पॉलीटॉप: Difference between revisions

[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[ बहुभुज ]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण हैं: खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग की उपेक्षा), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के विभिन्न घनत्वों के साथ स्व-प्रतिच्छेद।]]प्राथमिक [[ ज्यामिति ]] में, एक पॉलीटोप [[ फ्लैट (ज्यामिति) ]] पक्षों (''[[ चेहरा (ज्यामिति) ]]'') के साथ एक ज्यामितीय वस्तु है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या में आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयामों में मौजूद हो सकते हैं {{mvar|n}} एक के रूप में {{mvar|n}}-आयामी पॉलीटॉप या{{mvar|n}}-पॉलीटोप। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज 2-पॉलीटॉप है और त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, समतल भुजाओं का अर्थ है कि a . की भुजाएँ {{math|(''k'' + 1)}}-पॉलीटोप से मिलकर बनता है {{mvar|k}}-पॉलीटोप्स जो हो सकते हैं {{math|(''k'' – 1)}}- सामान्य रूप से पॉलीटोप्स।

कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को शामिल करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड एपिरोटोप्स और [[ चौकोर ]], डीकंपोजीशन या घुमावदार [[ विविध ]] की टाइलिंग जिसमें [[ गोलाकार पॉलीहेड्रा ]], और सेट-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स शामिल हैं।

1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा तीन से अधिक आयामों के पॉलीटॉप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक बहुविकल्पी कहा था।{{Sfn|Coxeter|1973|pp=141-144|loc=§7-x. Historical remarks}} [[ जर्मन भाषा ]] का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ [[ रेनहोल्ड हॉपी ]] द्वारा गढ़ा गया था, और [[ एलिसिया बोले स्टॉट ]] द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।

आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी शामिल है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के अलग-अलग अतिव्यापी सेटों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को शामिल करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

मूल दृष्टिकोण मोटे तौर पर लुडविग श्लाफली, [[ थोरोल्ड गोसेट ]] और अन्य द्वारा पीछा किया जाता है, क्रमशः दो और तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref>

पॉलीहेड्रा की [[ यूलर विशेषता ]] को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने [[ टोपोलॉजी ]] के विकास और एक अपघटन या [[ स.ग.-जटिल ]] के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया।<ref>{{cite book|author-link=David Richeson|last=Richeson|first=D.|title=यूलर का रत्न: पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला और टोपोलॉजी का जन्म|title-link= Euler's Gem|publisher=Princeton University Press|year=2008}}</ref> इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के टेस्सेलेशन या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से [[ सरल ]]ताओं का संघ है, जो कि किसी भी दो सरलताओं के लिए, जिनके पास एक गैर-रिक्त चौराहा है, उनका चौराहा दो का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी चेहरा है।<ref name="Grünbaum2003">Grunbaum (2003)</ref> हालांकि यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ [[ स्टार पॉलीटोप ]]्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।

[[ स्टार पॉलीहेड्रॉन ]] और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके इंटीरियर को अनदेखा कर दिया। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> इस प्रकाश में पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटॉप गोलाकार टाइलिंग के बराबर होते हैं। , समतल या टॉरॉयडल (p−1)-सतह - [[ अण्डाकार टाइलिंग ]] और [[ टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन ]] देखें। एक पॉलीहेड्रॉन को एक सतह के रूप में समझा जाता है जिसका चेहरा (ज्यामिति) [[ बहुभुज ]] होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप ]] एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है जिसके पहलू (फेस (ज्यामिति)) पॉलीहेड्रा होते हैं, और आगे।

निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार भी कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, एक ([[ एज (ज्यामिति) ]]) को एक बिंदु जोड़ी से बंधे [[ 1-पॉलीटोप ]] के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या [[ वर्टेक्स (ज्यामिति) ]] के रूप में देखा जाता है। 0-पॉलीटोप। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।

==बहुभुजों के महत्वपूर्ण वर्ग==

एक पॉलीटॉप उत्तल हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा के कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी आधा-स्थान (ज्यामिति) के एक सेट के चौराहे के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा एक पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह से परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, [[ रैखिक प्रोग्रामिंग ]] में। एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है जिसमें यह होता है। एक पॉलीटॉप को नुकीला कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप नुकीला होता है। एक गैर-नुकीले पॉलीटॉप का एक उदाहरण सेट है <math>\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}</math>. एक पॉलीटॉप परिमित होता है यदि इसे सीमित संख्या में वस्तुओं के रूप में परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, आधे विमानों की एक सीमित संख्या के चौराहे के रूप में।

यह एक अभिन्न पॉलीटोप है यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं।

उत्तल पॉलीटोप्स का एक निश्चित वर्ग रिफ्लेक्सिव पॉलीटोप्स है। एक अभिन्न {{nobr|<math>d</math>-polytope}} <math>\mathcal{P}</math> कुछ [[ पूर्णांक मैट्रिक्स ]] के लिए रिफ्लेक्सिव है <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{P} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d : \mathbf{Ax} \leq \mathbf{1}\}</math>, कहाँ पे <math>\mathbf{1}</math> सभी के एक सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। यह इस परिभाषा से इस प्रकार है <math>\mathcal{P}</math> रिफ्लेक्टिव है अगर और केवल अगर <math>(t+1)\mathcal{P}^\circ \cap \mathbb{Z}^d = t\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d</math> सभी के लिए <math>t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>. दूसरे शब्दों में, ए {{nobr|<math>(t + 1)</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a . से भिन्न होता है {{nobr|<math>t</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से। समान रूप से, <math>\mathcal{P}</math> रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर यह [[ दोहरी पॉलीहेड्रॉन ]] है <math>\mathcal{P}^*</math> एक अभिन्न पॉलीटोप है।<ref>Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), ''[[Computing the Continuous Discretely|Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra]]'', Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-29139-0}}, MR 2271992</ref>

आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े शामिल होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपताएं होती हैं और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल सितारे होते हैं, और दो आयामों में उत्तल और (एन ≥ 5 के लिए) स्टार दोनों, एन-फोल्ड समरूपता के अनंत रूप से कई [[ नियमित बहुभुज ]] होते हैं। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं हैं।<ref name="coxeter1973"/>

अमूर्त पॉलीटोप्स का सिद्धांत उनके विशुद्ध रूप से संयोजक गुणों पर विचार करते हुए, पॉलीटोप्स को उनके युक्त स्थान से अलग करने का प्रयास करता है। यह उन वस्तुओं को शामिल करने के लिए शब्द की परिभाषा को विस्तारित करने की अनुमति देता है जिनके लिए एक सहज अंतर्निहित स्थान को परिभाषित करना मुश्किल है, जैसे कि [[ 11-कोशिका ]]।

जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान में पॉलीटोप्स के समान संरचनाएं मौजूद हैं <math> \Complex^n</math> जहाँ n वास्तविक विमाओं के साथ n [[ काल्पनिक संख्या ]]एँ होती हैं। [[ नियमित जटिल पॉलीटोप ]]्स को अधिक उचित रूप से [[ विन्यास (पॉलीटोप) ]]पॉलीटॉप) के रूप में माना जाता है।<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Complex Polytopes'', 1974</ref>

== द्वैत ==

प्रत्येक n-पॉलीटोप में एक दोहरी संरचना होती है, जो पहलुओं के लिए इसके शीर्षों को बदलकर, लकीरों के लिए किनारों को बदलकर प्राप्त की जाती है, और आम तौर पर इसके (j − 1)-आयामी तत्वों को (n − j)-आयामी तत्वों (j = 1 से n − 1), तत्वों के बीच कनेक्टिविटी या घटना को बनाए रखते हुए।

एक अमूर्त पॉलीटॉप के लिए, यह सेट के क्रम को उलट देता है। यह उत्क्रमण नियमित पॉलीटोप्स के लिए श्लाफली प्रतीकों में देखा जाता है, जहां दोहरे पॉलीटॉप के लिए प्रतीक मूल के विपरीत है। उदाहरण के लिए, {4, 3, 3} {3, 3, 4} का दोहरा है।

एक ज्यामितीय पॉलीटॉप के मामले में, दोहरीकरण के लिए कुछ ज्यामितीय नियम आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए दोहरे पॉलीहेड्रा के लिए वर्णित नियम देखें। परिस्थिति के आधार पर, दोहरी आकृति एक और ज्यामितीय पॉलीटॉप हो सकती है या नहीं भी हो सकती है।<ref>Wenninger, M.; ''Dual Models'', CUP (1983).</ref>

यदि द्वैत को उलट दिया जाता है, तो मूल पॉलीटोप को पुनः प्राप्त कर लिया जाता है। इस प्रकार, पॉलीटोप्स दोहरे जोड़े में मौजूद हैं।

[[File:Schlegel wireframe 5-cell.png|120px|thumb|[[ 5-कोशिका ]] (4-सिम्प्लेक्स) 5 कोने और 5 टेट्राहेड्रल कोशिकाओं के साथ स्व-दोहरी है।]]यदि एक पॉलीटॉप में किनारों की संख्या समान है, किनारों की लकीरें हैं, और इसी तरह आगे, और समान कनेक्टिविटी हैं, तो दोहरी आकृति मूल के समान होगी और पॉलीटॉप स्व-दोहरी है।

* प्रत्येक नियमित एन-सिम्प्लेक्स, किसी भी संख्या में आयामों में, श्लाफली प्रतीक {3 के साथ^एन}. इनमें समबाहु त्रिभुज {3}, नियमित चतुष्फलक {3,3}, और 5-कोशिका {3,3,3} शामिल हैं।

*कई कॉम्पैक्ट, पैराकॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग, जैसे कि [[ इकोसाहेड्रल मधुकोश ]] {3,5,3}, और [[ आदेश-5 पंचकोणीय टाइलिंग ]] {5,5}।

*4 आयामों में, [[ 24-सेल ]], Schläfli प्रतीक {3,4,3} के साथ। इसके अलावा [[ महान 120-सेल ]] {5,5/2,5} और भव्य तारकीय 120-सेल {5/2,5,5/2}।

चार या अधिक आयामों में [[ एक समान पॉलीटॉप ]], उत्तल और गैर-उत्तल की गणना करना एक उत्कृष्ट समस्या बनी हुई है। [[ जॉन कॉनवे ]] और [[ माइकल गाइ ]] द्वारा 1965 में कंप्यूटर का उपयोग करते हुए उत्तल वर्दी 4-पॉलीटॉप्स की पूरी तरह से गणना की गई थी;<ref>[http://math.fau.edu/Yiu/Oldwebsites/RM2003/cmjConway825.pdf John Horton Conway: Mathematical Magus] - Richard K. Guy</ref><ref>{{cite journal | url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsbm.2021.0034 | doi=10.1098/rsbm.2021.0034 | title=जॉन हॉर्टन कॉनवे। 26 दिसंबर 1937—11 अप्रैल 2020| journal=Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society | date=June 2022 | volume=72 | pages=117–138 | last1=Curtis | first1=Robert Turner }}</ref> उच्च आयामों में यह समस्या अभी भी 1997 तक खुली थी।<ref>[http://mathserver.neu.edu/~schulte/symchapter.pdf Symmetry of Polytopes and Polyhedra], Egon Schulte. p. 12: "However, there are many more uniform polytopes but a complete list is known only for d = 4 [Joh]."</ref> 2008 के रूप में गैर-उत्तल समान पॉलीटोप्स के लिए पूर्ण गणना चार और उच्चतर आयामों में ज्ञात नहीं है।<ref>[[John Horton Conway]], Heidi Burgiel, and [[Chaim Goodman-Strauss]]: ''[[The Symmetries of Things]]'', p. 408. "There are also starry analogs of the Archimedean polyhedra...So far as we know, nobody has yet enumerated the analogs in four or higher dimensions."</ref>

आधुनिक समय में, पॉलीटॉप्स और संबंधित अवधारणाओं ने [[ कंप्यूटर ग्राफिक्स ]], [[ अनुकूलन (गणित) ]], [[ खोज इंजन (कंप्यूटिंग) ]], ब्रह्मांड विज्ञान, [[ क्वांटम यांत्रिकी ]] और कई अन्य क्षेत्रों के रूप में विविध क्षेत्रों में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाए हैं। 2013 में सैद्धांतिक भौतिकी की कुछ गणनाओं में [[ एम्प्लिट्यूहेड्रोन ]] को सरलीकृत निर्माण के रूप में खोजा गया था।

== आवेदन ==

अनुकूलन (गणित) के क्षेत्र में, [[ रैखिक ]] प्रोग्रामिंग रैखिक कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम का अध्ययन करती है; ये [[ मैक्सिमा और मिनिमा ]] एक एन-डायमेंशनल पॉलीटॉप की [[ सीमा (टोपोलॉजी) ]] पर होते हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग में, [[ सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक ]] और [[ सुस्त चर ]] के उपयोग में पॉलीटॉप होते हैं।

*[[ एक रेखा के साथ बहुफलक का प्रतिच्छेदन ]]

* बहुफलक का विस्तार

*अनंतता