अधिचक्रज

File:EpitrochoidOn3-generation.gif

लाल वक्र एक एपिसाइक्लॉइड है जिसे छोटे वृत्त (त्रिज्या r = 1) बड़े वृत्त के बाहर घूमता है (त्रिज्या R = 3).

ज्यामिति में, एपिसाइक्लॉइड एक वृत्त की परिधि पर एक चुने हुए बिंदु के पथ का पता लगाने के द्वारा निर्मित एक समतल वक्र है - जिसे एक एपिसायकल कहा जाता है - जो एक निश्चित चक्र के चारों ओर फिसले बिना रोल करता है। यह एक खास तरह का रूलेट (वक्र) है।

समीकरण

यदि छोटे वृत्त की त्रिज्या r है, और बड़े वृत्त की त्रिज्या R = kr है, तो वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण या तो दिए जा सकते हैं:

$x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),$

या:

$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,$

अधिक संक्षिप्त और जटिल रूप में

$z(\theta )=r(e^{i(k+1)\theta }-(k+1)e^{i\theta })$

कहाँ पे

• कोण $\theta$ बदले में है: $\theta \in [0,2\pi ].$
• छोटे वृत्त की त्रिज्या r है
• बड़े वृत्त की त्रिज्या kr है

क्षेत्र

(प्रारंभिक बिंदु को बड़े वृत्त पर स्थित मानते हुए) जब k धनात्मक पूर्णांक है, तो इस एपिसाइक्लॉइड का क्षेत्रफल है:

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.$

यदि k एक धनात्मक पूर्णांक है, तो वक्र बंद है, और k कस्प (अर्थात् तीखे कोने) हैं।

यदि k एक परिमेय संख्या है, मान लीजिए k = p / q को अलघुकरणीय अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो वक्र में p cusps होता है।

वक्र को बंद करने के लिए और

पहले दोहराए जाने वाले पैटर्न को पूरा करें :

θ = q से क्यू घुमाव

α = p से पी रोटेशन

बाहरी रोलिंग सर्कल का कुल घुमाव = p + q घुमाव

p और q देखने के लिए एनिमेशन घुमावों की गणना करें।

यदि k एक अपरिमेय संख्या है, तो वक्र कभी बंद नहीं होता है, और बड़े वृत्त और त्रिज्या R + 2r के वृत्त के बीच की जगह का एक सघन उपसमुच्चय बनाता है।

दूरी OP से (x=0,y=0) मूल (बिंदु $p$ छोटे वृत्त पर) ऊपर और नीचे भिन्न होता है

R <= OP <= (R + 2r)

R= बड़े वृत्त की त्रिज्या और

2r = छोटे वृत्त का व्यास

• एपिकाइक्लॉइड उदाहरण
• Epicycloid-1.svg

  k = 1          a कार्डियोइड

• Epicycloid-2.svg

  k = 2          a नेफ्रोइड

• k = 3          a ट्रेफोइलोइड

• k = 4          a क्वाट्रेफॉयलॉइड

• k = 2.1 = 21/10

• Epicycloid-3-8.svg

  k = 3.8 = 19/5

• 

  k = 5.5 = 11/2

• k = 7.2 = 36/5

एपिसाइक्लॉइड एक विशेष प्रकार का एपिट्रोकॉइड है।

कस्प वाला एक एपिसाइकिल एक कार्डियोइड है, दो कस्प एक नेफ्रोइड है।

एक एपिसाइक्लॉइड और इसका विकास समानता (ज्यामिति) है।

प्रमाण

File:Epizykloide herleitung.svg

सबूत के लिए स्केच

हम मानते हैं कि की स्थिति $p$ जिसे हम सुलझाना चाहते हैं, $\alpha$ स्पर्शरेखा बिंदु से गतिमान बिंदु तक का कोण है $p$, तथा $\theta$ प्रारंभिक बिंदु से स्पर्शरेखा बिंदु तक का कोण है।

चूंकि दोनों चक्रों के बीच कोई फिसलन नहीं है, तो हमारे पास:

$\ell _{R}=\ell _{r}$

कोण की परिभाषा के अनुसार (जो त्रिज्या पर दर चाप है), तो हमारे पास:

$\ell _{R}=\theta R$ तथा

$\ell _{r}=\alpha r$.

इन दो स्थितियों से हमें पहचान मिलती है

$\theta R=\alpha r$.

हिसाब लगाकर, हम बीच संबंध प्राप्त करते हैं $\alpha$ तथा $\theta$, जो है

$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$.

आकृति से, हम बिंदु की स्थिति देखते हैं $p$ छोटे वृत्त पर स्पष्ट रूप से है।

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

यह भी देखें

MSWLogo (कार्डियोइड) में कछुए के साथ एनिमेटेड GIF

* आवधिक कार्यों की सूची

• चक्रवात
• साइक्लोगन
• डिफ्रेंट और एपिसायकल
• एपिसाइक्लिक गियरिंग
• एपिट्रोकॉइड
• हाइपोचक्रज
• हाइपोट्रोकॉइड
• मल्टीब्रॉट सेट
• रूले (वक्र)
• स्पाइरोग्राफ

संदर्भ

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 161, 168–170, 175. ISBN 978-0-486-60288-2.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Epicycloid". MathWorld.
• "Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Epicycloid", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth