नेबरहुड (गणित)

For आरेख सिद्धांत में अवधारणा, see सामीप्य (आरेख सिद्धांत).

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एक समुच्चय $V$ समतल में (ज्यामिति) एक बिंदु का प्रतिवैस है $p$ अगर चारों ओर एक छोटी सी चक्रिका $p$ में निहित है $V.$

संस्थितिविज्ञान और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, प्रतिवैस (या प्रतिवैस) एक सांस्थितिक समष्टि में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। यह विविक्त समुच्चय और भीतरी (सांस्थिति) की अवधारणाओं से निकटता से संबंधित है। सहजता से बोलते हुए, एक बिंदु का एक प्रतिवैस उस बिंदु से युक्त बिंदुओं का एक सम्मुच्य (गणित) है जहां कोई समुच्चय को छोड़े बिना उस बिंदु से किसी भी दिशा में कुछ राशि ले जा सकता है।

परिभाषाएँ

एक बिंदु का पड़ोस

यदि $X$ एक सांस्थितिक समष्टि है और $p$ में एक बिंदु है $X,$ फिर एक प्रतिवैस का $p$ एक उपसमुच्चय है $V$ का $X$ जिसमें एक विविक्त समुच्चय शामिल है $U$ युक्त $p$,

$$p\in U\subseteq V\subseteq X.$$

यह भी बिंदु के बराबर है $p\in X$ आंतरिक (सांस्थिति) से संबंधित आंतरिक बिंदु $V$ में $X.$ पड़ोस $V$ जरुरत not एक खुला उपसमुच्चय बनें $X,$ लेकिन जब $V$ में खुला है $X$ तो इसे एक कहा जाता हैopen neighbourhood. कुछ लेखकों को प्रतिवैस के खुले रहने की आवश्यकता के लिए जाना जाता है, इसलिए सम्मेलनों में ध्यान देना महत्वपूर्ण है।

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एक बंद आयत का उसके किसी भी कोने या उसकी सीमा पर पड़ोस नहीं होता है।

एक समुच्चय जो इसके प्रत्येक बिंदु का एक प्रतिवैस है, खुला है क्योंकि इसे इसके प्रत्येक बिंदु वाले खुले के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक आयत, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, अपने सभी बिंदुओं का प्रतिवैस नहीं है; आयत के किनारों या कोनों पर बिंदु आयत के भीतर निहित किसी भी खुले समुच्चय में अन्तर्वलित नहीं हैं।

किसी बिंदु के सभी प्रतिवैस के संग्रह को बिंदु पर प्रतिवैस प्रणाली कहा जाता है।

एक समुच्चय का प्रतिवैस

यदि $S$ एक सांस्थितिक समष्टि का उपवर्ग है $X$, फिर प्रतिवैस $S$ का एक समुच्चय है $V$ जिसमें एक खुला समुच्चय है $U$ युक्त $S$,

$$S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.$$

यह इस प्रकार है कि एक समुच्चय $V$ का प्रतिवैस है $S$ यदि और केवल यदि यह सभी बिंदुओं का प्रतिवैस है $S.$ आगे, $V$ का प्रतिवैस है $S$ अगर और केवल अगर $S$ के आंतरिक (सांस्थिति) का एक उपसमुच्चय है $V.$ का एक प्रतिवैस $S$ यह भी एक खुला उपसमुच्चय है $X$ एक कहा जाता हैopen neighbourhoodका $S.$ एक बिंदु का पड़ोस इस परिभाषा का एक विशेष मामला है।

एक मीट्रिक स्थान में

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एक सेट $S$ विमान में और एक समान पड़ोस $V$ का $S.$

File:Epsilon Umgebung.svg

किसी संख्या का एप्सिलॉन पड़ोस $a$ वास्तविक संख्या रेखा पर।

मात्रिक स्थान में $M=(X,d),$ एक समुच्चय $V$ एक बिंदु का प्रतिवैस है $p$ अगर केंद्र$p$ के साथ एक खुला गोला मौजूद है और त्रिज्या $r>0,$ ऐसा कि

$$B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$$

में निहित है $V.$

$V$ एक समुच्चय का एक समान प्रतिवैस कहा जाता है $S$ अगर वहाँ एक सकारात्मक संख्या मौजूद है $r$ ऐसा कि सभी तत्वों के लिए $p$ का $S,$

$$B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$$

में निहित है $V.$ के लिये $r>0,$ $r$-प्रतिवैस $S_{}$