घातांक: Difference between revisions
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यह तथ्य है कि <math>b^1 = b</math> समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है। | यह तथ्य है कि <math>b^1 = b</math> समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है। | ||
नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह | नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math> होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा <math>b^{1}</math> को विभाजित करना <math>b^{-1} = 1 / b^1</math> देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम <math>b^1 = b</math> का उपयोग करके <math>b^{-1} = 1 / b</math> लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से <math>b^{-n} = 1 / b^n</math> लिखा जा सकता है। | ||
भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math> <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है, <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>। | भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math> <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है, <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>। | ||
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16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref> | 16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref> | ||
[[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में | [[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की शुरुआत की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक ([[चौथी शक्ति]]), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी शक्ति को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है। | ||
17वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री नामक अपने पाठ में पेश किया गया था | 17वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति पुरःस्थापित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''<sup>2</sup>, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''<sup>3</sup>, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''<sup>2</sup>, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''<sup>3</sup>, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref> | ||
कुछ गणितज्ञों (जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया, वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}. | कुछ गणितज्ञों (जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}. | ||
एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची, | एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> और इनवोल्यूशन (गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। | ||
1748 में, [[लियोनहार्ड यूलर]] ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:{{blockquote|" | 1748 में, [[लियोनहार्ड यूलर]] ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:{{blockquote|"घातांक या शक्ति पर विचार करें जिसमें घातांक स्वयं एक चर है। यह स्पष्ट है कि इस प्रकार की मात्राएँ [[बीजगणितीय फलन]] नहीं हैं, क्योंकि उनमें घातांक स्थिर होने चाहिए."<ref name="Euler_1748" /> }} | ||
== शब्दावली == | == शब्दावली == | ||
भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}} b या b | भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}} b वर्ग या b का वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग {{math|''b''}} का क्षेत्रफल {{math|''b''<sup>2</sup>}} है . | ||
इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}} b या b | इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}} b घन या b का घन (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई {{math|''b''}} वाले घन का आयतन {{math|''b''<sup>3</sup>}} है . | ||
जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} | जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} {{math|5}} बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक {{math|5}} है . यहां, {{math|243}} 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है। | ||
उठाया शब्द | उठाया शब्द सामान्यतः छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी शक्ति भी {{math|3<sup>5</sup>}} केवल 3 से 5 तक, या 3 से 5 तक पढ़ा जा सकता है। इसलिए, घातांक {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} n की घात के लिए b के रूप में, nवें के घात के लिए b के रूप में, nवें के लिए b के रूप में, या संक्षेप में b से n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | ||
नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (जिसका मतलब है {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} | नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (जिसका मतलब है {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} न की {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), शक्तियों का स्तंभ या केवल एक स्तंभ कहा जाता है।<ref>{{cite book|editor1-last=Kauffman|editor1-first=Louis|editor2-last=J. Lomonaco|editor2-first=Samuel|editor3-last=Chen|editor3-first=Goong|title=क्वांटम संगणना और क्वांटम प्रौद्योगिकी का गणित|date=September 19, 2007|publisher=[[CRC Press]] |isbn=9781584889007|page=105|chapter-url=https://books.google.com/books?id=kd8R_Y10U3oC&pg=PA105|access-date=26 February 2022|language=English|chapter=4.6 Efficient decomposition of Hamiltonian|archive-url=https://web.archive.org/web/20220226160938/https://books.google.com/books?id=kd8R_Y10U3oC&pg=PA105#v=onepage|archive-date=February 26, 2022|url-status=live}}</ref> | ||
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एक पुनरावृत्त गुणन के रूप में घातांक की परिभाषा गणितीय प्रेरण का उपयोग करके [[औपचारिक प्रमाण]] हो सकती है,<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94 |title=सार बीजगणित: एक पूछताछ आधारित दृष्टिकोण|first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}</ref> और इस परिभाषा का उपयोग जल्द से जल्द किया जा सकता है जब किसी के पास सहयोगीता गुणन हो: | एक पुनरावृत्त गुणन के रूप में घातांक की परिभाषा गणितीय प्रेरण का उपयोग करके [[औपचारिक प्रमाण]] हो सकती है,<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94 |title=सार बीजगणित: एक पूछताछ आधारित दृष्टिकोण|first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}</ref> और इस परिभाषा का उपयोग जल्द से जल्द किया जा सकता है जब किसी के पास सहयोगीता गुणन हो: | ||
आधार | आधार आवेष्टन है | ||
:<math>b^1 = b</math> | :<math>b^1 = b</math> | ||
और [[पुनरावृत्ति संबंध]] है | और [[पुनरावृत्ति संबंध]] है | ||
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शून्य घातांक के लिए। इसका उपयोग प्रत्येक [[बीजगणितीय संरचना]] में गुणा के साथ किया जा सकता है जिसमें गुणात्मक पहचान होती है। | शून्य घातांक के लिए। इसका उपयोग प्रत्येक [[बीजगणितीय संरचना]] में गुणा के साथ किया जा सकता है जिसमें गुणात्मक पहचान होती है। | ||
सहज रूप से, <math>b^0</math> की प्रतियों के [[खाली उत्पाद]] के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{mvar|b}}. तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष | सहज रूप से, <math>b^0</math> की प्रतियों के [[खाली उत्पाद]] के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{mvar|b}}. तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है। | ||
के मामले में {{math|0<sup>0</sup>}} अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक शक्तियों पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} आम तौर पर सौंपा गया है <math>0^0,</math> लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|For more details, see [[Zero to the power of zero]].}} | के मामले में {{math|0<sup>0</sup>}} अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक शक्तियों पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} आम तौर पर सौंपा गया है <math>0^0,</math> लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|For more details, see [[Zero to the power of zero]].}} | ||
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===={{anchor|Base 2}}दो की शक्तियाँ ==== | ===={{anchor|Base 2}}दो की शक्तियाँ ==== | ||
{{Main|Power of two}} | {{Main|Power of two}} | ||
की पहली नकारात्मक शक्तियां {{math|2}} | की पहली नकारात्मक शक्तियां {{math|2}} सामान्यतः पर उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: [[एक आधा]] और [[4 (संख्या)]]। | ||
की शक्तियाँ {{math|2}} [[समुच्चय सिद्धान्त]] में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक सेट के साथ {{math|''n''}} सदस्यों के पास एक शक्ति समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें होता है {{math|2<sup>''n''</sup>}} सदस्य। | की शक्तियाँ {{math|2}} [[समुच्चय सिद्धान्त]] में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक सेट के साथ {{math|''n''}} सदस्यों के पास एक शक्ति समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें होता है {{math|2<sup>''n''</sup>}} सदस्य। | ||
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यदि {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}} बड़ी और बड़ी सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के बीच वैकल्पिक रूप से {{math|''n''}} सम और विषम के बीच वैकल्पिक, और इस प्रकार किसी भी सीमा तक नहीं जाता है {{math|''n''}} उगता है। | यदि {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}} बड़ी और बड़ी सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के बीच वैकल्पिक रूप से {{math|''n''}} सम और विषम के बीच वैकल्पिक, और इस प्रकार किसी भी सीमा तक नहीं जाता है {{math|''n''}} उगता है। | ||
यदि घातांक संख्या की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है {{math|1}} जैसा कि प्रतिपादक अनंत की ओर जाता है, तो जरूरी नहीं कि सीमा उपरोक्त में से एक हो। विशेष रूप से महत्वपूर्ण | यदि घातांक संख्या की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है {{math|1}} जैसा कि प्रतिपादक अनंत की ओर जाता है, तो जरूरी नहीं कि सीमा उपरोक्त में से एक हो। विशेष रूप से महत्वपूर्ण आवेष्टन है | ||
:{{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} | :{{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} जैसा {{math|''n'' → ∞}} | ||
देखना{{section link||The exponential function}}नीचे। | देखना{{section link||The exponential function}}नीचे। | ||
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यूलर की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>e=\exp(1)</math>. यह पूर्ववर्ती समीकरणों से अनुसरण करता है <math>\exp(x)=e^x</math> जब {{mvar|x}} एक पूर्णांक है (यह घातांक की बार-बार गुणा करने की परिभाषा का परिणाम है)। यदि {{mvar|x}} यह सचमुच का है, <math>\exp(x)=e^x</math> पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई परिभाषाओं से परिणाम, यदि घातीय पहचान का उपयोग करके {{mvar|x}} तर्कसंगत है, और घातीय कार्य की निरंतरता अन्यथा। | यूलर की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>e=\exp(1)</math>. यह पूर्ववर्ती समीकरणों से अनुसरण करता है <math>\exp(x)=e^x</math> जब {{mvar|x}} एक पूर्णांक है (यह घातांक की बार-बार गुणा करने की परिभाषा का परिणाम है)। यदि {{mvar|x}} यह सचमुच का है, <math>\exp(x)=e^x</math> पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई परिभाषाओं से परिणाम, यदि घातीय पहचान का उपयोग करके {{mvar|x}} तर्कसंगत है, और घातीय कार्य की निरंतरता अन्यथा। | ||
वह सीमा जो चरघातांकी फलन को परिभाषित करती है, के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरित होती है {{mvar|x}}, और इसलिए इसकी परिभाषा का विस्तार करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है <math>\exp(z)</math>, और इस तरह <math>e^z,</math> वास्तविक संख्या से लेकर किसी भी जटिल तर्क तक {{mvar|z}}. यह विस्तारित घातीय कार्य अभी भी घातीय पहचान को संतुष्ट करता है, और | वह सीमा जो चरघातांकी फलन को परिभाषित करती है, के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरित होती है {{mvar|x}}, और इसलिए इसकी परिभाषा का विस्तार करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है <math>\exp(z)</math>, और इस तरह <math>e^z,</math> वास्तविक संख्या से लेकर किसी भी जटिल तर्क तक {{mvar|z}}. यह विस्तारित घातीय कार्य अभी भी घातीय पहचान को संतुष्ट करता है, और सामान्यतः पर जटिल आधार और घातांक के लिए घातांक को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। | ||
=== लघुगणक के माध्यम से शक्तियाँ === | === लघुगणक के माध्यम से शक्तियाँ === | ||
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==== मूल मूल्य ==== | ==== मूल मूल्य ==== | ||
जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य अद्वितीय कार्य है, जिसे | जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य अद्वितीय कार्य है, जिसे सामान्यतः पर निरूपित किया जाता है <math>\log,</math> जैसे कि, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या के लिए {{mvar|z}}, | ||
:<math>e^{\log z}=z,</math> | :<math>e^{\log z}=z,</math> | ||
और का काल्पनिक हिस्सा {{mvar|z}} संतुष्ट | और का काल्पनिक हिस्सा {{mvar|z}} संतुष्ट | ||
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कुछ संदर्भों में, के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है <math>\log z</math> तथा <math>z^w</math> के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर {{mvar|z}}. इस मामले में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है। | कुछ संदर्भों में, के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है <math>\log z</math> तथा <math>z^w</math> के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर {{mvar|z}}. इस मामले में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है। | ||
यदि <math>\log z</math> बहुविकल्पीय लघुगणक ( | यदि <math>\log z</math> बहुविकल्पीय लघुगणक (सामान्यतः पर इसका प्रमुख मान) के मानों में से एक को दर्शाता है, अन्य मान हैं <math>2ik\pi +\log z,</math> कहाँ पे {{mvar|k}} कोई पूर्णांक है। इसी प्रकार यदि <math>z^w</math> घातांक का एक मान है, तो अन्य मान दिए जाते हैं | ||
:<math>e^{w(2ik\pi +\log z)} = z^we^{2ik\pi w},</math> | :<math>e^{w(2ik\pi +\log z)} = z^we^{2ik\pi w},</math> | ||
कहाँ पे {{mvar|k}} कोई पूर्णांक है। | कहाँ पे {{mvar|k}} कोई पूर्णांक है। | ||
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यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें शक्ति <math>S^n</math> एक सेट का {{mvar|S}} सभी के सेट के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें शक्ति <math>S^n</math> एक सेट का {{mvar|S}} सभी के सेट के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | ||
कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह अक्सर होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस मामले में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग | कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह अक्सर होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस मामले में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और एक्सपोनेंटिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (कहाँ पे <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R,</math> साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]], रिंग (गणित), आदि। | ||
=== एक्सपोनेंट के रूप में सेट === | === एक्सपोनेंट के रूप में सेट === | ||
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कहाँ पे <math>\times</math> कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ। | कहाँ पे <math>\times</math> कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ। | ||
कोई सेट पर अन्य कार्यों के लिए एक्सपोनेंट के रूप में सेट का उपयोग कर सकता है, | कोई सेट पर अन्य कार्यों के लिए एक्सपोनेंट के रूप में सेट का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा शामिल है)। | ||
इस संदर्भ में, {{math|2}} सेट का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के पावर सेट को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का सेट है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसेट के सेट से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को मैप करके {{math|1}}. | इस संदर्भ में, {{math|2}} सेट का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के पावर सेट को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का सेट है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसेट के सेट से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को मैप करके {{math|1}}. | ||
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जब गुणन को फ़ंक्शन के कोडोमेन पर परिभाषित किया जाता है, तो यह फ़ंक्शन पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को आम तौर पर फ़ंक्शन के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> तथा <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> तथा <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, <math>\sin^2 x</math> तथा <math>\sin^2(x)</math> दोनों मतलब <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> और नहीं <math>\sin(\sin(x)),</math> जो, किसी भी मामले में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन नोटेशनों के कई रूपों का उपयोग किया गया था।<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/> | जब गुणन को फ़ंक्शन के कोडोमेन पर परिभाषित किया जाता है, तो यह फ़ंक्शन पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को आम तौर पर फ़ंक्शन के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> तथा <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> तथा <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, <math>\sin^2 x</math> तथा <math>\sin^2(x)</math> दोनों मतलब <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> और नहीं <math>\sin(\sin(x)),</math> जो, किसी भी मामले में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन नोटेशनों के कई रूपों का उपयोग किया गया था।<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/> | ||
इस संदर्भ में प्रतिपादक <math>-1</math> यदि यह मौजूद है, तो हमेशा उलटा कार्य दर्शाता है। इसलिए <math>\sin^{-1}x=\sin^{-1}(x) = \arcsin x.</math> गुणनात्मक व्युत्क्रम अंशों के लिए | इस संदर्भ में प्रतिपादक <math>-1</math> यदि यह मौजूद है, तो हमेशा उलटा कार्य दर्शाता है। इसलिए <math>\sin^{-1}x=\sin^{-1}(x) = \arcsin x.</math> गुणनात्मक व्युत्क्रम अंशों के लिए सामान्यतः पर इन के रूप में उपयोग किया जाता है <math>1/\sin(x)=\frac 1{\sin x}.</math> | ||
== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | == [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | ||
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज | प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक कंप्यूटर सिस्टम एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref> | ||
नोटेशन में शामिल हैं: | नोटेशन में शामिल हैं: | ||
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ। | * <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ। | ||
