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गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है $a_{n}$ , $b_{n}$ तथा $c_{n}$ , जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के n वें तत्व को संदर्भित करता है; उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का n वां तत्व $F$ आम तौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $F_{n}$ .

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी-कभी तार, शब्द या सूचियां कहा जाता है, अलग-अलग नाम आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीकों से संबंधित होते हैं; अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है। खाली अनुक्रम ( ) अनुक्रम की अधिकांश धारणाओं में शामिल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर इसे बाहर रखा जा सकता है।

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वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।

उदाहरण और संकेतन

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।^[1]^[2] अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और प्रतिरूप या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। क्योंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को टिप्पणी करना अस्पष्टता की ओर ले जाता है। पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए सूचीकरण सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

उदाहरण

File:Fibonacci blocks.svg

वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।

अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, $π$ , 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।^[3]

अनुक्रमण

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ , वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ वेरिएबल n को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है $a_{n}$ । उदाहरण के लिए:

\begin{aligned} a_{1} & = 1 st element of \end{aligned}

[1]

[2]

[3]

@@ Line 145: / Line 145: @@
 वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण (वास्तविक में) होता है यदि और केवल यदि यह कॉची (Cauchy) है।
-इसके विपरीत, तर्कसंगत संख्याओं के कॉची (Cauchy) अनुक्रम हैं जो तर्कसंगतों में अभिसरण नहीं हैं, उदा।द्वारा परिभाषित अनुक्रम
+इसके विपरीत, तर्कसंगत संख्याओं के कॉची (Cauchy) अनुक्रम हैं जो तर्कसंगतों में अभिसरण नहीं हैं। उदाहरण द्वारा परिभाषित अनुक्रम ''x''<sub>1</sub> = 1 and ''x<sub>n</sub>''<sub>+1</sub> = {{sfrac|''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|1=2|2=''x''<sub>''n''</sub>}}|2}} कॉची (Cauchy) है, लेकिन इसकी कोई तर्कसंगत सीमा नहीं है अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का कोई भी क्रम जो एक अपरिमेय संख्या में परिवर्तित होता है, कॉची (Cauchy) है, लेकिन परिमेय संख्याओं के सेट में अनुक्रम के रूप में व्याख्या किए जाने पर अभिसरण नहीं होता है।
-एक्स<sub>1</sub> = 1 और एक्स<sub>''n''+1</sub> = {{sfrac|1=''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|1=2|2=''x''<sub>''n''</sub>}}|2=2}}
-Cauchy है, लेकिन कोई तर्कसंगत सीमा नहीं है, cf.Cauchy अनुक्रम#काउंटर-उदाहरण: तर्कसंगत संख्याएँ | यहाँ |आम तौर पर, तर्कसंगत संख्याओं का कोई भी अनुक्रम जो एक तर्कहीन संख्या में परिवर्तित होता है, वह है, लेकिन तर्कसंगत संख्या के सेट में अनुक्रम के रूप में व्याख्या किए जाने पर अभिसरण नहीं है।
-मीट्रिक रिक्त स्थान जो अनुक्रमों के लिए अभिसरण के कॉची लक्षण वर्णन को संतुष्ट करते हैं, उन्हें पूर्ण मीट्रिक स्थान कहा जाता है और विश्लेषण के लिए विशेष रूप से अच्छे होते हैं।
+अनुक्रमों के लिए अभिसरण के कॉची लक्षण वर्णन को संतुष्ट करने वाले मीट्रिक रिक्त स्थान पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान कहलाते हैं और विश्लेषण के लिए विशेष रूप से अच्छे होते हैं।
 === अनंत सीमाएं ===
-कैलकुलस में, उन अनुक्रमों के लिए संकेतन को परिभाषित करना आम है जो ऊपर चर्चा की गई समझ में अभिसरण नहीं करते हैं, लेकिन जो इसके बजाय मनमाने ढंग से बड़े हो जाते हैं, या बन जाते हैं, या मनमाने ढंग से नकारात्मक रहते हैं।यदि <math>a_n</math> मनमाने ढंग से बड़ा हो जाता है <math>n \to \infty</math>, हम लिखते हैं
+कलन में, अनुक्रमों के लिए संकेतन को परिभाषित करना आम है जो ऊपर चर्चा किए गए अर्थों में अभिसरण नहीं करते हैं, बल्कि जो बदले में एकपक्षीय ढंग से बड़े हो जाते हैं, या बन जाते हैं और एकपक्षीय ढंग से नकारात्मक रहते हैं। यदि <math>a_n</math> के रूप में एकपक्षीय ढंग से बड़ा हो जाता है <math>n \to \infty</math>, हम लिखते हैं
 :<math>\lim_{n\to\infty}a_n = \infty.</math>
-इस मामले में हम कहते हैं कि अनुक्रम विचलन करता है, या यह कि यह अनंत में परिवर्तित हो जाता है।इस तरह के अनुक्रम का एक उदाहरण है {{nowrap|1=''a''<sub>''n''</sub> = ''n''}}।
+इस मामले में हम कहते हैं कि अनुक्रम विचलन करता है, या यह कि यह अनंत में परिवर्तित हो जाता है। इस तरह के अनुक्रम का एक उदाहरण है {{nowrap|1=''a''<sub>''n''</sub> = ''n''}}।
 यदि <math>a_n</math> मनमाने ढंग से नकारात्मक हो जाता है (यानी नकारात्मक और परिमाण में बड़ा) के रूप में <math>n \to \infty</math>, हम लिखते हैं
@@ Line 162: / Line 160: @@
 == श्रृंखला ==
-{{Main|Series (mathematics)}}
+एक श्रृंखला, अनौपचारिक रूप से, एक अनुक्रम की शर्तों का योग है। यही है, यह फॉर्म की अभिव्यक्ति है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> या <math>a_1 + a_2 + \cdots</math>, कहाँ पे <math>(a_n)</math> वास्तविक या जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है। एक श्रृंखला के आंशिक रकम एक परिमित संख्या के साथ अनंत प्रतीक को बदलने के परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति हैं, यानी श्रृंखला का आंशिक आंशिक योग <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> संख्या है।
-एक श्रृंखला, अनौपचारिक रूप से, एक अनुक्रम की शर्तों का योग है।यही है, यह फॉर्म की अभिव्यक्ति है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> या <math>a_1 + a_2 + \cdots</math>, कहाँ पे <math>(a_n)</math> वास्तविक या जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है।एक श्रृंखला के आंशिक रकम एक परिमित संख्या के साथ अनंत प्रतीक को बदलने के परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति हैं, यानी श्रृंखला का आंशिक आंशिक योग <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> संख्या है
 :<math>S_N = \sum_{n = 1}^N a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_N. </math>
-आंशिक रूप से स्वयं एक अनुक्रम बनाते हैं <math>(S_N)_{N\in\mathbb N}</math>, जिसे श्रृंखला के आंशिक रकम का अनुक्रम कहा जाता है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math>।यदि आंशिक रकम का अनुक्रम अभिसरण करता है, तो हम कहते हैं कि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> अभिसरण है, और सीमा है <math display="inline">\lim_{N\to\infty} S_N</math> श्रृंखला का मूल्य कहा जाता है।एक ही संकेतन का उपयोग एक श्रृंखला और उसके मूल्य को निरूपित करने के लिए किया जाता है, यानी हम लिखते हैं <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N</math>।
+आंशिक रूप से स्वयं एक अनुक्रम बनाते हैं <math>(S_N)_{N\in\mathbb N}</math>, जिसे श्रृंखला के आंशिक रकम का अनुक्रम कहा जाता है <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math>। यदि आंशिक रकम का अनुक्रम अभिसरण करता है, तो हम कहते हैं कि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n</math> अभिसरण है, और सीमा है <math display="inline">\lim_{N\to\infty} S_N</math> श्रृंखला का मूल्य कहा जाता है। एक ही संकेतन का उपयोग एक श्रृंखला और उसके मूल्य को निरूपित करने के लिए किया जाता है, यानी हम लिखते हैं <math display="inline">\sum_{n = 1}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N</math>।
 == गणित के अन्य क्षेत्रों में उपयोग करें ==
-=== टोपोलॉजी ===
+=== सांस्थिति ===
-अनुक्रम टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, विशेष रूप से मीट्रिक स्थानों के अध्ययन में।उदाहरण के लिए:
+अनुक्रम सांस्थिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, विशेष रूप से मापीय स्थानों के अध्ययन में। उदाहरण के लिए:
-* एक मीट्रिक स्थान कॉम्पैक्ट होता है जब यह क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है।
+* एक मापीय स्थान सघन होता है जब यह क्रमिक रूप से सघन होता है।
-* एक मीट्रिक स्थान से एक अन्य मीट्रिक स्थान तक एक फ़ंक्शन लगातार तब होता है जब यह अभिसरण अनुक्रमों को अभिसरण अनुक्रमों में ले जाता है।
+* एक मापीय स्थान से एक अन्य मापीय स्थान तक एक क्रिया लगातार तब होता है जब यह अभिसरण अनुक्रमों को अभिसरण अनुक्रमों में ले जाता है।
-* एक मीट्रिक स्थान एक जुड़ा हुआ स्थान है यदि और केवल अगर, जब भी स्थान को दो सेटों में विभाजित किया जाता है, तो दो सेटों में से एक में एक अनुक्रम होता है जो दूसरे सेट में एक बिंदु पर परिवर्तित होता है।
+* एक मापीय स्थान एक जुड़ा हुआ स्थान है यदि और केवल अगर, जब भी स्थान को दो सेटों में विभाजित किया जाता है, तो दो सेटों में से एक में एक अनुक्रम होता है जो दूसरे सेट में एक बिंदु पर परिवर्तित होता है।
-* एक टोपोलॉजिकल स्पेस बिल्कुल अलग होता है जब बिंदुओं का घना अनुक्रम होता है।
+* एक सांस्थिति स्पेस बिल्कुल अलग होता है जब बिंदुओं का घना अनुक्रम होता है।
-अनुक्रमों को नेट या फिल्टर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।ये सामान्यीकरण एक को उपरोक्त सिद्धांतों में से कुछ को मेट्रिक्स के बिना रिक्त स्थान तक बढ़ाने की अनुमति देता है।
+अनुक्रमों को नेट या फिल्टर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ये सामान्यीकरण एक को उपरोक्त सिद्धांतों में से कुछ को मेट्रिक्स के बिना रिक्त स्थान तक बढ़ाने की अनुमति देता है।
-==== उत्पाद टोपोलॉजी ====
+==== उत्पाद सांस्थिति ====
-टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के अनुक्रम का टोपोलॉजिकल उत्पाद उन रिक्त स्थान का कार्टेशियन उत्पाद है, जो उत्पाद टोपोलॉजी नामक एक प्राकृतिक टोपोलॉजी से लैस है।
+सांस्थिति रिक्त स्थान के अनुक्रम का सांस्थिति उत्पाद उन रिक्त स्थान का कार्टेशियन उत्पाद है, जो उत्पाद सांस्थिति नामक एक प्राकृतिक सांस्थिति से लैस है।
 अधिक औपचारिक रूप से, रिक्त स्थान का एक अनुक्रम दिया गया <math>(X_i)_{i\in\mathbb N}</math>, उत्पाद स्थान
 :<math>X := \prod_{i\in\mathbb N} X_i, </math>
-सभी अनुक्रमों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math>।विहित अनुमान नक्शे '' p हैं<sub>i</sub>: X & rarr;एक्स<sub>i</sub>समीकरण द्वारा परिभाषित <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math>।फिर '' x '' पर उत्पाद टोपोलॉजी को सबसे अधिक टोपोलॉजी (यानी सबसे कम खुले सेटों के साथ टोपोलॉजी) के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके लिए सभी अनुमान '' P<sub>i</sub>निरंतर हैं।उत्पाद टोपोलॉजी को कभी -कभी 'टाइकोफ़ टोपोलॉजी' कहा जाता है।
+सभी अनुक्रमों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math> ऐसा है कि प्रत्येक ''मैं'' के लिए, <math>x_i</math> का एक तत्व है <math>X_i</math> .विहित अनुमान मानचित्र हैं ''p<sub>i</sub>'' : ''X'' &#x2192; ''X<sub>i</sub>''  समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math>p_i((x_j)_{j\in\mathbb N}) = x_i</math> . फिर x पर उत्पाद सांस्थिति को सबसे मोटे टोपोलॉजी (यानी सबसे कम खुले सेट के साथ सांस्थिति) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए सभी अनुमान ''p <sub>i</sub>'' निरंतर हैं। उत्पाद सांस्थिति को कभी-कभी '''टाइकोनॉफ सांस्थिति''' कहा जाता है।
 === विश्लेषण ===
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 एक अनुक्रम 1 या 0. से अलग एक सूचकांक के साथ शुरू हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक्स द्वारा परिभाषित अनुक्रम<sub>n</sub>= 1/लॉग (n) केवल n of के लिए परिभाषित किया जाएगा। 2. इस तरह के अनंत अनुक्रमों के बारे में बात करते समय, यह आमतौर पर पर्याप्त होता है (और अधिकांश विचारों के लिए बहुत अधिक नहीं बदलता है) यह मानने के लिए कि अनुक्रम के सदस्यों को कम से कम परिभाषित किया गया हैसभी सूचकांक काफी बड़े हैं, अर्थात्, कुछ दिए गए एन से अधिक है।
-सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम।इस प्रकार को कुछ वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।विश्लेषण में, माना जाता है कि वेक्टर रिक्त स्थान अक्सर फ़ंक्शन स्पेस होते हैं।यहां तक कि आम तौर पर, कोई भी कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस में तत्वों के साथ अनुक्रमों का अध्ययन कर सकता है।
+सबसे प्राथमिक प्रकार के अनुक्रम संख्यात्मक हैं, अर्थात् वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम। इस प्रकार को कुछ वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।विश्लेषण में, माना जाता है कि वेक्टर रिक्त स्थान अक्सर फ़ंक्शन स्पेस होते हैं।यहां तक कि आम तौर पर, कोई भी कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस में तत्वों के साथ अनुक्रमों का अध्ययन कर सकता है।
-==== अनुक्रम रिक्त स्थान ====
+==== अनुक्रम अंतराल ====
-{{main|Sequence space}}
+एक अनुक्रम स्थान एक दिष्‍ट स्थान है जिसके तत्व वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनंत अनुक्रम हैं। समान रूप से, यह एक क्रिया स्थान है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से फ़ील्ड k तक कार्य करते हैं, जहां k या तो वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। इस तरह के सभी कार्यों के सेट को स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के सेट के साथ पहचाना जाता है, और क्रिया और बिन्दुवार अदिष्ट गुणन के बिन्दुवार जोड़ के संचालन के तहत एक दिष्‍ट स्पेस में बदल दिया जा सकता है। सभी अनुक्रम स्थान इस स्थान के रैखिक उप -समूह हैं। अनुक्रम अंतराल आमतौर पर एक आदर्श, या कम से कम एक सांस्थिति दिष्‍ट स्थान की संरचना से सुसज्जित होते हैं।
-एक अनुक्रम स्थान एक वेक्टर स्थान है जिसके तत्व वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनंत अनुक्रम हैं।समान रूप से, यह एक फ़ंक्शन स्थान है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से फ़ील्ड k तक कार्य करते हैं, जहां k या तो वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।इस तरह के सभी कार्यों के सेट को स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के सेट के साथ पहचाना जाता है, और फ़ंक्शन और पॉइंटवाइज स्केलर गुणन के पॉइंटवाइज जोड़ के संचालन के तहत एक वेक्टर स्पेस में बदल दिया जा सकता है।सभी अनुक्रम स्थान इस स्थान के रैखिक उप -समूह हैं।अनुक्रम रिक्त स्थान आमतौर पर एक आदर्श, या कम से कम एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान की संरचना से सुसज्जित होते हैं।
-विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम रिक्त स्थान ℓ हैं<sup>P </sup> स्पेस, P-Power Surmable अनुक्रमों से मिलकर, P-Norm के साथ।ये एल के विशेष मामले हैं<sup>पी </sup> प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर गिनती के उपाय के लिए रिक्त स्थान।अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे कि अभिसरण अनुक्रम या अनुक्रम_स्पेस#c, _c0_and_c00 | null अनुक्रम फॉर्म अनुक्रम रिक्त स्थान, क्रमशः c और c को निरूपित किया गया<sub>0</sub>, सुपर मानदंड के साथ।किसी भी अनुक्रम स्थान को पॉइंटवाइज कन्वर्जेंस की टोपोलॉजी से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह एक विशेष प्रकार का फ्रैचेट स्पेस बन जाता है जिसे एफके-स्पेस कहा जाता है।
+विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम  ℓ <sup>''पी''</sup> रिक्त स्थान हैं,जिसमें ''पी'' -पावर योग योग्य अनुक्रम शामिल हैं, ''पी'' -मानदंड के साथ। राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर गणना माप के लिए ये L <sup>''p''</sup> रिक्त स्थान के विशेष मामले हैं। अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे अभिसरण अनुक्रम या शून्य अनुक्रम क्रमशः अनुक्रम रिक्त स्थान बनाते हैं, जिन्हें क्रमशः ''c'' और ''c'' <sub>0</sub>, सुपर मानदंड के साथ दर्शाया जाता है। किसी भी अनुक्रम स्थान को बिंदुवार अभिसरण की सांस्थिति से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह एक विशेष प्रकार का फ़्रेचेट स्पेस बन जाता है जिसे FK-space कहा जाता है।
 === रैखिक बीजगणित ===
@@ Line 205: / Line 201: @@
 === सार बीजगणित ===
-सार बीजगणित कई प्रकार के अनुक्रमों को नियोजित करता है, जिसमें गणितीय वस्तुओं जैसे समूहों या छल्ले के अनुक्रम शामिल हैं।
+सार बीजगणित कई प्रकार के अनुक्रमों को नियोजित करता है, जिसमें गणितीय वस्तुओं के अनुक्रम जैसे समूह या  वलय शामिल हैं।
 ==== मुफ्त मोनोइड ====
-{{Main|Free monoid}}
 यदि A एक सेट है, तो मुक्त मोनॉयड A (निरूपित A)<sup>*</sup>, जिसे क्लेन स्टार भी कहा जाता है) एक मोनॉयड है जिसमें शून्य या अधिक तत्वों के सभी परिमित अनुक्रम (या स्ट्रिंग्स) होते हैं, जिसमें कॉन्टेनेशन के द्विआधारी संचालन के साथ होता है।मुक्त सेमिग्रुप ए<sup>+</sup> एक का उप -समूह है<sup>*</sup> खाली अनुक्रम को छोड़कर सभी तत्वों से युक्त।

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