टॉर्शन टेंसर: Difference between revisions

Revision as of 08:17, 7 December 2022

जियोडेसिक के साथ आघूर्ण बल।

अवकलन ज्यामिति में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक गतिमान तंत्र के मोड़ या पेंच सिद्धांत को चिह्नित करने का एक तरीका है। एक वक्र का आघूर्ण बल, जैसा कि फ्रेनेट-सेरेट सूत्रों में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है(या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी आघूर्ण बल वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। वक्रता की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े वक्र के साथ लुढ़कते हैं।

आम तौर पर अधिक, सजातीय संयोजन(अर्थात, स्पर्शरेखा समूह में एक संयोजन(सदिश समूह)) से सुसज्जित एक अलग-अलग बहुविध पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे समानांतर परिवहन करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक प्रदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध सदिश मूल्यवान 2-विधि के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ अवकलनीय बहुविध पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र X और Y के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।

T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

जहां [X,Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है।

अल्पान्तरी की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले सजातीय संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक अनूठा संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, तथा लेवी-सिविता संयोजन को अन्य, संभवतः गैर-मापीय स्थितियों(जैसे फिन्सलर ज्यामिति) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे विरूपण प्रदिश कहा जाता है। जी-संरचनाओं और कार्टन की तुल्यता पद्धति के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित प्रक्षेप्य संयोजन के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। सापेक्षता सिद्धांत में, इस तरह के विचारों को आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत के रूप में लागू किया गया है।

आघूर्ण बल प्रदिश

M को स्पर्शरेखा समूह(उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) ∇ पर एक स जातीय संयोजन के साथ बहुविध होने दें। ∇ का 'आघूर्ण बल प्रदिश '(कभी-कभी कार्टन(आघूर्ण बल) प्रदिश कहा जाता है) सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित सदिश-मूल्यवान 2-विधि है ,

T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

जहाँ [X, Y] दो सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक है। लीबनिज नियम(सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी सहज फलन f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) होता है। तो टी तन्यता है, संयोजक(सदिश समूह) के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर प्रचालक है, यह स्पर्शरेखा सदिशो पर 2-विधि देता है, जबकि सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल सदिश क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।

आघूर्ण बल प्रदिश के घटक

स्पर्शरेखा समूह के वर्गों के स्थानीय आधार (e₁, ..., e_n) के संदर्भ में आघूर्ण बल प्रदिश $T^{c}{}_{ab}$ के घटकों को X = e_i ,Y = e_j कम्यूटेटर गुणांक γ^k_ije_k := [e_i, e_j] का परिचय देकर समायोजन करके प्राप्त किया जा सकता है। आघूर्ण बल के घटक तब हैं,

T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.

यहां ${\Gamma ^{k}}_{ij}$ संयोजन को परिभाषित करने वाले संयोजन गुणांक हैं। यदि आधार होलोनोमिक है तो लाई कोष्ठक गायब हो जाते हैं, $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$ . इसलिए $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ । विशेष रूप से(नीचे देखें), जबकि अल्पान्तरी संयोजन के सममित भाग को निर्धारित करता है, आघूर्ण बल प्रदिश प्रतिसममित भाग को निर्धारित करता है।

आघूर्ण बल रूप

आघूर्ण बल रूप, आघूर्ण बल का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन, कई गुना एम के फ्रेम समूह एफएम पर लागू होता है। यह मुख्य समूह एक कनेक्शन(प्रिंसिपल समूह) ω, a gl(n) से लैस है - वैल्यू वन-फॉर्म जो gl(n' में सही एक्शन के जनरेटर के लिए वर्टिकल वैक्टर को मैप करता है। ') और FM के स्पर्शरेखा समूह पर GL(n) की सही क्रिया को समान रूप से परस्पर जोड़ता है, जो कि gl(n) पर एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ है। फ्रेम बंडल में एक सोल्डर फॉर्म भी होता है। कैनोनिकल वन-फॉर्म θ, आर में मानों के साथⁿ, एक फ्रेम में परिभाषित u ∈ F_xM (एक रैखिक कार्य के रूप में माना जाता है u : Rn → T_xM) द्वारा

\theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))

कहाँ पे π : FM → M प्रिंसिपल समूह के लिए प्रोजेक्शन मैपिंग है और π∗ इसका पुश-फॉरवर्ड है। आघूर्ण बल रूप तब है

Θ =

@@ Line 125: / Line 125: @@
 == अल्पान्तरी और आघूर्ण बल का अवशोषण ==
-मान लीजिए कि γ(t) M पर एक वक्र है। तब γ एक 'सजातीय रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी है, बशर्ते कि γ के प्रक्षेत्र में सभी समय t के लिए समीकरण
+मान लीजिए कि γ(t) M पर एक वक्र है। तब γ एक 'सजातीय रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी है, बशर्ते कि γ के प्रक्षेत्र में सभी समय t के लिए समीकरण,
 :<math>\nabla_{\dot{\gamma}(t)}\dot{\gamma}(t) = 0</math> हो।
-(यहां डॉट टी के संबंध में भेदभाव को दर्शाता है, जो γ के साथ स्पर्शरेखा सदिश को संकेत करता है।) {{nowrap|1=''t'' = 0}}, <math>\dot{\gamma}(0)</math>.
+(यहां डॉट टी के संबंध में भेदभाव को दर्शाता है, जो γ के साथ स्पर्शरेखा सदिश को संकेत करता है।) प्रत्येक अल्पान्तरी समय  {{nowrap|1=''t'' = 0}}, <math>\dot{\gamma}(0)</math> पर अपने प्रारंभिक स्पर्शरेखा सदिश द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।
-एक संयोजन के आघूर्ण बल के एक अनुप्रयोग में अल्पान्तरी विस्मय शामिल होता है: मोटे तौर पर सभी समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी का परिवार। आघूर्ण बल उनके अल्पान्तरी विस्मय के संदर्भ में संयोजक को वर्गीकृत करने की अस्पष्टता है:
+मोटे तौर पर सभी समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी का परिवार, एक संयोजन के आघूर्ण बल के एक अनुप्रयोग में [[अल्पान्तरी विस्मय]] शामिल होता है। आघूर्ण बल उनके अल्पान्तरी विस्मय के संदर्भ में संयोजक को वर्गीकृत करने की अस्पष्टता है,
-* दो संयोजक ∇ और ∇' जिनमें समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी(अर्थात, एक ही अल्पान्तरी विस्मय) है, केवल आघूर्ण बल से भिन्न हैं।<ref>See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6.  See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.</ref>
+* दो संयोजक ∇ और ∇' जिनमें समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी(अर्थात, एक ही अल्पान्तरी विस्मय) केवल आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं।<ref>See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6.  See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.</ref>
-अधिक सटीक रूप से, यदि X और Y स्पर्शरेखा सदिशों की एक जोड़ी हैं {{nowrap|''p'' ∈ ''M''}}, तो मान लें
+अधिक सटीक रूप से, यदि X और Y {{nowrap|''p'' ∈ ''M''}} पर स्पर्शरेखा सदिशों की एक जोड़ी हैं , तो मान लें लीजिए कि
 :<math>\Delta(X,Y)=\nabla_X\tilde{Y}-\nabla'_X\tilde{Y}</math>
-<nowiki>पी से दूर एक्स और वाई के मनमाने विस्तार के संदर्भ में गणना की गई दो संयोजकों का अंतर हो। उत्पाद नियम से, कोई देखता है कि Δ वास्तव में X और Y पर कैसे निर्भर नहीं करता है{{</nowiki>&prime;<nowiki>}} विस्तारित हैं(इसलिए यह M पर एक प्रदिश को परिभाषित करता है)। एस और ए को Δ के समकालिक और वैकल्पिक हिस्से होने दें:</nowiki>
+दो संयोजकों का अंतर हो, जिसकी गणना p से दूर X और Y के मनमाने विस्तार के रूप में की जाती है। [[लीबनिज उत्पाद नियम]] से, कोई देखता है कि Δ वास्तव में इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि X और Y कैसे विस्तारित हैं विस्तारित हैं (इसलिए यह M पर एक प्रदिश को परिभाषित करता है)। S और A को Δ के समकालिक और वैकल्पिक हिस्से होने दें,
 :<math>S(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)+\Delta(Y,X)\right)</math>
 :<math>A(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)-\Delta(Y,X)\right)</math>
-तब
+क्योकि
 * <math>A(X,Y) = \tfrac12\left(T(X,Y) - T'(X,Y)\right)</math> आघूर्ण बल‌ प्रदिश का अंतर है।
-* ∇ और ∇' समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी  के समान परिवारों को परिभाषित करते हैं यदि और केवल यदि {{nowrap|1=''S''(''X'', ''Y'') = 0}}.
+* ∇ और ∇' समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी  के समान परिवारों को परिभाषित करते हैं यदि केवल {{nowrap|1=''S''(''X'', ''Y'') = 0}}.
-दूसरे शब्दों में, दो संयोजकों के अंतर का समकालिक भाग यह निर्धारित करता है कि क्या उनके पास समान प्रचलीकरण अल्पान्तरी  है, जबकि अंतर का तिरछा हिस्सा दो संयोजकों के सापेक्ष आघूर्ण बल से निर्धारित होता है। एक और परिणाम है:
+दूसरे शब्दों में, दो संयोजकों के अंतर का समकालिक भाग यह निर्धारित करता है कि क्या उनके पास समान प्रचलीकरण अल्पान्तरी  है, जबकि अंतर का तिरछा हिस्सा दो संयोजकों के सापेक्ष आघूर्ण बल से निर्धारित होता है। एक और परिणाम यह है,
-* किसी भी संबंध संबंध को देखते हुए ∇, एक अद्वितीय आघूर्ण बल-मुक्त संयोजक ∇′ है, जो समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी  के एक ही परिवार के साथ है। इन दो संयोजकों के बीच का अंतर वास्तव में एक प्रदिश, विरूपण प्रदिश है।
+* किसी भी संबंध को देखते हुए ∇, एक अद्वितीय आघूर्ण बल-मुक्त संयोजक ∇′ है, जो समान रूप से प्रचलीकरण अल्पान्तरी  के एक ही परिवार के साथ है। इन दो संयोजकों के बीच का अंतर वास्तव में एक प्रदिश[[, विरूपण प्रदिश]] है।
-यह सामान्य संबंध(संभवतः गैर-मीट्रिक) संयोजक के लिए रिमेंनियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेय का सामान्यीकरण है।
+यह सामान्य संबंध(संभवतः गैर-मापीय) संयोजक के लिए [[रीमानी ज्यमिति के मौलिक प्रमेय]] का सामान्यीकरण है।
 == यह भी देखें ==

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आघूर्ण बल प्रदिश

आघूर्ण बल प्रदिश के घटक

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