टॉर्शन टेंसर: Difference between revisions

Revision as of 22:01, 4 December 2022

जियोडेसिक के साथ मरोड़।

अवकलन ज्यामिति में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक गतिमान तंत्र के मोड़ या पेंच सिद्धांत को चिह्नित करने का एक तरीका है। एक वक्र का आघूर्ण बल, जैसा कि फ्रेनेट-सेरेट सूत्रों में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है (या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी आघूर्ण बल वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। वक्रता की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े वक्र के साथ लुढ़कते हैं।

आम तौर पर अधिक, सजातीय संयोजन (यानी, स्पर्शरेखा समूह में एक संयोजन (सदिश समूह)) से सुसज्जित एक अलग-अलग बहुविध पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे समानांतर परिवहन करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक प्रदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध सदिश मूल्यवान 2-विधि के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ अवकलनीय बहुविध पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र X और Y के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।

T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

जहां [X,Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है।

अल्पान्तरी की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले सजातीय संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक अनूठा संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, तथा लेवी-सिविता संयोजन को अन्य, संभवतः गैर-मापीय स्थितियों (जैसे फिन्सलर ज्यामिति) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे विरूपण प्रदिश कहा जाता है। जी-संरचनाओं और कार्टन की तुल्यता पद्धति के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित प्रक्षेप्य संयोजन के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। सापेक्षता सिद्धांत में, इस तरह के विचारों को आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत के रूप में लागू किया गया है।

मरोड़ टेंसर

M को स्पर्शरेखा समूह (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) ∇ पर एक affine कनेक्शन के साथ कई गुना होने दें। ∇ का 'मरोड़ टेन्सर' (कभी-कभी कार्टन (मरोड़) टेन्सर कहा जाता है) सदिश-मूल्यवान रूप है | सदिश-मूल्यवान 2-रूप सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित

T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

कहाँ पे [X, Y] दो सदिश क्षेत्रों के सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक है। लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी सुचारू कार्य f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y)। इसलिए टी टेंसोरियल है, कनेक्शन (वेक्टर समूह) के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर ऑपरेटर है: यह स्पर्शरेखा वैक्टर पर 2-फॉर्म देता है, जबकि सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल वेक्टर क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।

मरोड़ टेंसर के घटक

आघूर्ण बल प्रदिश के घटक $T^{c}{}_{ab}$ सदिश स्थान के स्थानीय आधार के संदर्भ में (e₁, ..., e_n) स्पर्शरेखा समूह के खंड (फाइबर समूह) की स्थापना करके प्राप्त किया जा सकता है X = e_i, Y = e_j और कम्यूटेटर गुणांक का परिचय देकर γ^k_ije_k := [e_i, e_j]. मरोड़ के घटक तब हैं

T^{k}_{i j} := Γ^{k}_{i j} - Γ^{k}_{j i} - γ^{k}_{i j}

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 [[File:Torsion along a geodesic.svg|right|thumb|जियोडेसिक के साथ मरोड़।]][[विभेदक ज्यामिति|अवकलन ज्यामिति]] में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक [[गतिमान]] [[तंत्र]] के मोड़ या [[पेंच]] सिद्धांत को चिह्नित करने का एक तरीका है। [[एक वक्र का आघूर्ण बल]], जैसा कि [[फ्रेनेट-सेरेट]] [[सूत्रों]] में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है (या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी ''आघूर्ण बल'' वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। [[वक्रता]] की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े वक्र के साथ लुढ़कते हैं।
-आम तौर पर अधिक, [[सजातीय संयोजन]] (यानी, [[स्पर्शरेखा समूह]] में एक [[संयोजन]] (सदिश समूह)) से सुसज्जित एक [[अलग-अलग बहुविध]] पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे [[स्पर्शरेखा समष्टि]] एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे [[समानांतर परिवहन]] करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक [[प्रदिश]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध [[सदिश मूल्यवान 2-विधि]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ अवकलनीय बहुविध पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र ''X'' और ''Y'' के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।
+आम तौर पर अधिक, [[सजातीय संयोजन]] (यानी, [[स्पर्शरेखा समूह]] में एक [[संयोजन]] (सदिश समूह)) से सुसज्जित एक [[अलग-अलग बहुविध]] पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे [[स्पर्शरेखा समष्टि]] एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे [[समानांतर परिवहन]] करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक [[प्रदिश]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध [[सदिश मूल्यवान 2-विधि]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ [[अवकलनीय बहुविध]] पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र ''X'' और ''Y'' के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।
 :<math>T(X,Y) = \nabla_XY-\nabla_YX - [X,Y]</math>
-जहां [X,Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है।
+जहां [X,Y] [[सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट]] है।
-अल्पान्तरी की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी  की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले एफाइन संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक अनूठा संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, लेवी-सिविता संयोजन को अन्य, संभवतः गैर-मीट्रिक स्थितियों (जैसे फिन्सलर ज्यामिति) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे कंटोर्शन प्रदिश कहा जाता है। जी-संरचनाओं और कार्टन की तुल्यता पद्धति के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित प्रक्षेप्य संयोजन के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। सापेक्षता सिद्धांत में, इस तरह के विचारों को आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत के रूप में लागू किया गया है।
+[[अल्पान्तरी]] की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी  की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले सजातीय संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक अनूठा संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, तथा [[लेवी-सिविता संयोजन]] को अन्य, संभवतः गैर-मापीय स्थितियों (जैसे [[फिन्सलर ज्यामिति]]) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे [[विरूपण प्रदिश]] कहा जाता है। [[जी-संरचनाओं]] और [[कार्टन की तुल्यता पद्धति]] के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित [[प्रक्षेप्य संयोजन]] के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। [[सापेक्षता सिद्धांत]] में, इस तरह के विचारों को [[आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत]] के रूप में लागू किया गया है।
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