पॉलीटॉप: Difference between revisions
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[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[ बहुभुज ]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण हैं: खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग की उपेक्षा), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के विभिन्न घनत्वों के साथ स्व-प्रतिच्छेद।]] | [[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[ बहुभुज ]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण हैं: खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग की उपेक्षा), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के विभिन्न घनत्वों के साथ स्व-प्रतिच्छेद।]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्लैट [[फेसेस]] का सामना करना पड़ता है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar|n}} में {{mvar|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar|n}}-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनता है और {{mvar|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें {{math|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं। | ||
कुछ सिद्धांत आगे इस तरह की वस्तुओं को | कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को सम्मिलित करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड [[ अनंतता |अनंतता]] और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,]] और सेट-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं। | ||
1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक पॉलीसेम कहा था।{{Sfn|Coxeter|1973|pp=141-144|loc=§7-x. Historical remarks}} [[ जर्मन भाषा ]] का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ [[ रेनहोल्ड हॉपी ]] द्वारा | 1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक पॉलीसेम कहा था।{{Sfn|Coxeter|1973|pp=141-144|loc=§7-x. Historical remarks}} [[ जर्मन भाषा ]] का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ [[ रेनहोल्ड हॉपी ]] द्वारा निर्मित किया गया था, और [[ एलिसिया बोले स्टॉट ]] द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था। | ||
== परिभाषा के दृष्टिकोण == | == परिभाषा के दृष्टिकोण == | ||
आजकल, पॉलीटोप शब्द एक व्यापक शब्द है जो वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी को कवर करता है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएं दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएं एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के विभिन्न अतिव्यापी सेटों को पॉलीटॉप कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को | आजकल, पॉलीटोप शब्द एक व्यापक शब्द है जो वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी को कवर करता है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएं दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएं एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के विभिन्न अतिव्यापी सेटों को पॉलीटॉप कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को सम्मिलित करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं। | ||
लुडविग श्लाफली, [[ थोरोल्ड गोसेट ]] और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाने वाला मूल दृष्टिकोण क्रमशः दो और तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref> | लुडविग श्लाफली, [[ थोरोल्ड गोसेट ]] और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाने वाला मूल दृष्टिकोण क्रमशः दो और तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref> | ||
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== तत्व == | == तत्व == | ||
एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व | एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, चेहरे, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1)-आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए चेहरे का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-चेहरे को निरूपित करने के लिए चेहरे का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे-फेस या जे-फेस का उपयोग कर सकते हैं। कुछ एक रिज को संदर्भित करने के लिए किनारे का उपयोग करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सेटर सेल का उपयोग एक (एन − 1)-आयामी तत्व को इंगित करने के लिए करता है।<ref>Regular polytopes, p. 127 ''The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell''</ref>{{citation needed|date=February 2015|reason=need to cite each definition claimed}} <!-- Note that "each definition claimed" means "each definition claimed" and this tag should remain until each definition claimed has been cited --> | ||
इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं: | इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं: | ||
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|The polytope itself | |The polytope itself | ||
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एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1)-आयामी [[ पहलू (गणित) ]] से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) -आयामी [[ रिज (ज्यामिति) ]] हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होता है (लेकिन दो पहलुओं का प्रतिच्छेदन एक रिज नहीं होना चाहिए)। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू (n - 3) को जन्म देते हैं - मूल पॉलीटोप की आयामी सीमाएं, और इसी तरह। इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे- | एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1)-आयामी [[ पहलू (गणित) ]] से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) -आयामी [[ रिज (ज्यामिति) ]] हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होता है (लेकिन दो पहलुओं का प्रतिच्छेदन एक रिज नहीं होना चाहिए)। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू (n - 3) को जन्म देते हैं - मूल पॉलीटोप की आयामी सीमाएं, और इसी तरह। इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। 0-आयामी चेहरे को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी चेहरे को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी चेहरे में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी चेहरा, जिसे कभी-कभी एक [[ सेल (गणित) ]] कहा जाता है, में एक पॉलीहेड्रॉन होता है। | ||
==बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग == | ==बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग == | ||
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*वर्गाकार और [[ नियमित अष्टफलक ]] सहित [[ ऑर्थोप्लेक्स ]] या क्रॉस पॉलीटोप। | *वर्गाकार और [[ नियमित अष्टफलक ]] सहित [[ ऑर्थोप्लेक्स ]] या क्रॉस पॉलीटोप। | ||
आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े | आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारे होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई [[ नियमित बहुभुज ]] होते हैं, दोनों उत्तल और (n ≥ 5 के लिए) तारे। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं हैं।<ref name="coxeter1973"/> | ||
तीन आयामों में उत्तल [[ प्लेटोनिक ठोस ]] में पांच गुना-सममित [[ द्वादशफ़लक ]] और [[ विंशतिफलक ]] | तीन आयामों में उत्तल [[ प्लेटोनिक ठोस ]] में पांच गुना-सममित [[ द्वादशफ़लक ]] और [[ विंशतिफलक ]] सम्मिलित हैं, और पांच गुना समरूपता के साथ चार सितारा [[ केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा ]] भी हैं, जो कुल नौ नियमित पॉलीहेड्रा लाते हैं। | ||
चार आयामों में नियमित 4-पॉलीटॉप में चार गुना समरूपता के साथ एक अतिरिक्त उत्तल ठोस और दो पांच गुना समरूपता | चार आयामों में नियमित 4-पॉलीटॉप में चार गुना समरूपता के साथ एक अतिरिक्त उत्तल ठोस और दो पांच गुना समरूपता सम्मिलित हैं। दस सितारा श्लाफली-हेस 4-पॉलीटॉप हैं, सभी पांच गुना समरूपता के साथ, सभी सोलह नियमित 4-पॉलीटॉप में दे रहे हैं। | ||
=== स्टार पॉलीटोप्स === | === स्टार पॉलीटोप्स === | ||
{{Main|Star polytope}} | {{Main|Star polytope}} | ||
एक गैर-उत्तल पॉलीटोप स्वयं-प्रतिच्छेदन हो सकता है; पॉलीटोप्स के इस वर्ग में स्टार पॉलीटोप्स | एक गैर-उत्तल पॉलीटोप स्वयं-प्रतिच्छेदन हो सकता है; पॉलीटोप्स के इस वर्ग में स्टार पॉलीटोप्स सम्मिलित हैं। कुछ नियमित पॉलीटॉप सितारे हैं।<ref name="coxeter1973"/> | ||
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=== सार पॉलीटोप्स === | === सार पॉलीटोप्स === | ||
{{Main|Abstract polytope}} | {{Main|Abstract polytope}} | ||
अमूर्त पॉलीटॉप्स का सिद्धांत उनके विशुद्ध रूप से संयोजी गुणों पर विचार करते हुए, उन्हें युक्त स्थान से पॉलीटोप्स को अलग करने का प्रयास करता है। यह उन वस्तुओं को | अमूर्त पॉलीटॉप्स का सिद्धांत उनके विशुद्ध रूप से संयोजी गुणों पर विचार करते हुए, उन्हें युक्त स्थान से पॉलीटोप्स को अलग करने का प्रयास करता है। यह उन वस्तुओं को सम्मिलित करने के लिए शब्द की परिभाषा को विस्तारित करने की अनुमति देता है जिनके लिए एक सहज अंतर्निहित स्थान को परिभाषित करना मुश्किल है, जैसे कि [[ 11-कोशिका ]]। | ||
एक अमूर्त पॉलीटॉप तत्वों या सदस्यों का [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट ]] है, जो कुछ नियमों का पालन करता है। यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संरचना है, और सिद्धांत को कुछ मुद्दों से बचने के लिए विकसित किया गया था, जिससे एक सुसंगत गणितीय ढांचे के भीतर विभिन्न ज्यामितीय वर्गों को समेटना मुश्किल हो जाता है। एक ज्यामितीय पॉलीटोप को संबंधित अमूर्त पॉलीटोप के कुछ वास्तविक स्थान में एक बोध कहा जाता है।<ref>{{citation | last1 = McMullen | first1 = Peter | author1-link = Peter McMullen | first2 = Egon | last2 = Schulte | title = Abstract Regular Polytopes | edition = 1st | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 0-521-81496-0 | date = December 2002 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}</ref> | एक अमूर्त पॉलीटॉप तत्वों या सदस्यों का [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट ]] है, जो कुछ नियमों का पालन करता है। यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संरचना है, और सिद्धांत को कुछ मुद्दों से बचने के लिए विकसित किया गया था, जिससे एक सुसंगत गणितीय ढांचे के भीतर विभिन्न ज्यामितीय वर्गों को समेटना मुश्किल हो जाता है। एक ज्यामितीय पॉलीटोप को संबंधित अमूर्त पॉलीटोप के कुछ वास्तविक स्थान में एक बोध कहा जाता है।<ref>{{citation | last1 = McMullen | first1 = Peter | author1-link = Peter McMullen | first2 = Egon | last2 = Schulte | title = Abstract Regular Polytopes | edition = 1st | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 0-521-81496-0 | date = December 2002 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}</ref> | ||
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[[File:Schlegel wireframe 5-cell.png|120px|thumb|[[ 5-कोशिका ]] (4-सिम्प्लेक्स) 5 कोने और 5 टेट्राहेड्रल कोशिकाओं के साथ स्व-दोहरी है।]]यदि एक पॉलीटोप में समान संख्या में कोने हैं जैसे कि पहलू, किनारों की लकीरें, और आगे, और समान संयोजकताएं हैं, तो दोहरी आकृति मूल के समान होगी और पॉलीटोप स्व-दोहरी है। | [[File:Schlegel wireframe 5-cell.png|120px|thumb|[[ 5-कोशिका ]] (4-सिम्प्लेक्स) 5 कोने और 5 टेट्राहेड्रल कोशिकाओं के साथ स्व-दोहरी है।]]यदि एक पॉलीटोप में समान संख्या में कोने हैं जैसे कि पहलू, किनारों की लकीरें, और आगे, और समान संयोजकताएं हैं, तो दोहरी आकृति मूल के समान होगी और पॉलीटोप स्व-दोहरी है। | ||
कुछ सामान्य स्व-दोहरी पॉलीटोप्स में | कुछ सामान्य स्व-दोहरी पॉलीटोप्स में सम्मिलित हैं: | ||
*प्रत्येक नियमित एन-सिम्प्लेक्स, किसी भी संख्या में आयामों में, श्लाफली प्रतीक के साथ {3<sup>एन</sup>}. इनमें समबाहु त्रिभुज {3}, नियमित चतुष्फलक {3,3}, और 5-कोशिका {3,3,3} | *प्रत्येक नियमित एन-सिम्प्लेक्स, किसी भी संख्या में आयामों में, श्लाफली प्रतीक के साथ {3<sup>एन</sup>}. इनमें समबाहु त्रिभुज {3}, नियमित चतुष्फलक {3,3}, और 5-कोशिका {3,3,3} सम्मिलित हैं। | ||
*हर [[ हाइपरक्यूबिक मधुकोश ]], किसी भी आयाम में। इनमें एपिरोगोन {∞}, [[ चौकोर खपरैल ]] {4,4} और [[ घन मधुकोश ]] {4,3,4} | *हर [[ हाइपरक्यूबिक मधुकोश ]], किसी भी आयाम में। इनमें एपिरोगोन {∞}, [[ चौकोर खपरैल ]] {4,4} और [[ घन मधुकोश ]] {4,3,4} सम्मिलित हैं। | ||
*कई कॉम्पैक्ट, पैराकॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग, जैसे कि [[ इकोसाहेड्रल मधुकोश ]] {3,5,3}, और [[ क्रम-5 पंचकोणीय खपरैल ]] {5,5}। | *कई कॉम्पैक्ट, पैराकॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग, जैसे कि [[ इकोसाहेड्रल मधुकोश ]] {3,5,3}, और [[ क्रम-5 पंचकोणीय खपरैल ]] {5,5}। | ||
*2 आयामों में, सभी नियमित बहुभुज (नियमित 2-पॉलीटॉप) | *2 आयामों में, सभी नियमित बहुभुज (नियमित 2-पॉलीटॉप) | ||
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== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
अनुकूलन (गणित) के क्षेत्र में, [[ रैखिक ]] प्रोग्रामिंग रैखिक कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम का अध्ययन करती है; ये [[ मैक्सिमा और मिनिमा ]] एक एन- | अनुकूलन (गणित) के क्षेत्र में, [[ रैखिक ]] प्रोग्रामिंग रैखिक कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम का अध्ययन करती है; ये [[ मैक्सिमा और मिनिमा ]] एक एन-विमीय पॉलीटॉप की [[ सीमा (टोपोलॉजी) ]] पर होते हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग में, सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक और [[ सुस्त चर ]] के उपयोग में पॉलीटॉप होते हैं। | ||
ट्विस्टर सिद्धांत में, [[ सैद्धांतिक भौतिकी ]] की एक शाखा, एम्प्लिटुहेड्रोन नामक एक पॉलीटॉप का उपयोग उप-परमाणु कणों के प्रकीर्णन आयामों की गणना करने के लिए किया जाता है जब वे टकराते हैं। निर्माण विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है जिसमें कोई ज्ञात भौतिक अभिव्यक्ति नहीं है, लेकिन कुछ गणनाओं को सरल बनाने के लिए कहा जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Arkani-Hamed |first1=Nima |last2=Trnka |first2=Jaroslav |year=2013 |arxiv=1312.2007 |title=एम्प्लिट्यूहेड्रोन|doi=10.1007/JHEP10(2014)030 |volume=2014 |journal=Journal of High Energy Physics|bibcode=2014JHEP...10..030A }}</ref> | ट्विस्टर सिद्धांत में, [[ सैद्धांतिक भौतिकी ]] की एक शाखा, एम्प्लिटुहेड्रोन नामक एक पॉलीटॉप का उपयोग उप-परमाणु कणों के प्रकीर्णन आयामों की गणना करने के लिए किया जाता है जब वे टकराते हैं। निर्माण विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है जिसमें कोई ज्ञात भौतिक अभिव्यक्ति नहीं है, लेकिन कुछ गणनाओं को सरल बनाने के लिए कहा जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Arkani-Hamed |first1=Nima |last2=Trnka |first2=Jaroslav |year=2013 |arxiv=1312.2007 |title=एम्प्लिट्यूहेड्रोन|doi=10.1007/JHEP10(2014)030 |volume=2014 |journal=Journal of High Energy Physics|bibcode=2014JHEP...10..030A }}</ref> | ||
Revision as of 17:02, 16 November 2022
प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्लैट फेसेस का सामना करना पड़ता है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी बहुतल का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम n में n-विमीय पॉलीटोप या n-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ (k + 1) पॉलीटोप से मिलकर बनता है और k-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें (k – 1) पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।
कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को सम्मिलित करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड अनंतता और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें गोलाकार पॉलीहेड्रा, और सेट-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।
1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक पॉलीसेम कहा था।[1] जर्मन भाषा का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ रेनहोल्ड हॉपी द्वारा निर्मित किया गया था, और एलिसिया बोले स्टॉट द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।
परिभाषा के दृष्टिकोण
आजकल, पॉलीटोप शब्द एक व्यापक शब्द है जो वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी को कवर करता है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएं दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएं एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के विभिन्न अतिव्यापी सेटों को पॉलीटॉप कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को सम्मिलित करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
लुडविग श्लाफली, थोरोल्ड गोसेट और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाने वाला मूल दृष्टिकोण क्रमशः दो और तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।[2] पॉलीहेड्रा की यूलर विशेषता को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या स.ग.-जटिल के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया।[3] इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के टेस्सेलेशन या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से सरल ताओं का संघ है, जो कि किसी भी दो सरलताओं के लिए, जिनके पास एक गैर-रिक्त चौराहा है, उनका चौराहा दो का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी चेहरा है।[4] इस प्रकाश में पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटॉप गोलाकार टाइलिंग के बराबर होते हैं। , समतल या टॉरॉयडल (p−1)-सतह - अण्डाकार टाइलिंग और टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन देखें। एक पॉलीहेड्रॉन को एक सतह के रूप में समझा जाता है जिसका चेहरा (ज्यामिति) बहुभुज होते हैं, एक 4-पॉलीटॉप एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है जिसके पहलू (फेस (ज्यामिति)) पॉलीहेड्रा होते हैं, और आगे।
निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार भी कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, एक (एज (ज्यामिति)) को एक बिंदु जोड़ी से बंधे 1-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या वर्टेक्स (ज्यामिति) के रूप में देखा जाता है। 0-पॉलीटोप। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।
गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और पॉलीहेड्रॉन शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक पॉलीहेड्रॉन किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक घिरा हुआ सेट पॉलीहेड्रॉन। रेफ> नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, ISBN 978-0471359432, परिभाषा 2.2। </ रेफ> यह शब्दावली आमतौर पर पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो उत्तल शरीर हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन अर्ध-अंतरिक्ष (ज्यामिति) की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है जबकि एक उत्तल पॉलीटॉप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का उत्तल पतवार है और इसके कोने से परिभाषित किया गया है।
आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं:
| Dimension of polytope |
Description[5] |
|---|---|
| −1 | Nullitope |
| 0 | Monon |
| 1 | Dion |
| 2 | Polygon |
| 3 | Polyhedron |
| 4 | Polychoron |
तत्व
एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, चेहरे, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1)-आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए चेहरे का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-चेहरे को निरूपित करने के लिए चेहरे का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे-फेस या जे-फेस का उपयोग कर सकते हैं। कुछ एक रिज को संदर्भित करने के लिए किनारे का उपयोग करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सेटर सेल का उपयोग एक (एन − 1)-आयामी तत्व को इंगित करने के लिए करता है।[6][citation needed] इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं:
| Dimension of element |
Term (in an n-polytope) |
|---|---|
| −1 | Nullity (necessary in abstract theory)[5] |
| 0 | Vertex |
| 1 | Edge |
| 2 | Face |
| 3 | Cell |
| j | j-face – element of rank j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n |
| n − 3 | Peak – (n − 3)-face |
| n − 2 | Ridge or subfacet – (n − 2)-face |
| n − 1 | Facet – (n − 1)-face |
| n | The polytope itself |
एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1)-आयामी पहलू (गणित) से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) -आयामी रिज (ज्यामिति) हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होता है (लेकिन दो पहलुओं का प्रतिच्छेदन एक रिज नहीं होना चाहिए)। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू (n - 3) को जन्म देते हैं - मूल पॉलीटोप की आयामी सीमाएं, और इसी तरह। इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। 0-आयामी चेहरे को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी चेहरे को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी चेहरे में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी चेहरा, जिसे कभी-कभी एक सेल (गणित) कहा जाता है, में एक पॉलीहेड्रॉन होता है।
बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग
उत्तल पॉलीटोप्स
एक पॉलीटॉप उत्तल हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा के कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी आधा-स्थान (ज्यामिति) के एक सेट के चौराहे के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा एक पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह से परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग में। एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है जिसमें यह होता है। एक पॉलीटॉप को नुकीला कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप नुकीला होता है। एक गैर-नुकीले पॉलीटॉप का एक उदाहरण सेट है . एक पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में वस्तुओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए, अर्ध-विमानों की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में। यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक