अंकगणित: Difference between revisions

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बच्चों के लिए अंकगणितीय टेबल, लॉज़ेन, 1835

अंकगणित (प्राचीन ग्रीक से लघुगणक, संख्या, कला और शिल्प) गणित का एक प्रारंभिक भाग है जिसमें संख्याओं पर पारंपरिक संचालन के गुण - जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ों का निष्कर्षण जैसे अध्ययन शामिल है।19 वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो (Giuseppe Peano) ने अपने पीनो स्वयंसिद्धों (Peano axioms) के साथ अंकगणित को औपचारिक रूप दिया, जो आज गणितीय तर्क के क्षेत्र के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण हैं।

इतिहास

अंकगणित का प्रागितिहास कुछ कलाकृतियों तक सीमित है, जो जोड़ और घटाव की अवधारणा का संकेत दे सकते हैं, सबसे प्रसिद्ध मध्य अफ्रीका की इशंगो हड्डी है, जो 20,000 और 18,000 ईसा पूर्व के बीच कहीं से है, हालांकि इसकी व्याख्या विवादित है। ^[1]

प्राचीनतम लिखित अभिलेखों से संकेत मिलता है कि मिस्र और बेबीलोनियों ने 2000 ईसा पूर्व से सभी प्रारंभिक अंकगणितीय क्रियाओं का उपयोग किया: जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन। ये कलाकृतियां हमेशा समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशिष्ट प्रक्रिया को प्रकट नहीं करती हैं, लेकिन विशेष अंक प्रणाली की विशेषताएं विधियों की जटिलता को दृढ़ता से प्रभावित करती हैं। मिस्र के अंकों के लिए चित्रलिपि प्रणाली,बाद में रोमन अंकों की तरह, गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले गिनती अंकों से निकली थी। दोनों मामलों में, दशमलव आधार का उपयोग करने वाले मान प्राप्त हुए, लेकिन इसमें स्थितिगत संकेतन शामिल नहीं थे। रोमन अंकों के साथ जटिल गणनाओं को परिणाम प्राप्त करने के लिए एक गिनती बोर्ड (या रोमन एबाकस) की सहायता की आवश्यकता थी।

प्रारंभिक संख्या प्रणाली जिसमें स्थितीय संकेतन शामिल थे, दशमलव नहीं थे, इनमें बेबीलोनियन अंकों के लिए सेक्सजेसिमल( sexagesimal) (आधार 60) प्रणाली और माया अंकों को परिभाषित करने वाली विजीसिमल (vigesimal) (आधार 20) प्रणाली शामिल हैं। स्थान-मूल्य अवधारणा के कारण, विभिन्न मूल्यों के लिए समान अंकों का पुन: उपयोग करने की क्षमता ने गणना के सरल और अधिक कुशल तरीकों में योगदान दिया।

आधुनिक अंकगणित का निरंतर ऐतिहासिक विकास प्राचीन ग्रीस के हेलेनिस्टिक काल (Hellenistic period) के साथ शुरू होता है; यह बेबीलोन और मिस्र के उदाहरणों की तुलना में बहुत बाद में उत्पन्न हुआ। लगभग 300 ई. पू. के आसपास यूक्लिड (Euclid) के कार्यों से पहले, गणित में ग्रीक अध्ययन दार्शनिक और रहस्यमय धारणा से भरे हुए थे।। निकोमाचस(' Nicomachus) इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण है, संख्याओं के लिए पहले के पायथागोरियन दृष्टिकोण और अंकगणितीय के अपने कार्य परिचय में एक दूसरे के साथ उनके संबंधों का उपयोग करते हुए।

ग्रीक अंकों का उपयोग आर्किमिडीज, डायोफेंटस और अन्य लोगों द्वारा एक स्थितिगत संकेतन में किया गया था जो आधुनिक संकेतन से बहुत अलग नहीं है। प्राचीन यूनानियों में हेलेनिस्टिक अवधि तक शून्य के लिए एक प्रतीक का अभाव था और उन्होंने अंकों के रूप में प्रतीकों के तीन अलग -अलग सेटों इकाइयों के लिए एक सेट, दहाई के स्थान के लिए एक और सैकड़ों के लिए एक का उपयोग किया। इसी तरह हजारों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनका जोड़ एल्गोरिथ्म आधुनिक पद्धति के समान था और उनका गुणन एल्गोरिथ्म केवल थोड़ा अलग था। आर्किमिडीज़ (जिन्होंने इसका आविष्कार किया है) उनका लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथ्म एक ही था और अंक-दर-अंकीय वर्गमूल एल्गोरिथ्म के लिए जाना जाता था, जिसे हाल ही में 20 वीं शताब्दी के रूप में उपयोग किया जाता था। उन्होंने इसे हेरॉन की विधि के लिए अधिमानित किया क्योंकि एक बार गणना की जाने के बाद, एक अंक नहीं बदलता है और पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जैसे कि 7485696, तुरंत 2736 के रूप में समाप्त हो जाते हैं। भिन्नात्मक भाग वाली संख्याओं के लिए जैसे कि 546.934, उन्होंने भिन्नात्मक भाग 0.934 के लिए 10 की ऋणात्मक घातांक के बजाय 60 की ऋणात्मक घातांक का उपयोग किया।^[2]

प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश और तांग राजवंश के माध्यम से प्राचीन संख्याओं से उन्नत बीजगणित तक अंकगणितीय अध्ययन जारी रखा था। प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूँकि उनके पास शून्य के प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट और दहाई के स्थान के लिए दूसरा सेट था। इसी तरह सैकड़ों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे। सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की ज्ञात नही है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपनानेकी शुरुआत 400 ईसा पूर्व से हुई थी।^[3] प्राचीन चीनी ऋणात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे। यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु (jiuzzhang suanu) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जो लियू (Liu Hui) हुई द्वारा दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखी गई थी।

हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के क्रमिक विकास ने स्वतंत्र रूप से स्थान-मूल्य अवधारणा और स्थिति संकेतन को तैयार किया, जिसने दशमलव आधार के साथ गणना के लिए सरल तरीकों को जोड़ा और 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक का उपयोग किया। इसने प्रणाली को लगातार बड़े और छोटे पूर्णांक दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति दी - एक दृष्टिकोण जिसने अंततः अन्य सभी प्रणालियों को बदल दिया। छठी शताब्दी ईस्वी (6th century AD) की शुरुआत में, भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट ने अपने काम में इस प्रणाली के एक मौजूदा संस्करण को शामिल किया और विभिन्न नोटेशन के साथ प्रयोग किया। 7वीं शताब्दी में, ब्रह्मगुप्त ने 0 के उपयोग को एक अलग संख्या के रूप में स्थापित किया और शून्य से विभाजन के परिणाम को छोड़कर, शून्य और अन्य सभी संख्याओं के गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव के लिए परिणाम निर्धारित किए। उनके समकालीन, सिरिएक बिशप सेवेरस सेबोख्त (650 ईस्वी) ने कहा, भारतीयों के पास गणना का एक तरीका है कि कोई भी शब्द प्रशस्ति नहीं कर सकता है। गणित की उनकी तर्कसंगत प्रणाली, या गणना की विधि।मेरा मतलब है कि नौ प्रतीकों का उपयोग करने वाली प्रणाली।^[4] अरबों ने भी इस नई विधि को सीखा और इसे हेसब (hesab) कहा।

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Leibniz का कदम रेकनर पहला कैलकुलेटर था जो सभी चार अंकगणित संचालन कर सकता था।

यद्यपि कोडेक्स विगिलनस ने 976 & nbsp; विज्ञापन, लियोनार्डो ऑफ पीसा (फाइबोनैचि) द्वारा अरबी अंकों (& nbsp; 0) के शुरुआती रूप में वर्णित किया था।भारतीयों की विधि (लैटिन मोडस इंडोरम) की गणना करने के लिए किसी भी ज्ञात विधि से आगे निकल जाती है।यह एक अद्भुत तरीका है।वे नौ आंकड़ों और प्रतीक शून्य का उपयोग करके अपनी गणना करते हैं।^[5] मध्य युग में, अंकगणित विश्वविद्यालयों में सिखाई गई सात उदार कलाओं में से एक था।

मध्ययुगीन इस्लामिक दुनिया में बीजगणित का फलना, और पुनर्जागरण यूरोप में भी, दशमलव संकेतन के माध्यम से गणना के विशाल सरलीकरण का एक प्रकोप था।

संख्यात्मक गणना में सहायता के लिए विभिन्न प्रकार के उपकरणों का आविष्कार किया गया है और व्यापक रूप से उपयोग किया गया है।पुनर्जागरण से पहले, वे विभिन्न प्रकार के ABACI थे।अधिक हाल के उदाहरणों में स्लाइड नियम, नोमोग्राम और यांत्रिक कैलकुलेटर शामिल हैं, जैसे पास्कल के कैलकुलेटर।वर्तमान में, उन्हें इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर द्वारा दबा दिया गया है।

अंकगणितीय संचालन

मूल अंकगणितीय संचालन अतिरिक्त, घटाव, गुणा और विभाजन हैं, हालांकि अंकगणित में अधिक उन्नत संचालन भी शामिल हैं, जैसे कि प्रतिशत का जोड़तोड़,^[6] वर्ग जड़ें, घातांक, लघुगणक कार्यों, और यहां तक कि त्रिकोणमितीय कार्यों, एक ही नस में लॉगरिदम (प्रोस्थैफैरेसिस) के रूप में।संचालन के इच्छित अनुक्रम के अनुसार अंकगणितीय अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन किया जाना चाहिए।इसे निर्दिष्ट करने के लिए कई तरीके हैं, या तो- सबसे आम, इन्फिक्स संकेतन के साथ -साथ - विशेष रूप से कोष्ठक का उपयोग करना और पूर्ववर्ती नियमों पर भरोसा करना, या एक उपसर्ग या पोस्टफिक्स अंकन का उपयोग करना, जो विशिष्ट रूप से स्वयं द्वारा निष्पादन के क्रम को ठीक करता है।उन वस्तुओं का कोई भी सेट, जिन पर सभी चार अंकगणितीय संचालन (शून्य द्वारा विभाजन को छोड़कर) का प्रदर्शन किया जा सकता है, और जहां ये चार ऑपरेशन सामान्य कानूनों (वितरण सहित) का पालन करते हैं, को एक क्षेत्र कहा जाता है। रेफ नाम = ऑक्सफोर्ड>Tapson, Frank (1996). The Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. ISBN 0-19-914551-2.</ref>

इसके अलावा

जोड़, प्रतीक द्वारा निरूपित $+$ , अंकगणित का सबसे बुनियादी संचालन है।अपने सरल रूप में, जोड़ दो संख्याओं को जोड़ता है, जोड़ता है या शर्तें, एकल संख्या में, संख्याओं का योग (जैसे) $2 + 2 = 4$ या $3 + 5 = 8$ )।

बारीक रूप से कई संख्याओं को जोड़ने से बार -बार सरल जोड़ के रूप में देखा जा सकता है;इस प्रक्रिया को योग के रूप में जाना जाता है, एक शब्द का उपयोग एक अनंत श्रृंखला में असीम रूप से कई संख्याओं को जोड़ने के लिए परिभाषा को निरूपित करने के लिए किया जाता है।संख्या & nbsp; 1 का दोहराया जोड़ गिनती का सबसे बुनियादी रूप है;जोड़ने का परिणाम $1$ आमतौर पर मूल संख्या का उत्तराधिकारी कहा जाता है।

जोड़ कम्यूटेटिव और सहयोगी है, इसलिए जिस क्रम में कई शर्तें जोड़ी जाती हैं, वह कोई फर्क नहीं पड़ता।

0 (नंबर) | नंबर $0$ संपत्ति है कि, जब किसी भी संख्या में जोड़ा जाता है, तो यह उसी संख्या को प्राप्त करता है;तो, यह इसके अलावा की पहचान तत्व है, या योजक पहचान है।

हर संख्या के लिए $x$ , एक संख्या को निरूपित किया गया है $- x$ के विपरीत कहा जाता है $x$ , ऐसा है कि $x + (- x) = 0$ तथा $(- x) + x = 0$ ।तो, इसके विपरीत $x$ का उलटा है $x$ जोड़ के संबंध में, या के योज्य उलटा $x$ ।उदाहरण के लिए, इसके विपरीत $7$ है $-7$ , जबसे $7 + (-7) = 0$ ।

जोड़ को भी ज्यामितीय रूप से व्याख्या की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है। यदि हमारे पास लंबाई 2 और 5 की दो छड़ें हैं, तो, यदि छड़ें एक के बाद एक के बाद संरेखित की जाती हैं, तो संयुक्त छड़ी की लंबाई 7 हो जाती है, चूंकि $2 + 5 = 7$ ।

घटाव

घटाव, प्रतीक द्वारा निरूपित $-$ , इसके अलावा उलटा ऑपरेशन है।घटाव दो संख्याओं के बीच का अंतर पाता है, मिनूएंड माइनस द सबट्रहेंड: $D = M - S .$ पहले से स्थापित जोड़ का सहारा लेते हुए, यह कहना है कि अंतर वह संख्या है, जब सबट्रहेंड में जोड़ा जाता है, तो माइनुएंड में परिणाम होता है: $D + S = M .$ ^[7]

सकारात्मक तर्कों के लिए $M$ तथा $S$ होल्ड्स:

यदि मिनुएंड सबट्रहेंड से बड़ा है, तो अंतर

D

सकारात्मक है।

यदि मिनुएंड सबट्रहेंड से छोटा है, तो अंतर

D

नकारात्मक है।

किसी भी मामले में, यदि Minuend और Subtrahend समान हैं, तो अंतर $D = 0.$ घटाव न तो कम्यूटेटिव है और न ही साहचर्य।इस कारण से, आधुनिक बीजगणित में इस उलटा संचालन के निर्माण को अक्सर उलटा तत्वों की अवधारणा को पेश करने के पक्ष में छोड़ दिया जाता है (जैसा कि स्केच के तहत स्केच किया गया है § Addition), जहां घटाव को उपकेंड के योजक व्युत्क्रम को जोड़ने के रूप में माना जाता है, यानी, अर्थात्, $a - b = a + (- b)$ । घटाव के द्विआधारी संचालन को छोड़ने की तत्काल कीमत (तुच्छ) अनैरी ऑपरेशन की शुरूआत है, जो किसी भी संख्या के लिए एडिटिव व्युत्क्रम को वितरित करता है, और अंतर की धारणा के लिए तत्काल पहुंच को खो देता है, जो कि नकारात्मक तर्क शामिल होने पर संभावित रूप से भ्रामक है ।

संख्याओं के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए, परिणामों की गणना करने के तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशेष रूप से शोषण प्रक्रियाओं में फायदेमंद हैं, एक ऑपरेशन के लिए मौजूद हैं, दूसरों के लिए भी छोटे परिवर्तन द्वारा। उदाहरण के लिए, डिजिटल कंप्यूटर मौजूदा जोड़ने-सर्किट्री का पुन: उपयोग कर सकते हैं और एक घटाव को लागू करने के लिए अतिरिक्त सर्किटों को सहेज सकते हैं, एडिटिव इनवर्स का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो के पूरक की विधि को नियोजित करके, जो हार्डवेयर (नकारात्मक) में लागू करना बेहद आसान है। ट्रेड-ऑफ एक निश्चित शब्द लंबाई के लिए संख्या सीमा का आधा हिस्सा है।

एक पूर्व में व्यापक परिवर्तन एक सही परिवर्तन राशि प्राप्त करने के लिए, देय और दी गई राशियों को जानने के लिए, गिनती अप विधि है, जो स्पष्ट रूप से अंतर के मूल्य को उत्पन्न नहीं करती है। मान लीजिए कि एक राशि p को आवश्यक राशि q का भुगतान करने के लिए दिया जाता है, p के साथ Q से अधिक है। स्पष्ट रूप से घटाव P - Q = C को स्पष्ट रूप से करने के बजाय और उस राशि को गिनने में C में परिवर्तन होता है, धन की गिनती की जाती है। क्यू, और मुद्रा के चरणों में जारी है, जब तक कि पी तक नहीं पहुंच जाता है। यद्यपि गिनती की गई राशि को घटाव p - q के परिणाम के बराबर होना चाहिए, घटाव वास्तव में कभी नहीं किया गया था और p - q का मूल्य इस विधि द्वारा आपूर्ति नहीं किया जाता है।

गुणन

गुणा, प्रतीकों द्वारा निरूपित $\times$ या $\cdot$ , अंकगणित का दूसरा मूल संचालन है।गुणन भी दो संख्याओं को एकल संख्या, उत्पाद में जोड़ता है।दो मूल संख्याओं को गुणक और मल्टीप्लिकैंड कहा जाता है, ज्यादातर दोनों को केवल कारक कहा जाता है।

गुणन को स्केलिंग ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है।यदि संख्याओं को एक पंक्ति में झूठ बोलने के रूप में कल्पना की जाती है, तो & nbsp से अधिक संख्या से गुणा;था।इसी तरह, & nbsp; 1 से कम संख्या से गुणा करने की कल्पना की जा सकती है और & nbsp; 0 की ओर निचोड़ने के रूप में कल्पना की जा सकती है, इस तरह से कि & nbsp; 1 गुणक में जाता है।

पूर्णांक संख्याओं के गुणन पर एक और दृश्य (तर्कसंगत के लिए विस्तार योग्य लेकिन वास्तविक संख्याओं के लिए बहुत सुलभ नहीं) इसे बार -बार जोड़ के रूप में विचार करके है।उदाहरण के लिए। $3 \times 4$ या तो जोड़ने के लिए मेल खाता है $3$ कई बार $4$ , या $4$ कई बार $3$ , एक ही परिणाम दे रहा है।गणित शिक्षा में इन प्रतिमानों की लाभप्रदता पर अलग -अलग राय हैं।

गुणन कम्यूटेटिव और सहयोगी है;इसके अलावा, यह जोड़ और घटाव पर वितरण है।गुणात्मक पहचान & nbsp; 1 है, क्योंकि किसी भी संख्या को & nbsp द्वारा गुणा करने के बाद से 1 समान संख्या में पैदावार होती है।किसी भी संख्या के लिए गुणात्मक उलटा & nbsp को छोड़कर; $0$ इस संख्या का पारस्परिक है, क्योंकि किसी भी संख्या के पारस्परिक को गुणा करने से संख्या में गुणक पहचान होती है $1$ . $0$ & nbsp; एक गुणात्मक उलटा के बिना एकमात्र संख्या है, और किसी भी संख्या को गुणा करने का परिणाम है और $0$ फिर से है $0.$ एक कहता है कि $0$ संख्याओं के गुणक समूह में निहित नहीं है।

ए और बी के उत्पाद के रूप में लिखा गया है $a \times b$ या $a \cdot b$ ।जब ए या बी अभिव्यक्तियों को केवल अंकों के साथ नहीं लिखा जाता है, तो यह सरल juxtaposition द्वारा भी लिखा जाता है: & nbsp; ab।कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं और सॉफ्टवेयर पैकेजों में (जिसमें कोई केवल एक कीबोर्ड पर पाए जाने वाले वर्णों का उपयोग कर सकता है), यह अक्सर एक तारांकन के साथ लिखा जाता है: & nbsp;a * b।

संख्याओं के विभिन्न अभ्यावेदन के लिए गुणन के संचालन को लागू करने वाले एल्गोरिदम इसके अलावा उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक महंगा और श्रमसाध्य हैं।मैनुअल कम्प्यूटेशन के लिए सुलभ लोग या तो एकल स्थान मूल्यों के लिए कारकों को तोड़ने और दोहराया जोड़ को लागू करने, या तालिकाओं या स्लाइड नियमों को नियोजित करने पर निर्भर करते हैं, जिससे इसके अलावा और इसके विपरीत गुणन की मैपिंग होती है।ये विधियाँ पुरानी हैं और धीरे -धीरे मोबाइल उपकरणों द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं।कंप्यूटर अपने सिस्टम में समर्थित विभिन्न संख्या स्वरूपों के लिए गुणा और विभाजन को लागू करने के लिए विविध परिष्कृत और उच्च अनुकूलित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

डिवीजन

विभाजन, प्रतीकों द्वारा निरूपित $\div$ या $/$ , अनिवार्य रूप से गुणा करने के लिए उलटा ऑपरेशन है।डिवीजन दो नंबरों के भागफल को पाता है, विभाजित द्वारा विभाजित लाभांश।सामान्य नियमों के तहत, शून्य से विभाजित लाभांश अपरिभाषित है।अलग -अलग सकारात्मक संख्याओं के लिए, यदि लाभांश विभाजक से बड़ा है, तो भागफल & nbsp से अधिक है;भाजक द्वारा गुणा किया गया भागफल हमेशा लाभांश की उपज देता है।

डिवीजन न तो कम्यूटेटिव है और न ही साहचर्य।तो जैसा कि में समझाया गया है § Subtraction, आधुनिक बीजगणित में विभाजन के निर्माण को गुणन के संबंध में उलटा तत्वों के निर्माण के पक्ष में छोड़ दिया गया है, जैसा कि शुरू किया गया है § Multiplication।इसलिए विभाजन कारकों के रूप में विभाजक के पारस्परिक के साथ लाभांश का गुणन है, अर्थात्, $a ÷ b = a × .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/b.$ प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, एक अलग लेकिन संबंधित धारणा भी है जिसे यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, जो एक प्राकृतिक को विभाजित करने के बाद दो संख्याओं का उत्पादन करता है $N$ (अंश) एक प्राकृतिक द्वारा $D$ (हर): पहले एक प्राकृतिक $Q$ (भागफल), और दूसरा एक प्राकृतिक $R$ (शेष) ऐसा $N = D \times Q + R$ तथा $0 \leq R < Q .$ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और उन्नत अंकगणित सहित कुछ संदर्भों में, विभाजन को शेष के लिए एक और आउटपुट के साथ बढ़ाया जाता है।यह अक्सर एक अलग ऑपरेशन के रूप में माना जाता है, मोडुलो ऑपरेशन, प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है $\%$ या शब्द $mod$ , हालांकि कभी -कभी एक डिवमॉड ऑपरेशन के लिए एक दूसरा आउटपुट।^[8] या तो मामले में, मॉड्यूलर अंकगणित में विभिन्न प्रकार के उपयोग के मामले हैं।विभाजन के विभिन्न कार्यान्वयन (फ़्लोर्ड, ट्रंक्टेड, यूक्लिडियन, आदि) मापांक के विभिन्न कार्यान्वयन के साथ मेल खाते हैं।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि 1 से अधिक पूर्णांक में एक अद्वितीय प्रमुख कारक (प्राइम कारकों के उत्पाद के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व), कारकों के क्रम को छोड़कर।उदाहरण के लिए, 252 में केवल एक प्रमुख कारक है:

252 = 2² × 3² × 7¹

Euclid के तत्वों | Euclid के तत्वों ने पहले इस प्रमेय को पेश किया, और एक आंशिक प्रमाण दिया (जिसे यूक्लिड का लेम्मा कहा जाता है)।अंकगणित का मौलिक प्रमेय पहले कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा सिद्ध किया गया था।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय एक कारण है कि 1 को एक प्रमुख संख्या क्यों नहीं माना जाता है।अन्य कारणों में एराटोस्टेनेस की छलनी शामिल है, और एक प्रमुख संख्या की परिभाषा स्वयं (1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाई जा सकती है।)।

दशमलव अंकगणित

Decimal representation विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, लिखित अंक प्रणाली के लिए, अरबी अंकों को एक रेडिक्स 10 & nbsp के अंकों के रूप में नियोजित करने के लिए; (दशमलव) स्थितिगत संकेतन;हालांकि, & nbsp; 10, जैसे, ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों की शक्तियों पर आधारित कोई भी अंक प्रणाली वैचारिक रूप से दशमलव संकेतन या दशमलव प्रतिनिधित्व के रूप में वर्णित हो सकती है।

चार मौलिक संचालन (इसके अलावा, घटाव, गुणा और विभाजन) के लिए आधुनिक तरीके पहले भारत के ब्रह्मगुप्त द्वारा तैयार किए गए थे।यह मध्ययुगीन यूरोप के दौरान मोडस इंडोरम या भारतीयों की विधि के रूप में जाना जाता था।पोजिशनल नोटेशन (जिसे प्लेस-वैल्यू नोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) को परिमाण के विभिन्न आदेशों के लिए एक ही प्रतीक का उपयोग करके संख्याओं के प्रतिनिधित्व या एन्कोडिंग को संदर्भित करता है (जैसे, लोगों की जगह, दसियों स्थान, सैकड़ों स्थान) और, एक रेडिक्स बिंदु के साथ, का उपयोग करके,अंशों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हीं प्रतीकों (जैसे, दसवें स्थान, सौवें स्थान)।उदाहरण के लिए, 507.36 5 & nbsp; सैकड़ों (10 (10) को दर्शाता है²), प्लस 0 & nbsp; tens (10 (10¹), प्लस 7 & nbsp; इकाइयाँ (10 (10)⁰), प्लस 3 & nbsp; दसवें (10 (10)⁻¹) प्लस 6 & nbsp; सौवें (10 (10)⁻²)।

अन्य बुनियादी अंकों की तुलना में एक संख्या के रूप में 0 की अवधारणा इस संकेतन के लिए आवश्यक है, जैसा कि & nbsp की अवधारणा है; एक प्लेसहोल्डर के रूप में 0 का उपयोग, और जैसा कि गुणा की परिभाषा है और & nbsp; 0 के साथ जोड़;एक प्लेसहोल्डर के रूप में & nbsp; 0 का उपयोग और इसलिए, एक स्थितिगत संकेतन का उपयोग सबसे पहले भारत से जैन पाठ में माना जाता है, जिसका शीर्षक है कि लोकाविभगा, दिनांक 458 & nbsp; विज्ञापन और यह केवल 13 वीं & nbsp; सदी में था कि ये अवधारणाएं, इन अवधारणाओं में थी,अरबी दुनिया की छात्रवृत्ति के माध्यम से प्रेषित, फाइबोनैसि द्वारा यूरोप में पेश किया गया था^[9] हिंदू -अरबी अंक प्रणाली का उपयोग करना।

इस प्रकार के लिखित अंक का उपयोग करके अंकगणित संगणना करने के लिए अल्गोरिंग में सभी नियम शामिल हैं। उदाहरण के लिए, इसके अलावा दो मनमानी संख्याओं का योग पैदा करता है। परिणाम की गणना प्रत्येक संख्या से एकल अंकों के बार -बार जोड़ द्वारा की जाती है जो एक ही स्थिति पर कब्जा कर लेती है, दाएं से बाएं तक आगे बढ़ती है। दस पंक्तियों और दस कॉलम के साथ एक जोड़ तालिका प्रत्येक राशि के लिए सभी संभावित मान प्रदर्शित करती है। यदि कोई व्यक्तिगत योग मूल्य & nbsp; 9 से अधिक है, तो परिणाम दो अंकों के साथ दर्शाया गया है। सबसे सही अंक वर्तमान स्थिति के लिए मूल्य है, और अंक के बाद के अतिरिक्त जोड़ के लिए परिणाम दूसरे (बाईं ओर) अंक के मूल्य से बढ़ जाता है, जो हमेशा एक होता है (यदि शून्य नहीं है)। इस समायोजन को मान & nbsp; 1 का एक कैरी कहा जाता है।

दो मनमानी संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया इसके अलावा प्रक्रिया के समान है। दस पंक्तियों और दस स्तंभों के साथ एक गुणन तालिका अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए परिणामों को सूचीबद्ध करती है। यदि अंकों की एक जोड़ी का एक व्यक्तिगत उत्पाद & nbsp; 9 से अधिक हो जाता है, तो कैरी समायोजन किसी भी बाद के गुणा के परिणाम को अंकों से दूसरे (बाएं) अंक के बराबर मान द्वारा बाईं ओर बढ़ाता है, जो कि कोई भी मूल्य है 1 to 8 ( $9 \times 9 = 81$ )।अतिरिक्त चरण अंतिम परिणाम को परिभाषित करते हैं।

घटाव और विभाजन के लिए इसी तरह की तकनीकें मौजूद हैं।

गुणा के लिए एक सही प्रक्रिया का निर्माण आसन्न अंकों के मूल्यों के बीच संबंध पर निर्भर करता है।एक अंक में किसी भी एकल अंक का मूल्य इसकी स्थिति पर निर्भर करता है।इसके अलावा, बाईं ओर की प्रत्येक स्थिति दाईं ओर की स्थिति से दस गुना अधिक मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है।गणितीय शब्दों में, & nbsp के रेडिक्स (आधार) के लिए घातांक; 10 & nbsp; 1 (बाईं ओर) द्वारा बढ़ता है या & nbsp; 1 (दाईं ओर) द्वारा घट जाता है।इसलिए, किसी भी मनमाना अंक के लिए मान को फॉर्म & nbsp; 10 के मान से गुणा किया जाता है;ⁿ पूर्णांक & nbsp; in के साथ।एकल अंक के लिए सभी संभावित पदों के अनुरूप मूल्यों की सूची लिखी गई है as {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻², ...}. इस सूची में किसी भी मूल्य का दोहराया गुणा & nbsp; 10 सूची में एक और मूल्

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 आधुनिक अंकगणित का निरंतर ऐतिहासिक विकास प्राचीन ग्रीस के '''हेलेनिस्टिक काल (Hellenistic period)''' के साथ शुरू होता है; यह बेबीलोन और मिस्र के उदाहरणों की तुलना में बहुत बाद में उत्पन्न हुआ। लगभग 300 ई. पू. के आसपास '''यूक्लिड (Euclid)''' के कार्यों से पहले, गणित में ग्रीक अध्ययन दार्शनिक और रहस्यमय धारणा से भरे हुए थे।। '''निकोमाचस(' Nicomachus)''' इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण है, संख्याओं के लिए पहले के पायथागोरियन दृष्टिकोण और अंकगणितीय के अपने कार्य परिचय में एक दूसरे के साथ उनके संबंधों का उपयोग करते हुए।
-ग्रीक अंकों का उपयोग '''आर्किमिडीज''', '''डायोफेंटस''' और अन्य लोगों द्वारा एक स्थितिगत संकेतन में किया गया था जो आधुनिक संकेतन से बहुत अलग नहीं है। प्राचीन यूनानियों में हेलेनिस्टिक अवधि तक शून्य के लिए एक प्रतीक का अभाव था और उन्होंने अंकों के रूप में प्रतीकों के तीन अलग -अलग सेटों इकाइयों के लिए एक सेट, दहाई के स्थान के लिए एक और सैकड़ों के लिए एक का उपयोग किया। इसी तरह हजारों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनका जोड़ एल्गोरिथ्म आधुनिक पद्धति के समान था और उनका गुणन एल्गोरिथ्म केवल थोड़ा अलग था। '''आर्किमिडीज़''' (जिन्होंने इसका आविष्कार किया है) उनका लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथ्म एक ही था और अंक-दर-अंकीय वर्गमूल एल्गोरिथ्म के लिए जाना जाता था, जिसे हाल ही में 20 वीं शताब्दी के रूप में उपयोग किया जाता था। उन्होंने इसे '''हेरॉन की विधि''' के लिए अधिमानित किया क्योंकि एक बार गणना की जाने के बाद, एक अंक नहीं बदलता है और पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जैसे कि 7485696, तुरंत 2736 के रूप में समाप्त हो जाते हैं। भिन्नात्मक भाग वाली संख्याओं के लिए जैसे कि 546.934, उन्होंने  भिन्नात्मक भाग  0.934 के लिए 10 की ऋणात्मक घातांक के बजाय 60 की  ऋणात्मक घातांक का उपयोग किया।<ref>''The Works of Archimedes'', Chapter IV, ''Arithmetic in Archimedes'', edited by T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.</ref>
+ग्रीक अंकों का उपयोग '''आर्किमिडीज''', '''डायोफेंटस''' और अन्य लोगों द्वारा एक स्थितिगत संकेतन में किया गया था जो आधुनिक संकेतन से बहुत अलग नहीं है। प्राचीन यूनानियों में हेलेनिस्टिक अवधि तक शून्य के लिए एक प्रतीक का अभाव था और उन्होंने अंकों के रूप में प्रतीकों के तीन अलग -अलग सेटों इकाइयों के लिए एक सेट, दहाई के स्थान के लिए एक और सैकड़ों के लिए एक का उपयोग किया। इसी तरह हजारों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनका जोड़ एल्गोरिथ्म आधुनिक पद्धति के समान था और उनका गुणन एल्गोरिथ्म केवल थोड़ा अलग था। '''आर्किमिडीज़''' (जिन्होंने इसका आविष्कार किया है) उनका लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथ्म एक ही था और अंक-दर-अंकीय वर्गमूल एल्गोरिथ्म के लिए जाना जाता था, जिसे हाल ही में 20 वीं शताब्दी के रूप में उपयोग किया जाता था। उन्होंने इसे '''हेरॉन की विधि''' के लिए अधिमानित किया क्योंकि एक बार गणना की जाने के बाद, एक अंक नहीं बदलता है और पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जैसे कि 7485696, तुरंत 2736 के रूप में समाप्त हो जाते हैं। भिन्नात्मक भाग वाली संख्याओं के लिए जैसे कि 546.934, उन्होंने  भिन्नात्मक भाग  0.934 के लिए 10 की ऋणात्मक घातांक के बजाय 60 की  ऋणात्मक घातांक का उपयोग किया।<ref>''The Works of Archimedes'', Chapter IV, ''Arithmetic in Archimedes'', edited by T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.</ref>
-प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश से डेटिंग और तांग राजवंश के माध्यम से, बुनियादी संख्याओं से लेकर उन्नत बीजगणित तक की तारीखों को आगे बढ़ाया था।प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूंकि उनके पास शून्य के लिए एक प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट था, और दसवें स्थान के लिए दूसरा सेट था।सैकड़ों स्थानों के लिए, उन्होंने तब इकाइयों के लिए प्रतीकों का पुन: उपयोग किया, और इसी तरह।उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे।सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की है, अज्ञात है, हालांकि यह ज्ञात है कि गोद लेना 400 & nbsp; bc से पहले शुरू हुआ था।<ref>Joseph Needham, ''Science and Civilization in China'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> प्राचीन चीनी नकारात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे।यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जिसे लियू हुई द्वारा लिखा गया था, जो कि 2 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में वापस आ गया था।
+प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश और तांग राजवंश के माध्यम से प्राचीन संख्याओं से उन्नत बीजगणित तक अंकगणितीय अध्ययन जारी रखा था। प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूँकि उनके पास शून्य के प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट और दहाई के स्थान के लिए दूसरा सेट था। इसी तरह सैकड़ों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे। सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की ज्ञात नही है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपनानेकी शुरुआत 400 ईसा पूर्व से हुई थी।<ref>Joseph Needham, ''Science and Civilization in China'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> प्राचीन चीनी ऋणात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे। यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु (jiuzzhang suanu) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जो लियू (Liu Hui) हुई द्वारा दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखी गई थी।
-हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के क्रमिक विकास ने स्वतंत्र रूप से स्थान-मूल्य अवधारणा और स्थिति संकेतन को तैयार किया, जिसने दशमलव आधार के साथ गणना के लिए सरल तरीकों को संयोजित किया, और 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक का उपयोग। 0 |इसने सिस्टम को लगातार बड़े और छोटे पूर्णांक दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति दी - एक दृष्टिकोण जो अंततः अन्य सभी प्रणालियों को बदल देता है।जल्दी में {{nowrap|6th century AD,}} भारतीय गणितज्ञ आर्यभत ने अपने काम में इस प्रणाली के एक मौजूदा संस्करण को शामिल किया, और विभिन्न नोटों के साथ प्रयोग किया।7 वीं & nbsp; सेंचुरी में, ब्रह्मगुप्त ने & nbsp; 0 के उपयोग को एक अलग संख्या के रूप में स्थापित किया, और शून्य से विभाजन के परिणाम को छोड़कर, शून्य और अन्य सभी संख्याओं के गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव के लिए परिणाम निर्धारित किए।उनके समकालीन, सीरियक बिशप सेवेरस सेबोखट (650 & nbsp; AD) ने कहा, भारतीयों के पास गणना का एक तरीका है कि कोई भी शब्द पर्याप्त प्रशंसा नहीं कर सकता है।गणित की उनकी तर्कसंगत प्रणाली, या गणना की उनकी विधि।मेरा मतलब है कि नौ प्रतीकों का उपयोग करने वाली प्रणाली।<ref>Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327–338. (1929)</ref> अरबों ने भी इस नई विधि को सीखा और इसे हेसब कहा।
+'''हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली''' के क्रमिक विकास ने स्वतंत्र रूप से स्थान-मूल्य अवधारणा और स्थिति संकेतन को तैयार किया, जिसने दशमलव आधार के साथ गणना के लिए सरल तरीकों को जोड़ा और 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक का उपयोग किया। इसने प्रणाली को लगातार बड़े और छोटे पूर्णांक दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति दी - एक दृष्टिकोण जिसने अंततः अन्य सभी प्रणालियों को बदल दिया। छठी शताब्दी ईस्वी ({{nowrap|6th century AD}}) की शुरुआत में, '''भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट''' ने अपने काम में इस प्रणाली के एक मौजूदा संस्करण को शामिल किया और विभिन्न नोटेशन के साथ प्रयोग किया। 7वीं शताब्दी में, '''ब्रह्मगुप्त''' ने 0 के उपयोग को एक अलग संख्या के रूप में स्थापित किया और शून्य से विभाजन के परिणाम को छोड़कर, शून्य और अन्य सभी संख्याओं के गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव के लिए परिणाम निर्धारित किए। उनके समकालीन, सिरिएक बिशप सेवेरस सेबोख्त (650 ईस्वी) ने कहा, भारतीयों के पास गणना का एक तरीका है कि कोई भी शब्द प्रशस्ति नहीं कर सकता है। गणित की उनकी तर्कसंगत प्रणाली, या गणना की विधि।मेरा मतलब है कि नौ प्रतीकों का उपयोग करने वाली प्रणाली।<ref>Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327–338. (1929)</ref> अरबों ने भी इस नई विधि को सीखा और इसे '''हेसब (''hesab)''''' कहा।
 [[File:Leibniz Stepped Reckoner.png|thumb|200px|Leibniz का कदम रेकनर पहला कैलकुलेटर था जो सभी चार अंकगणित संचालन कर सकता था।]]

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