विकर्ण: Difference between revisions

Revision as of 15:19, 10 December 2022

1 इकाई भुजा की लंबाई वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई

{\sqrt {3}}

के साथ एक अंतरिक्ष विकर्ण है , जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई

{\sqrt {2}}

है ।

ज्यामिति में, एक विकर्ण एक बहुभुज या बहुतल के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक रेखा-खंड होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द प्राचीन यूनानी διαγώνιος डायगोनियोस से लिया गया है,^[1] कोण से कोण तक (διά- दीया-, के माध्यम से, पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित); इसका उपयोग स्ट्रैबो और यूक्लिड दोनों के द्वारा समचतुर्भुज या घनाभ के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए किया गया था।^[2] ^[3] ^[4] और बाद में इसे लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।

आव्यूह बीजगणित में, एक वर्ग आव्यूह के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं।

इसके कुछ अन्य गैर-गणितीय उपयोग भी हैं।

गैर-गणितीय उपयोग

एक घर के निर्माण स्थल पर बुनियादी मचान का एक स्टैंड, इसकी संरचना को बनाए रखने के लिए विकर्ण ब्रेसिज़ के साथ

अभियांत्रिकी में, एक विकर्ण ब्रेस एक बीम है जिसका उपयोग एक आयताकार संरचना (जैसे मचान) को मजबूती से धकेलने के लिए किया जाता है; सामान्यता इसे एक विकर्ण कहा जाता है, व्यावहारिक विचारों के कारण विकर्ण ब्रेसिज़ प्रायः आयत के कोनों से जुड़े नहीं होते हैं।

विकर्ण सरौता तार काटने वाले सरौता हैं जो जबड़े के काटने वाले किनारों द्वारा परिभाषित होते हैं जो संयुक्त कीलक को एक कोण पर या एक विकर्ण पर काटते हैं, इसलिए इसका यह नाम है।

विकर्ण दंड एक प्रकार का लैशिंग है जिसका उपयोग स्पार्स या डंडे को एक साथ बांधने के लिए किया जाता है ताकि लैशिंग एक कोण पर डंडे के ऊपर से पार हो जाए।

फ़ुटबॉल संघ में, विकर्ण नियंत्रण प्रणाली वह विधि है जो निर्णायक और सहायक निर्णायक पिच के चार चतुर्भुजों में से एक में खुद को स्थापित करने के लिए उपयोग करते हैं।

विकर्ण द्वि-आयामी प्रदर्शन आकार का एक सामान्य माप है।

बहुभुज

जैसा कि एक बहुभुज पर लागू होता है, एक विकर्ण किसी भी दो शीर्षों, जो लगातार नहीं है, को जोड़ने वाला रेखा-खंड होता है। इसलिए, एक चतुर्भुज के दो विकर्ण होते हैं, जो शीर्षों के विपरीत युग्मों को मिलाते हैं। किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए, सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर होते हैं, लेकिन पुन: प्रवेशी बहुभुज के लिए, कुछ विकर्ण बहुभुज के बाहर होते हैं।

कोई भी n-भुजा वाले बहुभुज (n ≥ 3), उत्तल बहुभुज या अवतल बहुभुज, में ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ विकर्ण होते है, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष में स्वयं और दो आसन्न शीर्षों को छोड़कर अन्य सभी शीर्षों के विकर्ण ,या n − 3 विकर्ण, होते हैं, और प्रत्येक विकर्ण को दो शीर्षों द्वारा साझा किया जाता है।

Sides	Diagonals
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35

Sides	Diagonals
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135

Sides	Diagonals
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299

Sides	Diagonals
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527

Sides	Diagonals
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

विकर्णों द्वारा गठित क्षेत्र

एक उत्तल बहुभुज में, यदि कोई भी तीन विकर्ण आंतरिक में एक बिंदु पर समवर्ती रेखाएँ नहीं हैं, तो विकर्ण आंतरिक भाग को विभाजित करने वाले क्षेत्रों की संख्या द्वारा दी गई है

{\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.

n = 3, 4, ... के साथ n-gons के लिए क्षेत्रों की संख्या है^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

यह OEIS अनुक्रम A006522 है।^[6]

विकर्णों के प्रतिच्छेदन

यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक चौराहों की संख्या इस प्रकार दी गई है ${\binom {n}{4}}$ .^[7]^[8] यह, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में भुजाओं वाले किसी भी नियमित बहुभुज के लिए लागू होता है। सूत्र इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक चौराहा विशिष्ट रूप से दो अन्तर्विभाजक विकर्णों के चार समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: चौराहों की संख्या इस प्रकार एक समय में चार n कोने के संयोजन की संख्या है।

नियमित बहुभुज

भुजाओं की सम या विषम संख्या वाले नियमित बहुभुजों में सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र मौजूद हैं।

n भुजाओं और पार्श्व लंबाई a के साथ सम-पक्षीय नियमित बहुभुज में, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई इसके परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है क्योंकि लंबे विकर्ण सभी बहुभुज के केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।

d={\frac {a}{\sin(\pi /n)}}={\frac {a}{\sin(180/n){\text{ degrees}}}}.

भुजा की लंबाई a के साथ किसी विषम-भुजा वाले नियमित n-भुजा वाले बहुभुज (n ≥ 5) के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है।^[9]

d={\frac {a}{2\sin(\pi /2n)}}={\frac {a}{2\sin(90/n){\text{ degrees}}}}.

बहुभुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्र के साथ सभी बहुभुजों (n ≥ 4) के लिए भी की जा सकती है।^[10] जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, सबसे छोटा विकर्ण 2a तक पहुँचता है।

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|In geometry a line segment joining two nonconsecutive vertices of a polygon or polyhedron}}
-{{About||the avenue in Barcelona|Avinguda Diagonal|the Spanish newspaper|Diagonal (newspaper)}}
+{{About||बार्सिलोना में एवेन्यू|अविंगुडा विकर्ण|स्पेनिश समाचार पत्र|विकर्ण (समाचार पत्र)}}
-[[Image:Cube diagonals.svg|thumb|right|भुजा की लंबाई 1 वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई के साथ एक [[अंतरिक्ष विकर्ण]] है <math>\sqrt 3</math>, जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई है <math>\sqrt 2</math>.]][[ज्यामिति]] में, एक विकर्ण एक [[बहुभुज]] या [[बहुतल]] के दो शीर्षों (ज्यामिति) को जोड़ने वाला एक [[रेखा खंड]] होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे (ज्यामिति) पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द [[प्राचीन यूनानी]] διαγώνιος ''डायगोनियोस'' से निकला है,<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?search=diagonal&searchmode=none Online Etymology Dictionary]</ref> कोण से कोण तक (διά- दीया-, के माध्यम से, पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित); इसका उपयोग [[स्ट्रैबो]] दोनों द्वारा किया गया था<ref>Strabo, Geography 2.1.36–37</ref> और [[यूक्लिड]]<ref>Euclid, Elements book 11, proposition 28</ref> समचतुर्भुज या [[घनाभ]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए,<ref>Euclid, Elements book 11, proposition 38</ref> और बाद में लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।
+[[Image:Cube diagonals.svg|thumb|right|1 इकाई भुजा की लंबाई वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई <math>\sqrt 3</math>  के साथ एक [[अंतरिक्ष विकर्ण]] है , जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई <math>\sqrt 2</math>  है ।]][[ज्यामिति]] में, एक विकर्ण एक [[बहुभुज]] या [[बहुतल]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक [[रेखा खंड|रेखा-खंड]] होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द [[प्राचीन यूनानी]] διαγώνιος ''डायगोनियोस''  से लिया गया है,<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?search=diagonal&searchmode=none Online Etymology Dictionary]</ref> '''कोण से कोण तक (διά- दीया-, के माध्यम से, पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित)'''; इसका उपयोग [[स्ट्रैबो]] और [[यूक्लिड]] दोनों के द्वारा समचतुर्भुज या [[घनाभ]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए किया गया था।<ref>Strabo, Geography 2.1.36–37</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 28</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 38</ref> और बाद में इसे लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।
-[[मैट्रिक्स बीजगणित]] में, एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)]] के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं।
+[[मैट्रिक्स बीजगणित|आव्यूह बीजगणित]] में, एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं।
-अन्य, गैर-गणितीय उपयोग भी हैं।
+इसके कुछ अन्य गैर-गणितीय उपयोग भी हैं।
 == गैर-गणितीय उपयोग ==
-[[File:2512-échafaudage-Réunion.jpg|250px|thumb|right|एक घर के निर्माण स्थल पर बुनियादी मचान का एक स्टैंड, इसकी संरचना को बनाए रखने के लिए विकर्ण ब्रेसिज़ के साथ]][[अभियांत्रिकी]] में, एक विकर्ण ब्रेस एक बीम है जिसका उपयोग एक आयताकार संरचना (जैसे [[मचान]]) को मजबूती से धकेलने के लिए किया जाता है; हालांकि एक विकर्ण कहा जाता है, व्यावहारिक विचारों के कारण विकर्ण ब्रेसिज़ अक्सर आयत के कोनों से जुड़े नहीं होते हैं।
+[[File:2512-échafaudage-Réunion.jpg|250px|thumb|right|एक घर के निर्माण स्थल पर बुनियादी मचान का एक स्टैंड, इसकी संरचना को बनाए रखने के लिए विकर्ण ब्रेसिज़ के साथ]][[अभियांत्रिकी]] में, एक विकर्ण ब्रेस एक बीम है जिसका उपयोग एक आयताकार संरचना (जैसे [[मचान]]) को मजबूती से धकेलने के लिए किया जाता है; सामान्यता इसे एक विकर्ण कहा जाता है, व्यावहारिक विचारों के कारण विकर्ण ब्रेसिज़ प्रायः आयत के कोनों से जुड़े नहीं होते हैं।
-[[विकर्ण सरौता]] तार काटने वाले सरौता हैं जो जबड़े के काटने वाले किनारों द्वारा परिभाषित होते हैं जो संयुक्त कीलक को एक कोण पर या एक विकर्ण पर काटते हैं, इसलिए यह नाम है।
+[[विकर्ण सरौता]] तार काटने वाले सरौता हैं जो जबड़े के काटने वाले किनारों द्वारा परिभाषित होते हैं जो संयुक्त कीलक को एक कोण पर या एक विकर्ण पर काटते हैं, इसलिए इसका यह नाम है।
 [[विकर्ण दंड]] एक प्रकार का लैशिंग है जिसका उपयोग स्पार्स या डंडे को एक साथ बांधने के लिए किया जाता है ताकि लैशिंग एक कोण पर डंडे के ऊपर से पार हो जाए।
-[[फ़ुटबॉल संघ]] में, विकर्ण (फ़ुटबॉल) नियंत्रण प्रणाली वह विधि है जो रेफरी और सहायक रेफरी पिच के चार चतुर्भुजों में से एक में खुद को स्थापित करने के लिए उपयोग करते हैं।
+[[फ़ुटबॉल संघ]] में, विकर्ण नियंत्रण प्रणाली वह विधि है जो निर्णायक और सहायक निर्णायक पिच के चार चतुर्भुजों में से एक में खुद को स्थापित करने के लिए उपयोग करते हैं।
 [[File:Display size measurements.png|thumb|right|विकर्ण [[द्वि-आयामी प्रदर्शन आकार]] का एक सामान्य माप है।]]
 == बहुभुज ==
-जैसा कि एक बहुभुज पर लागू होता है, एक विकर्ण किसी भी दो गैर-लगातार शीर्षों को जोड़ने वाला रेखा खंड होता है। इसलिए, एक चतुर्भुज के दो विकर्ण होते हैं, जो शीर्षों के विपरीत युग्मों को मिलाते हैं। किसी भी [[उत्तल बहुभुज]] के लिए, सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर होते हैं, लेकिन पुन: प्रवेश करने वाले बहुभुजों के लिए, कुछ विकर्ण बहुभुज के बाहर होते हैं।
+जैसा कि एक बहुभुज पर लागू होता है, एक विकर्ण किसी भी दो शीर्षों, जो लगातार नहीं है, को जोड़ने वाला रेखा-खंड होता है। इसलिए, एक चतुर्भुज के दो विकर्ण होते हैं, जो शीर्षों के विपरीत युग्मों को मिलाते हैं। किसी भी [[उत्तल बहुभुज]] के लिए, सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर होते हैं, लेकिन पुन: प्रवेशी बहुभुज के लिए, कुछ विकर्ण बहुभुज के बाहर होते हैं।
-कोई भी n-भुजा बहुभुज (n ≥ 3), उत्तल बहुभुज या [[अवतल बहुभुज]], होता है <math>\tfrac{n(n-3)}{2}</math> विकर्ण, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष में स्वयं और दो आसन्न शीर्षों, या n − 3 विकर्णों को छोड़कर अन्य सभी शीर्षों के विकर्ण होते हैं, और प्रत्येक विकर्ण को दो शीर्षों द्वारा साझा किया जाता है।
+कोई भी n-भुजा वाले बहुभुज (n ≥ 3), उत्तल बहुभुज या [[अवतल बहुभुज]],  में <math>\tfrac{n(n-3)}{2}</math>  विकर्ण होते है, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष में स्वयं और दो आसन्न शीर्षों को छोड़कर अन्य सभी शीर्षों के विकर्ण ,या n − 3 विकर्ण, होते हैं, और प्रत्येक विकर्ण को दो शीर्षों द्वारा साझा किया जाता है।
 {|rules="none" border="0" cellspacing="4" cellpadding="0" style="background:transparent;text-align:right"
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 एक घनाभ के छह फलकों और चार अंतरिक्ष विकर्णों में से प्रत्येक पर दो विकर्ण होते हैं।
-== मैट्रिक्स ==
+== आव्यूह ==
-एक [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] के लिए, विकर्ण (मुख्य विकर्ण या मुख्य विकर्ण का) शीर्ष-बाएँ कोने से नीचे-दाएँ कोने तक चलने वाली प्रविष्टियों की विकर्ण रेखा है।<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=2}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=239}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=38}}</ref> एक मैट्रिक्स के लिए <math> A </math> द्वारा निर्दिष्ट पंक्ति सूचकांक के साथ <math>i</math> और कॉलम इंडेक्स द्वारा निर्दिष्ट <math>j</math>, ये प्रविष्टियां होंगी <math>A_{ij}</math> साथ <math>i = j</math>. उदाहरण के लिए, [[पहचान मैट्रिक्स]] को मुख्य विकर्ण पर 1 की प्रविष्टियां और कहीं और शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
+एक [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर आव्यूह]] के लिए, विकर्ण (मुख्य विकर्ण या मुख्य विकर्ण का) शीर्ष-बाएँ कोने से नीचे-दाएँ कोने तक चलने वाली प्रविष्टियों की विकर्ण रेखा है।<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=2}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=239}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=38}}</ref> एक आव्यूह के लिए <math> A </math> द्वारा निर्दिष्ट पंक्ति सूचकांक के साथ <math>i</math> और कॉलम इंडेक्स द्वारा निर्दिष्ट <math>j</math>, ये प्रविष्टियां होंगी <math>A_{ij}</math> साथ <math>i = j</math>. उदाहरण के लिए, [[पहचान मैट्रिक्स|पहचान आव्यूह]] को मुख्य विकर्ण पर 1 की प्रविष्टियां और कहीं और शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 :<math>\begin{pmatrix}
 & 0 & 0 \\
@@ Line 187: / Line 187: @@
 शीर्ष-दाएं से नीचे-बाएं विकर्ण को कभी-कभी मामूली विकर्ण या एंटीडायगोनल के रूप में वर्णित किया जाता है।
-ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां वे हैं जो मुख्य विकर्ण पर नहीं हैं। एक [[विकर्ण मैट्रिक्स]] वह है जिसकी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी शून्य हैं।<ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=239}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=38}}</ref>
+ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां वे हैं जो मुख्य विकर्ण पर नहीं हैं। एक [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] वह है जिसकी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी शून्य हैं।<ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=239}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=38}}</ref>
-एक सुपरडायगोनल प्रविष्टि वह है जो सीधे ऊपर और मुख्य विकर्ण के दाईं ओर है।<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=203,205}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=239}}</ref> जैसे विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं <math>A_{ij}</math> साथ <math>j=i</math>, सुपरडाइगोनल प्रविष्टियाँ वे हैं जिनके साथ <math>j = i+1</math>. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स की गैर-शून्य प्रविष्टियां सुपरडाइगोनल में स्थित हैं:
+एक सुपरडायगोनल प्रविष्टि वह है जो सीधे ऊपर और मुख्य विकर्ण के दाईं ओर है।<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=203,205}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=239}}</ref> जैसे विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं <math>A_{ij}</math> साथ <math>j=i</math>, सुपरडाइगोनल प्रविष्टियाँ वे हैं जिनके साथ <math>j = i+1</math>. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित आव्यूह की गैर-शून्य प्रविष्टियां सुपरडाइगोनल में स्थित हैं:
 :<math>\begin{pmatrix}
 & 2 & 0 \\
@@ Line 194: / Line 194: @@
 & 0 & 0
 \end{pmatrix}</math>
-इसी तरह, एक सबडायगोनल प्रविष्टि वह है जो सीधे नीचे और मुख्य विकर्ण के बाईं ओर है, जो कि एक प्रविष्टि है <math>A_{ij}</math> साथ <math>j = i - 1</math>.<ref>{{harvtxt|Cullen|1966|p=114}}</ref> सामान्य मैट्रिक्स विकर्णों को एक सूचकांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है <math>k</math> मुख्य विकर्ण के सापेक्ष मापा जाता है: मुख्य विकर्ण में होता है <math>k = 0</math>; सुपरडायगोनल है <math>k = 1</math>; सबडायगोनल है <math>k = -1</math>; और सामान्य तौर पर, <math>k</math>-विकर्ण में प्रविष्टियाँ होती हैं <math>A_{ij}</math> साथ <math>j = i+k</math>.
+इसी तरह, एक सबडायगोनल प्रविष्टि वह है जो सीधे नीचे और मुख्य विकर्ण के बाईं ओर है, जो कि एक प्रविष्टि है <math>A_{ij}</math> साथ <math>j = i - 1</math>.<ref>{{harvtxt|Cullen|1966|p=114}}</ref> सामान्य आव्यूह विकर्णों को एक सूचकांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है <math>k</math> मुख्य विकर्ण के सापेक्ष मापा जाता है: मुख्य विकर्ण में होता है <math>k = 0</math>; सुपरडायगोनल है <math>k = 1</math>; सबडायगोनल है <math>k = -1</math>; और सामान्य तौर पर, <math>k</math>-विकर्ण में प्रविष्टियाँ होती हैं <math>A_{ij}</math> साथ <math>j = i+k</math>.
 == ज्यामिति ==

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