गणित: Difference between revisions

=== संख्या सिद्धांत ===

[[File:Spirale_Ulam_150.jpg|thumb|250x250px | यह उलम सर्पिल है, जो प्रमुख संख्याओं के वितरण को दर्शाता है।सर्पिल संकेत में अंधेरे विकर्ण रेखाएं प्राइम होने और एक द्विघात बहुपद का मूल्य होने के बीच अनुमानित स्वतंत्रता पर परिकल्पना की गई, एक अनुमान जिसे अब उलम सर्पिल#हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान के रूप में जाना जाता है। हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ।]]

संख्या सिद्धांत संख्याओं के प्रकलन के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं <math>(\mathbb{N}),</math> और बाद में पूर्णांक <math>(\Z)</math> और परिमेय संख्या <math>(\Q).</math> तक विस्तारित हुईं। पहले संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल इस शब्द का प्रयोग संख्यात्मक गणना के लिए किया जाता है।

=== ज्यामिति ===

ज्यामिति गणित की प्राचीनतम शाखाओं में से एक है। यह आकृतियों से संबंधित अनुभवजन्य व्यंजनों के साथ शुरू हुआ, जैसे कि रेखाएं, कोण और मंडल, जिन्हें मुख्य रूप से सर्वेक्षण और वास्तुकला की जरूरतों के लिए विकसित किया गया था, लेकिन तब से कई अन्य उपक्षेत्रों में खिल गए हैं।

=== बीजगणित ===

बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में प्रकलन की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था।

=== कलन और विश्लेषण ===

कलन, जिसे पहले अतिसूक्ष्म कलन कहा जाता था, को स्वतंत्र रूप से और साथ ही साथ 17 वीं शताब्दी के गणितज्ञ न्यूटन और लाइबनिज़ द्वारा प्रस्तावित किया गया था। यह मूल रूप से एक दूसरे पर निर्भर चरों के संबंध का अध्ययन है। कलन का विस्तार 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा एक फलन की अवधारणा और कई अन्य परिणामों के साथ किया गया था। वर्तमान में, "कलन" मुख्य रूप से इस सिद्धांत के प्रारंभिक भाग को संदर्भित करता है, और "विश्लेषण" का उपयोग आमतौर पर उन्नत भागों के लिए किया जाता है।

=== विविक्त गणित ===

असतत गणित, मोटे तौर पर, परिमित गणितीय वस्तुओं का अध्ययन है। क्योंकि यहां अध्ययन की वस्तुएं असतत हैं, कलन और गणितीय विश्लेषण के तरीके सीधे लागू नहीं होते हैं।{{efn|However, some advanced methods of analysis are sometimes used; for example, methods of [[complex analysis]] applied to [[generating series]].}} एल्गोरिदम – विशेष रूप से उनके कार्यान्वयन और अभिकलनात्मक जटिलता – असतत गणित में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

=== गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत ===

गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत के दो विषय दोनों 19 वीं शताब्दी के अंत से गणित से संबंधित हैं। इस अवधि से पहले, सेटों को गणितीय वस्तुएं नहीं माना जाता था, और तर्क, हालांकि गणितीय प्रमाणों के लिए उपयोग किया जाता था, दर्शन से संबंधित था, और विशेष रूप से गणितज्ञों द्वारा अध्ययन नहीं किया गया था।

इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और अभिकलनात्मक जटिलता सिद्धांत जैसे उपक्षेत्रों के साथ। हालांकि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले प्रस्तावित किया गया था, लेकिन संकलक डिजाइन, प्रोग्राम प्रमाणन, प्रूफ सहायक और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref>

=== अनुप्रयुक्त गणित ===

अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। अनुप्रयुक्त गणित शब्द उस प्रस्तावितेवर विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर कार्य करते हैं; व्यावहारिक समस्याओं पर केंद्रित एक प्रस्ताविते के रूप में, अनुप्रयुक्त गणित "गणितीय मॉडल के निर्माण, अध्ययन और उपयोग" पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}}

अतीत में, प्रायोगिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने लिए विकसित किया गया है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित की गतिविधि विशुद्ध रूप से शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}}

=== सांख्यिकी और अन्य निर्णय विज्ञान ===

अनुप्रयुक्त गणित में सांख्यिकी के अनुशासन के साथ महत्वपूर्ण ओवरलैप है, जिसका सिद्धांत गणितीय रूप से तैयार किया गया है, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत।{{Definition needed|define statistics|date=June 2022}} सांख्यिकीविद (एक शोध परियोजना के हिस्से के रूप में काम कर रहे हैं) यादृच्छिक नमूने और यादृच्छिक प्रयोगों के साथ "डेटा बनाएं जो समझ में आता है";<ref>[[C.R. Rao|Rao, C.R.]] (1997) ''Statistics and Truth: Putting Chance to Work'', World Scientific. {{isbn|978-981-02-3111-8}}</ref> सांख्यिकीय नमूने या प्रयोग का डिजाइन डेटा के विश्लेषण को निर्दिष्ट करता है (डेटा उपलब्ध होने से पहले)। प्रयोगों और नमूनों से डेटा पर पुनर्विचार करते समय या अवलोकन संबंधी अध्ययनों से डेटा का विश्लेषण करते समय, सांख्यिकीविद मॉडलिंग की कला और अनुमान के सिद्धांत का उपयोग करके मॉडल चयन और अनुमान के साथ "डेटा का अर्थ बनाते हैं", नए डेटा पर अनुमानित मॉडल और परिणामी भविष्यवाणियों का परीक्षण किया जाना चाहिए।{{Clarification needed|reason=clarify this paragraph (not the footnote!) - too wordy and unclear|date=June 2022}}{{efn|Like other mathematical sciences such as [[physics]] and [[computer science]], statistics is an autonomous discipline rather than a branch of applied mathematics. Like research physicists and computer scientists, research statisticians are mathematical scientists. Many statisticians have a degree in mathematics, and some statisticians are also mathematicians.}}

सांख्यिकीय सिद्धांत निर्णय की समस्याओं का अध्ययन करता है जैसे कि सांख्यिकीय कार्रवाई के जोखिम (अपेक्षित नुकसान) को कम करना, जैसे कि एक प्रक्रिया का उपयोग करना, उदाहरण के लिए, पैरामीटर अनुमान, परिकल्पना परीक्षण, और सर्वोत्तम का चयन करना। गणितीय आँकड़ों के इन पारंपरिक क्षेत्रों में, विशिष्ट बाधाओं के तहत, अपेक्षित हानि या लागत जैसे एक उद्देश्य समारोह को कम करके एक सांख्यिकीय-निर्णय समस्या तैयार की जाती है: उदाहरण के लिए, एक सर्वेक्षण को डिजाइन करने में अक्सर किसी दिए गए जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने की लागत को कम करना शामिल होता है आत्मविश्वास का स्तर।<ref name="RaoOpt">{{cite book |editor1-last=Arthanari |editor1-first=T.S. |editor2-last=Dodge |editor2-first=Yadolah |editor2-link=Yadolah Dodge |last=Rao |first=C.R. |author-link=C.R. Rao |chapter=Foreword |title=Mathematical programming in statistics |series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |publisher=Wiley |location=New York |year=1981 |pages=vii–viii |isbn=978-0-471-08073-2 |mr=607328 }}</ref> इसके अनुकूलन के उपयोग के कारण, सांख्यिकी का गणितीय सिद्धांत अन्य निर्णय विज्ञानों, जैसे संचालन अनुसंधान, नियंत्रण सिद्धांत और गणितीय अर्थशास्त्र के साथ अतिव्याप्त है।<ref name="Whittle">{{harvtxt|Whittle|1994|pp=10–11, 14–18}}: {{cite book |first=Peter |last=Whittle |author-link=Peter Whittle (mathematician) |chapter=Almost home |editor-link=Frank Kelly (mathematician) |editor-first=F.P. |editor-last=Kelly |year=1994 |title=Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle |location=Chichester |publisher=John Wiley |isbn=978-0-471-94829-2 |pages=1–28 |chapter-url=http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |edition=previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)" |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20131219080017/http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |archive-date=December 19, 2013 |df=mdy-all }}</ref>

=== अभिकलन गणित ===

अभिकलनात्मक गणित गणितीय समस्याओं का अध्ययन है जो आम तौर पर मानव, संख्यात्मक क्षमता के लिए बहुत बड़ी होती है। कार्यात्मक विश्लेषण और सन्निकटन सिद्धांत का उपयोग करके विश्लेषण में समस्याओं के लिए संख्यात्मक विश्लेषण अध्ययन विधियों, संख्यात्मक विश्लेषण में मोटे तौर पर सन्निकटन और विवेकीकरण का अध्ययन शामिल है, जिसमें गोल करने वाली त्रुटियों पर विशेष ध्यान दिया जाता है। संख्यात्मक विश्लेषण और, अधिक व्यापक रूप से, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग गणितीय विज्ञान के गैर-विश्लेषणात्मक विषयों, विशेष रूप से एल्गोरिथम-आव्यूह-और-ग्राफ सिद्धांत का भी अध्ययन करती है। अभिकलनात्मक गणित के अन्य क्षेत्रों में कंप्यूटर बीजगणित और प्रतीकात्मक संगणना शामिल है।

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== इतिहास ==

==== प्राचीन ====

== प्रस्तावित परिभाषाएँ ==

गणित की सटीक परिभाषा या ज्ञान-मीमांसा संबंधी स्थिति के बारे में कोई आम सहमति नहीं है।<ref name="Mura">{{cite journal|author=Mura, Roberta|date=Dec 1993|title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences|journal=Educational Studies in Mathematics|volume=25|issue=4|pages=375–85|doi=10.1007/BF01273907|jstor=3482762|s2cid=122351146}}</ref><ref name="Runge">{{cite book|author1=Tobies, Renate|title=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry|author2=Helmut Neunzert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-0348-0229-1|page=9 |url=https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 |quote=[I]t is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.|author1-link=Renate Tobies|name-list-style=amp}}</ref> बहुत से प्रस्तावितेवर गणितज्ञ गणित की परिभाषा में कोई दिलचस्पी नहीं लेते, या इसे अपरिभाषित मानते हैं।<ref name="Mura" /> गणित एक कला है या विज्ञान, इस पर भी आम सहमति नहीं है।<ref name="Runge" /> कुछ लोग कहते हैं, "गणित वही है जो गणितज्ञ करते हैं।"<ref name="Mura" />

19वीं शताब्दी में, जब गणित का अध्ययन कठोरता में बढ़ा और समूह सिद्धांत और प्रक्षेपी ज्यामिति जैसे अमूर्त विषयों को संबोधित करना शुरू किया, जिनका मात्रा और माप से कोई स्पष्ट संबंध नहीं है, गणितज्ञों और दार्शनिकों ने विभिन्न प्रकार की नई परिभाषाओं का प्रस्ताव करना शुरू किया।<ref name="Cajori">{{cite book|author=Cajori, Florian|title=A History of Mathematics|publisher=American Mathematical Society (1991 reprint)|year=1893|isbn=978-0-8218-2102-2|pages=[https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86]|author-link=Florian Cajori}}</ref> आज भी, दार्शनिक गणित के दर्शन में प्रश्नों से निपटना जारी रखते हैं, जैसे कि गणितीय प्रमाण की प्रकृति।<ref>{{cite book |title=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |author1=Gold, Bonnie|author1-link=Bonnie Gold |author2=Simons, Rogers A. |publisher=MAA |year=2008}}</ref>

== तार्किक विवेचन ==

गणितज्ञ गलत "प्रमेयों" से बचने के लिए व्यवस्थित तर्क के साथ अपने परिणामों को विकसित करने का प्रयास करते हैं। ये झूठे प्रमाण अक्सर गलत धारणाओं से उत्पन्न होते हैं और गणित के इतिहास में आम हैं। निगमनात्मक तर्क की अनुमति देने के लिए, कुछ बुनियादी मान्यताओं को स्पष्ट रूप से स्वयंसिद्धों के रूप में स्वीकार करने की आवश्यकता है। परंपरागत रूप से, इन स्वयंसिद्धों को सामान्य ज्ञान के आधार पर चुना गया था, लेकिन आधुनिक स्वयंसिद्ध आमतौर पर आदिम धारणाओं के लिए औपचारिक गारंटी व्यक्त करते हैं, जैसे कि साधारण वस्तुएं और संबंध।

गणित की समझ के बावजूद, कई प्रमाणों को व्यक्त करने के लिए सैकड़ों पृष्ठों की आवश्यकता होती है। कंप्यूटर-समर्थित प्रमाणों के उद्भव ने प्रूफ की लंबाई को और अधिक विस्तारित करने की अनुमति दी है। यदि प्रमाणित सॉफ़्टवेयर में खामियां हैं और यदि वे लंबे हैं, तो जांचना मुश्किल है, तो सहायक प्रमाण गलत हो सकते हैं।{{efn|For considering as reliable a large computation occurring in a proof, one generally requires two computations using independent software}}<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{isbn|978-0-7167-1953-3}}. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).</ref> दूसरी ओर, प्रूफ असिस्टेंट उन विवरणों के सत्यापन की अनुमति देते हैं जो हस्तलिखित प्रमाण में नहीं दिए जा सकते हैं, और 255-पृष्ठ फीट-थॉम्पसन प्रमेय जैसे लंबे सबूतों की शुद्धता की निश्चितता प्रदान करते हैं।{{efn|The book containing the complete proof has more than 1,000 pages.}}

== प्रतीकात्मक संकेतन ==

[[File:Leonhard Euler 2.jpg|upright|thumb|लियोनहार्ड यूलर ने आज इस्तेमाल किए गए गणितीय संकेतन का बहुत कुछ बनाया और लोकप्रिय बनाया।]]

विशेष भाषा के अतिरिक्त, समकालीन गणित विशेष अंकन का अत्यधिक उपयोग करता है। ये प्रतीक गणितीय विचारों की अभिव्यक्ति को सरल बनाने और नियमित नियमों का पालन करने वाले नियमित संचालन की अनुमति देकर, कठोरता में भी योगदान देते हैं। आधुनिक अंकन गणित को निपुण के लिए अधिक कुशल बनाता है, हालांकि शुरुआती इसे कठिन पा सकते हैं।

== रचनात्मकता और अंतर्ज्ञान ==

[[File:Wikidata-wikiproject-mathematics.png|alt=Eulerकी पहचान | thumb | यूलर की पहचान, जिसे रिचर्ड फेनमैन ने एक बार गणित में सबसे उल्लेखनीय सूत्र कहा था <ref>{{cite web| url=https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html#Ch22-S5 |title= The Feynman Lectures on Physics, Volume I (section 22–5 'Complex numbers')}} &mdash; Actually, Feynman referred to the more general formula <math>e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin \theta</math>, known as Euler's formula.</ref>]]

शुद्धता और कठोरता की आवश्यकता का मतलब यह नहीं है कि गणित में रचनात्मकता के लिए कोई जगह नहीं है। इसके विपरीत, रटने की गणना से परे अधिकांश गणितीय कार्यों के लिए चतुर समस्या-समाधान की आवश्यकता होती है और सहज रूप से उपन्यास के दृष्टिकोण की खोज की जाती है।