कोण: Difference between revisions

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*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग {{math|π}} रेडियन, 180° (डिग्री) या {{sfrac|2}} मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2{{math|π}} रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज |उत्तल बहुभुज]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ (टर्न) होता है।
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग {{math|π}} रेडियन, 180° (डिग्री) या {{sfrac|2}} मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2{{math|π}} रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज |उत्तल बहुभुज]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ (टर्न) होता है।
* एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाली दो रेखाओ में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत तथा बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक ​​कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।
* एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाली दो रेखाओ में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत तथा बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक ​​कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाए तो एक पूर्ण मोड़ (टर्न) 360°(डिग्री) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।
* एक त्रिभुज में, दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक समवर्ती होते हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं)।<ref name=Johnson>जॉनसन, रोजर ए. एडवांस्ड यूक्लिडियन ज्योमेट्री, डोवर पब्लिकेशन्स, 2007.</ref>
* एक त्रिभुज में, दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक समवर्ती होते हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं)।<ref name=Johnson>जॉनसन, रोजर ए. एडवांस्ड यूक्लिडियन ज्योमेट्री, डोवर पब्लिकेशन्स, 2007.</ref>
* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक बाह्य कोण का समद्विभाजक, जिसकी विपरीत विस्तारित भुजा होती है, संरेख होते हैं।<ref name=Johnson/>
* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक बाह्य कोण का समद्विभाजक, जिसकी विपरीत विस्तारित भुजा होती है, संरेख होते हैं।<ref name=Johnson/>
* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत भुजा के बीच, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>
* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>
* कुछ लेखक साधारण बहुभुज के बाह्य कोण के नाम का उपयोग केवल आंतरिक कोण के बाह्य कोण (पूरक नहीं!) लागू करने के लिए करते हैं।<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} जैसा कि में उद्धृत किया गया है {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> यह उपरोक्त उपयोग के साथ विरोध करता है।
* कुछ लेखक साधारण बहुभुज के बाह्य कोण के नाम का उपयोग केवल आंतरिक कोण के बाह्य कोण (पूरक नहीं!) लागू करने के लिए करते हैं।<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} जैसा कि में उद्धृत किया गया है {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> यह उपरोक्त उपयोग के साथ विरोध करता है।


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* दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911" /> यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
* दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911" /> यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे (90) डिग्री के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है।
* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।




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'''<big>मापने के कोण</big>'''
'''<big>मापने के कोण</big>'''


एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक किरण को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम या माप में बराबर कहा जाता है।
एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक रेखा को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम कहा जाता है।


कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ के निश्चित गुणक से भिन्न कोण, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ के अशून्य गुणक से भिन्न कोण, समतुल्य नहीं होते हैं।
कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ (टर्न) के निश्चित गुणक से भिन्न कोण प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ (टर्न) के अशून्य गुणक से भिन्न कोण समतुल्य नहीं होते हैं।


[[File:Angle measure.svg|right|thumb|<nowiki>आर}} रेडियन}}।</nowiki>]]
[[File:Angle measure.svg|right|thumb|<nowiki>आर}} रेडियन}}।</nowiki>]]
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कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।
कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।


कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।
कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया है, अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ (टर्न) का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।


:<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>
:<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>
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:<math> m\angle \mathrm{AOC} = m\angle \mathrm{AOB} + m\angle \mathrm{BOC} </math>
:<math> m\angle \mathrm{AOC} = m\angle \mathrm{AOB} + m\angle \mathrm{BOC} </math>
कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण AOB के माप और कोण एओबी (∠BOC) के माप का योग होता है।
कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण एओबी (∠AOB) के माप और कोण बीओसी (∠BOC) के माप का योग होता है।


=== इकाइयां ===
=== इकाइयां ===
[[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]]
[[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]]
पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, इत्यादि का उपयोग इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>
पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) इत्यादि हैं।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>


मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण को एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।।
मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।


कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।
कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (टर्न) (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।


एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। परिभाषा के अनुसार, यह विमाहीन है, हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) के प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री))। 360° का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, और {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।
एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री)) है। 360° (डिग्री) का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।


कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि मोड़ (टर्न्स) की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।
कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि मोड़ (टर्न्स) की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।
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{|class = "wikitable"
{|class = "wikitable"
!नाम !!एक  
!नाम !!एक  
टर्न में  
मोड़ (टर्न) में  


संख्या
संख्या
!डिग्री में !!विवरण
!डिग्री में !!विवरण
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|[[turn (geometry)|टर्न]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ संक्षिप्त रूप से  
|[[turn (geometry)|मोड़ (टर्न)]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।एक मोड़ (टर्न) 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
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|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]
|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]
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|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) है और इसे ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक <sup>∟</sup> का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक <sup>∟</sup> का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
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|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई के [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।,<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]''  का कोण है या 1/6 मोड़ (टर्न) है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड  
|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई कि [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]''  का कोण या 1/6 मोड़ (टर्न) होता है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड  
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|[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.2958 डिग्री होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन के साथ विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इकाई रेड (rad) को अक्सर छोड़ दिया जाता है।रेडियन का उपयोग लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, सरल प्रयोगिक ज्यामिति से परे, उदाहरण के लिए, मनभावन और "प्राकृतिक" गुणों के कारण जो [[trigonometric function|त्रिकोणमितीय फलन]] प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं।रेडियन [[SI|एसआई]] (SI) में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को  
|[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.2958° (डिग्री) होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन को विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इकाई रेड (rad) को अक्सर छोड़ दिया जाता है। रेडियन का उपयोग लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, सरल प्रयोगिक ज्यामिति से परे, उदाहरण के लिए, मनभावन और "प्राकृतिक" गुणों के कारण जो [[trigonometric function|त्रिकोणमितीय फलन]] प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं। रेडियन [[SI|एसआई]] (SI) में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को  
विमाहीन भी मानता है।
विमाहीन भी मानता है।
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| हेक्साकॉन्टेडे||60 ||6°||हेक्साकॉन्टेड एक इकाई है जिसका उपयोग [[Eratosthenes|एराटोस्थनीज]] द्वारा किया जाता है। यह 6° के बराबर होता है, जिससे एक पूरा मोड़ 60 हेक्साकॉन्टेड्स में विभाजित हो जाता है।
| हेक्साकॉन्टेडे||60 ||6°||हेक्साकॉन्टेड एक इकाई है जिसका उपयोग [[Eratosthenes|एराटोस्थनीज]] द्वारा किया जाता है। यह 6° (डिग्री) के बराबर होता है, जिससे एक पूरा मोड़ (टर्न) 60 हेक्साकॉन्टेड्स में विभाजित हो जाता है।
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|[[Binary angular measurement|द्विआधारी  डिग्री]] ||256||1°33'45"  || बाइनरी डिग्री, जिसे ''[[binary radian|बाइनरी रेडियन]]''  या ब्रैड या बाइनरी कोणीय माप (BAM) से भी जाना जाता है।<ref name="ooPIC"/> बाइनरी डिग्री का उपयोग अभिकलन में किया जाता है ताकि एक कोण को एक [[byte|बाइट]] में अच्छे से दर्शाया जा सके (यद्यपि सीमित परिशुद्धता के लिए)। अभिकलन में प्रयुक्त कोण के अन्य माप, n के अन्य मान के लिए एक पूरे मोड़ को 2<sup>''n''</sup> बराबर भागों में विभाजित करने पर आधारित होते हैं।<ref name="Hargreaves_2010" /> यह एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|256}} है। <ref name="ooPIC" />
|[[Binary angular measurement|बाइनरी डिग्री]] ||256||1°33'45"  || बाइनरी डिग्री, जिसे ''[[binary radian|बाइनरी रेडियन]]''  या ब्रैड या बाइनरी कोणीय माप बीएएम (BAM) से भी जाना जाता है।<ref name="ooPIC"/> बाइनरी डिग्री का उपयोग अभिकलन में किया जाता है ताकि एक कोण को एक [[byte|बाइट]] में अच्छे से दर्शाया जा सके (यद्यपि सीमित परिशुद्धता के लिए)। अभिकलन में प्रयुक्त कोण के अन्य माप, n के अन्य मान के लिए एक पूरे मोड़ (टर्न) को 2<sup>''n''</sup> बराबर भागों में विभाजित करने पर आधारित होते हैं।<ref name="Hargreaves_2010" /> यह एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|256}} है। <ref name="ooPIC" />
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|[[degree (angle)|डिग्री]] ||360 ||1°|| इस पुराने [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] उपिकाई का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में आम कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव संकेतन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन "डिग्री-मिनट-सेकंड" प्रणाली के "मिनट" और "सेकंड" षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपिकाई भी उपयोग में हैं, विशेष रूप से [[Geographic coordinate system|भौगोलिक निर्देशांक]] के लिए और [[astronomy|खगोल विज्ञान]] और [[ballistics|अस्त्रविज्ञान]] में (n = 360)। ऊपर लिखे हुए एक छोटे वृत्त (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ (टर्न) का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ (टर्न) 360° का होता है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}} सेट करके n = 360° (डिग्री) इकाई प्राप्त की जाती है।
|[[degree (angle)|डिग्री]] ||360 ||1°|| इस पुराने [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] उपइकाई का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में सामान्य कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव संकेतन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन "डिग्री-मिनट-सेकंड" प्रणाली के "मिनट" और "सेकंड" षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपिकाई भी उपयोग में हैं, विशेष रूप से [[Geographic coordinate system|भौगोलिक निर्देशांक]] के लिए और [[astronomy|खगोल विज्ञान]] और [[ballistics|अस्त्रविज्ञान]] में (n = 360)। ऊपर लिखे हुए एक छोटे वृत्त (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ (टर्न) का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ (टर्न) 360° (डिग्री) का होता है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}} निर्धारित करके n = 360° (डिग्री) इकाई प्राप्त की जाती है।
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| [[grad (angle)|ग्रेड]]||400 ||0°54′ || ग्रेड, जिसे, ग्रैड, [[gradian|ग्रेडियन]] या गॉन भी कहा जाता है। यह चतुर्थांश की दशमलव उपइकाई है। एक समकोण 100 ग्रैड होता है। एक [[kilometre|किलोमीटर]] को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक [[meridian (geography)|मध्याह्न रेखा]] के साथ चाप के एक [[centi|सेंटी]]-ग्रेड के रूप में परिभाषित किया गया था, इसलिए किलोमीटर [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] [[nautical mile|समुद्री मील]] (n = 400) का दशमलव अनुरूप है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर त्रिभुज और महाद्वीपीय सर्वेक्षण में किया जाता है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर [[triangulation (surveying)|त्रिभुजन]] और महाद्वीपीय [[surveying|सर्वेक्षण]] में किया जाता है।  
| [[grad (angle)|ग्रेड]]||400 ||0°54′ || ग्रेड, जिसे, ग्रैड, [[gradian|ग्रेडियन]] या गॉन चतुर्थांश की दशमलव उपइकाईयां कहलाती है। एक समकोण 100 ग्रैड होता है। एक [[kilometre|किलोमीटर]] को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक [[meridian (geography)|मध्याह्न रेखा]] के साथ चाप के एक [[centi|सेंटी]]-ग्रेड के रूप में परिभाषित किया गया था, इसलिए किलोमीटर [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] [[nautical mile|समुद्री मील]] (n = 400) का दशमलव अनुरूप है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर त्रिभुज और महाद्वीपीय सर्वेक्षण में किया जाता है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर [[triangulation (surveying)|त्रिभुजन]] और महाद्वीपीय [[surveying|सर्वेक्षण]] में किया जाता है।  
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| [[Minute of arc|चाप के मिनट]]||21,600 ||0°1′|| चाप का मिनट (या एमओए, चाप-मिनट, या केवल मिनट) डिग्री का {{sfrac|60}} होता है।   
| [[Minute of arc|चाप के मिनट]]||21,600 ||0°1′|| चाप का मिनट (या एमओए, चाप-मिनट, या केवल मिनट) डिग्री का {{sfrac|60}} होता है।   

Revision as of 08:05, 6 July 2022

एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।[1] दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।[2]

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। 'प्रोक्लस' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग 'यूडेमस' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी 'अन्ताकिया के कार्पस' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।[3]

कोणों की पहचान

गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक π प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी (AB) तथा एसी (AC) रेखाओं (अर्थात बिंदु ए (A) से बिंदु बी (b) तथा सी (C) तक की रेखाओं) द्वारा गठित शीर्ष ए (A) वाले कोण को ∠BAC या से दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी प्रदर्शित कर सकता है, बी (B) से सी (C) तक का दक्षिणावर्त कोण, बी (B) से सी (C) का वामावर्त कोण, सी (C) से बी (B) का दक्षिणावर्त कोण, या सी (C) से बी (B) का वामावर्त कोण, जहां कोण के माप की दिशा उसका संकेत निर्धारित करती है (धनात्मक और ऋणात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि धनात्मक कोण 180° डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि ∠BAC हमेशा बी (B) से सी (C) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण को संदर्भित करता है, तथा ∠CAB सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता।[4][5]

  • 0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।
  • एक समकोण से छोटे (90° (डिग्री) से कम) कोण को न्यून कोण ("न्यून" अर्थात "स्पष्ट") कहा जाता है।
  • अभिलम्बवत दो रेखाओं द्वारा 1/4 मोड़ (टर्न) (90° (डिग्री) या π/2 रेडियन) के बराबर के कोण को समकोण कहा जाता है।
  • एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° (डिग्री) और 180° (डिग्री) के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थात "कुंद") कहा जाता है।
  • 1/2 मोड़ (टर्न) के बराबर कोण (180° (डिग्री) या π रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है।
  • एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़े तथा 1 मोड़ से कम (180° (डिग्री) और 360° (डिग्री) के बीच) का कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
  • 1 मोड़ के बराबर कोण (360° (डिग्री) या 2π रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
  • ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।

Right angle
Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.
Reflex angle
नाम शून्य न्यून समकोण अधिक ऋजु प्रतिवर्ती पेरिगॉन
इकाइयाँ अंतराल
मोड़ (टर्न) 0 turn (0, 1/4) turn 1/4 turn (1/4, 1/2) turn 1/2 turn (1/2, 1) turn 1 turn
रेडियन 0 rad (0, 1/2π) rad 1/2π rad (1/2π, π) rad π rad (π, 2π) rad 2π rad
डिग्री 0° (0, 90)° 90° (90, 180)° 180° (180, 360)° 360°
गोन 0g (0, 100)g 100g (100, 200)g 200g (200, 4