घनमूल: Difference between revisions

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[[File:Cube-root function.svg|thumb|288x288पीएक्स|का प्लॉट {{math|1=''y'' = {{radic|''x''|3}}}}. कथानक उत्पत्ति के संबंध में सममित है, क्योंकि यह एक विषम कार्य है। पर {{math|1=''x'' = 0}} इस ग्राफ में एक लंबवत स्पर्शरेखा है।]]
[[File:Cube-root function.svg|thumb|का प्लॉट {{math|1=''y'' = {{radic|''x''|3}}}}. कथानक उत्पत्ति के संबंध में सममित है, क्योंकि यह एक विषम फलनहै। पर {{math|1=''x'' = 0}} इस ग्राफ में एक लंबवत स्पर्शरेखा है।]]
[[File:Cube and doubled cube.svg|thumb|एक इकाई घन (भुजा = 1) और एक घन जिसका आयतन दोगुना (भुजा = {{radic|2|3}} = 1.2599... {{OEIS2C|A002580}}).]]गणित में, किसी संख्या का घनमूल {{mvar|x}} एक संख्या है {{mvar|y}} ऐसा है कि {{math|1=''y''<sup>3</sup> = ''x''}}. सभी गैर-शून्य [[वास्तविक संख्या]]ओं में ठीक एक वास्तविक घनमूल और जटिल संयुग्मी घनमूलों की एक जोड़ी होती है, और सभी गैर-शून्य [[जटिल संख्या]]ओं में तीन अलग-अलग जटिल घनमूल होते हैं। उदाहरण के लिए, का वास्तविक घनमूल {{math|8}}, निरूपित <math>\sqrt[3]8</math>, है {{math|2}}, इसलिये {{math|1=2<sup>3</sup> = 8}}, जबकि अन्य घनमूल {{math|8}} हैं <math>-1+i\sqrt 3</math> तथा <math>-1-i\sqrt 3</math>. के तीन घनमूल {{math|−27''i''}} हैं
[[File:Cube and doubled cube.svg|thumb|एक इकाई घन (भुजा = 1) और एक घन जिसका आयतन दोगुना (भुजा = {{radic|2|3}} = 1.2599... {{OEIS2C|A002580}}).]]गणित में, किसी संख्या '''''x''''' का घनमूल एक संख्या '''''y''''' इस प्रकार {{math|1=''y''<sup>3</sup> = ''x''}} है|  सभी गैर-शून्य [[वास्तविक संख्या]]ओं में ठीक एक वास्तविक घनमूल और जटिल संयुग्मी घनमूलों की एक जोड़ी होती है, और सभी गैर-शून्य [[जटिल संख्या]]ओं में तीन अलग-अलग जटिल घनमूल होते हैं। उदाहरण के लिए,'''8''' का वास्तविक घनमूल '''2 है, जिसे''' इस प्रकार <math>\sqrt[3]8</math> निरूपित किया जाता है, क्योकि {{math|1=2<sup>3</sup> = 8}}, जबकि '''8''' का अन्य घनमूल <math>-1+i\sqrt 3</math> तथा <math>-1-i\sqrt 3</math> '''है |−27''i'''''  के तीन घनमूल हैं
:<math>3i, \quad \frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i, \quad  \text{and} \quad -\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i.  </math>
:<math>3i, \quad \frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i, \quad  \text{and} \quad -\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i.  </math>
कुछ संदर्भों में, विशेष रूप से जब वह संख्या जिसका घनमूल लिया जाना है, एक वास्तविक संख्या है, तो घनमूलों में से एक (इस विशेष मामले में वास्तविक) को मूल घनमूल के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे मूल चिह्न के साथ दर्शाया जाता है। <math>\sqrt[3]{~^~}.</math> घनमूल केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करने पर [[घन (बीजगणित)]] का व्युत्क्रम कार्य है, लेकिन यदि जटिल संख्याओं पर भी विचार नहीं किया जाता है: हालांकि किसी के पास हमेशा होता है <math>\left(\sqrt[3]x\right)^3 =x,</math> एक शून्येतर संख्या के घन में एक से अधिक सम्मिश्र घनमूल होते हैं और इसका मुख्य घनमूल वह संख्या नहीं हो सकती है जिसका घनीकरण किया गया था। उदाहरण के लिए, <math>(-1+i\sqrt 3)^3=8</math>, लेकिन <math>-1+i\sqrt 3 \ne \sqrt[3]8=2.</math>
कुछ संदर्भों में, विशेष रूप से जब कोई संख्या जिसका घनमूल लिया जाना है, एक वास्तविक संख्या है, तो घनमूलों में से एक (इस विशेष मामले में वास्तविक) को मूल घनमूल के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे मूल चिह्न <math>\sqrt[3]{~^~}.</math> के साथ दर्शाया जाता है| घनमूल केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करने पर [[घन (बीजगणित)]] का व्युत्क्रम फलन है, लेकिन यदि जटिल संख्याओं पर भी विचार नहीं किया जाता है: हालांकि एक संख्या के पास हमेशा <math>\left(\sqrt[3]x\right)^3 =x,</math>होता है,  एक शून्येतर संख्या के घन में एक से अधिक सम्मिश्र घनमूल होते हैं और इसका मुख्य घनमूल वह संख्या नहीं हो सकती है जिसका घनीकरण किया गया था। उदाहरण के लिए, <math>(-1+i\sqrt 3)^3=8</math>, लेकिन <math>-1+i\sqrt 3 \ne \sqrt[3]8=2.</math>




== औपचारिक परिभाषा ==
== औपचारिक परिभाषा ==
किसी संख्या x का घनमूल वह संख्या y है जो समीकरण को संतुष्ट करती है
किसी संख्या x का घनमूल संख्या y है जो समीकरण को संतुष्ट करती है


:<math>y^3 = x.\ </math>
:<math>y^3 = x.\ </math>
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=== वास्तविक संख्या ===
=== वास्तविक संख्या ===
किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, एक वास्तविक संख्या y ऐसी होती है कि y<sup>3</sup> = x. घन (बीजगणित) बढ़ रहा है, इसलिए दो अलग-अलग इनपुट के लिए समान परिणाम नहीं देता है, और यह सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। दूसरे शब्दों में, यह एक आक्षेप, या एक-से-एक है। फिर हम एक उलटा कार्य परिभाषित कर सकते हैं जो एक-से-एक भी है। वास्तविक संख्याओं के लिए, हम सभी वास्तविक संख्याओं के एक अद्वितीय घनमूल को परिभाषित कर सकते हैं। यदि इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल एक ऋणात्मक संख्या होती है।
किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, एक वास्तविक संख्या y, y<sup>3</sup> = x इस प्रकार होती है| घन फलन(बीजगणित) बढ़ रहा है, इसलिए दो अलग-अलग आगत के लिए समान परिणाम नहीं देता है, और यह सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। दूसरे शब्दों में, यह एक आक्षेप है, या एक-से-एक है। फिर हम एक विपरीत फलन परिभाषित कर सकते हैं जो एक-से-एक भी है। सभी वास्तविक संख्याओं के लिए, हम सभी वास्तविक संख्याओं के एक अद्वितीय घनमूल को परिभाषित कर सकते हैं। यदि इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल एक ऋणात्मक संख्या होती है।


[[Image:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 के तीन घनमूल]]यदि x और y को सम्मिश्र संख्या होने की अनुमति है, तो इसके तीन समाधान हैं (यदि x गैर-शून्य है) और इसलिए x के तीन घनमूल हैं। एक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक घनमूल और दो और घनमूल होते हैं जो एक जटिल संयुग्म जोड़ी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, [[1]] का घनमूल हैं:
[[Image:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 के तीन घनमूल]]यदि x और y सम्मिश्र संख्या है, तो इसके तीन समाधान हैं (यदि x गैर-शून्य है) और इसलिए x के तीन घनमूल हैं। एक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक घनमूल और दो औरइसके अतिरिक्त घनमूल होते हैं जो एक जटिल संयुग्म जोड़ी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, [[1]] का घनमूल हैं:


:<math> 1, \quad -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i. </math>
:<math> 1, \quad -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i. </math>
इनमें से अंतिम दो मूल किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या के सभी मूलों के बीच संबंध की ओर ले जाते हैं। यदि कोई संख्या किसी विशेष वास्तविक या सम्मिश्र संख्या का एक घनमूल है, तो अन्य दो घनमूल उस घनमूल को 1 के दो जटिल घनमूलों में से एक या दूसरे से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।
इनमें से अंतिम दो मूल किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या के सभी मूलों के बीच संबंध को दर्शाते  हैं। यदि कोई संख्या किसी विशेष वास्तविक या सम्मिश्र संख्या का एक घनमूल है, तो अन्य दो घनमूल उस घनमूल को 1 के दो जटिल घनमूलों में से एक या दूसरे से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।


=== जटिल संख्या ===
=== जटिल संख्या ===
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:<math>-\pi < \theta \le \pi</math>,
:<math>-\pi < \theta \le \pi</math>,


तो प्रिंसिपल कॉम्प्लेक्स क्यूब रूट है
तो मुख्य जटिल घनमूल है


:<math>\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac {i\theta}{3} \right).</math>
:<math>\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac {i\theta}{3} \right).</math>
इसका मतलब है कि ध्रुवीय निर्देशांक में, हम घनमूल को परिभाषित करने के लिए त्रिज्या का घनमूल ले रहे हैं और ध्रुवीय कोण को तीन से विभाजित कर रहे हैं। इस परिभाषा के साथ, एक ऋणात्मक संख्या का मुख्य घनमूल एक सम्मिश्र संख्या है, और उदाहरण के लिए {{radic|−8|3}} -2 नहीं होगा, बल्कि होगा {{nowrap|1 + ''i''{{sqrt|3}}}}.
इसका मतलब है कि ध्रुवीय निर्देशांक में, हम घनमूल को परिभाषित करने के लिए त्रिज्या का घनमूल ले रहे हैं और ध्रुवीय कोण को तीन से विभाजित कर रहे हैं। इस परिभाषा के साथ, एक ऋणात्मक संख्या का मुख्य घनमूल एक सम्मिश्र संख्या है, और उदाहरण के लिए {{radic|−8|3}} -2 नहीं होगा, बल्कि होगा {{nowrap|1 + ''i''{{sqrt|3}}}} होगा|


क्यूब रूट को बहु-मूल्यवान कार्य के रूप में मानकर इस कठिनाई को भी हल किया जा सकता है: यदि हम मूल जटिल संख्या x को तीन समतुल्य रूपों में लिखते हैं, अर्थात्
घनमूल को बहु-मूल्यवान फलन के रूप में मानकर इस कठिनाई को भी हल किया जा सकता है: यदि हम मूल जटिल संख्या x को तीन समतुल्य रूपों में लिखते हैं, अर्थात्


:<math>x = \begin{cases} r \exp (i \theta ), \\[3px] r \exp (i \theta + 2i\pi ),  \\[3px] r \exp ( i \theta - 2i\pi ). \end{cases} </math>
:<math>x = \begin{cases} r \exp (i \theta ), \\[3px] r \exp (i \theta + 2i\pi ),  \\[3px] r \exp ( i \theta - 2i\pi ). \end{cases} </math>
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\\ \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta}{3} + \frac{2i \pi}{3}  \right),  
\\ \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta}{3} + \frac{2i \pi}{3}  \right),  
\\ \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta}{3} - \frac{2i \pi}{3} \right). \end{cases} </math>
\\ \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta}{3} - \frac{2i \pi}{3} \right). \end{cases} </math>
जब तक {{nowrap|1=''x'' = 0}}, ये तीन सम्मिश्र संख्याएँ भिन्न हैं, भले ही x के तीन निरूपण समतुल्य थे। उदाहरण के लिए, {{radic|−8|3}} तब इसकी गणना -2 की जा सकती है, {{nowrap|1 + ''i''{{sqrt|3}}}}, या {{nowrap|1 − ''i''{{sqrt|3}}}}.
जब तक {{nowrap|1=''x'' = 0}}, ये तीन सम्मिश्र संख्याएँ अलग-अलग हैं, भले ही x के तीन निरूपण समतुल्य थे। उदाहरण के लिए, {{radic|−8|3}} तब इसकी गणना -2 , {{nowrap|1 + ''i''{{sqrt|3}}}}, या {{nowrap|1 − ''i''{{sqrt|3}}}}.की जा सकती है


यह [[मोनोड्रोमी]] की अवधारणा से संबंधित है: यदि कोई निरंतर फलन फलन घनमूल को शून्य के चारों ओर एक बंद पथ के साथ अनुसरण करता है, तो एक मोड़ के बाद घनमूल के मान को गुणा (या विभाजित) किया जाता है <math>e^{2i\pi/3}.</math>
यह [[मोनोड्रोमी]] की अवधारणा से संबंधित है: यदि कोई निरंतर फलन घनमूल को शून्य के चारों ओर एक बंद पथ के साथ अनुसरण करता है, तो एक मोड़ के बाद घनमूल के मान को <math>e^{2i\pi/3}.</math>से गुणा (या विभाजित) किया जाता है|




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प्रत्येक पुनरावृत्ति पर।
प्रत्येक पुनरावृत्ति पर।


हैली की विधि इस पर एक एल्गोरिदम के साथ सुधार करती है जो प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ अधिक तेज़ी से अभिसरण करती है, यद्यपि प्रति पुनरावृत्ति अधिक कार्य के साथ:
हैली की विधि इस पर एक एल्गोरिदम के साथ सुधार करती है जो प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ अधिक तेज़ी से अभिसरण करती है, यद्यपि प्रति पुनरावृत्ति अधिक फलनके साथ:


:<math>x_{n+1} = x_n \left(\frac{x_n^3 + 2a}{2x_n^3 + a}\right).</math>
:<math>x_{n+1} = x_n \left(\frac{x_n^3 + 2a}{2x_n^3 + a}\right).</math>

Revision as of 12:46, 9 December 2022

File:Cube-root function.svg
का प्लॉट y = 3√x. कथानक उत्पत्ति के संबंध में सममित है, क्योंकि यह एक विषम फलनहै। पर x = 0 इस ग्राफ में एक लंबवत स्पर्शरेखा है।
File:Cube and doubled cube.svg
एक इकाई घन (भुजा = 1) और एक घन जिसका आयतन दोगुना (भुजा = 3√2 = 1.2599... OEIS: A002580).

गणित में, किसी संख्या x का घनमूल एक संख्या y इस प्रकार y3 = x है| सभी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं में ठीक एक वास्तविक घनमूल और जटिल संयुग्मी घनमूलों की एक जोड़ी होती है, और सभी गैर-शून्य जटिल संख्याओं में तीन अलग-अलग जटिल घनमूल होते हैं। उदाहरण के लिए,8 का वास्तविक घनमूल 2 है, जिसे इस प्रकार निरूपित किया जाता है, क्योकि 23 = 8, जबकि 8 का अन्य घनमूल तथा है |−27i के तीन घनमूल हैं

कुछ संदर्भों में, विशेष रूप से जब कोई संख्या जिसका घनमूल लिया जाना है, एक वास्तविक संख्या है, तो घनमूलों में से एक (इस विशेष मामले में वास्तविक) को मूल घनमूल के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे मूल चिह्न के साथ दर्शाया जाता है| घनमूल केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करने पर घन (बीजगणित) का व्युत्क्रम फलन है, लेकिन यदि जटिल संख्याओं पर भी विचार नहीं किया जाता है: हालांकि एक संख्या के पास हमेशा होता है, एक शून्येतर संख्या के घन में एक से अधिक सम्मिश्र घनमूल होते हैं और इसका मुख्य घनमूल वह संख्या नहीं हो सकती है जिसका घनीकरण किया गया था। उदाहरण के लिए, , लेकिन


औपचारिक परिभाषा

किसी संख्या x का घनमूल संख्या y है जो समीकरण को संतुष्ट करती है


गुण

वास्तविक संख्या

किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, एक वास्तविक संख्या y, y3 = x इस प्रकार होती है| घन फलन(बीजगणित) बढ़ रहा है, इसलिए दो अलग-अलग आगत के लिए समान परिणाम नहीं देता है, और यह सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। दूसरे शब्दों में, यह एक आक्षेप है, या एक-से-एक है। फिर हम एक विपरीत फलन परिभाषित कर सकते हैं जो एक-से-एक भी है। सभी वास्तविक संख्याओं के लिए, हम सभी वास्तविक संख्याओं के एक अद्वितीय घनमूल को परिभाषित कर सकते हैं। यदि इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल एक ऋणात्मक संख्या होती है।

File:3rd roots of unity.svg
1 के तीन घनमूल

यदि x और y सम्मिश्र संख्या है, तो इसके तीन समाधान हैं (यदि x गैर-शून्य है) और इसलिए x के तीन घनमूल हैं। एक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक घनमूल और दो औरइसके अतिरिक्त घनमूल होते हैं जो एक जटिल संयुग्म जोड़ी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, 1 का घनमूल हैं:

इनमें से अंतिम दो मूल किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या के सभी मूलों के बीच संबंध को दर्शाते हैं। यदि कोई संख्या किसी विशेष वास्तविक या सम्मिश्र संख्या का एक घनमूल है, तो अन्य दो घनमूल उस घनमूल को 1 के दो जटिल घनमूलों में से एक या दूसरे से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।

जटिल संख्या

File:Complex cube root.jpg
इसके दो अतिरिक्त पत्तों के साथ जटिल घनमूल का प्लॉट। पहली छवि मुख्य शाखा को दिखाती है, जिसका वर्णन पाठ में किया गया है।
File:Riemann surface cube root.svg
घनमूल की रीमैन सतह। कोई देख सकता है कि तीनों पत्ते एक साथ कैसे फिट होते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं के लिए, मुख्य घनमूल को आमतौर पर उस घनमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका सबसे बड़ा वास्तविक भाग होता है, या, समकक्ष रूप से, वह घनमूल जिसका तर्क (जटिल विश्लेषण) सबसे कम निरपेक्ष मान रखता है। यह सूत्र द्वारा प्राकृतिक लघुगणक के प्रमुख मान से संबंधित है

यदि हम x को इस रूप में लिखते हैं

जहाँ r एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है और θ परिसर में स्थित है