चक्रज

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File:Cycloid f.gif

एक रोलिंग सर्कल द्वारा उत्पन्न एक चक्रज

ज्यामिति में, एक चक्रज एक वृत्त पर एक बिंदु द्वारा अनुरेखित वक्र होता है क्योंकि यह बिना खिसके एक रेखा (ज्यामिति) के साथ लुढ़कता है। एक साइक्लोइड ट्रोकॉइड का एक विशिष्ट रूप है और एक रूले (वक्र) का एक उदाहरण है, एक वक्र जो दूसरे वक्र पर लुढ़कने वाले वक्र द्वारा उत्पन्न होता है।

ऊपर की ओर इशारा करते हुए कस्प (विलक्षणता) के साथ चक्रवात, एकसमान गुरुत्वाकर्षण (ब्राचिस्टोक्रोन वक्र ) के तहत सबसे तेज़ वंश का वक्र है। यह एक वक्र का रूप भी है जिसके लिए वक्र के साथ सरल हार्मोनिक गति (पुनरावृत्ति ऊपर और नीचे लुढ़कना) में किसी वस्तु की आवृत्ति वस्तु की प्रारंभिक स्थिति (टॉटोक्रोन वक्र ) पर निर्भर नहीं करती है।

इतिहास

It was in the left hand try-pot of the Pequod, with the soapstone diligently circling round me, that I was first indirectly struck by the remarkable fact, that in geometry all bodies gliding along the cycloid, my soapstone for example, will descend from any point in precisely the same time.

Moby Dick by Herman Melville, 1851

साइक्लोइड को जियोमीटर का हेलेन ऑफ़ ट्रॉय कहा जाता है क्योंकि यह 17 वीं शताब्दी के गणितज्ञों के बीच अक्सर झगड़े का कारण बनता है। गणित के इतिहासकारों ने चक्रवात के खोजकर्ता के लिए कई उम्मीदवारों का प्रस्ताव दिया है। गणितीय इतिहासकार पॉल टैनरी ने सीरियाई दार्शनिक एंब्लिचस द्वारा इसी तरह के काम को सबूत के रूप में उद्धृत किया कि वक्र पुरातनता में जाना जाता था। 1679 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस ने कूसा के निकोलस को खोज के लिए जिम्मेदार ठहराया,लेकिन बाद की विद्वता इंगित करती है कि या तो वालिस से गलती हुई थी या उसके द्वारा इस्तेमाल किए गए सबूत अब खो गए हैं। 19वीं सदी के अंत में गैलिलियो गैलिली का नाम सामने रखा गया थाऔर कम से कम एक लेखक ने मारिन Mersenne को श्रेय दिए जाने की रिपोर्ट दी है।मोरित्ज़ कैंटोर के काम से शुरुआतऔर सीगमंड गेंथर | सिगमंड गुंथर,विद्वान अब फ्रांसीसी गणितज्ञ चार्ल्स डी बोवेल्स को प्राथमिकता देते हैं1503 में प्रकाशित जियोमेट्रियम में अपने इंट्रोडक्टियो में साइक्लोइड के उनके विवरण के आधार पर। इस काम में, बोवेल्स एक बड़े वृत्त के हिस्से के रूप में एक रोलिंग व्हील द्वारा ट्रेस किए गए आर्क को छोटे पहिये से 120% बड़ा त्रिज्या के साथ गलती करता है।

गैलीलियो ने साइक्लोइड शब्द की उत्पत्ति की और वक्र का गंभीर अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनके छात्र इवेंजेलिस्टा टोरिसेली के अनुसार,1599 में गैलीलियो ने एक असामान्य रूप से अनुभवजन्य दृष्टिकोण के साथ साइक्लोइड (चक्रवात के नीचे के क्षेत्र का निर्धारण) के चतुर्भुज (गणित) का प्रयास किया, जिसमें शीट मेटल पर जेनरेटिंग सर्कल और परिणामी साइक्लोइड दोनों का पता लगाना, उन्हें काटना और उनका वजन करना शामिल था। उन्होंने पाया कि अनुपात लगभग 3:1 था, जो कि सही मूल्य है, लेकिन उन्होंने गलत तरीके से निष्कर्ष निकाला कि अनुपात एक अपरिमेय अंश था, जिससे चतुर्भुज असंभव हो जाता। 1628 के आसपास, गाइल्स डी रोबरवाल ने संभवतः मारिन मेर्सन | पेरे मारिन मेर्सन से चतुर्भुज समस्या के बारे में सीखा और 1634 में कैवलियरी के सिद्धांत का उपयोग करके चतुर्भुज को प्रभावित किया। हालांकि, यह काम 1693 तक प्रकाशित नहीं हुआ था (उनके ट्रैटे डेस इंडिविजिबल्स में)।

साइक्लॉयड की स्पर्शरेखा का निर्माण अगस्त 1638 तक होता है जब मेर्सन को रॉबरवाल, पियरे डी फ़र्माटा और रेने डेसकार्टेस से अनूठी विधियाँ प्राप्त हुईं। मेर्सन ने इन परिणामों को गैलीलियो के साथ पारित किया, जिन्होंने उन्हें अपने छात्रों टोरिसेली और विवियाना को दिया, जो एक चतुर्भुज का उत्पादन करने में सक्षम थे। यह परिणाम और अन्य 1644 में टोरिसेली द्वारा प्रकाशित किए गए थे,जो साइक्लॉयड पर पहला मुद्रित कार्य भी है। इसके कारण रॉबरवाल ने टोरिसेली पर साहित्यिक चोरी का आरोप लगाया, 1647 में टोरिसेली की प्रारंभिक मृत्यु से विवाद कम हो गया।

1658 में, ब्लेज़ पास्कल ने धर्मशास्त्र के लिए गणित छोड़ दिया था, लेकिन दांत दर्द से पीड़ित होने के दौरान, साइक्लोइड से संबंधित कई समस्याओं पर विचार करना शुरू कर दिया। उनका दांत दर्द गायब हो गया, और उन्होंने अपने शोध को आगे बढ़ाने के लिए इसे एक स्वर्गीय संकेत के रूप में लिया। आठ दिन बाद उन्होंने अपना निबंध पूरा किया और परिणामों को प्रचारित करने के लिए एक प्रतियोगिता का प्रस्ताव रखा। पास्कल ने साइक्लॉयड के द्रव्यमान, क्षेत्रफल और आयतन के केंद्र से संबंधित तीन प्रश्नों का प्रस्ताव रखा, जिसमें विजेता या विजेताओं को 20 और 40 स्पेनिश डबलून के पुरस्कार प्राप्त होंगे। पास्कल, रोबरवाल और सीनेटर कारकेवी न्यायाधीश थे, और दोनों में से कोई भी सबमिशन (जॉन वालिस और एंटोनी डी लालौवेरे द्वारा) पर्याप्त नहीं माना गया था। जब प्रतियोगिता चल रही थी, क्रिस्टोफर व्रेन ने पास्कल को चक्रवात की चाप की लंबाई के प्रमाण के लिए एक प्रस्ताव भेजा; रोबरवाल ने तुरंत दावा किया कि वह वर्षों से सबूत के बारे में जानता था। वालिस ने वालिस के ट्रैक्टस डुओ में व्रेन के सबूत (क्रेडिटिंग व्रेन) को प्रकाशित किया, जिसमें पहले प्रकाशित सबूत के लिए व्रेन को प्राथमिकता दी गई।

पंद्रह साल बाद, क्रिस्टियान ह्यूजेंस ने क्रोनोमीटर को बेहतर बनाने के लिए साइक्लोइडल पेंडुलम को तैनात किया था और यह पता लगाया था कि एक कण एक उल्टे साइक्लोइडल आर्क के एक खंड को उसी समय में पार करेगा, चाहे उसका प्रारंभिक बिंदु कुछ भी हो। 1686 में, गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो ने एकल समीकरण के साथ वक्र का वर्णन करने के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग किया। 1696 में, जोहान बर्नौली ने ब्राचिस्टोक्रोन वक्र प्रस्तुत किया, जिसका समाधान एक चक्रज है।

समीकरण

मूल के माध्यम से चक्रज, त्रिज्या के एक चक्र द्वारा उत्पन्न r पर लुढ़कनाx-अक्ष सकारात्मक पक्ष पर (y ≥ 0), बिंदुओं से मिलकर बनता है (x, y), साथ

$${\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}$$

कहाँ पे t उस कोण के अनुरूप एक वास्तविक पैरामीटर है जिससे रोलिंग सर्कल घूमता है। माफ़ कर दिया t, वृत्त का केंद्र पर स्थित है (x, y) = (rt, r).

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को हल करके प्राप्त किया जाता हैyके लिए समीकरण t और में प्रतिस्थापित करनाx-समीकरण:

$$x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},$$

या, बहु-मूल्यवान प्रतिलोम कोज्या को समाप्त करना:

$r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.$

कब y के एक समारोह के रूप में देखा जाता है x, साइक्लोइड पर Cusp (विलक्षणता) को छोड़कर हर जगह अवकलनीय कार्य है x-अक्ष, व्युत्पन्न प्रवृत्ति के साथ $\infty$ या $-\infty$ एक कुंड के पास। से नक्शा t प्रति (x, y) अलग-अलग है, वास्तव में वर्ग C, व्युत्पन्न 0 के साथ क्यूप्स पर।

बिंदु पर चक्रज को स्पर्शरेखा का ढलान $(x,y)$ द्वारा दिया गया है ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$.

एक कुंड से दूसरे तक एक चक्रज खंड को चक्रज का एक चाप कहा जाता है, उदाहरण के लिए बिंदु के साथ $0\leq t\leq 2\pi$ तथा $0\leq x\leq 2\pi$.

साइक्लॉयड को एक फलन का ग्राफ मानते हुए $y=f(x)$, यह साधारण अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है:

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.$

शामिल

File:Evolute generation.png

आधे साइक्लॉयड चाप (लाल चिह्नित) पर रखे तनावपूर्ण तार को खोलकर साइक्लोइड के व्युत्क्रम का निर्माण

साइक्लोइड के व्युत्क्रम में ठीक वैसा ही सर्वांगसमता (ज्यामिति) होता है, जिस साइक्लोइड से यह उत्पन्न होता है। यह एक तार की नोक द्वारा पता लगाए गए पथ के रूप में देखा जा सकता है जो शुरू में साइक्लोइड के आधे आर्च पर पड़ा था: जब यह मूल साइक्लोइड के स्पर्शरेखा के दौरान अनियंत्रित होता है, तो यह एक नए साइक्लोइड का वर्णन करता है (साइक्लोइड # साइक्लोइडल पेंडुलम और साइक्लोइड # आर्क भी देखें) लंबाई)।

प्रदर्शन

File:Evolute demo.png

एक साइक्लोइड के शामिल होने के गुणों का प्रदर्शन

यह प्रदर्शन चक्रज की रोलिंग-व्हील परिभाषा के साथ-साथ एक गतिमान बिंदु के तात्कालिक वेग वेक्टर का उपयोग करता है, जो इसके प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा है। बगल की तस्वीर में, $P_{1}$ तथा $P_{2}$ दो रोलिंग सर्कल से संबंधित दो बिंदु हैं, जिनमें से पहले का आधार दूसरे के शीर्ष के ठीक ऊपर है। शुरू में, $P_{1}$ तथा $P_{2}$ दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर मेल खाते हैं। जब वृत्त समान गति से क्षैतिज रूप से लुढ़कते हैं, $P_{1}$ तथा $P_{2}$ दो चक्रीय वक्रों को पार करें। जोड़ने वाली लाल रेखा को ध्यान में रखते हुए $P_{1}$ तथा $P_{2}$ एक निश्चित समय पर, कोई यह साबित करता है कि रेखा हमेशा निचले चाप पर स्पर्श करती है $P_{}$