है। बाद के मामले में, जो भी जटिल हो {{mvar|n}} वह रूट जिसके लिए कोई चुनता है <math>x^\frac 1n,</math> पहचान <math>(x^a)^b=x^{ab}</math> संतुष्ट नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, | |||
:<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math> | :<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math> | ||
देखना {{slink||Real exponents}} तथा {{slink||Non-integer powers of complex numbers}} विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है। | देखना {{slink||Real exponents}} तथा {{slink||Non-integer powers of complex numbers}} विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है। | ||
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पिछले अनुभागों में, गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक को केवल धनात्मक वास्तविक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। अन्य आधारों के लिए, स्पष्ट रूप से सरल मामले के साथ कठिनाइयाँ पहले से ही दिखाई देती हैं {{mvar|n}}वें मूल, अर्थात्, प्रतिपादकों की <math>1/n,</math> कहाँ पे {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। यद्यपि गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक का सामान्य सिद्धांत लागू होता है {{mvar|n}}वें मूल, इस मामले पर पहले विचार किया जाना चाहिए, क्योंकि इसमें [[जटिल लघुगणक]]ों का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, और इसलिए इसे समझना आसान है। | पिछले अनुभागों में, गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक को केवल धनात्मक वास्तविक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। अन्य आधारों के लिए, स्पष्ट रूप से सरल मामले के साथ कठिनाइयाँ पहले से ही दिखाई देती हैं {{mvar|n}}वें मूल, अर्थात्, प्रतिपादकों की <math>1/n,</math> कहाँ पे {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। यद्यपि गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक का सामान्य सिद्धांत लागू होता है {{mvar|n}}वें मूल, इस मामले पर पहले विचार किया जाना चाहिए, क्योंकि इसमें [[जटिल लघुगणक]]ों का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, और इसलिए इसे समझना आसान है। | ||
=== {{mvar|n}}एक जटिल संख्या की वें | === {{mvar|n}}एक जटिल संख्या की वें वर्गमूलें === | ||
हर अशून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} के रूप में ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है | हर अशून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} के रूप में ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है | ||
:<math>z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),</math> | :<math>z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),</math> | ||
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दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक का ध्रुवीय रूप {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या का मूल लेकर प्राप्त किया जा सकता है {{mvar|n}}निरपेक्ष मान का वां मूल और इसके तर्क को विभाजित करके {{mvar|n}}: | दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक का ध्रुवीय रूप {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या का मूल लेकर प्राप्त किया जा सकता है {{mvar|n}}निरपेक्ष मान का वां मूल और इसके तर्क को विभाजित करके {{mvar|n}}: | ||
:<math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n.</math> | :<math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n.</math> | ||
यदि <math>2\pi</math> जोड़ा जाता है <math>\theta</math>सम्मिश्र संख्या नहीं बदली जाती है, लेकिन यह जोड़ता है <math>2i\pi/n</math> के तर्क के लिए {{mvar|n}}वें रूट, और एक नया प्रदान करता है {{mvar|n}}वें | यदि <math>2\pi</math> जोड़ा जाता है <math>\theta</math>सम्मिश्र संख्या नहीं बदली जाती है, लेकिन यह जोड़ता है <math>2i\pi/n</math> के तर्क के लिए {{mvar|n}}वें रूट, और एक नया प्रदान करता है {{mvar|n}}वें वर्गमूल। यह संभव है {{mvar|n}} बार, और प्रदान करता है {{mvar|n}} {{mvar|n}}सम्मिश्र संख्या की वें मूल। | ||
इनमें से किसी एक को चुनना आम बात है {{mvar|n}} {{mvar|n}}मुख्य | इनमें से किसी एक को चुनना आम बात है {{mvar|n}} {{mvar|n}}मुख्य वर्गमूल के रूप में वें रूट। को चुनना आम बात है {{mvar|n}}जिसके लिए वर्गमूल <math>-\pi<\theta\le \pi,</math> वह यह है कि {{mvar|n}}वर्गमूल जिसका सबसे बड़ा वास्तविक भाग है, और, यदि वे दो हैं, तो सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह प्रिंसिपल बनाता है {{mvar|n}}[[रेडिकैंड]] के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों को छोड़कर, वें पूरे जटिल विमान में एक निरंतर कार्य करता है। यह कार्य सामान्य के बराबर है {{mvar|n}}धनात्मक वास्तविक मूलांक के लिए वें मूल। ऋणात्मक वास्तविक मूलांक और विषम घातांक के लिए मूलधन {{mvar|n}}वर्गमूल वास्तविक नहीं है, हालांकि सामान्य है {{mvar|n}}वर्गमूल असली है। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] से पता चलता है कि प्रिंसिपल {{mvar|n}}वें रूट अद्वितीय जटिल अलग-अलग कार्य है जो सामान्य रूप से विस्तारित होता है {{mvar|n}}गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के बिना जटिल तल पर वें मूल। | ||
यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो वृद्धि के बाद <math>2\pi,</math> जटिल संख्या अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है, और इसकी {{mvar|n}}वें | यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो वृद्धि के बाद <math>2\pi,</math> जटिल संख्या अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है, और इसकी {{mvar|n}}वें वर्गमूलें परिपत्र क्रमचय हैं (वे गुणा कर रहे हैं <math DISPLAY=textstyle>e^{2i\pi/n}</math>). इससे पता चलता है कि a को परिभाषित करना संभव नहीं है {{mvar|n}}वें रूट फ़ंक्शन जो पूरे जटिल विमान में निरंतर है। | ||
==== एकता की | ==== एकता की वर्गमूलें ==== | ||
{{Main|Root of unity}} | {{Main|Root of unity}} | ||
[[File:One3Root.svg|thumb|right|1 की तीन तिहाई | [[File:One3Root.svg|thumb|right|1 की तीन तिहाई वर्गमूलें]] | ||
{{mvar|n}}n}}एकता के वें मूल हैं {{mvar|n}} जटिल संख्याएं जैसे कि {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}}, कहाँ पे {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। वे गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, जैसे [[असतत फूरियर रूपांतरण]] या बीजगणितीय समीकरणों के बीजगणितीय समाधान ([[लैग्रेंज विलायक]])। {{mvar|n}} }} {{mvar|n}}एकता के वें मूल हैं {{mvar|n}} की पहली घातयाँ <math>\omega =e^\frac{2\pi i}{n}</math>, वह है <math>1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.</math> {{mvar|n}}n}}एकता के वें मूल जिनमें यह जनक गुण होता है आदिम कहलाते हैं {{mvar|n}}एकता की वें | {{mvar|n}}n}}एकता के वें मूल हैं {{mvar|n}} जटिल संख्याएं जैसे कि {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}}, कहाँ पे {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। वे गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, जैसे [[असतत फूरियर रूपांतरण]] या बीजगणितीय समीकरणों के बीजगणितीय समाधान ([[लैग्रेंज विलायक]])। {{mvar|n}} }} {{mvar|n}}एकता के वें मूल हैं {{mvar|n}} की पहली घातयाँ <math>\omega =e^\frac{2\pi i}{n}</math>, वह है <math>1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.</math> {{mvar|n}}n}}एकता के वें मूल जिनमें यह जनक गुण होता है आदिम कहलाते हैं {{mvar|n}}एकता की वें वर्गमूलें; उनके पास रूप है <math>\omega^k=e^\frac{2k\pi i}{n},</math> साथ {{mvar|k}} कोप्राइम के साथ पूर्णांक {{mvar|n}}. एकता का अद्वितीय आदिम वर्गमूल है <math>-1;</math> एकता की आदिम चौथी वर्गमूलें हैं <math>i</math> तथा <math>-i.</math> | ||
{{mvar|n}}n}}एकता की | {{mvar|n}}<nowiki>n}}एकता की वर्गमूलें सभी को व्यक्त करने की अनुमति देती हैं </nowiki>{{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या की वें वर्गमूलें {{mvar|z}} के रूप में {{mvar|n}} किसी दिए गए उत्पाद {{mvar|n}}वें की वर्गमूलें {{mvar|z}} के साथ {{mvar|n}}एकता की वें वर्गमूल। | ||
ज्यामितीय रूप से, {{mvar|n}}एकता की वें मूल एक नियमित बहुभुज|नियमित के शीर्ष पर जटिल समतल के इकाई वृत्त पर स्थित है {{mvar|n}}-वास्तविक संख्या 1 पर एक शीर्ष के साथ। | ज्यामितीय रूप से, {{mvar|n}}एकता की वें मूल एक नियमित बहुभुज|नियमित के शीर्ष पर जटिल समतल के इकाई वृत्त पर स्थित है {{mvar|n}}-वास्तविक संख्या 1 पर एक शीर्ष के साथ। | ||
संख्या के रूप में <math>e^\frac{2k\pi i}{n}</math> आदिम है {{mvar|n}}सबसे छोटे सकारात्मक तर्क (जटिल विश्लेषण) के साथ एकता की | संख्या के रूप में <math>e^\frac{2k\pi i}{n}</math> आदिम है {{mvar|n}}सबसे छोटे सकारात्मक तर्क (जटिल विश्लेषण) के साथ एकता की वर्गमूल, इसे प्रमुख आदिम कहा जाता है {{mvar|n}}एकता की वर्गमूल, कभी-कभी प्रधान के रूप में संक्षिप्त की जाती है {{mvar|n}}एकता की वर्गमूल, हालांकि इस शब्दावली को के प्रमुख मूल्य के साथ भ्रमित किया जा सकता है <math>1^{1/n}</math> जो 1 है।<ref>{{cite book |title=एल्गोरिदम का परिचय|edition=second |author-first1=Thomas H. |author-last1=Cormen |author-first2=Charles E. |author-last2=Leiserson |author-first3=Ronald L. |author-last3=Rivest |author-first4=Clifford |author-last4=Stein |publisher=[[MIT Press]] |date=2001 |isbn=978-0-262-03293-3}} [http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html Online resource] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html |date=2007-09-30 }}</ref><ref>{{cite book | title = अंतर समीकरण: खरगोश से कैओस तक| title-link= अंतर समीकरण: खरगोश से कैओस तक| edition = [[Undergraduate Texts in Mathematics]] |author-first1=Paul |author-last1=Cull |author-first2=Mary |author-last2=Flahive |author-link2=Mary Flahive |author-first3=Robby |author-last3=Robson |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-23234-8}} Defined on p. 351</ref><ref>"[http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html Principal root of unity]", MathWorld.</ref> | ||
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के विभिन्न मूल्य {{mvar|k}} के विभिन्न मान दें <math>z^w</math> जब तक {{mvar|w}} एक परिमेय संख्या है, अर्थात एक पूर्णांक है {{mvar|d}} ऐसा है कि {{mvar|dw}} एक पूर्णांक है। यह चरघातांकी फलन के आवर्त फलन से उत्पन्न होता है, विशेष रूप से, कि <math>e^a=e^b</math> अगर और केवल अगर <math>a-b</math> का एक पूर्णांक गुणक है <math>2\pi i.</math> | के विभिन्न मूल्य {{mvar|k}} के विभिन्न मान दें <math>z^w</math> जब तक {{mvar|w}} एक परिमेय संख्या है, अर्थात एक पूर्णांक है {{mvar|d}} ऐसा है कि {{mvar|dw}} एक पूर्णांक है। यह चरघातांकी फलन के आवर्त फलन से उत्पन्न होता है, विशेष रूप से, कि <math>e^a=e^b</math> अगर और केवल अगर <math>a-b</math> का एक पूर्णांक गुणक है <math>2\pi i.</math> | ||
यदि <math>w=\frac mn</math> के साथ एक परिमेय संख्या है {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} कोप्राइम के साथ पूर्णांक <math>n>0,</math> फिर <math>z^w</math> बिल्कुल है {{mvar|n}} मान। यदि <math>m=1,</math> ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के #nवें मूल में वर्णित हैं|§ {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या की वें | यदि <math>w=\frac mn</math> के साथ एक परिमेय संख्या है {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} कोप्राइम के साथ पूर्णांक <math>n>0,</math> फिर <math>z^w</math> बिल्कुल है {{mvar|n}} मान। यदि <math>m=1,</math> ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के #nवें मूल में वर्णित हैं|§ {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या की वें वर्गमूलें। यदि {{mvar|w}} एक पूर्णांक है, केवल एक मान है जो इससे सहमत है {{slink||Integer exponents}}. | ||
बहुविकल्पी घातांक के लिए होलोमोर्फिक है <math>z\ne 0,</math> इस अर्थ में कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कई शीट होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं। यदि {{mvar|z}} चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार बदलता रहता है {{math|0}}, फिर, एक मोड़ के बाद, का मान <math>z^w</math> चादर बदली है। | बहुविकल्पी घातांक के लिए होलोमोर्फिक है <math>z\ne 0,</math> इस अर्थ में कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कई शीट होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं। यदि {{mvar|z}} चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार बदलता रहता है {{math|0}}, फिर, एक मोड़ के बाद, का मान <math>z^w</math> चादर बदली है। | ||
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*उलटा काम करना | *उलटा काम करना | ||
*तर्क (जटिल विश्लेषण) | *तर्क (जटिल विश्लेषण) | ||
*प्रमुख | *प्रमुख वर्गमूल | ||
*जटिल विभेदक | *जटिल विभेदक | ||
*गोलाकार क्रमपरिवर्तन | *गोलाकार क्रमपरिवर्तन | ||
Revision as of 13:24, 2 December 2022
| bn | |
|---|---|
notation | |
| base b and exponent n |
<डिव क्लास = राइट>
| Arithmetic operations | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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