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गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।
गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट/समूह की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट/समूह के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट/समूह के विपरीत, क्रम मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह से एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट/समूह के लिए संख्या नहीं हो सकता है।


उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )
उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )
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=== अनुक्रमण ===
=== अनुक्रमण ===
अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल ''n'' को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।
अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट/समूह को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल ''n'' को एक इंडेक्स(सूचकांक) कहा जाता है और मानों का सेट/समूह जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह कहा जाता है।


यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है <math>a_n</math>। उदाहरण के लिए:
यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है <math>a_n</math>। उदाहरण के लिए:
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अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math> . सीमाएं <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, केवल ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या न्यूनतम। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> और इसमें "अनंत पर" एक अतिरिक्त शब्द नहीं है। क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math> .
अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math> . सीमाएं <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, केवल ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या न्यूनतम। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> और इसमें "अनंत पर" एक अतिरिक्त शब्द नहीं है। क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math> .


ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है। <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए। अक्सर, सूचकांक k 1 से अनंत तक होता है, जिसे अंतिम माना जाता है वह भिन्न होता है। हालांकि, अनुक्रमों को अक्सर शून्य से शुरू करके अनुक्रमित किया जाता है। जैसे
ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट/समूह को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है। <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए। अक्सर, सूचकांक k 1 से अनंत तक होता है, जिसे अंतिम माना जाता है वह भिन्न होता है। हालांकि, अनुक्रमों को अक्सर शून्य से शुरू करके अनुक्रमित किया जाता है। जैसे
:<math>(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2, \ldots ).</math>
:<math>(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2, \ldots ).</math>
कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांकों के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। इन मामलों में, सूचकांक सेट को पहले कुछ सार तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से दर्शाया जा सकता है।
कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांकों के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। इन मामलों में, सूचकांक सेट/समूह को पहले कुछ सार तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से दर्शाया जा सकता है।


* <math>(1, 9, 25, \ldots)</math>
* <math>(1, 9, 25, \ldots)</math>
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* <math>(a_{k})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = (2k-1)^2</math>
* <math>(a_{k})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = (2k-1)^2</math>
* <math>\left((2k-1)^2\right)_{k=1}^\infty</math>
* <math>\left((2k-1)^2\right)_{k=1}^\infty</math>
इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर इंडेक्सिंग सेट को प्राकृतिक संख्या के रूप में समझा जाता है। दूसरी और तीसरी बिंदुओं में एक सुपरिभाषित क्रम होता है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह व्यंजक द्वारा दर्शाए गए अनुक्रम के समान नहीं है।
इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर इंडेक्स(सूचकांक)िंग सेट/समूह को प्राकृतिक संख्या के रूप में समझा जाता है। दूसरी और तीसरी बिंदुओं में एक सुपरिभाषित क्रम होता है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह व्यंजक द्वारा दर्शाए गए अनुक्रम के समान नहीं है।


=== रिकर्सन द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना ===
=== रिकर्सन द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना ===
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प्रारंभिक अवधि के साथ <math>a_0 = 0.</math> निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति फॉर्म का पुनरावृत्ति संबंध है।
प्रारंभिक अवधि के साथ <math>a_0 = 0.</math> निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति फॉर्म का पुनरावृत्ति संबंध है।
:<math>a_n=c_0 +c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math>
:<math>a_n=c_0 +c_1a_{n-1}+\dots+c_k a_{n-k},</math>
जहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं।  इस तरह के अनुक्रम के सामान्य शब्द को n के एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका है। फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है।
जहाँ पे <math>c_0,\dots, c_k</math> स्थिरांक हैं।  इस तरह के अनुक्रम के सामान्य शब्द को n के एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका है। फाइबोनैचि अनुक्रम के मामले में, एक है <math>c_0=0, c_1=c_2=1,</math> और परिणामी कार्य {{mvar|n}} बिनेट के सूत्र द्वारा दिया गया है।


एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।
एक होलोनोमिक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसे फॉर्म के पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।
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=== परिभाषा ===
=== परिभाषा ===
इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider
इस लेख में, अनुक्रम को औपचारिक रूप से एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डोमेन पूर्णांकों का अंतराल है। इस परिभाषा में "अनुक्रम" शब्द के कई अलग-अलग उपयोग शामिल हैं, जिसमें एकतरफा अनंत अनुक्रम, द्वि-अनंत अनुक्रम और परिमित अनुक्रम शामिल हैं (ऐसे अनुक्रमों की परिभाषा के लिए नीचे देखें)। हालांकि, कई लेखक अनुक्रम के डोमेन को प्राकृतिक संख्याओं का सेट/समूह होने की आवश्यकता के द्वारा एक संकुचित परिभाषा का उपयोग करते हैं। इस संकुचित परिभाषा की क्षति यह है कि यह परिमित अनुक्रमों और द्वि-अनंत अनुक्रमों को नियंत्रित करता है, दोनों को आमतौर पर मानक गणितीय अभ्यास में अनुक्रम कहा जाता है। एक और क्षति यह है कि, यदि कोई अनुक्रम की पहली शर्तों को हटा देता है, तो इस परिभाषा को उपयुक्त करने के लिए शेष शर्तों को फिर से अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है। कुछ संदर्भों में, प्रतिपादन को छोटा करने के लिए, अनुक्रम का कोडोमैन संदर्भ द्वारा तय किया जाता है, उदाहरण के लिए इसे वास्तविक संख्याओं के सेट/समूह आर (R), <ref name="Gaughan" /> जटिल संख्याओं के सेट/समूह सी (C) या एक टोपोलॉजिकल स्पेस की आवश्यकता होती है<ref name=Saff>{{Cite book |title=Fundamentals of Complex Analysis|chapter=Chapter 2.1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider
|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या अनुक्रमणिका समूह है।
|author=Edward B. Saff & Arthur David Snider |year=2003 |isbn=978-01-390-7874-3}}</ref>। <ref name=Munkres>{{Cite book|title=Topology| chapter=Chapters 1&2 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=XjoZAQAAIAAJ |author=James R. Munkres |isbn=978-01-318-1629-9| year=2000 }}</ref>हालांकि अनुक्रम एक प्रकार का कार्य है, वे आम तौर पर कार्यों से विशेष रूप से भिन्न होते हैं जिसमें इनपुट को कोष्ठक के बजाय सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, अर्थात {{math|''a<sub>n</sub>''}} के बजाय {{math|''a''(''n'')}}। सबसे कम इनपुट (अक्सर 1) पर एक अनुक्रम के मूल्य को अनुक्रम का "पहला तत्व" कहा जाता है, दूसरे सबसे छोटे इनपुट (अक्सर 2) के मूल्य को "दूसरा तत्व" कहा जाता है। जबकि इसके निविष्ट से संक्षेप एक फ़ंक्शन/ फलन को आमतौर पर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''f'', इसके इनपुट से सारगर्भित अनुक्रम आमतौर पर एक संकेतन द्वारा लिखा जाता है जैसे कि <math>(a_n)_{n\in A}</math>, या बस के रूप में <math>(a_n).</math> यहाँ {{Math|''A''}} अनुक्रम का डोमेन, या अनुक्रमणिका समूह है।


टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं।
टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन के लिए अनुक्रम और उनकी सीमाएँ (नीचे देखें) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जाल की अवधारणा है। एक नेट एक (संभवतः असंख्य) से एक कार्य है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए निर्देशित सेट/समूह है। अनुक्रमों के लिए सांकेतिक परंपराएं आम तौर पर नेट पर भी लागू होती हैं।


=== परिमित और अनंत ===
=== परिमित और अनंत ===
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एक परिमित लंबाई ''n'' के अनुक्रम को ''n'' -tuple भी कहा जाता है।  परिमित अनुक्रमों में रिक्त अनुक्रम ( ) शामिल होता है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है।
एक परिमित लंबाई ''n'' के अनुक्रम को ''n'' -tuple भी कहा जाता है।  परिमित अनुक्रमों में रिक्त अनुक्रम ( ) शामिल होता है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है।


आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट में सभी पूर्णांकों के सेट '''Z''' से एक फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math>  
आम तौर पर, शब्द अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक दिशा में अनंत है, और दूसरे में सीमित है- अनुक्रम में पहला तत्व है, लेकिन कोई अंतिम तत्व नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकल अनंत अनुक्रम या एकतरफा अनंत अनुक्रम कहा जाता है, जब विघटन आवश्यक होता है।इसके विपरीत, एक अनुक्रम जो दोनों दिशाओं में अनंत है—अर्थात जिसमें न तो पहला और न ही कोई अंतिम तत्व है—एक द्वि-अनंत अनुक्रम, दुहरा अनंत अनुक्रम, या दोगुना अनंत अनुक्रम कहलाता है। एक सेट/समूह में सभी पूर्णांकों के सेट/समूह '''Z''' से एक फ़ंक्शन/ फलन, उदाहरण के लिए, सभी सम पूर्णांकों का अनुक्रम (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), है द्वि-अनंत। इस क्रम को निरूपित किया जा सकता है <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math>  


=== बढ़ना और घटना ===
=== बढ़ना और घटना ===
Line 109: Line 109:
* एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद बहुपद हैं।
* एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद बहुपद हैं।
* एक धनात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी-कभी गुणक कहा जाता है, यदि सभी जोड़े n''<sub>'', ''</sub>''m के''<sub>'' ''</sub>''लि''<sub>''ए''</sub>'' एक nm = a n a m जैसे कि n और m सहअभाज्य हों ''<ref>{{cite book|title=Lectures on generating functions|last=Lando|first=Sergei K.|publisher=AMS|isbn=978-0-8218-3481-7|chapter=7.4 Multiplicative sequences|date=2003-10-21}}</ref>'' अन्य उदाहरणों में, अनुक्रमों को अक्सर ''गुणक'' कहा जाता है, यदि सभी ''n'' के ''<sub>''ल''</sub>''िए ''a'' <sub>''n''</sub> = ''na'' <sub>1</sub> है। इसके अलावा, एक ''गुणक'' फाइबोनैचि अनुक्रम ''<ref>{{cite journal|title=Fibonacci's multiplicative sequence|first=Sergio|last=Falcon|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=34|issue=2|pages=310–315|doi=10.1080/0020739031000158362|year = 2003|s2cid=121280842}}</ref>''पुनरावर्तन संबंध ''a'' <sub>''n''</sub> = ''a'' <sub>''n'' −1</sub> ''a'' <sub>''n'' −2</sub> ''<sub>''क''</sub>''ो सं''<sub>''तुष''</sub>''्ट''<sub>'' कर''</sub>''ता है।
* एक धनात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी-कभी गुणक कहा जाता है, यदि सभी जोड़े n''<sub>'', ''</sub>''m के''<sub>'' ''</sub>''लि''<sub>''ए''</sub>'' एक nm = a n a m जैसे कि n और m सहअभाज्य हों ''<ref>{{cite book|title=Lectures on generating functions|last=Lando|first=Sergei K.|publisher=AMS|isbn=978-0-8218-3481-7|chapter=7.4 Multiplicative sequences|date=2003-10-21}}</ref>'' अन्य उदाहरणों में, अनुक्रमों को अक्सर ''गुणक'' कहा जाता है, यदि सभी ''n'' के ''<sub>''ल''</sub>''िए ''a'' <sub>''n''</sub> = ''na'' <sub>1</sub> है। इसके अलावा, एक ''गुणक'' फाइबोनैचि अनुक्रम ''<ref>{{cite journal|title=Fibonacci's multiplicative sequence|first=Sergio|last=Falcon|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=34|issue=2|pages=310–315|doi=10.1080/0020739031000158362|year = 2003|s2cid=121280842}}</ref>''पुनरावर्तन संबंध ''a'' <sub>''n''</sub> = ''a'' <sub>''n'' −1</sub> ''a'' <sub>''n'' −2</sub> ''<sub>''क''</sub>''ो सं''<sub>''तुष''</sub>''्ट''<sub>'' कर''</sub>''ता है।
* एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह।
* एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट/समूह के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह।


== सीमाएं और अभिसरण ==
== सीमाएं और अभिसरण ==
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वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण (वास्तविक में) होता है यदि और केवल यदि यह कॉची (Cauchy) है।
वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण (वास्तविक में) होता है यदि और केवल यदि यह कॉची (Cauchy) है।


इसके विपरीत, तर्कसंगत संख्याओं के कॉची (Cauchy) अनुक्रम हैं जो तर्कसंगतों में अभिसरण नहीं हैं। उदाहरण द्वारा परिभाषित अनुक्रम ''x''<sub>1</sub> = 1 and ''x<sub>n</sub>''<sub>+1</sub> = {{sfrac|''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|1=2|2=''x''<sub>''n''</sub>}}|2}} कॉची (Cauchy) है, लेकिन इसकी कोई तर्कसंगत सीमा नहीं है अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का कोई भी क्रम जो एक अपरिमेय संख्या में परिवर्तित होता है, कॉची (Cauchy) है, लेकिन परिमेय संख्याओं के सेट में अनुक्रम के रूप में व्याख्या किए जाने पर अभिसरण नहीं होता है।
इसके विपरीत, तर्कसंगत संख्याओं के कॉची (Cauchy) अनुक्रम हैं जो तर्कसंगतों में अभिसरण नहीं हैं। उदाहरण द्वारा परिभाषित अनुक्रम ''x''<sub>1</sub> = 1 and ''x<sub>n</sub>''<sub>+1</sub> = {{sfrac|''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|1=2|2=''x''<sub>''n''</sub>}}|2}} कॉची (Cauchy) है, लेकिन इसकी कोई तर्कसंगत सीमा नहीं है अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का कोई भी क्रम जो एक अपरिमेय संख्या में परिवर्तित होता है, कॉची (Cauchy) है, लेकिन परिमेय संख्याओं के सेट/समूह में अनुक्रम के रूप में व्याख्या किए जाने पर अभिसरण नहीं होता है।


अनुक्रमों के लिए अभिसरण के कॉची लक्षण वर्णन को संतुष्ट करने वाले मीट्रिक रिक्त स्थान पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान कहलाते हैं और विश्लेषण के लिए विशेष रूप से अच्छे होते हैं।
अनुक्रमों के लिए अभिसरण के कॉची लक्षण वर्णन को संतुष्ट करने वाले मीट्रिक रिक्त स्थान पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान कहलाते हैं और विश्लेषण के लिए विशेष रूप से अच्छे होते हैं।
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* एक मापीय स्थान सघन होता है जब यह क्रमिक रूप से सघन होता है।
* एक मापीय स्थान सघन होता है जब यह क्रमिक रूप से सघन होता है।
* एक मापीय स्थान से एक अन्य मापीय स्थान तक एक क्रिया लगातार तब होता है जब यह अभिसरण अनुक्रमों को अभिसरण अनुक्रमों में ले जाता है।
* एक मापीय स्थान से एक अन्य मापीय स्थान तक एक क्रिया लगातार तब होता है जब यह अभिसरण अनुक्रमों को अभिसरण अनुक्रमों में ले जाता है।
* एक मापीय स्थान एक जुड़ा हुआ स्थान है यदि और केवल अगर, जब भी स्थान को दो सेटों में विभाजित किया जाता है, तो दो सेटों में से एक में एक अनुक्रम होता है जो दूसरे सेट में एक बिंदु पर परिवर्तित होता है।
* एक मापीय स्थान एक जुड़ा हुआ स्थान है यदि और केवल अगर, जब भी स्थान को दो सेट/समूहों में विभाजित किया जाता है, तो दो सेट/समूहों में से एक में एक अनुक्रम होता है जो दूसरे सेट/समूह में एक बिंदु पर परिवर्तित होता है।
* एक सांस्थिति स्पेस बिल्कुल अलग होता है जब बिंदुओं का घना अनुक्रम होता है।
* एक सांस्थिति स्पेस बिल्कुल अलग होता है जब बिंदुओं का घना अनुक्रम होता है।


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:<math>X := \prod_{i\in\mathbb N} X_i, </math>
:<math>X := \prod_{i\in\mathbb N} X_i, </math>
सभी अनुक्रमों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा है कि प्रत्येक ''मैं'' के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math> .विहित अनुमान मानचित्र हैं ''p<sub>i</sub>'' : ''X'' &#x2192; ''X<sub>i</sub>''  समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math> . फिर x पर उत्पाद सांस्थिति को सबसे मोटे टोपोलॉजी (यानी सबसे कम खुले सेट के साथ सांस्थिति) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए सभी अनुमान ''p <sub>i</sub>'' निरंतर हैं। उत्पाद सांस्थिति को कभी-कभी '''टाइकोनॉफ सांस्थिति''' कहा जाता है।
सभी अनुक्रमों के सेट/समूह के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा है कि प्रत्येक ''मैं'' के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math> .विहित अनुमान मानचित्र हैं ''p<sub>i</sub>'' : ''X'' &#x2192; ''X<sub>i</sub>''  समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math> . फिर x पर उत्पाद सांस्थिति को सबसे मोटे टोपोलॉजी (यानी सबसे कम खुले सेट/समूह के साथ सांस्थिति) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए सभी अनुमान ''p <sub>i</sub>'' निरंतर हैं। उत्पाद सांस्थिति को कभी-कभी '''टाइकोनॉफ सांस्थिति''' कहा जाता है।


=== विश्लेषण ===
=== विश्लेषण ===
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एक अनुक्रम 1 या 0. से अलग एक सूचकांक के साथ शुरू हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक्स द्वारा परिभाषित अनुक्रम<sub>n</sub>= 1/लॉग (n) केवल n of के लिए परिभाषित किया जाएगा। 2. इस तरह के अनंत अनुक्रमों के बारे में बात करते समय, यह आमतौर पर पर्याप्त होता है (और अधिकांश विचारों के लिए बहुत अधिक नहीं बदलता है) यह मानने के लिए कि अनुक्रम के सदस्यों को कम से कम परिभाषित किया गया हैसभी सूचकांक काफी बड़े हैं, अर्थात्, कुछ दिए गए एन से अधिक है।
एक अनुक्रम 1 या 0. से अलग एक सूचकांक के साथ शुरू हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक्स द्वारा परिभाषित अनुक्रम<sub>n</sub>= 1/लॉग (n) केवल n of के लिए परिभाषित किया जाएगा। 2. इस तरह के अनंत अनुक्रमों के बारे में बात करते समय, यह आमतौर पर पर्याप्त होता है (और अधिकांश विचारों के लिए बहुत अधिक नहीं बदलता है) यह मानने के लिए कि अनुक्रम के सदस्यों को कम से कम परिभाषित किया गया हैसभी सूचकांक काफी बड़े हैं, अर्थात्, कुछ दिए गए एन से अधिक है।


सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम। इस प्रकार को कुछ वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।विश्लेषण में, माना जाता है कि वेक्टर रिक्त स्थान अक्सर फ़ंक्शन स्पेस होते हैं।यहां तक कि आम तौर पर, कोई भी कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस में तत्वों के साथ अनुक्रमों का अध्ययन कर सकता है।
सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम। इस प्रकार को कुछ वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।विश्लेषण में, माना जाता है कि वेक्टर रिक्त स्थान अक्सर फ़ंक्शन/ फलन स्पेस होते हैं।यहां तक कि आम तौर पर, कोई भी कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस में तत्वों के साथ अनुक्रमों का अध्ययन कर सकता है।


==== अनुक्रम अंतराल ====
==== अनुक्रम अंतराल ====
एक अनुक्रम स्थान एक दिष्‍ट स्थान है जिसके तत्व वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनंत अनुक्रम हैं। समान रूप से, यह एक क्रिया स्थान है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से फ़ील्ड k तक कार्य करते हैं, जहां k या तो वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। इस तरह के सभी कार्यों के सेट को स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के सेट के साथ पहचाना जाता है, और क्रिया और बिन्दुवार अदिष्ट गुणन के बिन्दुवार जोड़ के संचालन के तहत एक दिष्‍ट स्पेस में बदल दिया जा सकता है। सभी अनुक्रम स्थान इस स्थान के रैखिक उप -समूह हैं। अनुक्रम अंतराल आमतौर पर एक आदर्श, या कम से कम एक सांस्थिति दिष्‍ट स्थान की संरचना से सुसज्जित होते हैं।
एक अनुक्रम स्थान एक दिष्‍ट स्थान है जिसके तत्व वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनंत अनुक्रम हैं। समान रूप से, यह एक क्रिया स्थान है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से फ़ील्ड k तक कार्य करते हैं, जहां k या तो वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। इस तरह के सभी कार्यों के सेट/समूह को स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के सेट/समूह के साथ पहचाना जाता है, और क्रिया और बिन्दुवार अदिष्ट गुणन के बिन्दुवार जोड़ के संचालन के तहत एक दिष्‍ट स्पेस में बदल दिया जा सकता है। सभी अनुक्रम स्थान इस स्थान के रैखिक उप -समूह हैं। अनुक्रम अंतराल आमतौर पर एक आदर्श, या कम से कम एक सांस्थिति दिष्‍ट स्थान की संरचना से सुसज्जित होते हैं।


विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम  ℓ <sup>''पी''</sup> रिक्त स्थान हैं,जिसमें ''पी'' -पावर योग योग्य अनुक्रम शामिल हैं, ''पी'' -मानदंड के साथ। राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर गणना माप के लिए ये L <sup>''p''</sup> रिक्त स्थान के विशेष मामले हैं। अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे अभिसरण अनुक्रम या शून्य अनुक्रम क्रमशः अनुक्रम रिक्त स्थान बनाते हैं, जिन्हें क्रमशः ''c'' और ''c'' <sub>0</sub>, सुपर मानदंड के साथ दर्शाया जाता है। किसी भी अनुक्रम स्थान को बिंदुवार अभिसरण की सांस्थिति से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह एक विशेष प्रकार का फ़्रेचेट स्पेस बन जाता है जिसे FK-space कहा जाता है।
विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम  ℓ <sup>''पी''</sup> रिक्त स्थान हैं,जिसमें ''पी'' -पावर योग योग्य अनुक्रम शामिल हैं, ''पी'' -मानदंड के साथ। राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर गणना माप के लिए ये L <sup>''p''</sup> रिक्त स्थान के विशेष मामले हैं। अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे अभिसरण अनुक्रम या शून्य अनुक्रम क्रमशः अनुक्रम रिक्त स्थान बनाते हैं, जिन्हें क्रमशः ''c'' और ''c'' <sub>0</sub>, सुपर मानदंड के साथ दर्शाया जाता है। किसी भी अनुक्रम स्थान को बिंदुवार अभिसरण की सांस्थिति से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह एक विशेष प्रकार का फ़्रेचेट स्पेस बन जाता है जिसे FK-space कहा जाता है।


=== रैखिक बीजगणित ===
=== रैखिक बीजगणित ===
एक क्षेत्र के अनुक्रम को वेक्टर स्थान में वैक्टर के रूप में भी देखा जा सकता है।विशेष रूप से, एफ-मूल्यवान अनुक्रमों (जहां एफ एक क्षेत्र है) का सेट प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर एफ-मूल्यवान कार्यों का एक फ़ंक्शन स्पेस (वास्तव में, एक उत्पाद स्थान) है।
एक क्षेत्र के अनुक्रम को वेक्टर स्थान में वैक्टर के रूप में भी देखा जा सकता है।विशेष रूप से, एफ-मूल्यवान अनुक्रमों (जहां एफ एक क्षेत्र है) का सेट/समूह प्राकृतिक संख्याओं के सेट/समूह पर एफ-मूल्यवान कार्यों का एक फ़ंक्शन/ फलन स्पेस (वास्तव में, एक उत्पाद स्थान) है।


=== सार बीजगणित ===
=== सार बीजगणित ===
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==== मुफ्त मोनोइड ====
==== मुफ्त मोनोइड ====
यदि A एक सेट है, तो मुक्त मोनॉयड A (निरूपित A)<sup>*</sup>, जिसे क्लेन स्टार भी कहा जाता है) एक मोनॉयड है जिसमें शून्य या अधिक तत्वों के सभी परिमित अनुक्रम (या स्ट्रिंग्स) होते हैं, जिसमें कॉन्टेनेशन के द्विआधारी संचालन के साथ होता है।मुक्त सेमिग्रुप ए<sup>+</sup> एक का उप -समूह है<sup>*</sup> खाली अनुक्रम को छोड़कर सभी तत्वों से युक्त।
यदि A एक सेट/समूह है, तो मुक्त मोनॉयड A (निरूपित A)<sup>*</sup>, जिसे क्लेन स्टार भी कहा जाता है) एक मोनॉयड है जिसमें शून्य या अधिक तत्वों के सभी परिमित अनुक्रम (या स्ट्रिंग्स) होते हैं, जिसमें कॉन्टेनेशन के द्विआधारी संचालन के साथ होता है।मुक्त सेमिग्रुप ए<sup>+</sup> एक का उप -समूह है<sup>*</sup> खाली अनुक्रम को छोड़कर सभी तत्वों से युक्त।


==== सटीक अनुक्रम ====
==== सटीक अनुक्रम ====
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=== धाराएँ ===
=== धाराएँ ===
एक परिमित वर्णमाला से खींचे गए अंकों (या वर्ण) के अनंत अनुक्रम सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में विशेष रुचि रखते हैं। उन्हें अक्सर केवल अनुक्रम या धाराओं के रूप में संदर्भित किया जाता है, जैसा कि परिमित तार के विपरीत होता है।उदाहरण के लिए, अनंत द्विआधारी अनुक्रम, बिट्स के अनंत अनुक्रम हैं (वर्णमाला {0, 1} से खींचे गए वर्ण)।सेट c = {0, 1} सभी अनंत दोहरा अनुक्रमों के सेट सी = {0, 1} को कभी-कभी कैंटर स्पेस कहा जाता है।  
एक परिमित वर्णमाला से खींचे गए अंकों (या वर्ण) के अनंत अनुक्रम सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में विशेष रुचि रखते हैं। उन्हें अक्सर केवल अनुक्रम या धाराओं के रूप में संदर्भित किया जाता है, जैसा कि परिमित तार के विपरीत होता है।उदाहरण के लिए, अनंत द्विआधारी अनुक्रम, बिट्स के अनंत अनुक्रम हैं (वर्णमाला {0, 1} से खींचे गए वर्ण)।सेट/समूह c = {0, 1} सभी अनंत दोहरा अनुक्रमों के सेट/समूह सी = {0, 1} को कभी-कभी कैंटर स्पेस कहा जाता है।  


एक अनंत दोहरा अनुक्रम ''n'' सेट करके एक औपचारिक भाषा (शृंखला का एक सेट) का प्रतिनिधित्व कर सकता है&#x2009;अनुक्रम का वां बिट 1 यदि और केवल यदि ''n''&#x2009;वां शृंखला ( शॉर्टलेक्स क्रम में) भाषा में है। यह निरूपण प्रमाण के लिए विकर्णीकरण विधि में उपयोगी है।<ref name=Oflazer2011>{{cite web|last1=Oflazer|first1=Kemal|title=FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY|url=http://www.andrew.cmu.edu/user/ko/pdfs/lecture-15.pdf|website=cmu.edu|publisher=Carnegie-Mellon University|access-date=24 April 2015}}</ref>
एक अनंत दोहरा अनुक्रम ''n'' सेट/समूह करके एक औपचारिक भाषा (शृंखला का एक सेट/समूह) का प्रतिनिधित्व कर सकता है&#x2009;अनुक्रम का वां बिट 1 यदि और केवल यदि ''n''&#x2009;वां शृंखला ( शॉर्टलेक्स क्रम में) भाषा में है। यह निरूपण प्रमाण के लिए विकर्णीकरण विधि में उपयोगी है।<ref name=Oflazer2011>{{cite web|last1=Oflazer|first1=Kemal|title=FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY|url=http://www.andrew.cmu.edu/user/ko/pdfs/lecture-15.pdf|website=cmu.edu|publisher=Carnegie-Mellon University|access-date=24 April 2015}}</ref>




Line 263: Line 263:
* सूची (कंप्यूटिंग)
* सूची (कंप्यूटिंग)
* नेट (टोपोलॉजी) (अनुक्रमों का एक सामान्यीकरण)
* नेट (टोपोलॉजी) (अनुक्रमों का एक सामान्यीकरण)
* ऑर्डर टोपोलॉजी#ऑर्डिनल-इंडेक्सेड सीक्वेंस | ऑर्डिनल-इंडेक्सेड सीक्वेंस
* क्रम टोपोलॉजी#ऑर्डिनल-इंडेक्स(सूचकांक)ेड सीक्वेंस | ऑर्डिनल-इंडेक्स(सूचकांक)ेड सीक्वेंस
* पुनरावर्ती (कंप्यूटर विज्ञान)
* पुनरावर्ती (कंप्यूटर विज्ञान)
* सेट (गणित)
* सेट/समूह (गणित)
* Tuple
* Tuple
* क्रमपरिवर्तन
* क्रमपरिवर्तन

Revision as of 13:02, 1 August 2022

गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट/समूह की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट/समूह के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट/समूह के विपरीत, क्रम मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स(सूचकांक) सेट/समूह से एक फ़ंक्शन/ फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट/समूह के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है ,